Svaka površina jedne od njezinih strana može biti usmjerena prema promatraču i tada će ova strana biti vidljiva. Inače, strana površine neće biti vidljiva s gledišta. Može se dogoditi da je vidljiv samo dio strane površine. U tom slučaju, na površini se može povući crta koja razdvaja vidljivu i nevidljivu čistu površinu. Crta skice je linija na površini koja odvaja vidljivi dio površine ili lica od njezina nevidljivog dijela.

Riža. 9.5.1. Površinske skice linijske projekcije

Riža. 9.5.2. Projekcije mreže poligona i obrisnih linija

Na sl. 9.5.1 prikazuje linije obrisa površine. Na sl. 9.5.2 prikazuje obrise zajedno s površinskom mrežom.

Kada prijeđe liniju obrisa, normalna površina mijenja smjer u odnosu na liniju vida. U točkama obrisa, normalna površina je ortogonalna na liniju vidljivosti. U općem slučaju, u blizini površine može biti nekoliko obrisnih linija. Svaka linija obrisa je prostorna krivulja. Ili je zatvoren ili završava na rubovima površine. Za različite smjerove gledanja postoji skup obrisnih linija, stoga, kada se površina zakrene, obrisne linije moraju biti izgrađene iznova.

paralelne projekcije.

Za neke površine, na primjer, kugla, cilindar, stožac, obrisne linije su izgrađene prilično jednostavno. Razmotrimo opći slučaj konstruiranja linija obrisa plohe.

Neka je potrebno pronaći obrisne linije površine opisane vektorom radijusa. Svaka točka obrisa za paralelnu projekciju na ravninu (9.2.1) mora zadovoljiti jednadžbu

gdje je normala na plohu za koju se konstruira crta skice. Za površinu opisanu radijus vektorom, normala je također funkcija parametara i . Skalarna jednadžba (9.5.1) sadrži dva tražena parametra u, v. Ako postavite jedan od parametara, onda se drugi može pronaći iz jednadžbe (9.5.1), tj. jedan od parametara je funkcija drugog. Radi jednakosti parametara, oni se mogu predstaviti kao funkcije nekog zajedničkog parametra

Rezultat rješavanja jednadžbe (9.5.1) je dvodimenzionalna linija

na površini Ova linija je obris površine.

Iz uređenog skupa točaka koje zadovoljavaju jednadžbu (9.5.1) ćemo konstruirati skicu. Pod točkama podrazumijevamo par površinskih parametara, koji su koordinate dvodimenzionalnih točaka na parametarskoj ravnini. Imajući odvojene točke obrisa, smještene u svom redoslijedu i na određenoj udaljenosti jedna od druge, uvijek je moguće pronaći bilo koju drugu točku linije. Na primjer, da bismo pronašli točku koja leži između dvije zadane susjedne točke obrisa, nacrtamo ravninu okomitu na segment koji povezuje susjedne točke i pronađemo zajedničku točku za površinu i ravninu rješavanjem tri skalarne jednadžbe presjeka zajedno s jednadžbom ( 9.5.1). Položaj ravnine na segmentu može se postaviti parametrom linije. Krajnjim točkama segmenta određuje se nulta aproksimacija za željenu točku. Dakle, skup pojedinačnih dvodimenzionalnih točaka linije obrisa površine služi kao nulta aproksimacija ove linije, kojom se jednom od numeričkih metoda uvijek može pronaći točan položaj točke. Algoritam za konstruiranje obrisa površine može se podijeliti u dvije faze.

U prvoj fazi nalazimo barem jednu točku na svakoj liniji skice. Da bismo to učinili, hodajući po površini i ispitujući predznak skalarnog produkta u susjednim točkama, nalazimo parove točaka na površini na kojima se predznak mijenja. Uzimajući kao nultu aproksimaciju prosječne vrijednosti parametara ovih točaka, jedna od numeričkih metoda će pronaći parametre točke linije skice. Neka, na primjer, kada se krećete od točke do točke koja joj je blizu, promijeni predznak. Zatim, postavljanje uz pomoć iterativnog procesa Newtonove metode

ili iterativni proces

pronaći parametre jedne od točaka obrisa. Derivati ​​normale određuju se Weingartenovim formulama (1.7.26), (1.7.28). Na taj način dobivamo skup točaka za linije obrisa. Točke iz skupa dobivene u prvoj fazi nisu međusobno povezane ni na koji način i mogu pripadati različitim obrisima. Važno je samo da iz svake obrisne linije u skupu postoji barem jedna točka.

U drugoj fazi uzimamo bilo koju točku iz postojećeg skupa i, krećući se od nje nekim korakom, prvo u jednom smjeru, a zatim u drugom, nalazimo točku po točku željeni skup točaka obrisa. Smjer kretanja daje vektor

gdje je - parcijalne derivacije normalne - parcijalne derivacije radijus vektora površine s obzirom na parametre .

Predznak ispred pojma podudara se sa predznakom skalarnog umnoška. Korak gibanja izračunava se u skladu sa zakrivljenostima površina u trenutnoj točki pomoću formule (9.4.7) ili formule (9.4.8). Ako je a

tada formulom (9.4.7) dajemo prirast parametru u i formulom (9.5.4) nalazimo parametar v površine koja mu odgovara. Inače, formulom (9.4.8) ćemo parametru dati prirast, a formulom (9.5.5) naći ćemo parametar koji odgovara njemu i površini. Završit ćemo kretanje duž krivulje kada dođemo do ruba jedne od ploha ili kada se linija zatvori (nova točka će biti na udaljenosti trenutnog koraka od početne točke).

U procesu kretanja provjerit ćemo da li točke iz skupa dobivenog u prvoj fazi leže u blizini rute. Da bismo to učinili, duž rute ćemo izračunati udaljenost od trenutne točke obrisne krivulje do svake točke iz skupa dobivenog u prvoj fazi. Ako je izračunata udaljenost do bilo koje točke skupa proporcionalna trenutnom koraku kretanja, tada će se ta točka ukloniti iz skupa kao nepotrebna. Tako dobivamo skup pojedinačnih točaka jednog retka eseja. U tom slučaju skup točaka dobivenih u prvoj fazi neće sadržavati nijednu točku ovog pravca. Ako je u skupu ostalo više točaka, tada zadana ploha ima još barem jednu obrisnu liniju.

Riža. 9.5.3. linije obrisa tijela

Riža. 9.5.4. Tijelo rotacije

Skup njegovih točaka nalazimo uzimajući bilo koju točku iz skupa i ponavljajući drugu fazu konstrukcije. Dovršit ćemo konstrukciju linija kada u skupu ne ostane niti jedna točka. Koristeći opisanu metodu, konstruirati ćemo obrise svih lica modela.

Obrisne linije lica su obrisne linije njihovih površina. Obris tijela bit će vidljiv ako ga ne prekriva lice koje je bliže gledištu. Na sl. 9.5.3 prikazuje obrisnu liniju tijela okretanja prikazanog na sl. 9.5.4. Projekcija linije obrisa može imati lomove i kvržice, ali sama obrisna linija je glatka.

