ANOVA na temelju djela poznatog matematičara R.A. Fisher... Unatoč prilično solidnoj "dobi", ova metoda i dalje ostaje jedna od glavnih u biološkim i poljoprivrednim istraživanjima. Ideje na kojima se temelji analiza varijance naširoko se koriste u mnogim drugim metodama matematičke analize eksperimentalnih podataka, kao i u planiranju bioloških i poljoprivrednih pokusa.

Analiza varijance omogućuje vam:

1) usporediti dva ili više uzoraka;

2) istodobno proučavati djelovanje nekoliko neovisnih čimbenika, dok je moguće utvrditi i učinak svakog čimbenika na varijabilnost proučavanog svojstva, i njihovu interakciju;

3) pravilno planirati znanstveni eksperiment.

Promjenjivost živih organizama očituje se u obliku raspršenja ili raspršenja vrijednosti pojedinih svojstava u granicama koje su određene stupnjem biološke ujednačenosti materijala i prirodom odnosa s uvjetima okoline. Znakovi koji se mijenjaju pod utjecajem određenih razloga nazivaju se učinkovit.

Čimbenici su svi utjecaji ili uvjeti čija raznolikost može na neki način utjecati na raznolikost učinkovite osobine. Statistički utjecaj čimbenika na analizu varijance shvaća se kao odraz raznolikosti učinkovitog pokazatelja raznolikosti proučavanih čimbenika, koji je organiziran u studiji.

Pod raznolikošću podrazumijevamo prisutnost nejednakih vrijednosti svake osobine u različitih pojedinaca spojenih u grupu. Raznolikost skupine pojedinaca prema obilježju koje se proučava može imati različit stupanj, koji se obično mjeri pokazateljima raznolikosti (ili varijabilnosti): granicama, standardnom devijacijom, koeficijentom varijacije. U analizi varijance mjeri se stupanj raznolikosti pojedinačnih i prosječnih vrijednosti svojstva i uspoređuje na posebne načine koji čine specifičnosti ove opće metode.

Organizacija faktora je da se svakom proučavanom faktoru dodjeljuje nekoliko vrijednosti. U skladu s tim vrijednostima, svaki je faktor podijeljen u nekoliko stupnjeva; za svaku gradaciju odabire se nekoliko pojedinaca prema principu slučajnog uzorkovanja, u kojem se naknadno mjeri vrijednost učinkovite osobine.

Kako bi se doznao stupanj i pouzdanost utjecaja proučavanih čimbenika, potrebno je izmjeriti i procijeniti onaj dio ukupne raznolikosti koji je uzrokovan tim čimbenicima.

Čimbenici koji utječu na stupanj varijacije učinkovitog svojstva dijele se na:

1) podesivo

2) slučajni

Regulirano (sustavno)čimbenici su uzrokovani djelovanjem faktora proučavanog u pokusu, koji ima nekoliko stupnjeva u pokusu. Faktor gradacije- ovo je stupanj njegova utjecaja na efektivnu značajku. U skladu s gradacijom atributa, nekoliko je varijanti pokusa istaknuto radi usporedbe. Budući da su ti čimbenici preduvjetni, u istraživanju se zovu regulirani, tj. dano, ovisno o organizaciji pokusa. Slijedom toga, prilagodljivi čimbenici su čimbenici čije se djelovanje proučava na temelju iskustva, oni određuju razlike između uzoraka različitih mogućnosti - međugrupna (faktorska) varijansa.

Slučajni čimbenici su određeni prirodnom varijacijom svih znakova bioloških objekata u prirodi. To su čimbenici na koje iskustvo ne može utjecati. Oni imaju slučajan učinak na učinkovito svojstvo, uzrokuju eksperimentalne pogreške i određuju raspršenje (disperziju) svojstva unutar svake varijante. Ovo širenje naziva se unutargrupna (slučajna) varijansa.

Dakle, relativnu ulogu pojedinih čimbenika u ukupnoj varijabilnosti učinkovitog svojstva karakterizira varijacija i može se proučavati pomoću analiza varijance ili analiza raspršenja

ANOVA se temelji na uspoređujući međugrupne i unutargrupne varijance... Ako međugrupna varijansa ne prelazi unutargrupnu varijansu, tada su razlike među skupinama slučajne. Ako je međugrupna varijansa značajno veća od unutargrupne varijance, tada između proučavanih skupina (opcija) postoje statistički značajne razlike zbog utjecaja faktora koji je proučavan u pokusu.

Iz toga proizlazi da je u statističkom istraživanju učinkovitog svojstva pomoću analize varijance potrebno utvrditi njegovu varijaciju u varijantama, ponavljanja, zaostalu varijaciju unutar ovih skupina i opću varijaciju učinkovite osobine u pokusu. U skladu s tim razlikuju se tri vrste disperzije:

1) opća varijacija efektivne osobine (S y 2);

2) međugrupno ili privatno, između uzoraka (S y 2);

3) Unutargrupa, zaostala (S z 2).

Stoga, analiza varijance – to je podjela ukupnog zbroja kvadrata odstupanja i ukupnog broja stupnjeva slobode na dijelove ili komponente koji odgovaraju strukturi pokusa te procjena značaja djelovanja i međudjelovanja čimbenika koji se proučavaju po F-kriteriju. Ovisno o broju istodobno proučavanih čimbenika, razlikuje se dvo-, tro-, četverofaktorska analiza varijance.

Prilikom obrade jednofaktorskih statističkih kompleksa na terenu koji se sastoje od nekoliko neovisnih opcija, ukupna varijabilnost efektivnog svojstva, mjerena ukupnim zbrojem kvadrata (C y), podijeljena je u tri komponente: varijacija između opcija (uzoraka) - CV , varijacija ponavljanja (opcije su međusobno povezane zajedničkim kontroliranim uvjetom - prisutnost organiziranih ponavljanja) - C p i varijacija unutar opcija C z. Općenito, varijabilnost svojstva predstavljena je sljedećim izrazom:

C y = C V + C p + C z.

Ukupan broj stupnjeva slobode (N -1) također je podijeljen na tri dijela:

stupnjevi slobode za mogućnosti (l - 1);

stupnjevi slobode za ponavljanja (n- 1);

slučajna varijacija (n - 1) × (l - 1).

Zbir kvadrata odstupanja, prema terenskom eksperimentu - statističkom kompleksu s opcijama - l i ponavljanjima - n, nalazi se na sljedeći način. Prvo se pomoću početne tablice određuju zbrojevi za ponavljanja - Σ P, za varijante - Σ V i ukupni zbroj svih opažanja - Σ X.

Zatim se izračunavaju sljedeći pokazatelji:

Ukupan broj opažanja N = l × n;

Faktor korekcije (dopuna) C cor = (Σ X 1) 2 / N;

Ukupni zbroj kvadrata Cy = Σ X 1 2 - C cor;

Zbroj kvadrata za ponavljanja C p = Σ P 2 / (l –C cor);

Zbroj kvadrata za opcije C V = Σ V 2 / (n - 1);

Zbroj kvadrata za pogrešku (ostatak) C Z = C y - C p - C V.

Rezultirajući zbrojevi kvadrata C V i C Z dijele se sa stupnjevima slobode koji im odgovaraju i dobivaju se dva srednja kvadrata (varijance):

Varijante S v 2 = C V / l - 1;

Pogreške S Z 2 = C Z / (n - 1) × (l - 1).

Procjena značaja razlika između sredstava. Dobiveni srednji kvadrati koriste se u analizi varijance za procjenu značaja djelovanja ispitivanih faktora usporedbom varijance opcija (S v 2) s varijancom pogreške (SZ 2) prema Fisherovu kriteriju (F = SY 2 / SZ 2). Jedinica usporedbe je srednji kvadrat slučajne varijance koji određuje slučajnu pogrešku pokusa.

Korištenje Fisherovog testa omogućuje utvrđivanje prisutnosti ili odsutnosti značajnih razlika između srednjih vrijednosti uzorka, ali ne ukazuje na posebne razlike među srednjim vrijednostima.

Testirana H o - hipoteza je pretpostavka da su sva srednja vrijednost uzorka procjene jednog općeg prosjeka i da su razlike među njima beznačajne. Ako Činjenica F = S Y 2 / S Z 2 ≤ F teor, tada se nulta hipoteza ne odbacuje. Nema značajnih razlika između srednjih vrijednosti uzorka i tu test završava. Nulta hipoteza se odbacuje za Činjenica F = S Y 2 / S Z 2 ≥ F teor Vrijednost F-kriterija za razinu značajnosti usvojenu u studiji nalazi se u odgovarajućoj tablici, uzimajući u obzir stupnjeve slobode varijance opcija i slučajne varijance. Obično koriste razinu značajnosti od 5%, a uz stroži pristup 1% - pa čak i 0,1%.