Prijelomne točke u projekciji nastaju tamo gdje je tangentna linija obrisa kolinearna vektoru

Da bismo konstruirali projekciju obrisa, izgradit ćemo njegov poligon, čija će se projekcija uzeti kao projekcija obrisa.

središnje projekcije.

Obrisne linije u središnjim projekcijama zadovoljavaju jednadžbu

(9.5.7)

gdje je - normala površine - radijus-vektor točke promatranja. Obris za središnju projekciju razlikuje se od obrisa za paralelnu projekciju, iako su algoritmi za njihovu konstrukciju slični. Umjesto konstantnog vektora u (9.5.7) postoji vektor čiji smjer ovisi o projiciranoj točki. Crta skice za središnju projekciju također predstavlja određenu krivulju na površini, opisanu ovisnostima (9.5.3), te je prostorna krivulja. Ta se crta mora projicirati na ravninu prema pravilima za građenje središnje projekcije prostorne linije.

Na sl. 9.5.5 prikazuje paralelnu projekciju obrisnih linija torusa, a na sl. 9.5.6 radi usporedbe prikazana je središnja projekcija obrisnih linija torusa. Kao što vidite, ove su projekcije različite.

Riža. 9.5.5. Paralelna projekcija linija obrisa torusa

Riža. 9.5.6. Središnja projekcija obrisa torusnih linija

Algoritam za konstruiranje obrisnih linija za središnju projekciju površine opisane radijus vektorom razlikuje se od algoritma za konstruiranje obrisnih linija za paralelnu projekciju ove površine po tome što ćemo u prvoj fazi tražiti površinske točke u kojima je skalarni proizvod mijenja znak. Za određivanje ovih točaka umjesto formula (9.5.4) i (9.5.5) treba koristiti formule

i formule

odnosno. Inače, algoritam za konstruiranje obrisa za središnju projekciju plohe ne razlikuje se od algoritma za konstruiranje obrisnih linija za paralelnu projekciju.

Cilj:

1. Stjecanje vještina prostornog predstavljanja koje omogućuju, duž zadane smjernice i osi, izgradnju obrisa površine okretanja.

2. Stjecanje vještina za pronalaženje projekcija točaka koje pripadaju površini.

1. Prema zadanoj odrednici (vodiči) plohe konstruirati obrise plohe.

2. Neovisno postavite početne podatke jedne od projekcija šest točaka koje pripadaju konstruiranoj plohi. Prikaži različite slučajeve: točke pripadaju crtama skice i površinama općenito.

3. Konstruirajte projekcije koje nedostaju svake od šest točaka koje pripadaju površini i označite ih.

Opcije posla prikazane su u tablici 1 na stranici 8-12. Broj opcije zadatka odgovara rednom broju prezimena učenika u grupnom popisu.

Površina revolucije naziva se površina nastala rotacijom neke linije (generatora) oko osi.

Algoritam za konstruiranje obrisa površine okretanja:

1. Odaberite diskretni niz točaka na generatrisi.

2. Gradimo paralele koje prolaze kroz odabrane točke.

3. Ekstremne položaje točaka na paralelama povezujemo glatkom zakrivljenom linijom.

Primjer konstruiranja obrisa plohe okretanja.

1. Gradimo paralelni vrat koji prolazi kroz točku 1, koja je blizu i-osi. Točke 1' i 1'' će zauzeti ekstremne položaje kada se točka 1 rotira oko osi.

2. Odaberimo točke 2 i 3 i izgradimo paralele koje prolaze kroz njih. Također možete odabrati točku 4 na generatrici, u kojoj će obrisne linije dodirivati ​​generatricu.

3. Na čeonoj projekciji obris hiperboloida s jednim listom je hiperbola, a na horizontalnoj projekciji to je grlo i najveća paralela.

4. Točke koje leže na površini gradimo pomoću paralela. Na primjer, točka A (A 1) data je na horizontalnoj projekciji. Potrebno je izgraditi njegovu frontalnu projekciju, pod uvjetom da točka A pripada plohi okretanja. Na horizontalnoj projekciji i njezinoj frontalnoj projekciji gradimo paralelu koja prolazi kroz točku A. Koristeći liniju projekcijske veze, nalazimo frontalnu projekciju točke A (A 2).

Tablica 1 Mogućnosti za zadatak "Izgradnja obrisa površine":

Tablica 1 (nastavak)

Tablica 1 (nastavak)

Tablica 1 (nastavak)

Tablica 1 (nastavak)

TEMA 2. KONSTRUKCIJA POGLEDA

Cilj:

1. Proučavanje i praktična primjena pravila za sliku objekata - izgradnja pogleda u skladu s GOST 2.305–68.

2. Stjecanje vještina prostornog predstavljanja, dopuštajući aksonometrijskoj slici objekta da prikaže njegov oblik, relativni položaj dijelova i orijentaciju u odnosu na ravnine projekcije.

3. Stjecanje vještina na aksonometrijskoj slici konstrukcije tri glavne vrste predmeta.

4. Razvoj vještina postavljanja dimenzija dijela prema GOST 2.307–68.

OPĆA PRAVILA ZA PROJEKTIRANJE CRTEŽA

Formati

Oznake i veličine formata određene su veličinom vanjskog okvira i moraju biti u skladu sa standardom (tablica 2).

tablica 2

Svi formati osim A4 mogu se postaviti i okomito i vodoravno. Nalazi se format A4 samo okomito .

Svaki crtež ima unutarnji okvir koji ograničava polje crtanja i aplicira se kao čvrsta glavna linija debljine S = 0,8 - 1 mm. Polje na lijevoj strani formata namijenjeno je za turpijanje i šivanje crteža (slika 2).

Glavni natpis

Na crtežima je potrebno napraviti glavni natpis koji sadrži podatke o prikazanom proizvodu i podatke o tome tko je izradio ovaj crtež. Glavni natpis nalazi se u donjem desnom kutu.

1 - naziv proizvoda ili naziv teme koja se proučava.

2 - oznaka dokumenta;

3 - mjerilo;

4 - serijski broj lista (stupac se ne popunjava na dokumentima izrađenim na jednom listu);

5 - ukupan broj listova dokumenta (stupac se popunjava na prvom listu);

6 - pismo dokumenta;

7 - prezimena;

8 - potpisi;

9 - datum potpisivanja dokumenta;

10 - naziv, indeks poduzeća;

11 – oznaka materijala (ispunjena na crtežima detalja).

Svi stupci, osim potpisa i datuma, kao i stupci naslovne stranice, popunjavaju se olovkom, standardnim fontom (točka 2.1.5. „Fontovi za crtanje“). Potrebno je obratiti pozornost na činjenicu da se na slici naslovnog bloka nalaze osnovne i tanke linije.

Vage

Mjerilo slika i njihova oznaka na crtežima postavlja standard.

mjerilo naziva se omjerom linearnih dimenzija slike predmeta na crtežu prema pravim linearnim dimenzijama predmeta.

Ovisno o složenosti prikazanog objekta, njegove slike na crtežima mogu se izvesti i u punoj veličini i sa smanjenjem ili povećanjem (tablica 3).