Za uzorak veličine n, varijansa uzorka izračunava se kao zbroj kvadrata odstupanja od srednje vrijednosti uzorka, podijeljen sa n-1(veličina uzorka minus jedan). Dakle, za fiksnu veličinu uzorka n, varijansa je funkcija zbroja kvadrata (odstupanja), označena za kratkoću, SS (od engleskog Sum of Squares - Zbroj kvadrata). Nadalje, često izostavljamo riječ uzorak, dobro znajući da se razmatra varijansa uzorka ili procjena varijance. Analiza varijance temelji se na podjeli varijance na dijelove ili komponente.:

SS pogreške i SS utjecaj. Varijabilnost unutar grupe ( SS) obično se naziva zaostala komponenta ili varijansa pogreške. To znači da se obično u pokusu ne može predvidjeti ili objasniti. Na drugoj strani, SS efekt(ili komponenta varijance među skupinama) može se objasniti razlikom između srednjih vrijednosti u skupinama. Drugim riječima, pripadnost određenoj skupini objašnjava međugrupna varijabilnost, jer znamo da te skupine imaju različite srednje vrijednosti.

Osnovna logika analize varijance Sumirajući, možemo reći da je svrha ANOVA -e ispitati statističku značajnost razlike između srednjih vrijednosti (za skupine ili varijable). Ta se provjera provodi dijeljenjem zbroja kvadrata na komponente, tj. dijeljenjem ukupne varijance (varijacije) na dijelove, od kojih je jedan posljedica slučajne pogreške (to jest unutargrupne varijabilnosti), a drugi je povezan s razlikom u srednjim vrijednostima. Posljednja komponenta varijance tada se koristi za analizu statističke značajnosti razlike između srednjih vrijednosti. Ako je ovo razlika značajno, Nulta hipoteza odbijen te se prihvaća alternativna hipoteza o postojanju razlike između sredstava.

Ovisne i neovisne varijable. Varijable čije se vrijednosti utvrđuju mjerenjima tijekom pokusa (na primjer, rezultat dobiven tijekom ispitivanja) nazivaju se ovisna varijable. Varijable koje se mogu kontrolirati u eksperimentu (na primjer, nastavne metode ili drugi kriteriji koji vam omogućuju da podijelite opažanja u skupine ili klasificirate) nazivaju se čimbenici ili neovisna varijable.

Mnogo faktora. Svijet je sam po sebi složen i višedimenzionalan. Izuzetno su rijetke situacije kada određeni fenomen u potpunosti opisuje jedna varijabla. Na primjer, ako pokušavamo naučiti uzgajati velike rajčice, treba uzeti u obzir čimbenike koji se odnose na genetsku strukturu biljke, vrstu tla, svjetlost, temperaturu itd. Dakle, postoji mnogo čimbenika s kojima se treba pozabaviti u tipičnom pokusu. Glavni razlog zašto je upotreba analize varijance poželjnija od ponovljene usporedbe dva uzorka na različitim razinama faktora pomoću serija t- kriterij je da je analiza varijance znatno veća učinkovit a za male uzorke informativniji je.

Izlaz. Analizu varijance razvio je i u praksu poljoprivrednih i bioloških istraživanja uveo engleski znanstvenik R.A.Fisher . Bit analize varijance sastoji se u razlaganju ukupne varijabilnosti atributa i ukupnog broja stupnjeva slobode na sastavne dijelove koji odgovaraju strukturi terenskog pokusa, također u procjeni djelujućeg faktora prema Fisherovu kriteriju.

Gdje je opća varijabilnost svojstva, zbog djelovanja pitanja koje se ispituje, heterogenosti plodnosti tla i slučajnih pogrešaka u pokusu.

Variranje prinosa na temelju ponavljanja poljskog eksperimenta.

Različiti prinosi prema varijantama iskustva povezanim s djelovanjem pitanja koje se proučava.

Varijacije prinosa povezane sa slučajnim pogreškama u iskustvu.

Izlaz analiza varijance vrši se prema sljedećim pravilima:

1. Postoje značajne razlike u iskustvu ako je činjenično ≥teoretsko. Nema značajnih razlika u iskustvu ako je F stvarna

2. NDS - Najmanja značajna razlika, koja se koristi za utvrđivanje razlike između opcija. Ako je razlika d ≥ NSR, onda su razlike između opcija značajne. Ako d< НСР, то различия между вариантами не существенные.

Grupe mogućnosti.

1. Ako je razlika d značajna i ukazuje na povećanje prinosa, tada se opcije odnose na skupinu 1.

2. Ako razlika d– nije značajna, tada se opcije odnose na skupinu 2.

3. Ako je razlika d značajna, ali ukazuje na smanjenje prinosa, tada se opcije odnose na skupinu 3.

Odabir formule ANOVA ovisi o metodama postavljanja opcija u pokus:

1. Za organizirana ponavljanja:

2. Za neorganizirana ponavljanja.

5.1. Što je ANOVA?

Analizu varijance razvio je 1920 -ih godina engleski matematičar i genetičar Ronald Fisher. Prema istraživanju među znanstvenicima, gdje se doznalo tko je najviše utjecao na biologiju 20. stoljeća, prvenstvo je osvojio Sir Fisher (za svoje zasluge odlikovan je vitezom - jednim od najviših priznanja u Velikoj Britaniji); u tom pogledu Fischer je usporediv s Charlesom Darwinom, koji je imao najveći utjecaj na biologiju u 19. stoljeću.

Analiza varijance sada je zasebna grana statistike. Temelji se na činjenici koju je otkrio Fisher da se mjera varijabilnosti proučavane veličine može raščlaniti na dijelove koji odgovaraju faktorima koji utječu na tu veličinu i slučajnim odstupanjima.

Da bismo razumjeli bit analize varijance, dvaput ćemo izvršiti istu vrstu izračuna: "ručno" (s kalkulatorom) i koristeći program Statistica. Radi pojednostavljenja našeg zadatka nećemo raditi s rezultatima stvarnog opisa raznolikosti zelenih žaba, već s izmišljenim primjerom koji se odnosi na usporedbu žena i muškaraca u ljudi. Uzmite u obzir visinsku raznolikost 12 odraslih osoba: 7 žena i 5 muškaraca.

Tablica 5.1.1. Primjer za jednosmjernu ANOVU: podaci o spolu i visini za 12 osoba

Izvršimo jednosmjernu analizu varijance: usporedit ćemo razlikuju li se muškarci i žene u opisanoj skupini u pogledu visine statistički značajne ili ne.

5.2. Test normalnosti

Daljnje zaključivanje temelji se na činjenici da je raspodjela u razmatranom uzorku normalna ili blizu normalne. Ako je raspodjela daleko od normalne, varijansa (varijansa) nije adekvatno mjerilo njezine varijabilnosti. Međutim, ANOVA je relativno robusna prema odstupanjima distribucije od normalnosti.

Normalnost ovih podataka može se provjeriti na dva različita načina. Prvo: Statistika / Osnovne statistike / Tablice / Opisna statistika / kartica Normalnost. U kartici Normalnost možete odabrati testove koji se koriste za normalnost distribucije. Kada pritisnete gumb Tablice frekvencija, pojavit će se tablica frekvencija, a tipke Histogrami - histogram. Tablica i stupčasti grafikon prikazat će rezultate različitih ispitivanja.

Druga metoda odnosi se na uporabu odgovarajućeg mogućeg pri izgradnji histograma. U dijalogu za izradu histograma (Grafovi / Histogrami ...) odaberite karticu Napredno. Pri dnu se nalazi statistički blok. Označimo Shapiro-Wilka na njemu t est i Kolmogorov-Smirnov test, kao što je prikazano na slici.

Riža. 5.2.1. Statistički testovi normalnosti distribucije u dijalogu za konstruiranje histograma

Kao što se može vidjeti iz histograma, raspodjela rasta u našem uzorku razlikuje se od normalnog (u sredini - "neuspjeh").

Riža. 5.2.2. Histogram iscrtan s parametrima navedenim na prethodnoj slici

Treći redak u naslovu grafikona prikazuje parametre normalne distribucije kojoj je promatrana raspodjela bila najbliža. Opći prosjek je 173, opća standardna devijacija je 10,4. Ispod na bočnoj traci na grafikonu nalaze se rezultati ispitivanja normalnosti. D je Kolmogorov-Smirnov test, a SW-W Shapiro-Vilkov test. Kao što se može vidjeti, za sva korištena ispitivanja pokazalo se da su razlike između raspodjele visine i normalne raspodjele statistički beznačajne ( str u svim slučajevima više od 0,05).

Dakle, formalno govoreći, testovi sukladnosti distribucije normalnoj distribuciji nisu nam "zabranili" korištenje parametarske metode koja se temelji na pretpostavci normalne distribucije. Kao što je već spomenuto, analiza varijance relativno je otporna na odstupanja od normalnosti, pa ćemo je i dalje koristiti.

5.3. Jednosmjerna ANOVA: ručni izračuni

Kako bismo okarakterizirali promjenjivost visine ljudi u danom primjeru, izračunavamo zbroj kvadrata odstupanja (na engleskom se označava kao SS , Zbroj kvadrata ili) pojedinačne vrijednosti iz srednje vrijednosti: ... Prosjek visine u ovom primjeru je 173 centimetra. Na temelju ovoga,

SS = (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ;

SS = 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;

SS = 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.

Dobivena vrijednost (1192) mjera je varijabilnosti čitavog skupa podataka. Međutim, sastoje se od dvije skupine, od kojih se za svaku može izdvojiti vlastiti prosjek. U navedenim podacima prosječna visina žena je 168 cm, a muškaraca 180 cm.

Izračunajmo zbroj kvadrata odstupanja za žene:

SS f = (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;

SS f = 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.

Izračunavamo i zbroj kvadrata odstupanja za muškarce:

SS m = (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;

SS m = 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.

O čemu ovisi istraživana vrijednost u skladu s analizom logike varijance?

Dvije izračunate vrijednosti, SS f i SS m , karakteriziraju unutargrupnu varijancu, koja se u analizi varijance obično naziva "pogreška". Podrijetlo ovog imena povezano je sa sljedećom logikom.

Što određuje rast osobe u ovom primjeru? Prije svega, od prosječne visine ljudi općenito, bez obzira na njihov spol. Drugo - s poda. Ako su osobe jednog spola (muški) više od drugog (ženskog), to se može predstaviti kao dodatak prosjeku “običnih ljudi” neke veličine, učinku spola. Konačno, ljudi istog spola razlikuju se u visini zbog individualnih razlika. U modelu koji opisuje visinu kao zbroj ljudskog prosjeka i prilagodbu spola, individualne razlike su neobjašnjive i mogu se smatrati "pogreškom".

Dakle, u skladu s logikom analize varijance, ispitivana vrijednost se utvrđuje na sljedeći način: , gdje x ij -i-ta vrijednost proučavane vrijednosti pri j-toj vrijednosti proučavanog faktora; - opći prosjek; F j - utjecaj j-te vrijednosti proučavanog faktora; - "pogreška", doprinos individualnosti objekta kojemu količina pripadax ij .

Zbir kvadrata među skupinama

Tako, SS pogreške = SS f + SS m = 212 + 560 = 772. Ovom vrijednošću opisali smo unutargrupnu varijabilnost (kada su grupe identificirane prema spolu). No postoji i drugi dio varijabilnosti - međugrupa, koju ćemo nazvatiSS efekt (budući da govorimo o učinku podjele skupa predmeta koji se razmatraju na žene i muškarce).

Prosjek svake grupe razlikuje se od ukupnog prosjeka. Izračunavajući doprinos ove razlike ukupnoj mjeri varijabilnosti, moramo pomnožiti razliku između skupine i ukupnog prosjeka s brojem objekata u svakoj skupini.

SS efekt = = 7 × (168–173) 2 + 5 × (180–173) 2 = 7 × 52 + 5 × 72 = 7 × 25 + 5 × 49 = 175 + 245 = 420.

Ovdje se očitovao princip stalnosti zbroja kvadrata, koji je otkrio Fischer: SS = SS učinak + SS pogreška , tj. za ovaj primjer, 1192 = 440 + 722.

Srednji kvadrati

Uspoređujući u našem primjeru međugrupne i unutargrupne zbrojeve kvadrata, možemo vidjeti da je prva povezana s varijacijom dviju skupina, a druga - 12 vrijednosti u 2 skupine. Broj stupnjeva slobode ( df ) za neki parametar može se definirati kao razlika između broja objekata u skupini i broja ovisnosti (jednadžbi) koje povezuju te vrijednosti.

U našem primjeru df efekt = 2–1 = 1, a df greške = 12–2 = 10.

Zbrojeve kvadrata možemo podijeliti po broju njihovih stupnjeva slobode, dobivajući srednje kvadrate ( MS , Sredstva kvadrata). Nakon što smo to učinili, možemo to utvrditi MS - ništa drugo osim varijance ("varijansa", rezultat dijeljenja zbroja kvadrata s brojem stupnjeva slobode). Nakon ovog otkrića možemo razumjeti strukturu ANOVA tablice. Za naš primjer, to će izgledati ovako.

MS učinak i MS pogreške su procjene međugrupne i unutargrupne varijance, pa se stoga mogu usporediti prema kriterijuŽ (Snedecorov kriterij, nazvan po Fisheru), osmišljen za usporedbu varijansi. Ovaj kriterij je jednostavno kvocijent dijeljenja veće varijance na manju. U našem slučaju to je 420 / 77,2 = 5,440.

Određivanje statističke značajnosti Fisherovog testa pomoću tablica

Kad bismo ručno, pomoću tablica, utvrdili statističku značajnost učinka, morali bismo usporediti dobivenu vrijednost kriterija Ž s kritičnim, koji odgovara određenoj razini statističke značajnosti za date stupnjeve slobode.

Riža. 5.3.1. Ulomak tablice s kritičnim vrijednostima kriterija Ž

Kao što vidite, za razinu statističke značajnosti p = 0,05, kritična vrijednost kriterijaŽ iznosi 4,96. To znači da je u našem primjeru djelovanje ispitivanog spola zabilježeno sa statističkom razinom značajnosti 0,05.

Rezultat se može tumačiti na sljedeći način. Vjerojatnost nulte hipoteze, prema kojoj je prosječna visina žena i muškaraca jednaka, a zabilježena razlika u njihovoj visini povezana je sa slučajnošću u formiranju uzoraka, manja je od 5%. To znači da moramo izabrati alternativnu hipotezu da je prosječna visina žena i muškaraca različita.

5.4. Jednosmjerna analiza varijance ( ANOVA) u paketu Statistica

U slučajevima kada se izračuni ne rade ručno, već uz pomoć odgovarajućih programa (na primjer, paket Statistica), vrijednost str određuje se automatski. Možete biti sigurni da je nešto viša od kritične vrijednosti.

Da biste analizirali razmatrani primjer koristeći najjednostavniju varijantu analize varijance, morate pokrenuti proceduru Statistika / ANOVA za datoteku s odgovarajućim podacima i odabrati opciju Jednosmjerna ANOVA u prozoru Vrsta analize i dijalogu Brze specifikacije u prozoru Metoda specifikacije ...

Riža. 5.4.1. Opći dijalog ANOVA / MANOVA

U otvorenom prozoru za brzi dijalog u polju Varijable trebate navesti one stupce koji sadrže podatke čiju varijabilnost proučavamo (popis ovisnih varijabli; u našem slučaju stupac Rast), kao i stupac koji sadrži vrijednosti koji dijele proučavanu vrijednost u skupine (katigorijski prediktor (faktor); u našem slučaju stupac Spol). U ovoj verziji analize, za razliku od multivarijantne analize, može se uzeti u obzir samo jedan faktor.

Riža. 5.4.2. Jednosmjerni ANOVA dijalog

U prozoru Faktorski kodovi trebate navesti vrijednosti faktora koji se razmatraju i koje je potrebno obraditi tijekom ove analize. Sve dostupne vrijednosti mogu se vidjeti pomoću gumba Zoom; ako, kao u našem primjeru, trebate uzeti u obzir sve vrijednosti faktora (a za spol u našem primjeru postoje samo dvije), možete kliknuti gumb Sve. Kada su stupci za obradu i kodovi faktora definirani, možete kliknuti gumb U redu i prijeći na brzu analizu rezultata: ANOVA rezultati 1, na karticu Brzo.

Riža. 5.4.3. Kartica Brzo u prozoru rezultata ANOVA

Gumb Svi efekti / grafikoni omogućuje vam da vidite usporedbu prosjeka dviju grupa. Iznad grafikona prikazan je broj stupnjeva slobode, kao i vrijednosti F i p za faktor koji se razmatra.

Riža. 5.4.4. Iscrtavanje rezultata ANOVA -e

Gumb Svi efekti omogućuje vam da dobijete tablicu ANOVA -e sličnu onoj gore opisanoj (s nekim značajnim razlikama).

Riža. 5.4.5. ANOVA stol (usporedite sa sličnim stolom dobivenim ručno)

Donji redak tablice prikazuje zbroj kvadrata, broj stupnjeva slobode i srednje kvadrate za pogrešku (unutargrupna varijabilnost). Jedan redak iznad - slični pokazatelji za faktor koji se proučava (u ovom slučaju znak spola), kao i kriterij Ž (omjer srednjih kvadrata učinka i srednjih kvadrata pogreške) i razina njegove statističke značajnosti. Činjenica da se učinak dotičnog faktora pokazao statistički značajnim pokazuje isticanje crvenom bojom.

Prvi redak sadrži podatke o indikatoru "Presretanje". Ovaj redak u tablici predstavlja zagonetku za korisnike koji su tek počeli koristiti Statisticu u njezinoj šestoj ili novijoj verziji. Vrijednost presretanja vjerojatno je povezana s dekompozicijom zbroja kvadrata svih vrijednosti podataka (tj. 1862 + 1692 ... = 360340). Vrijednost kriterija F naznačena za njega dobiva se dijeljenjem MS presretanje / MS pogreška = 353220 / 77,2 = 4575,389 i prirodno daje vrlo nisku vrijednost str ... Zanimljivo je da u Statistici-5 ta vrijednost uopće nije izračunata, a priručnici za korištenje kasnijih verzija paketa ni na koji način ne komentiraju njegovo uvođenje. Vjerojatno najbolja stvar koju biolog koji radi sa Statisticom-6 i kasnije može učiniti je jednostavno zanemariti redak Presretanje u tablici ANOVA.

5.5. ANOVA i studentski i ribarski testovi: što je bolje?

Kao što ste možda primijetili, podatke koje smo uspoređivali koristeći jednosmjernu analizu varijance mogli bismo istražiti i pomoću Studentovog i Fisherovog testa. Usporedimo ove dvije metode. Da biste to učinili, izračunajte razliku u visini između muškaraca i žena koristeći ove kriterije. Da bismo to učinili, morat ćemo krenuti putem Statistika / Osnovna statistika / t-test, neovisno, po skupinama. Naravno, ovisne varijable su varijable Growth, a varijabli Grouping varijabla Sex.