Tablica 3

linije

Stilovi, debljine i glavne namjene devet vrsta linija korištenih u crtežima su postavljene standardom. Postoji šest vrsta linija koje se najčešće koriste u obrazovnim crtežima.

Čvrsta gusta glavna. Debljina s ≈ 0,5 ... 1,4 mm. Namjena: slika linija vidljive konture, unutarnjeg okvira crteža itd.

Čvrsta tanka linija. Debljina od s/3 do s/2. Svrha: slika konturnih linija nadređenog presjeka, dimenzionalnih i produžetnih linija, linija šrafiranja itd.

Isprekidana tanka linija. Debljina od s/3 do s/2. Namjena: slika aksijalnih i središnjih linija itd.

isprekidana linija. Debljina linije od s/3 do s/2. Svrha: slika linija nevidljive konture.

Puna valovita linija. Debljina linije od s/3 do s/2. Svrha: slika lomnih linija, linija razgraničenja pogleda i presjeka.

Otvorena linija. Debljina linije od s do 1,5s. Namjena: slika položaja reznih ravnina jednostavnih i složenih rezova i presjeka.

Imajte na umu da crtkasto-točkaste linije koje se koriste kao središnje linije moraju se međusobno presijecati dugim crtama. Crtkasta točkasta crta koja se koristi kao središnja linija kruga promjera manjeg od 12 mm preporučuje se zamijeniti čvrstom tankom linijom.

Fontovi za crtanje

Veličina fonta određena je visinom velikih (velikih) slova. Postavljaju se sljedeće veličine fonta: 2,5; 3,5; 5; 7; deset; 14. Širina slova određuje se u odnosu na veličinu fonta ili u odnosu na debljinu crte crte d(slika 4).

Standard navodi sljedeće vrste fontova:

tip A bez nagiba ( d=h/14);

tip A s nagibom od oko 75˚ ( d=h/14);

tip B bez nagiba ( d=h/10);

tip B s nagibom od oko 75˚ ( d=h/10).

Oblik i dizajn arapskih brojeva tipa B s nagibom prikazani su na sl. 5.

Oblik velikih slova s ​​nagibom ruske abecede (ćirilice) prikazan je na sl. 6. Širina slova ne ovisi samo o veličini fonta, već i o dizajnu samog slova.

Oblik i konstrukcija malih slova slova ruske abecede tipa B s nagibom prikazani su na sl. 7.

POGLED NA ZGRADE

Smjernice za implementaciju:

Slike objekata treba napraviti metodom pravokutne projekcije. U tom slučaju se pretpostavlja da se objekt nalazi između promatrača i odgovarajuće ravnine projekcije (slika 9.).

Slika na ravnini frontalne projekcije, ravnina 1, uzeta je na crtežu kao glavni pogled (sl. 10).

Postavljaju se sljedeći nazivi pogleda dobivenih na glavnim projekcijskim ravninama ( glavne vrste , riža. 9 i 10):

Objekt se postavlja u odnosu na ravninu frontalne projekcije P2 tako da slika na njemu daje najpotpuniju predodžbu o obliku i veličini objekta.

Svi pogledi (projekcije objekta) su u projekcijskom spoju (7 - komunikacijske linije (sl. 9 i 10)). U tom slučaju, nazivi pogleda na crtežima ne bi trebali biti upisani. Ako su gornji, lijevi, desni, donji, stražnji pogledi pomaknuti u odnosu na glavnu sliku (prikazano na ravnini frontalne projekcije), tada ih treba označiti na crtežu natpisom tipa "A" (slika 11).

Smjer pogleda treba biti označen strelicom označenom velikim slovom (slika 12).

Tablica 4. Opcije za zadatak "Izgradnja pogleda":

Tablica 4 (nastavak)

Tablica 4 (nastavak)

Koncept površine

POVRŠINE

U deskriptivnoj geometriji površine se smatraju skupom uzastopnih položaja određene linije koja se kreće u prostoru prema određenom zakonu. Ovakav način formiranja površine naziva se kinematski.

Linija (krivulja ili ravna crta) kreće se u prostoru prema određenom zakonu i stvara plohu. Zove se generator. Tijekom formiranja površine može ostati nepromijenjena ili promijeniti svoj oblik. Zakon gibanja generatrike dat je u obliku skupa linija i naznaka prirode kretanja generatrike. Ove linije se nazivaju vodilice.

Osim kinematičke metode može se definirati površina

Analitički, tj. opisano matematičkim izrazom;

žičana metoda, koja se koristi pri definiranju složenih površina; površinski kostur je uređeni skup točaka ili pravaca koji pripadaju površini.

Da biste definirali površinu na složenom crtežu, dovoljno je na njoj imati takve površinske elemente koji vam omogućuju da izgradite svaku njegovu točku. Kombinacija ovih elemenata naziva se površinska determinanta.

Površinska determinanta sastoji se od dva dijela:

· geometrijski dio, uključujući trajne geometrijske elemente (točke, linije) koji sudjeluju u formiranju plohe;

· algoritamski dio koji definira zakon gibanja generatrike, prirodu promjene njezina oblika.

U simboličkom obliku, determinanta površine F može se napisati kao: F(G)[A], gdje je G geometrijski dio determinante, A je algoritamski dio.

Da bi se determinanta izolirala blizu površine, treba poći od kinematičke metode njezina formiranja. No budući da se mnoge identične površine mogu dobiti na različite načine, one će imati različite determinante. U nastavku ćemo razmotriti najčešće površine u skladu s klasifikacijskim kriterijima usvojenim tijekom deskriptivne geometrije.

Da biste odredili plohu na složenom crtežu, dovoljno je navesti projekcije ne cijelog skupa točaka i linija koje pripadaju površini, već samo geometrijskih oblika koji su dio njezine determinante. Ovaj način određivanja površine omogućuje vam izradu projekcija bilo koje od njezinih točaka. Definiranje površine projekcijama njezine determinante ne daje jasnoću, što otežava čitanje crteža. Da bi se poboljšala jasnoća, ako je moguće, na crtežu su naznačene skice (skice) površine.

Kada se neka površina W projicira paralelno s projekcijskom ravninom S, tada se projicirajuće linije tangente na površinu W , čine cilindričnu površinu (slika 11.1). Ove projicirane linije dodiruju površinu W u točkama koje tvore određenu liniju m, koja se naziva konturna linija.

Projekcija obrisa m na ravninu S - m / , naziva se obrisom površine. Obris plohe odvaja projekciju plohe od ostatka projekcijske ravnine.

Linija konture površine koristi se za određivanje vidljivosti točaka u odnosu na ravninu projekcije. Dakle, na sl. 11.1 projekcije točaka površine W, koje se nalaze lijevo od konture m, na ravninu S bit će vidljive. Projekcije ostalih točaka na površini bit će nevidljive.

Eseji

Prilikom specificiranja za projekciju objekta sa zakrivljenim plohama, osim definiranja skupa točaka, bridova i lica projekcijskog objekta, potrebno je definirati i skup obrisa njegovih krivolinijskih lica.