Riža. 5.5.1. Usporedba podataka obrađenih pomoću ANOVA -e prema Studentovom i Fisherovom testu

Kao što vidite, rezultat je isti kao i kod ANOVE. str = 0,041874 u oba slučaja, kao što je prikazano na Sl. 5 i prikazano na Sl. 5.5.2 (uvjerite se sami!).

Riža. 5.5.2. Rezultati analize (za detaljno objašnjenje tablice rezultata - u odlomku o Studentskom kriteriju)

Važno je naglasiti da iako je kriterij F s matematičkog gledišta u analiziranoj analizi prema Studentovom i Fisherovom kriteriju isti kao u ANOVA -i (i izražava omjer varijance), njegovo značenje u rezultatima analize predstavljenim u finalni stol je potpuno drugačiji. Prilikom usporedbe prema Studentovom i Fisherovom kriteriju, usporedba srednjih vrijednosti uzoraka provodi se prema Studentovom kriteriju, a usporedba njihove varijabilnosti provodi se prema Fisherovu kriteriju. U rezultatima analize ne prikazuje se sama varijansa, već njezin kvadratni korijen - standardna devijacija.

Za razliku od toga, u ANOVA-i se Fisherov test koristi za usporedbu sredina različitih uzoraka (kao što smo raspravljali, to se radi dijeljenjem zbroja kvadrata na dijelove i usporedbom srednjeg zbroja kvadrata koji odgovara varijabilnosti između i unutar grupe) .

Međutim, gornja razlika se odnosi na prikaz rezultata statističkog istraživanja, a ne na njegovu bit. Kao što je, na primjer, istaknuo Glantz (1999., str. 99.), usporedba skupina po Studentovom testu može se smatrati posebnim slučajem analize varijance za dva uzorka.

Dakle, usporedba uzoraka prema Studentovom i Fisherovom testu ima jednu važnu prednost u odnosu na analizu varijance: može usporediti uzorke u smislu njihove varijabilnosti. No, koristi analize varijance još su značajnije. To uključuje, na primjer, mogućnost usporedbe više uzoraka u isto vrijeme.

Razmatrana shema analize varijance razlikuje se ovisno o: a) prirodi obilježja po kojem je populacija podijeljena u skupine (uzorci;); b) broju obilježja po kojima se populacija dijeli u skupine (uzorci ); c) o načinu uzorkovanja.

Karakteristične vrijednosti. koji dijeli stanovništvo u skupine može predstavljati opću populaciju ili njoj blisku populaciju. U ovom slučaju, ANOVA shema odgovara gore opisanoj. Ako vrijednosti obilježja koje tvori različite skupine predstavljaju uzorak iz opće populacije, tada se mijenja formulacija nulte i alternativne hipoteze. Kao nulta hipoteza, pretpostavlja se da postoje razlike među skupinama, odnosno da grupna sredstva pokazuju neke varijacije. Kao alternativna hipoteza, predlaže se da nema oscilacija. Očito, s takvom formulacijom hipoteza, nema razloga za konkretiziranje rezultata usporedbe varijansi.

S povećanjem broja značajki grupiranja, na primjer, do 2, prvo se povećava broj nula i, prema tome, alternativnih hipoteza. U ovom slučaju prva nulta hipoteza govori o odsustvu razlika među sredstvima za grupe prve osobine grupiranja, druga nulta hipoteza govori o odsustvu razlika u sredstvima za grupe druge osobine grupiranja, i na kraju treća nulta hipoteza ukazuje na nepostojanje takozvanog interakcijskog učinka čimbenika (značajke grupiranja).

Učinak interakcije shvaća se kao takva promjena vrijednosti učinkovitog atributa koja se ne može objasniti ukupnim djelovanjem dvaju čimbenika. Za ispitivanje tri predložena para hipoteza potrebno je izračunati tri stvarne vrijednosti F-Fisherova kriterija, što pak sugerira sljedeću varijantu razlaganja ukupnog volumena varijacije

Disperzije potrebne za dobivanje F-kriterija dobivaju se na poznati način dijeljenjem volumena varijacije s brojem stupnjeva slobode.

Kao što znate, uzorci mogu biti ovisni i neovisni. Ako su uzorci ovisni, tada se u ukupnoj količini varijacije treba razlikovati tzv. Varijacija po ponavljanjima.
... Ako nije istaknuta, tada ta varijacija može značajno povećati unutargrupnu varijaciju (
), što može iskriviti rezultate analize varijance.

Pitanja za pregled

17-1.Koja je specifikacija rezultata analize varijance?

17-2. Kada se kriterij Q-Tukey koristi za konkretizaciju?

17-3.Koje su razlike prve, druge i tako dalje narudžbe?

17-4. Kako pronaći stvarnu vrijednost Tukeyjevog Q testa?

17-5. Koje se hipoteze postavljaju o svakoj razlici?

17-6 (prikaz, stručni). Što određuje tabličnu vrijednost Q-Tukey kriterija?

17-7. Koja je nulta hipoteza ako su razine atributa grupiranja uzorak?

17-8. Kako se razlaže ukupna količina varijacije kada su podaci grupirani prema dva kriterija?

17-9 (prikaz, stručni). U tom slučaju je istaknuta varijacija ponavljanja (
) ?

Sažetak

Razmatrani mehanizam specificiranja rezultata analize varijance omogućuje vam davanje potpunog izgleda. Prilikom korištenja Tukeyjevog Q testa treba obratiti pozornost na ograničenja. Materijal je također izložio osnovna načela klasifikacije modela ANOVA. Mora se naglasiti da su to samo načela. Detaljno proučavanje značajki svakog modela zahtijeva posebno dublje proučavanje.

Testni zadaci za predavanje

O kojim se statističkim karakteristikama radi hipoteza u analizi varijance?

U odnosu na dvije varijance

U odnosu na jedan prosjek

U odnosu na nekoliko prosjeka

U odnosu na jednu varijansu

Što je sadržaj alternativne hipoteze u analizi varijance?

Usporedne varijance nisu jednake jedna drugoj

Svi uspoređeni prosjeci nisu jednaki.

Najmanje dva opća prosjeka nisu jednaka

Međugrupna varijansa veća je od unutargrupne varijance

Koje su razine značajnosti koje se najčešće koriste u analizi varijance?

Ako je varijacija unutar grupe veća od varijacije među skupinama, treba li ANOVA nastaviti ili se odmah složiti s H0 ili s AN?

1. Trebate li nastaviti s potrebnim odstupanjima?

2. Treba se složiti s H0

3. Slažete se s ON

Ako se utvrdi da je unutargrupna varijanca jednaka međugrupnoj varijanci, što bi trebalo slijediti analizom varijance?

Slažete se s nultom hipotezom o jednakosti općih sredstava

Složite se s alternativnom hipotezom o prisutnosti barem para nejednakih sredstava

Koja bi varijansa uvijek trebala biti u brojniku pri izračunavanju F-Fisherovog testa?

Samo unutar grupe

U svakom slučaju, međugrupa

Međugrupa, ako je više unutar grupe

Kolika bi trebala biti stvarna vrijednost F-Fisherova kriterija?

Uvijek manje od 1

Uvijek veće od 1

Jednako ili veće od 1

O čemu ovisi tablična vrijednost F-Fisherova kriterija?

1. Od prihvaćene razine značaja

2. Iz broja stupnjeva slobode ukupne varijacije

3. Iz broja stupnjeva slobode međugrupnih varijacija

4. O broju stupnjeva slobode unutargrupnih varijacija

5. Iz vrijednosti stvarne vrijednosti kriterija F-Fisher?

Povećanje broja opažanja u svakoj skupini s jednakim varijacijama povećava vjerojatnost prihvaćanja ……

1 nulta hipoteza

2.Alternativna hipoteza

3. Ne utječe na prihvaćanje ništetnih i alternativnih hipoteza

Koja je svrha specificiranja rezultata analize varijance?

Pojasnite jesu li proračuni varijance ispravno izvedeni

Utvrdite koji od općih prosjeka su se međusobno jednaki

Pojasnite koji od općih prosjeka nisu međusobno jednaki

Je li istinita tvrdnja: "Prilikom specificiranja rezultata analize varijance pokazalo se da su svi opći prosjeci jednaki jedni drugima"

Može biti ispravno i pogrešno

Nije točno, to može biti posljedica pogrešaka u izračunima

Je li moguće, specificirajući analizu varijance, doći do zaključka da svi opći prosjeci nisu međusobno jednaki?

1. Moguće je

2. Moguće u iznimnim slučajevima

3. To je u načelu nemoguće.

4. Moguće samo ako pogriješite u izračunima

Ako je nultu hipotezu prihvatio F-Fisherov kriterij, je li potrebno specificirati analizu varijance?

1. Obavezno

2.Nije potrebno

3. Po nahođenju analizatora tvrtke ANOVA

U kojem se slučaju Tukeyjev test koristi za konkretiziranje rezultata analize varijance?

1. Ako je broj opažanja po skupinama (uzorcima) isti

2. Ako je broj opažanja po skupinama (uzorcima) različit

3. Ako postoje uzorci s jednakim i nejednakim brojevima

lijenost

Što je NDS pri specificiranju rezultata analize varijance na temelju Tukeyjevog testa?