Obrisi zakrivljene plohe su linije na toj zakrivljenoj površini koje dijele površinu na dijelove koji nisu vidljivi i dijelove koji su vidljivi na ravnini projekcije. U ovom slučaju govorimo o projekciji samo krivolinijske plohe koja se razmatra i ne uzimamo u obzir moguće sjenčanje te površine drugim površinama prednjeg plana.

Zovu se dijelovi na koje su skice podijeljene zakrivljenom površinom pretinci.

Položaj obrisa krivuljastih lica određen je parametrima projekcije, pa bi se obrisi trebali odrediti nakon što se završi prijelaz na koordinatni sustav pogleda.

Određivanje obrisa zakrivljene površine, općenito, relativno je težak zadatak. Stoga se u pravilu dana zakrivljena površina aproksimira pomoću jedne od tipičnih zakrivljenih površina, koje uključuju:

Cilindrična površina;

Kuglasta površina;

konusna površina.

Razmislite o pronalaženju eseja za ove vrste zakrivljenih površina.

Nalaz skice sferne površine ilustrirano na sl. 6.6-7.

Na slici se koriste sljedeće oznake:

O - središte kugle;

O p - projekcija središta kugle;

GM je glavni meridijan dane sfere;

Pl1 - ravnina koja prolazi središtem kugle, paralelna s ravninom projekcije;

X in , Y in , Z in - koordinatne osi koordinatnog sustava vrste;

X p , Y p - koordinatne osi na ravnini projekcije.

Da bismo pronašli skicu na površini kugle, potrebno je povući ravninu kroz središte kugle (pl1 na sl. 6.6-7), paralelno s ravninom projekcije. Linija presjeka ove površine i kugle, koja ima oblik kružnice, naziva se glavnim meridijanom (PM) sferne površine. Ovaj glavni meridijan je željeni obris.

Projekcija ovog eseja bit će kružnica istog polumjera. Središte ove kružnice je projekcija središta izvorne kugle na ravninu projekcije (O p na sl. 6.7-1).

Riža.6.7 ‑ 1

Za utvrđivanje obris cilindrične površine, kroz os zadanog cilindra o 1 o 2 (slika 6.7‑2), povučena je ravnina Pl1, okomita na ravninu projekcije. Nadalje, kroz os cilindra povučena je ravnina Pl2, okomita na ravninu Pl1. Njezina sjecišta s cilindričnom površinom tvore dvije ravne linije o h 1 pt 2 i o h 3 o h 4, koje su obrisi cilindrične površine. Projekcija ovih skica su ravne linije o h 1p o 2p i o h 3p o h 4p prikazane na sl. 6.7‑2.

Izgradnja eseja konusna površina ilustrirano na sl. 6.7‑3.

Na donjoj slici prihvaćene su sljedeće oznake:

O - vrh konusa;

OO 1 - os konusa;

X in , Y in , Z u pogledu koordinatni sustav;

PP - ravnina projekcije;

X p , Y p , je koordinatni sustav ravnine projekcije;

Lp - projekcijske linije;

O 1 - središte kugle upisane u konus;

O 2 - kružnica-tangenta upisane kugle, koja ima središte u točki O 1, i izvornu konusnu površinu;

O h 1 , O h 1 - točke koje leže na konturama stožaste površine;

O h 1p , O h 1p - točke kroz koje prolaze linije, koje odgovaraju projekcijama skica stožaste površine.

Konusna površina ima dva obrisa u obliku ravnih linija. Očito je da te linije prolaze kroz vrh stošca - točku O. Za jednoznačno definiranje obrisa, stoga je potrebno pronaći jednu točku za svaki obris.

Za izradu skica konične površine izvršite sljedeće korake.

U zadanu stožastu plohu (na primjer, sa središtem u točki O 1) upisuje se kugla i određuje se tangenta te kugle s konusnom površinom. U slučaju razmatranom na slici, linija kontakta imat će oblik kružnice sa središtem u točki O 2 koja leži na osi stošca.

Očito, od svih točaka sferne površine, samo točke koje pripadaju tangentnoj kružnici mogu biti točke koje pripadaju skici. S druge strane, te točke moraju nužno biti smještene na opsegu glavnog meridijana upisane kugle.

Stoga će željene točke biti točke presjeka kružnice glavnog meridijana upisane sfere i kružnice-tangente. Te se točke mogu definirati kao presjecišta tangentne kružnice i ravnine koja prolazi središtem upisane kugle O 1 paralelno s ravninom projekcije. Takve točke na slici su O h 1 i O h 2.

Za izgradnju projekcija eseja dovoljno je pronaći točke O h 1p i O h 2p , koje su projekcije pronađenih točaka O h 1 i O h 2 na ravninu projekcije, i koristeći te točke i točku O p projekcije vrha stošca, konstruirati dvije ravne linije koje odgovaraju projekcijama skica zadane konusne plohe (vidi sliku 6.7-3).

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije

Saratovsko državno tehničko sveučilište

POVRŠINE

Smjernice za ispunjavanje zadatka 2

za studente specijalnosti
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Odobreno

uredničko-izdavačko vijeće

Saratovska država

tehničko sveučilište

Saratov 2003

UVOD

U praksi strojarstva rašireni su dijelovi s cilindričnim, konusnim, sfernim, toričnim i zavojnim površinama. Tehnički oblici proizvoda često su kombinacija okretnih površina s podudarnim, siječnim i križnim osi. Prilikom izrade crteža takvih proizvoda potrebno je prikazati linije presjeka površina, koje se nazivaju i prijelazne linije.

Uobičajeni način za konstruiranje linija presjeka je pronalaženje točaka ove linije pomoću nekih pomoćnih reznih ravnina ili površina, koje se ponekad nazivaju "posrednici".

U ovim smjernicama razmatraju se opći i posebni slučajevi konstruiranja linija presjeka dviju ploha i metode za izradu zamaha ploha.

1. GLAVNE ODREDBE.

U deskriptivnoj geometriji, površina se smatra skupom uzastopnih položaja linije koja se kreće u prostoru, koja se naziva generatricom.

Ako se kao vodilja uzme jedna od površinskih linija q i kretati se po njoj prema određenom zakonu generatrisa l, dobivamo obitelj površinskih generatora koji definiraju površinu (slika 1.).

Za definiranje plohe na crtežu uveden je pojam determinante površine.

Determinanta je skup uvjeta potrebnih i dovoljnih za jednoznačno definiranje površine.

Odrednica se sastoji od geometrijskog dijela koji sadrži geometrijske likove i zakon nastajanja površine. Na primjer, geometrijski dio determinante oblika a(l,q) na slici 1 su generatriksa l i vodič q, čiji je položaj dat na crtežu. Zakon obrazovanja: izravni l, krećući se u prostoru, uvijek dodiruje q ostajući paralelno sa smjerom S. Ovi uvjeti jedinstveno definiraju cilindričnu površinu. Za bilo koju točku u prostoru moguće je riješiti problem pripadnosti njezinoj površini (ALIÎ a, uÏ a).

Geometrijski dio determinante stožaste plohe b(q,S) sastoji se od vodiča q i vrhovi S(slika 2). Zakon nastajanja stožaste plohe: generatrisa ravna crta l q, uvijek prolazi kroz vrh S, tvoreći kontinuirani skup ravnih linija stožaste površine.

Površine dobivene kontinuiranim kretanjem nazivaju se kinematičke. Takve su površine točne, pravilne, za razliku od nepravilnih ili slučajnih.

Površine nastale kretanjem ravne crte nazivaju se ravne, a krive nelinearne.

Prema zakonu gibanja generatrike razlikuju se plohe s translatornim gibanjem generatrike, s rotacijskim gibanjem generatrike - okretne plohe, sa zavojnim gibanjem generatrike - zavojne plohe.

Površine se mogu definirati žičanim okvirom. Žičani okvir je površina koja je definirana određenim brojem linija koje pripadaju takvoj površini (slika 3.).

Poznavajući koordinate točaka presjeka linija, moguće je nacrtati crtež žičane površine.

1.2. Površine revolucije.

Među zakrivljenim površinama raširene su plohe okretanja. Površina okretanja je površina dobivena rotacijom generatrike oko fiksne ravne crte – osi plohe.

Površina okretanja može se formirati rotacijom krivulje (sfera, torus, paraboloid, elipsoid, hiperboloid itd.) i rotacijom ravne linije (cilindar okretanja, stožac okretanja, hiperboloid okretanja s jednim limom).

Iz definicije plohe okretanja proizlazi da je geometrijski dio determinante a(ja,l) površine okretanja a mora se sastojati od osi rotacije i i generiranje l. Zakon formiranja površine, rotacija l oko ja omogućuje izgradnju kontinuiranog skupa uzastopnih položaja generatrike površine okretanja.

Od mnogih linija koje se mogu povući na plohama okretanja, paralele (ekvator) i meridijani (glavni meridijan) zauzimaju poseban položaj. Korištenje ovih linija uvelike pojednostavljuje rješavanje pozicijskih problema. Pogledajmo ove retke.

Svaka točka generatrike l(slika 4) opisuje oko osi i kružnica koja leži u ravnini okomitoj na os rotacije. Taj se krug može predstaviti kao linija presjeka površine nekom ravninom (b) okomito na os plohe okretanja. Takve se kružnice nazivaju paralele. (R). Najveća od paralela naziva se ekvator, najmanja - grlo.

Riža. 5 sl. 6

Na sl. 5 paralelno RA bodova ALI ekvator, paralela RV bodova R površinsko grlo.

Ako os plohe i je okomita na ravninu projekcija, tada se paralela projicira na ovu ravninu kružnicom u pravoj vrijednosti (P1A), a na ravnini projekcije paralelnoj s osi - ravna crta (P2A) jednak promjeru paralele. U ovom slučaju, rješenje pozicijskih problema je pojednostavljeno. Povezivanje bilo koje točke površine (npr S) s paralelom možete lako pronaći položaj projekcija paralele i točke na njoj. Na sl. 5 projekcijom C2 bodova S koji pripadaju površini a, uz pomoć paralela Rs pronađena horizontalna projekcija C1.

Ravnina koja prolazi kroz os rotacije naziva se meridijalna. Na sl. 4 je ravna g. Linija presjeka okretne plohe meridijanskom ravninom naziva se meridijan površine. Meridijan koji leži u ravnini paralelnoj s ravninom projekcija naziva se glavnim meridijanom ( m0 na sl. 4.5). U ovom položaju meridijan se projicira na ravninu P2 bez izobličenja, ali P1- ravna paralelna os x12. Za cilindar i stožac meridijani su ravne linije.

Ekvator R2(slika 6) i glavnim meridijanima (m) razgraničiti površinu na vidljive i nevidljive dijelove.

Na sl. 6 površinski ekvator a dobiveno kao rezultat presjeka površine ravninom d(P=a∩d), a glavni meridijan je ravnina g(m=a∩g).

1.3. Obris površine.

Projicirajuća ploha, koja okružuje danu, siječe ravninu projekcije duž linije koja se naziva obris projekcije površine. Drugim riječima, obris površine je linija koja graniči projekciju lika od ostatka prostora za crtanje. Za konstruiranje eseja potrebno je konstruirati generatore ekstremnih graničnih skica. Generatori obrisa leže u ravnini paralelnoj s ravninom projekcija.

Za njenu generatricu može se uzeti bilo koji meridijan površine okretanja. Konstrukcija eseja bit će pojednostavljena ako kao generatricu uzmemo glavni meridijan, budući da je glavni meridijan ravna krivulja (prava linija) paralelna s ravninom projekcije i projicirana na nju bez izobličenja.

Primjer 1. Cilindar a a(ja,l). Izgradite obris površine (slika 7).

Ovakvim rasporedom osi i horizontalni obris je krug polumjera R(R=i1l1). Prođite kroz os i meridijanska ravnina b||P2. Za izgradnju frontalnog obrisa nalazimo horizontalne projekcije obrisa generatora koji leže u ravnini glavnog meridijana (l1',l1”) te iz njih odrediti frontalne projekcije l2' i l2”.

Frontalna projekcija glavnog meridijana generatora obrisa cilindra l2' i l2”. Pravokutnik je frontalni obris površine.

Primjer 2. Konus a zadan geometrijskim dijelom determinante a(ja,l). Izgradite obris površine (slika 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Iz pozicije geometrijskih oblika l, i na sl. Slika 9 pokazuje da je zadana površina hiperboloid okretanja s jednim listom. Svaka točka generatrike (A, B, C itd. ) pri rotaciji oko osi i opisuje kružnicu (paralelnu). Na i ^ P1 do aviona P1 paralele se projiciraju kružnicama čiji je polumjer jednak pravoj vrijednosti polumjera paralele. Točka S na generatrici l opisuje najmanju paralelu, paralelu grla. Ovo je najkraća udaljenost između osi rotacije i generatrike l. Za pronalaženje Rc nacrtati okomitu iz i do l1. i1C1=Rc je polumjer grla površine.

Horizontalna projekcija hiperboloida bit će tri koncentrične kružnice.

Frontalni obris površine trebao bi imati obris njenog glavnog meridijana.

Prođite kroz os i glavna meridijalna ravnina b te konstruirati horizontalne projekcije paralela točaka A, B, C. Paralele se sijeku s ravninom b u točkama A′, V′, S′ koje pripadaju glavnom meridijanu površine. Kontinuirani skup ovih paralela čini kostur površine, a točke presjeka s ravninom b- nulti meridijan m0 površine. Glavni meridijan može se konstruirati kao obilaznica presječnih točaka paralela s ravninom b. Na slici je prikazana konstrukcija točke S i D.

Primjer 4. Konstruirajte obris nagnutog cilindra a(l,m). Generator cilindra l, krećući se duž vodilice m, ostaje paralelno sa sobom. Obris površine izgrađen je na Sl. 10. Bilo koja točka na površini cilindra određena je povlačenjem generatrike kroz nju (“povezivanje” točke s generatricom). Na sl. 10a prema frontalnoj projekciji točke A2 koji pripada površini, nalazi se njegova horizontalna projekcija A1.