1. Izračunajte prosječnu pogrešku prema stvarnoj vrijednosti kriterija

2. Umnožak prosječne pogreške prema tabličnoj vrijednosti kriterija

3. Omjer svake razlike između uzorka znači

prosječna greška

4. Razlika između uzorka

Ako je uzorak podijeljen u skupine prema 2 karakteristike, koliko izvora treba barem podijeliti na ukupnu varijaciju karakteristike?

Ako su opažanja po uzorcima (skupinama) ovisna, na koliko izvora treba podijeliti ukupnu varijaciju (atribut grupiranja jedan)?

Koji je izvor (uzrok) međugrupnih varijacija?

Igra na sreću

Kombinirano djelovanje igre na sreću i faktora

Faktor (i) djelovanje

Saznajte nakon analize varijance

Koji je izvor (uzrok) unutargrupnih varijacija?

1 igra na sreću

2.Kombinirano djelovanje igre na sreću i faktora

3. Djelovanje faktora

4. To će se saznati nakon analize varijance

Koja se metoda pretvaranja izvornih podataka koristi ako su karakteristične vrijednosti izražene u razlomcima?

Logaritam

Vađenje korijena

Phi transformacija

Predavanje 8 Korelacija

bilješka

Najvažnija metoda za proučavanje odnosa između znakova je korelacijska metoda. Ovo predavanje otkriva sadržaj ove metode, pristupe analitičkom izrazu ove veze. Posebna se pozornost posvećuje takvim specifičnim pokazateljima kao što su pokazatelji tijesnosti komunikacije

Ključne riječi

Poveznica. Metoda najmanjeg kvadrata. Regresijski koeficijent. Koeficijenti determinacije i korelacije.

Riješena pitanja

Funkcionalni i korelacijski odnos

Faze izgradnje korelacijske jednadžbe komunikacije. Tumačenje koeficijenata jednadžbe

Pokazatelji nepropusnosti

Vrednovanje odabranih komunikacijskih pokazatelja

Modularna jedinica 1 Bit korelacije. Faze konstruiranja korelacijske jednadžbe komunikacije, tumačenje koeficijenata jednadžbe.

Svrha i ciljevi proučavanja modularne jedinice 1 sastoje se u razumijevanju značajki korelacije. ovladavanje algoritmom za konstruiranje jednadžbe komunikacije, razumijevanje sadržaja koeficijenata jednadžbe.

Bit korelacije

U prirodnim i društvenim pojavama postoje dvije vrste veza - funkcionalna veza i korelacijska veza. U funkcionalnoj vezi svaka vrijednost argumenta odgovara strogo definiranim (jednoj ili više) vrijednosti funkcije. Primjer funkcionalnog odnosa je odnos između opsega i radijusa, koji je izražen jednadžbom
... Svaka vrijednost radijusa r odgovara jednoj vrijednosti opsega L . U slučaju korelacije, svaka vrijednost atributa faktora odgovara nekoliko ne sasvim određenih vrijednosti efektivnog atributa. Primjeri korelacija su odnos između težine osobe (efektivna osobina) i njene visine (faktorske osobine), odnos između količine primijenjenog gnojiva i prinosa, između cijene i količine ponuđenog proizvoda. Izvor nastanka korelacije je činjenica da u pravilu u stvarnom životu vrijednost djelotvornog atributa ovisi o mnogim čimbenicima, uključujući i one koji imaju slučajnu prirodu njihove promjene. Na primjer, ista težina osobe ovisi o dobi, spolu, prehrani, zanimanju i mnogim drugim čimbenicima. No, istodobno je očito da je rast općenito odlučujući faktor. S obzirom na te okolnosti, korelaciju treba definirati kao nepotpun odnos, koji se može uspostaviti i procijeniti samo ako u prosjeku postoji veliki broj opažanja.

1.2 Faze izgradnje korelacijske jednadžbe komunikacije.

Poput funkcionalnog odnosa, korelacija je izražena jednadžbom odnosa. Da biste ga izgradili, morate dosljedno prolaziti sljedeće korake (faze).

Prvo, treba razumjeti uzročno-posljedične veze, saznati podređenost znakova, odnosno koji su od njih razlozi (faktorski znakovi), a koje posljedice (učinkoviti znakovi). Uzročne veze među obilježjima utvrđuje teorija predmeta gdje se koristi metoda korelacije. Na primjer, znanost o "ljudskoj anatomiji" omogućuje vam da kažete koji je izvor odnosa između težine i visine, koji je od ovih znakova faktor, čiji rezultat, znanost "ekonomija" otkriva logiku odnosa između cijena i ponuda, utvrđuje što je i u kojoj fazi uzrok, a što posljedica ... Bez takvog prethodnog teorijskog opravdanja, tumačenje rezultata dobivenih u budućnosti teško je, a ponekad može dovesti do apsurdnih zaključaka.

Utvrdivši prisutnost uzročno-posljedičnih odnosa, te bi odnose trebalo formalizirati, odnosno izraziti pomoću komunikacijske jednadžbe, pri čemu se najprije bira tip jednadžbe. Za odabir vrste jednadžbe mogu se preporučiti brojne tehnike. Možete se obratiti teoriji predmeta gdje se koristi korelacijska metoda, na primjer, znanost o "agrokemiji" možda je već dobila odgovor na pitanje koja bi jednadžba trebala izraziti odnos: prinos - gnojiva. Ako nema takvog odgovora, tada za odabir jednadžbe trebate upotrijebiti neke empirijske podatke, primjereno ih obrađujući. Odmah treba reći da je odabirom vrste jednadžbe na temelju empirijskih podataka potrebno jasno shvatiti da se ova vrsta jednadžbe može koristiti za opis odnosa korištenih podataka. Glavna tehnika za obradu ovih podataka je konstrukcija grafikona, kada se vrijednosti atributa faktora iscrtavaju na osi apscisa, a moguće vrijednosti efektivnog atributa iscrtavaju se na osi ordinata. Budući da po definiciji ista vrijednost atributa faktora odgovara skupu nedefiniranih vrijednosti efektivnog atributa, kao rezultat gore navedenih radnji dobit ćemo određeni skup točaka, koji se naziva korelacijskim poljem. Opći prikaz korelacijskog polja omogućuje u brojnim slučajevima pretpostavku o mogućem obliku jednadžbe .. Uz suvremeni razvoj računalne tehnologije, jedna od glavnih metoda odabira jednadžbe je nabrajanje različitih vrsta jednadžbi , dok je najbolja jednadžba ona koja daje najveći koeficijent determinacije, govor o kojem će biti riječi u nastavku. Prije nego što nastavimo s izračunima, potrebno je provjeriti u kojoj mjeri empirijski podaci korišteni za izradu jednadžbe zadovoljavaju određene zahtjeve. Zahtjevi se odnose na faktorske karakteristike i skup podataka. Znakovi faktora, ako ih ima nekoliko, trebali bi biti neovisni jedan o drugom. Što se tiče ukupnosti, ona mora biti, prvo, homogena

(koncept homogenosti razmatrao se ranije), i drugo, prilično velik. Svaka faktorska značajka trebala bi obuhvatiti najmanje 8-10 opažanja.

Nakon odabira jednadžbe, sljedeći korak je izračun koeficijenata jednadžbe. Koeficijenti jednadžbe najčešće se izračunavaju metodom najmanjih kvadrata. S gledišta korelacije, uporaba metode najmanjih kvadrata sastoji se u dobivanju takvih koeficijenata jednadžbe tako da
= min, odnosno da je zbroj kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti efektivnog pokazatelja ( ) od izračunatih prema jednadžbi ( ) bila je minimalna vrijednost. Taj se zahtjev ostvaruje izgradnjom i rješavanjem dobro poznatog sustava takozvanih normalnih jednadžbi. Ako se kao jednadžba korelacije između y i x odabire se jednadžba ravne crte
, gdje će sustav normalnih jednadžbi, kao što znate, biti sljedeći:

Rješavanje ovog sustava s obzirom na a i b , dobivamo potrebne vrijednosti koeficijenata. Ispravnost izračuna koeficijenata provjerava se jednakošću

Za što se koristi analiza varijance? Svrha analize varijance je proučavanje prisutnosti ili odsutnosti značajnog učinka bilo kojeg kvalitativnog ili kvantitativnog čimbenika na promjene u ispitivanom učinkovitom svojstvu. U tu je svrhu faktor, koji vjerojatno ima ili nema značajan utjecaj, podijeljen u stupnjeve gradacije (drugim riječima, skupine) i utvrđuje se je li utjecaj faktora isti proučavanjem značaja između sredina u skupovima podataka koji odgovaraju na faktorske gradacije. Primjeri: istražuje se ovisnost dobiti poduzeća o vrsti upotrijebljenih sirovina (tada su stupnjevi gradacije vrste sirovina), ovisnost troškova proizvodnje jedinice proizvodnje o veličini odjeljenja poduzeća (tada stupnjevi gradacije su karakteristike veličine odjeljenja: veliki, srednji, mali).

Minimalni broj razreda ocjenjivanja (grupa) je dva. Maturski razredi mogu biti kvalitativni ili kvantitativni.