1.4. Poravnane površine, s ravninom paralelizma.

Ravnine s ravninom paralelizma formiraju se pomicanjem pravocrtne generatrike duž dvije vodilice. U ovom slučaju, generatrisa u svim svojim položajima zadržava paralelizam neke zadane ravnine, koja se naziva ravnina paralelizma.

Geometrijski dio determinante a(m,n,b) takva površina a sadrži dvije vodilice i ravninu paralelizma. Ovisno o obliku vodilica te se plohe dijele na: cilindre - obje vodilice; konoidi - jedna vodilica - ravna linija, jedna - krivulja; kosa ravnina - obje vodilice su ravne.

Primjer: izgradite površinski žičani okvir a(m,n,b)(slika 10b).

U ovom slučaju, horizontalna ravnina projekcija uzima se kao ravnina paralelizma. Generiranje linije, odsijecanje krivulje m i izravna n, u bilo kojem položaju ostaje paralelan s ravninom P1.

Svaka ravnina paralelna ravnini paralelizma siječe ove plohe pravocrtno. Dakle, ako je potrebno konstruirati bilo koju generatricu plohe, potrebno je plohu rezati ravninom (npr. b) paralelno s ravninom paralelizma, pronađite točke presjeka vodećih linija plohe s ovom ravninom (b∩n=1;b∩m=2; riža. 10b) i povuci ravnu kroz te točke.

Za konstruiranje konoida na sl. 10b, možete bez pomoćnih reznih ravnina, budući da frontalne projekcije generatora moraju biti paralelne s osi x12. Gustoća linija okvira na frontalnoj projekciji postavljena je proizvoljno. Horizontalne projekcije zadanih generatora duž spojne linije gradimo pomoću svojstva članstva.

Ako trebate pronaći projekciju točke ALI, dano projekcijom A2, potrebno je rezati površinu ravninom g prolazeći kroz točku ALI i paralelno s ravninom paralelizma (na slici 10b g//P1), pronađite generatricu kao liniju presjeka ravnine g s površinom a(a∩g=3, 4), prema frontalnoj projekciji 32, 42 pronađite horizontalu 31, 41 i odredite na njoj A1.

1.5. Izgradnja mjesta susreta linije s površinom.

Pronađite mjesto susreta krivulje l s površinom a(P,S).

Rješenje 1. Priključite krivulju l(slika 11) u pomoćnu projekcijsku površinu b^P1. Projekcija b1 poklapa se s projekcijom l1. 2. Gradimo liniju raskrižja a površine α s površinom b′, (αÇ b=e). Horizontalna projekcija ove linije a1 poznato, odgovara b1. Tlocrt a1 izgradnja frontalne projekcije a2(Sl. 1. Određujemo željenu točku do sjecišta krivulje l s površinom a.. K=lÇ a postoji mjesto susreta l i a. Jedna strana l i a pripadati b i lÇ a=k. S drugom aÌ a, stoga doÌ α , tj do postoje mjesta susreta l s površinom α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Konstrukcija linije presjeka ploha.

Pri rješavanju problema konstruiranja linije presjeka jedne površine s drugom koristi se metoda presjeka - glavna metoda za rješavanje pozicijskih problema. U ovom slučaju, zadane plohe režu pomoćne ravnine ili zakrivljene površine (na primjer, kugle).

Pomoćne rezne površine ponekad se nazivaju "posrednici".

1.5.1. Opći slučaj.

U općem slučaju, da biste riješili problem određivanja linije presjeka dviju površina, možete odrediti obitelj generatora na jednoj od površina (slika 12), pronaći točku susreta tih generatora s drugom površinom pomoću algoritam za rješavanje problema na sl. 11, a zatim ocrtajte točke susreta.

Koristeći ovu metodu za konstruiranje linija presjeka dviju zakrivljenih ploha, možemo koristiti pomoćne ravnine ili zakrivljene plohe kao sekantne "posrednike".

Ako je moguće, treba odabrati takve pomoćne plohe koje u sjecištu zadanih daju jednostavne linije za konstruiranje linija (ravne ili kružnice).

1.5.2. Osi okretnih ploha se poklapaju
(koaksijalne površine).

Na sl. 13 površina a i b zadane zajedničkom osi i i glavni meridijani m0m0'.

Glavni meridijani sijeku se u točki A(B). Točka A(B) sjecišta meridijana tijekom rotacije oko osi opisat će paralelu R, koji će pripadati objema površinama, dakle, bit će njihova presječna linija.

Dakle, dvije koaksijalne plohe okretanja sijeku se duž paralela koje opisuju točke presjeka njihovih meridijana. Na sl. 13 osi ploha je paralelno P2. Na ravnini projekcija s kojom su osi ploha paralelne, linija presjeka R2 projicira se ravna crta čiji je položaj određen sjecištima glavnih meridijana ALI i NA.

1.5.3. Metoda rezne ravnine.

U slučaju kada su osi okretnih ploha paralelne, najjednostavnije konstrukcije dobivaju se korištenjem reznih ravnina kao posrednika. U ovom slučaju, pomoćne rezne ravnine biraju se tako da sijeku obje plohe u kružnicama.

Na sl. 14 ocrtava projekcije dviju okretnih površina α i b, njihove osi i i j su paralelne. U ovom slučaju korištenje reznih ravnina okomitih na osi ploha daje jednostavno rješenje problema. Rezultirajuće linije presjeka ploha bit će paralele, čije su prednje projekcije ravne linije jednake promjeru paralele, a horizontalne projekcije su kružnice prirodne veličine.

Prilikom konstruiranja točaka presječnih linija, prvo morate pronaći referentne i karakteristične točke. Referentne točke su one koje leže na glavnom meridijanu (3) i ekvatoru (4, 5). Pronalaženje ovih točaka nije povezano s dodatnim konstrukcijama i temelji se na korištenju svojstava članstva.

Dato na sl. 14 ploha ima zajedničku ravninu glavnog meridijana, njihove osi ^ P1, baze leže u ravnini P1. Referentne točke linije presjeka su točka 3 sjecišta glavnih meridijana i točke 4 i 5 sjecišta paralela baza ploha. Koristeći svojstva pripadnosti, poznatim projekcijama 32, 41 i 51 nalazimo 31, 42 i 52.

Preostale točke sjecišta nalaze se pomoću pomoćnih reznih ravnina. Secirajmo površinu α i b horizontalna ravnina g. Kao g^ osi i i j, zatim površine α i b sijeku ravninu g, paralelno Ra i Rb. A budući da su sjekire i i j^P1, tada se te paralele projiciraju na P1 krugovima Ra, Rb u pravoj veličini, ali P2 direktno P2a, R2b jednak promjeru paralele.

Točke sjecišta paralela 1 i 2 su željene. Doista, s jedne strane paralele Ra i Rb pripadaju istoj ravni g i sijeku se u točkama 2 i 1. S druge strane, Ra i Rb pripadaju različitim površinama α i b. Stoga točke 2 i 1 istovremeno pripadaju plohama a i b, odnosno to su točke presjeka ploha. Horizontalne projekcije 21 i 11 ovih točaka su na raskrižju P1a, P1b, a prednje konstruiramo pomoću svojstva članstva.

Ponavljajući navedenu metodu, dobivamo potreban broj bodova. Sekantne ravnine su ravnomjerno raspoređene u intervalu od točke najvišeg uspona krivulje 32 do glavne figure.

Broj točaka presječne linije, a time i reznih ravnina, određen je potrebnom točnošću grafičkih konstrukcija. Projekcije linije presjeka grade se kao konture projekcija njezinih točaka. Na sl. 14 linija u točkama 4, 1, 3, 2, 5.

Razmatrani primjer rješavanja problema naziva se metoda rezanja ravnina.

1.5.4. Metoda sfere.

Ova tehnika se koristi kada se osi rotacijskih površina sijeku. Temelji se na onom prikazanom na sl. 13 slučaj presjeka koaksijalnih ploha.

Na sl. 15 prikazuje stožac i cilindar s osi koje se sijeku i i j. Njihove osi su paralelne s ravninom P2. Ravnina glavnog meridijana zajednička je za obje površine.

) . Konstrukcija je pojednostavljena zbog činjenice da je ravnina glavnog meridijana zajednička. Krugovi duž kojih kugla siječe dvije površine istovremeno ( Ra, Rb Pb") projicira se na ravninu P2 u obliku ravnih linija ( R2a, R2b, P2b") jednak promjerima paralela.

Na sjecištu ovih kružnica dobivaju se točke (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), zajedničke objema plohama i, prema tome, pripadaju liniji presjeka. Stvarno paralele Ra, Rb, Pb", s jedne strane, pripadaju istoj površini - sferi i imaju zajedničke točke (5, 6, 7, 8), s druge - pripadaju različitim površinama a i b. To jest, točke 5, 6, 7, 8 pripadaju objema plohama ili liniji presjeka ploha.

Kako bi se dobilo dovoljno bodova za crtanje željene linije raskrižja, nacrtano je nekoliko sfera.

Polumjer najveće kugle ( Rmax) jednaka je udaljenosti od središta O2 do najudaljenije točke presjeka obrisne generatrike (u ovom slučaju, točke 32 i 42, Rmax= 0232=0242. U ovom slučaju, obje linije presjeka površina sa sferom ( Ra i Rb) sijeku se u točkama 3 i 4 s većim polumjerom kugle neće biti presjeka.

Polumjer najmanje kugle ( Rmin) jednaka je udaljenosti od središta 02 na najudaljeniju generatricu skice ( Rmin=02A2). U tom slučaju kugla će dodirnuti stožac duž kružnice, a cilindar će se dvaput križati i dati točke 5, 6, 7, 8. S manjim polumjerom kugle neće biti sjecišta sa stošcem.

Sada ostaje nacrtati zakrivljene linije presjeka površina kroz točke 1, 5, 4, 6, 1 i 2, 7, 3, 8, 2.

Na sl. 15, sve konstrukcije su izvedene na istoj projekciji. Broj sekantnih kugli, s polumjerima u rasponu od Rmax prije Rmin, ovisi o traženoj točnosti konstrukcije. Konstrukcija horizontalne projekcije linije raskrižja izvodi se uz frontalni 1, 5, 4, 6, 1 i 2, 7, 3, 8, 2 korištenjem svojstva članstva.

1.5.5. Primjena metode rezne ravnine
u slučajevima ravnanih površina s ravninom paralelizma.

Dvije površine dane su geometrijskim dijelom determinante: a(l,i) i b(m,n, P1). Potrebno je izgraditi skice površina i pronaći liniju njihova sjecišta (slika 16).

Rješenje: 1. Gradimo obris površine a, n geometrijskog dijela determinante, vidi se da je ploha a- sfera. Njegovi horizontalni i frontalni obrisi su krugovi radijusa R. 2. Izrađujemo okvir od obložene površine. Budući da je ravnina paralelna P1, tada su frontalne projekcije generatora paralelne s osi x12. Postavivši okvir određene ravnine linija na frontalnu projekciju (četiri linije na slici 16), gradimo horizontalne projekcije ovih generatora. 3. Za konstruiranje linije presjeka ploha koristimo sekantne ravnine kao posrednike. Položaj sekantnih ravnina mora biti odabran tako da sijeku zadane plohe duž linija koje je lako konstruirati (ravne ili kružnice). Ovaj uvjet zadovoljavaju horizontalne ravnine. Horizontalne ravnine su paralelne ravnini paralelizma konoida ( P1), pa će presijecati konoid u ravnim crtama. Takve ravnine sijeku kuglu duž paralela.

,a" kugla duž paralele Ra. Frontalna projekcija paralele ( R2a) je ravna linija jednaka promjeru paralele, a vodoravna projekcija ( P1a) je krug. Na horizontalnoj projekciji na sjecištu paralele P1a a generatrisa 1, 11" određena je projekcijom dviju točaka linije presjeka površine a i b. Horizontalnim projekcijama točaka A1 i U 1 gradimo njihove frontalne projekcije. Ponavljanjem operacije dobivamo niz točaka presječne linije čiji će obris dati liniju presjeka.

Ekvator i početni meridijan sfere omeđuju liniju na vidljive i nevidljive dijelove.

1.6 Izgradnja zamaha.

Razvijena ploha je lik dobiven kombiniranjem razvijene plohe s ravninom.

Površine koje se mogu razvijati su površine koje su poravnate s ravninom bez lomova ili nabora.

Površine koje se mogu razvijati uključuju fasetirane površine, a krivolinijske površine uključuju samo cilindrične, stožaste i torzo površine.

Razvoj se dijeli na točan (razvoj fasetiranih površina), približan (razvoj cilindra, konusa, torza) i uvjetni (razvoj kugle i drugih nerazvojnih površina).

1.6.1. Razvrtači fasetiranih površina.

Rasklopite piramidu danu projekcijama na sl.17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Metoda valjanja je primjenjiva ako su bridovi prizme paralelni s ravninom projekcija i poznata je prava vrijednost bridova jedne od baza (slika 18).

Razvlačenje figure je postupak spajanja lica prizme s ravninom, u kojem se pravi oblik svakog lica dobiva rotacijom oko njegova ruba.

Točke A, B, C tijekom kotrljanja kreću se duž lukova kružnica, koji su na ravnini P2 prikazani kao ravne linije okomite na projekcije rubova prizme. Vrhovi pomicanja grade se na sljedeći način: od točke A2 polumjera R1=A1B1 (prava duljina AB) napravimo usjek na liniji B2B0 okomito na B2B2¢. Iz izgrađene točke B0 polumjera R2=B1C1 napravljen je usjek na pravoj crti C2C0^C2C2¢. Zatim usjek iz točke C0 polumjera R3=A1C1 na pravoj liniji A2A0^A2A2¢. Dobivamo točku A0. Točke A2B0C0A0 povezane su ravnim linijama. Iz točaka A0B0C0 povlačimo linije paralelne s rubovima (A2 A2¢), stavljamo na njih prave vrijednosti bočnih bridova A2A¢, B2B¢, C2C¢. Točke A¢B¢C¢A¢ povezujemo segmentima.