Zašto se analiza varijance naziva analiza varijance? Analiza varijance ispituje omjer dviju varijansi. Varijansa je, kao što znamo, karakteristika disperzije podataka oko srednje vrijednosti. Prva je varijansa objašnjena utjecajem faktora, koji karakterizira disperziju vrijednosti između gradacija faktora (skupina) oko prosjeka svih podataka. Druga je neobjašnjiva varijacija, koja karakterizira rasipanje podataka unutar gradacija (grupa) oko sredstava samih grupa. Prva varijansa može se nazvati međugrupnom, a druga unutargrupnom. Omjer ovih varijacija naziva se stvarni Fisherov omjer i uspoređuje se s kritičnom vrijednošću Fisherova omjera. Ako je stvarni Fisherov omjer veći od kritičnog, tada se prosječne ocjene gradacije međusobno razlikuju, a faktor koji se proučava značajno utječe na promjenu podataka. Ako su manji, onda se srednje stupnjevi gradacije međusobno ne razlikuju i faktor nema značajan utjecaj.

Kako su hipoteze formulirane, prihvaćene i odbačene u ANOVA -i? U analizi varijance određuje se specifična težina ukupnog utjecaja jednog ili više čimbenika. Značaj utjecaja faktora utvrđuje se provjerom hipoteza:

• H0 : μ 1 = μ 2 = ... = μ a, gdje a- broj razreda gradacije - svi razredi imaju jednu srednju vrijednost,
• H1 : Ne sve μ i jednaka - nemaju sve klase gradacije istu srednju vrijednost.

Ako utjecaj faktora nije značajan, onda je i razlika između klasa gradacije ovog faktora također beznačajna, a tijekom analize varijance nulta hipoteza H0 nije odbijen. Ako je utjecaj faktora značajan, tada je nulta hipoteza H0 odbijen: nemaju svi razredi gradacije istu srednju vrijednost, odnosno, među mogućim razlikama među razredima gradacije, jedna ili više su značajne.

Još neki koncepti analize varijance. Statistički kompleks u ANOVA -i tablica je empirijskih podataka. Ako je u svim razredima gradacija broj varijanti isti, tada se statistički kompleks naziva homogen (homogen), ako je broj varijanti različit - heterogen (heterogen).

Ovisno o broju evaluiranih faktora, razlikuju se jednosmjerna, dvosmjerna i multivarijantna analiza varijance.

Jednosmjerna analiza varijance: bit metode, formule, primjeri

Bit metode, formule

na temelju činjenice da se zbroj kvadrata odstupanja statističkog kompleksa može podijeliti na komponente:

SS = SS a + SS e,

SS

SSa a zbroj kvadrata odstupanja,

SSe- neobjašnjiv zbroj kvadrata odstupanja ili zbroj kvadrata odstupanja greške.

Ako kroz ni odrediti broj opcija u svakom razredu gradacije (grupe) i a je ukupan broj stupnjevanja faktora (grupa), tada je ukupan broj opažanja i mogu se dobiti sljedeće formule:

ukupan broj kvadrata odstupanja: ,

pripisuje faktoru a zbroj kvadrata odstupanja: ,

neobjašnjiv zbroj kvadrata odstupanja ili zbroj kvadrata odstupanja pogreške: ,

- ukupni prosjek opažanja,

(skupina).

Osim,

gdje je varijansa gradacije faktora (grupe).

Za provođenje jednosmjerne analize varijance za podatke statističkog kompleksa potrebno je pronaći stvarni Fisherov omjer - omjer varijance objašnjen utjecajem faktora (međugrupa) i neobjašnjive varijance (unutar skupine) :

te ga usporediti s Fisherovom kritičnom vrijednošću.

Odstupanja se izračunavaju na sljedeći način:

Varijansa je objasnila,

Neobjašnjiva varijacija

va = a − 1 - broj stupnjeva slobode objašnjene varijance,

ve = n − a - broj stupnjeva slobode neobjašnjive varijance,

v = n

Kritična vrijednost Fisherova omjera s određenim vrijednostima razine značajnosti i stupnjeva slobode može se pronaći u statističkim tablicama ili izračunati pomoću MS Excel funkcije F. OBR (donja slika, za povećanje, kliknite na nju pomoću lijeva tipka miša).

Za funkciju je potrebno unijeti sljedeće podatke:

Vjerojatnost - razina značaja α ,

Stupnjevi_slobode1 je broj stupnjeva slobode objašnjene varijance va,

Stupnjevi_slobode2 - broj stupnjeva slobode neobjašnjive varijance ve.

Ako je stvarna vrijednost Fisherova omjera veća od kritične (), tada se nulta hipoteza odbacuje sa razinom značajnosti α ... To znači da faktor značajno utječe na promjenu podataka, a podaci ovise o faktoru s vjerojatnošću P = 1 − α .

Ako je stvarna vrijednost Fisherova omjera manja od kritične (), tada se nulta hipoteza ne može odbaciti s razinom značajnosti α ... To znači da faktor vjerojatno ne utječe značajno na podatke P = 1 − α .

Jednosmjerna analiza varijance: primjeri

Primjer 1. Potrebno je saznati utječe li vrsta upotrijebljenih sirovina na dobit poduzeća. U šest razreda gradacije (skupine) faktora (1. vrsta, 2. vrsta itd.) Prikupljaju se podaci o dobiti od proizvodnje 1000 jedinica proizvoda u milijunima rubalja tijekom 4 godine.

a= 6 i u svakom razredu (grupi) ni = 4 promatranje. Ukupan broj opažanja n = 24 .

Broj stupnjeva slobode:

va = a − 1 = 6 − 1 = 5 ,

ve = n − a = 24 − 6 = 18 ,

v = n − 1 = 24 − 1 = 23 .

Izračunajmo varijance:

.

.

Budući da je Fischerov stvarni stav kritičniji:

sa razinom značaja α = 0,05, zaključujemo da se dobit poduzeća, ovisno o vrsti sirovina koje se koriste u proizvodnji, značajno razlikuje.

Ili, što je isto, odbacujemo glavnu hipotezu o jednakosti sredstava u svim razredima faktorske gradacije (skupine).

U primjeru koji je upravo razmotren, svaka klasa razreda faktora imala je isti broj opcija. No, kao što je spomenuto u uvodu, broj opcija može biti različit. A to nikako ne komplicira postupak ANOVA -e. Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 2. Potrebno je utvrditi postoji li ovisnost troškova proizvodnje jedinice proizvodnje o veličini odjeljenja poduzeća. Faktor (veličina jedinice) podijeljen je u tri razreda (grupe): mali, srednji, veliki. Opći podaci koji odgovaraju tim skupinama o troškovima proizvodnje jedinice iste vrste proizvoda za određeno razdoblje.

Broj razreda faktorske gradacije (grupe) a= 3, broj opažanja u razredima (grupama) n1 = 4 , n2 = 7 , n3 = 6 ... Ukupan broj opažanja n = 17 .

Broj stupnjeva slobode:

va = a − 1 = 2 ,

ve = n − a = 17 − 3 = 14 ,

v = n − 1 = 16 .

Izračunajmo zbroj kvadrata odstupanja:

Izračunajmo varijance:

,

.

Izračunajmo stvarni Fisherov omjer:

.

Fischerov kritični omjer:

Budući da je stvarna vrijednost Fisherova omjera manja od kritične :, zaključujemo da veličina poslovne jedinice ne utječe značajno na troškove proizvodnje.

Ili, što je isto, s vjerojatnošću od 95%, prihvaćamo glavnu hipotezu da se prosječni troškovi proizvodnje jedinice istog proizvoda u malim, srednjim i velikim odjelima poduzeća ne razlikuju značajno.

Jednosmjerna ANOVA u MS Excelu

Jednosmjerna analiza varijance može se izvesti pomoću postupka MS Excel Jednosmjerna ANOVA... Koristimo ga za analizu podataka o odnosu vrste sirovina koje se koriste i dobiti poduzeća iz primjera 1.

Usluga / Analiza podataka i odaberite alat za analizu Jednosmjerna ANOVA.

U prozoru Ulazni interval označavamo područje podataka (u našem slučaju to je $ A $ 2: $ E $ 7). Pokazujemo kako je faktor grupiran - po stupcima ili po redovima (u našem slučaju po redovima). Ako prvi stupac sadrži nazive klasa faktora, označite okvir Oznake prvog stupca... U prozoru Alfa označavaju razinu značaja α = 0,05 .

Druga tablica - Analiza varijance - sadrži podatke o vrijednostima faktora između grupa i unutar grupa i zbrojeve. To su zbroj kvadratnih odstupanja (SS), broj stupnjeva slobode (df), varijance (MS). Zadnja tri stupca sadrže stvarnu vrijednost Fisherova omjera (F), p-razine (P-vrijednost) i kritičnu vrijednost Fisherova omjera (F krit).

Budući da je stvarna vrijednost Fischerova omjera (6,89) veća od kritične vrijednosti (2,77), s vjerojatnošću od 95% odbacujemo nultu hipotezu o jednakosti prosječne produktivnosti pri korištenju svih vrsta sirovina, tj. zaključujemo da vrsta upotrijebljenih sirovina utječe na profitna poduzeća.