1.6.2. Razvoj zakrivljenih površina.

Teoretski, moguće je dobiti točan razvoj, tj. razvoj koji točno ponavlja dimenzije površine koja se razvija. U praksi se pri izradi crteža mora pomiriti s približnim rješenjem zadatka, uz pretpostavku da su pojedini elementi plohe aproksimirani ravnim presjecima. U takvim uvjetima, provedba približnih razvoja cilindra i stošca svodi se na konstrukciju razvoja prizmi i piramida upisanih u njih (ili opisanih).

Slika 19 prikazuje primjer zamaha konusa.

U konus upisujemo višestruku piramidu. Iz točke S povučemo luk polumjera jednakog pravoj vrijednosti generatrike stošca (S212) i ostavimo tetive 1121 na luku; 2, zamjenjujući lukove 1121;2

Da bismo pronašli bilo koju točku na razvoju, potrebno je povući generatricu kroz zadanu točku (A), pronaći mjesto te generatrike na razvoju (2B=21B1), odrediti pravu vrijednost segmenta SA ili AB i staviti to na generatrici na razvoj. Svaka linija na površini sastoji se od kontinuiranog skupa točaka. Nakon što smo metodom opisanom za točku A pronašli traženi broj točaka na razvoju i praćenjem tih točaka, dobit ćemo crtu na razvoju. Pri izradi razvoja kosih cilindričnih ploha primjenjuju se metode normalnog presjeka i valjanja.

Bilo koja površina koja se ne može razviti može se također aproksimirati poliedralnom površinom s bilo kojom točnošću. Ali razvoj takve površine neće biti kontinuirana ravna figura, budući da se te površine ne razvijaju bez lomova i nabora.

1.6.3. Konstrukcija ravnine, tangenta
na površinu u tom trenutku.

Za konstruiranje tangentne ravnine na plohu u danoj točki (točka A na slici 20), potrebno je kroz točku A nacrtati dvije proizvoljne krivulje a i b na površini, zatim u točki A konstruirati dvije tangente t i t¢ na krivulje a i b. Tangente će odrediti položaj tangentne ravnine a prema površini b.

Slika 21 prikazuje plohu okretanja a. Potrebno je nacrtati tangentnu ravninu u točki A koja pripada a.

Za rješavanje problema kroz točku A povlačimo paralelu a i gradimo tangentu t na nju u točki A (t1;t2).

Uzmimo meridijan kao drugu krivulju koja prolazi točkom A. Nije prikazano na slici 21. Rješenje će biti pojednostavljeno ako se meridijan zajedno s točkom A okrene oko osi dok se ne poklopi s glavnim meridijanom. U ovom slučaju, točka A će zauzeti poziciju A¢. Zatim povucite tangentu t¢¢ na glavni meridijan kroz točku A¢ dok se ne siječe s osi u točki B. Vraćajući meridijan u prethodni položaj, povucite tangentu t¢ na ovaj meridijan kroz točku A i fiksnu točku B na os rotacije (t1¢;t2 ¢). Tangente t i t¢ će definirati tangentnu ravninu.

Prilikom crtanja tangentne ravnine na ravnu plohu jedna od tangenti koje definiraju tangentnu ravninu može se uzeti kao generatrisa t plohe (slika 22). Kao drugi, možemo uzeti tangentu t¢ na paralelu (ako je cilindar ili stožac) ili tangentu na bilo koju krivulju povučenu kroz danu točku konoidne, cilindrične, kose ravnine. Lako je konstruirati krivulju rezanjem površine projicirajućom ravninom koja prolazi kroz zadanu točku.

2.1. Cilj:

Objediniti programsko gradivo u odjeljcima "Površina" i "Razvoj" i stjecati vještine rješavanja problema konstruiranja eseja, presječnih linija i razvoja ploha.

2.2. Vježba:

Crtež sadrži dvije površine koje se sijeku. Površine su dane koordiniranim projekcijama geometrijskog dijela determinante.

potrebno:

Koristeći koordinate geometrijskog dijela determinante, primijeniti projekcije determinante na crtež, povezati potrebne točke za dobivanje geometrijskih oblika determinante;

Graditi skice zadanih ploha prema projekcijama geometrijskog dijela determinante;

Konstruirati liniju presjeka ploha;

Izgradite razvoj jedne od ploha crtanjem linije presjeka (prema uputama učitelja);

Nacrtajte tangentnu ravninu na jednu od ploha u točki koju je naznačio učitelj;

Napravite raspored površina koje se presijecaju.

Rad se najprije radi na A2 grafofoliju, zatim na Whatman papiru A2 formata. Crtež mora biti sastavljen u skladu s GOST ESKD. Glavni natpis je napravljen prema obrascu 1.

Pri izvođenju rada koriste se predavanja, materijali za praktičnu nastavu i preporučena literatura.

Opcije zadatka dane su u prilogu.

2.3. Redoslijed zadatka.

Učenik dobiva verziju zadatka koja odgovara broju na popisu u grupnom dnevniku i radi na zadatku četiri tjedna.

Tjedan dana nakon primitka zadaće učenik prezentira učitelju konstrukcije geometrijskog dijela determinanti i skice zadanih ploha, izrađene na grafofoliju A2.

Dva tjedna kasnije prikazan je crtež, dopunjen konstrukcijom linije presjeka ploha i tangentne ravnine.

Tijekom trećeg tjedna rad na A4 milimetarskom papiru završava se izradom razvoja jedne od ploha s crtanjem linije presjeka ploha.

Tijekom četvrtog tjedna izvodi se raspored površina koje se presijecaju.

Urađeni rad prezentira se nastavniku koji vodi praktičnu nastavu. Prema dovršenoj konstrukciji na grafofoliju provjerava se usvajanje proučenog gradiva od strane učenika.

Kod rješavanja pozicijskog problema konstruiranja linije presjeka ploha koristi se metoda presjeka. Kao "posrednike" birajte sekantne ravnine ili sfere. Pozornost treba posvetiti gore navedenim pojedinim slučajevima (metoda rezanja ravnina i metoda sfera), koji daju najjednostavnije rješenje problema. Ako je potrebno, pribjegavajte kombinaciji ovih metoda.

Prilikom izvođenja površinskog zamaha potrebno je proučiti konstrukcije izvedene metodom normalnog presjeka i metodom valjanja, kao i metode za izradu približnih i uvjetnih zamaha te koristiti najracionalniju metodu u radu.

Prilikom povlačenja tangentne ravnine na plohu u danoj točki, dovoljno je konstruirati dvije krivulje na površini koja prolazi kroz točku, te povući tangente na te prave u danoj točki, imajući na umu da je tangenta na ravnu krivulju projiciran tangentom na njegovu projekciju.

KNJIŽEVNOST.

1. Vinitsky geometrija. Moskva: Viša škola, 1975.

2. Gordonova geometrija. Moskva: Nauka, 1975.

3. Površine. Metodičke upute. / Sastavio, / Saratov, SGTU, 1990.

OPCIJE ZADATAKA