Dvosmjerna analiza varijance bez ponavljanja: bit metode, formule, primjer

Dvosmjerna analiza varijance koristi se za provjeru moguće ovisnosti učinkovite osobine o dva čimbenika - A i B... Zatim a- broj stupnjevanja faktora A i b- broj stupnjevanja faktora B... U statističkom kompleksu zbroj kvadrata reziduala podijeljen je na tri komponente:

SS = SS a + SS b + SS e,

- ukupan zbroj kvadrata odstupanja,

- objašnjeno utjecajem faktora A zbroj kvadrata odstupanja,

- objašnjeno utjecajem faktora B zbroj kvadrata odstupanja,

- ukupni prosjek opažanja,

Prosjek opažanja u svakoj gradaciji faktora A ,

B .

A ,

Disperzija objašnjena utjecajem faktora B ,

va = a − 1 A ,

vb = b − 1 - broj stupnjeva slobode disperzije, objašnjen utjecajem faktora B ,

ve = ( a − 1)(b − 1)

v = ab- 1 - ukupan broj stupnjeva slobode.

Ako su čimbenici neovisni jedan o drugome, tada se postavljaju dvije nulte hipoteze i odgovarajuće alternativne hipoteze kako bi se utvrdila važnost čimbenika:

za faktor A :

H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,

H1 : Ne sve μ iA su jednaki;

za faktor B :

H0 : μ 1B = μ 2B = ... = μ aB,

H1 : Ne sve μ iB su jednaki.

A

Za utvrđivanje utjecaja nekog faktora B, mora se usporediti Fischerov stvarni stav s Fischerovim kritičkim stavom.

α P = 1 − α .

α P = 1 − α .

Dvosmjerna analiza varijance bez ponavljanja: primjer

Primjer 3. Podaci se daju o prosječnoj potrošnji goriva na 100 kilometara u litrama, ovisno o volumenu motora i vrsti goriva.

Potrebno je provjeriti ovisi li potrošnja goriva o veličini motora i vrsti goriva.

Riješenje. Za faktor A broj razreda ocjenjivanja a= 3, za faktor B broj razreda ocjenjivanja b = 3 .

Izračunavamo zbroj kvadrata odstupanja:

,

,

,

.

Odgovarajuće varijacije:

,

,

.

A ... Budući da je stvarni Fischerov omjer manji od kritičnog, prihvaćamo hipotezu da radna zapremina motora ne utječe na potrošnju goriva sa 95% vjerojatnosti. Međutim, ako odaberemo razinu značajnosti α = 0,1, tada stvarna vrijednost Fisherovog omjera, a zatim s vjerojatnosti od 95% možemo pretpostaviti da radna zapremina motora utječe na potrošnju goriva.

Fischerov stvarni omjer faktora B , kritična vrijednost Fisherova omjera: ... Budući da je stvarni Fischerov omjer veći od kritične vrijednosti Fisherova omjera, s 95% vjerojatnosti pretpostavljamo da vrsta goriva utječe na njegovu potrošnju.

Dvosmjerna analiza varijance bez ponavljanja u MS Excelu

Dvosmjerna analiza varijance bez ponavljanja može se izvesti pomoću postupka MS Excel. Koristimo ga za analizu podataka o odnosu vrste goriva i njegove potrošnje iz primjera 3.

U izborniku MS Excel izvršite naredbu Usluga / Analiza podataka i odaberite alat za analizu Dvosmjerna analiza varijance bez ponavljanja.

Podatke ispunjavamo na isti način kao u slučaju jednosmjerne analize varijance.

Kao rezultat postupka, prikazuju se dvije tablice. Prva tablica je Ukupni iznosi. Sadrži podatke o svim razredima faktorske gradacije: broj opažanja, ukupnu vrijednost, srednju vrijednost i varijancu.

Druga tablica - Analiza varijance - sadrži podatke o izvorima varijacija: raspršenost među redovima, raspršenost između stupaca, raspršenje pogrešaka, ukupno raspršenje, zbroj kvadratnih odstupanja (SS), broj stupnjeva slobode (df), varijansa (MS ). Zadnja tri stupca sadrže stvarnu vrijednost Fisherova omjera (F), p-razine (P-vrijednost) i kritičnu vrijednost Fisherovog omjera (F krit).

Faktor A(radna zapremina motora) grupirana je u redove. Budući da je stvarni Fischerov omjer od 5,28 manji od kritičnih 6,94, s 95% vjerojatnosti pretpostavljamo da potrošnja goriva ne ovisi o veličini motora.

Faktor B(vrsta goriva) grupirana je u stupce. Stvarni Fischerov omjer od 13,56 veći je od kritičnih 6,94, stoga s 95% vjerojatnosti pretpostavljamo da potrošnja goriva ovisi o njegovoj vrsti.

Dvosmjerna analiza varijance s ponavljanjima: bit metode, formule, primjer

Dvosmjerna analiza varijance s ponavljanjima koristi se kako bi se provjerila ne samo moguća ovisnost učinkovite osobine o dva čimbenika - A i B, ali i moguću interakciju čimbenika A i B... Zatim a- broj stupnjevanja faktora A i b- broj stupnjevanja faktora B, r- broj ponavljanja. U statističkom kompleksu zbroj kvadrata reziduala podijeljen je na četiri komponente:

SS = SS a + SS b + SS ab + SS e,

- ukupan zbroj kvadrata odstupanja,

- objašnjeno utjecajem faktora A zbroj kvadrata odstupanja,

- objašnjeno utjecajem faktora B zbroj kvadrata odstupanja,

- objašnjeno utjecajem međudjelovanja čimbenika A i B zbroj kvadrata odstupanja,

- neobjašnjiv zbroj kvadrata odstupanja ili zbroj kvadrata odstupanja greške,

- ukupni prosjek opažanja,

- prosjek opažanja u svakoj gradaciji faktora A ,

- prosječan broj opažanja u svakoj gradaciji faktora B ,

Prosječan broj opažanja u svakoj kombinaciji stupnjevanja faktora A i B ,

n = abr- ukupan broj opažanja.

Odstupanja se izračunavaju na sljedeći način:

Disperzija objašnjena utjecajem faktora A ,

Disperzija objašnjena utjecajem faktora B ,

- varijanca objašnjena međudjelovanjem faktora A i B ,

- neobjašnjiva varijansa ili varijacija pogreške,

va = a − 1 - broj stupnjeva slobode disperzije, objašnjen utjecajem faktora A ,

vb = b − 1 - broj stupnjeva slobode disperzije, objašnjen utjecajem faktora B ,

vab = ( a − 1)(b − 1) - broj stupnjeva slobode varijance objašnjen interakcijom faktora A i B ,

ve = ab(r − 1) - broj stupnjeva slobode neobjašnjive varijance ili varijance pogreške,

v = abr- 1 - ukupan broj stupnjeva slobode.

Ako su čimbenici neovisni jedan o drugome, postavljaju se tri nulte hipoteze i odgovarajuće alternativne hipoteze kako bi se utvrdila važnost čimbenika:

za faktor A :

H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,

H1 : Ne sve μ iA su jednaki;

za faktor B :

Utvrditi utjecaj međudjelovanja čimbenika A i B, mora se usporediti Fischerov stvarni stav s Fischerovim kritičkim stavom.

Ako je stvarni Fisherov omjer veći od kritičnog Fisherovog omjera, nultu hipotezu treba odbaciti s razinom značajnosti α ... To znači da faktor značajno utječe na podatke: podaci ovise o faktoru s vjerojatnošću P = 1 − α .

Ako je stvarni Fischerov omjer manji od kritičnog Fisherovog omjera, nultu hipotezu treba prihvatiti s razinom značajnosti α ... To znači da faktor vjerojatno ne utječe značajno na podatke P = 1 − α .

Dvosmjerno ponavljanje ANOVA: primjer

o međudjelovanju čimbenika A i B: Fischerov stvarni stav manje je nego kritičan, stoga interakcija između oglasne kampanje i određene trgovine nije bitna.

Dvosmjerna analiza varijance s ponavljanjima u MS Excelu

Dvosmjerna analiza varijance s ponavljanjima može se izvesti pomoću postupka MS Excel. Koristimo ga za analizu podataka o odnosu prihoda od trgovine i odabira određene trgovine i oglasne kampanje iz primjera 4.

U izborniku MS Excel izvršite naredbu Usluga / Analiza podataka i odaberite alat za analizu Dvosmjerna analiza varijance s ponavljanjima.

Podatke popunjavamo na isti način kao u slučaju dvosmjerne ANOVE bez ponavljanja, uz dodatak da se broj ponavljanja mora unijeti u broj redaka za prozor za odabir.

Kao rezultat postupka, prikazuju se dvije tablice. Prva tablica sastoji se od tri dijela: prva dva odgovaraju svakoj od dvije oglasne kampanje, treći sadrži podatke o obje oglasne kampanje. Stupci tablice sadrže informacije o svim stupnjevima gradacije drugog faktora - spremišta: broj opažanja, ukupnu vrijednost, prosječnu vrijednost i varijansu.

Druga tablica sadrži podatke o zbroju kvadratnih odstupanja (SS), broju stupnjeva slobode (df), varijanci (MS), stvarnoj vrijednosti Fisherova omjera (F), p-razini (P-vrijednost) i kritična vrijednost Fisherovog omjera (F krit) za različite izvore varijacije: dva faktora navedena u redovima (uzorak) i stupcima, međudjelovanje čimbenika, pogreške (unutar) i ukupni pokazatelji (ukupno).

Za faktor B Fischerov stvarni omjer veći je od kritičnog, pa se s vjerojatnosti od 95% prihodi značajno razlikuju među trgovinama.

Za međudjelovanje čimbenika A i B Fischerov je stvarni stav manje nego kritičan, stoga, s 95% vjerojatnosti, interakcija između oglasne kampanje i određene trgovine nije značajna.

Sve povezane teme "Matematička statistika"

ANOVA(s latinskog Dispersio - disperzija / na engleskom Analysis of Variance - ANOVA) koristi se za proučavanje utjecaja jedne ili više kvalitativnih varijabli (čimbenika) na jednu ovisnu kvantitativnu varijablu (odgovor).

Analiza varijance temelji se na pretpostavci da se neke varijable mogu smatrati uzrocima (čimbenici, neovisne varijable), a druge posljedicama (ovisne varijable). Nezavisne varijable ponekad se nazivaju prilagodljivim faktorima upravo zato što u pokusu istraživač ima mogućnost mijenjati ih i analizirati rezultirajući rezultat.

Glavna svrha analiza varijance(ANOVA) proučava značaj razlika među sredstvima uspoređujući (analizirajući) varijance. Dijeljenjem ukupne varijance na više izvora moguće je usporediti varijansu uzrokovanu razlikom među skupinama s varijansom uzrokovanom varijabilnošću unutar grupe. Ako je nulta hipoteza točna (o jednakosti srednjih vrijednosti u nekoliko skupina promatranja odabranih iz opće populacije), procjena varijance povezane s varijabilnošću unutar grupe trebala bi biti bliska procjeni varijance među skupinama. Ako jednostavno uspoređujete sredstva u dva uzorka, analiza varijance će dati isti rezultat kao i uobičajeni t-test za neovisne uzorke (ako se usporede dvije neovisne skupine objekata ili opažanja) ili t-test za ovisne uzorke (ako dva varijable se uspoređuju na istom i istom skupu objekata ili opažanja).

Bit analize varijance je razbiti ukupnu varijansu ispitivane osobine na pojedinačne komponente, zbog utjecaja specifičnih čimbenika, te ispitati hipoteze o značaju utjecaja ovih čimbenika na proučavanu osobinu. Uspoređujući komponente varijance međusobno pomoću Fisherovog F-testa, moguće je utvrditi koliki je udio ukupne varijabilnosti efektivnog svojstva posljedica djelovanja reguliranih faktora.

Polazni materijal za analizu varijance su podaci istraživanja tri ili više uzoraka: koji mogu biti jednaki ili nejednaki u broju, povezani i nekoherentni. Analizom varijance može se analizirati broj otkrivenih kontroliranih čimbenika univarijantan(u ovom slučaju se proučava utjecaj jednog faktora na rezultate pokusa), dvofaktorski(pri proučavanju utjecaja dvaju čimbenika) i višefaktorski(omogućuje vam da procijenite ne samo utjecaj svakog od čimbenika zasebno, već i njihovu interakciju).

ANOVA spada u skupinu parametarskih metoda pa se stoga treba koristiti samo ako je dokazano da je raspodjela normalna.

ANOVA se koristi kada se ovisna varijabla mjeri u omjerima, intervalima ili redoslijedu, a utjecajne varijable su ne-numeričke prirode (ljestvica imenovanja).

Primjeri zadataka

U problemima koji se rješavaju analizom varijance postoji odgovor numeričke prirode na koji utječe nekoliko varijabli nominalne prirode. Na primjer, nekoliko vrsta ishrane za hranjenje goveda ili dva načina njihovog držanja itd.

Primjer 1: Nekoliko ljekarničkih kioska radilo je na tri različita mjesta tijekom tjedna. U budućnosti možemo ostaviti samo jedno. Potrebno je utvrditi postoji li statistički značajna razlika između obujma prodaje lijekova na kioscima. Ako je tako, odabrat ćemo kiosk s najvećim prosječnim dnevnim volumenom prodaje. Ako se razlika u obujmu prodaje pokaže statistički beznačajnom, tada bi drugi pokazatelji trebali biti temelj za odabir kioska.

Primjer 2: Usporedba kontrasta grupnih sredstava. Sedam političkih pristranosti rangirano je od izrazito liberalnih do krajnje konzervativnih, a linearni kontrast koristi se za provjeru postoji li trend koji nije nula prema povećanju grupnih prosjeka - odnosno, postoji li značajno linearno povećanje srednje dobi gledajući skupine raspoređene u smjer od liberalnog do konzervativnog.

Primjer 3: Dvosmjerna analiza varijance. Na broj prodaje proizvoda, osim veličine trgovine, često utječe i položaj polica s proizvodom. Ovaj primjer sadrži tjedne podatke o prodaji za četiri police i tri veličine trgovina. Rezultati analize pokazuju da oba faktora - položaj polica s proizvodom i veličina trgovine - utječu na broj prodaje, ali njihova interakcija nije značajna.

Primjer 4: Jednodimenzionalna ANOVA: Randomizirani dizajn u punom bloku s dva tretmana. Istražuje se učinak svih mogućih kombinacija tri masti i tri ripera na kruh. Četiri uzorka brašna iz četiri različita izvora poslužila su kao blokirajući čimbenici. Potrebno je utvrditi značaj interakcije razrješivanja masti. Nakon toga odredite različite mogućnosti odabira kontrasta koji omogućuju da se sazna koje se kombinacije faktorskih razina razlikuju.

Primjer 5: Hijerarhijski (ugniježđeni) model plana sa mješovitim efektima. Proučava se učinak četiri nasumično odabrane glave ugrađene u stroj na deformaciju proizvedenih držača staklene katode. (Glave su ugrađene u stroj tako da se ista glava ne može koristiti na različitim strojevima). Učinak glave tretira se kao slučajan faktor. ANOVA statistika pokazuje da nema značajnih razlika između strojeva, ali postoje naznake da se glave mogu razlikovati. Razlika između svih strojeva nije značajna, ali za dva od njih razlika između tipova glava je značajna.

Primjer 6: Jednodimenzionalna analiza ponovljenih mjerenja pomoću split split plana. Ovaj je eksperiment proveden kako bi se utvrdio učinak ocjene anksioznosti pojedinca na polaganje ispita u četiri uzastopna pokušaja. Podaci su organizirani tako da se mogu promatrati kao skupina podskupova cijelog skupa podataka („cijela ploha“). Učinak tjeskobe bio je beznačajan, dok je učinak pokušaja bio značajan.

Popis metoda

• Modeli faktorskih eksperimenata. Primjeri: čimbenici koji utječu na uspjeh rješavanja matematičkih problema; čimbenici koji utječu na obujam prodaje.

Podaci se sastoje od nekoliko serija opažanja (obrada), koja se smatraju realizacijama neovisnih uzoraka. Početna hipoteza kaže da nema razlike u tretmanima, tj. pretpostavlja se da se sva opažanja mogu smatrati jednim uzorkom iz opće populacije:

• Jednofaktorski parametarski model: Scheffeova metoda.
• Jednofaktorski neparametrijski model [Lagutin MB, 237]: Kruskal-Wallisov kriterij [Hollender M., Wolf DA, 131], Jonkhijerov kriterij [Lagutin MB, 245].

• Opći slučaj modela s konstantnim faktorima, Cochranov teorem [Afifi A., Eisen S., 234].

Podaci su duplicirana zapažanja:

• Dvofaktorski neparametrijski model: Friedmanov kriterij [Lapach, 203], Pageov kriterij [Lagutin MB, 263]. Primjeri: usporedba učinkovitosti proizvodnih metoda, poljoprivrednih tehnika.
• Dvofaktorski neparametarski model za nepotpune podatke

Povijest

Odakle naziv analiza varijance? Možda se čini čudnim da se postupak usporedbe sredstava naziva analiza varijance. Zapravo, to je zbog činjenice da prilikom ispitivanja statističke značajnosti razlike između sredina dviju (ili više) skupina zapravo uspoređujemo (analiziramo) varijance uzorka. Predlaže se temeljni koncept analize varijance Fisher godine 1920. Možda bi prirodniji izraz bio zbroj kvadrata ili analiza varijacija, ali tradicionalno se koristi izraz ANOVA. U početku je ANOVA razvijena za obradu podataka dobivenih iz posebno osmišljenih pokusa i smatrala se jedinom metodom koja ispravno istražuje uzročne veze. Metoda je korištena za procjenu pokusa u biljnoj proizvodnji. Kasnije je opći znanstveni značaj analize varijance za eksperimente u psihologiji, pedagogiji, medicini itd.

Književnost

1. Scheffe G. Analiza varijance. - M., 1980. godina.
2. Ahrens H. Leuter Yu. Multivarijantna analiza varijance.
3. A. I. Kobzar Primijenjena matematička statistika. - M.: Fizmatlit, 2006. (monografija).
4. Lapach S.N., Chubenko A.V., Babich P.N. Statistika u znanosti i poslovanju. - Kijev: Morion, 2002 (monografija).
5. Lagutin M. B. Vizualna matematička statistika. U dva toma. - M.: P-centar, 2003. (monografija).
6. Afifi A., Eisen S. Statistička analiza: Računarski pristup.
7. Hollender M., Wolfe D.A. Neparametarske metode statistike.

Veze

• Analiza varijance - StatSoft elektronički udžbenik.