1
/
5
Važnost normalne distribucije u mnogim područjima znanosti (na primjer, u matematičkoj statistici i statističkoj fizici) proizlazi iz središnjeg graničnog teorema teorije vjerojatnosti. Ako je rezultat promatranja zbroj mnogih slučajnih, slabo međuovisnih varijabli, od kojih svaka daje mali doprinos u odnosu na ukupni zbroj, tada kako se broj pojmova povećava, distribucija centriranog i normaliziranog rezultata teži normalnoj. Ovaj zakon teorije vjerojatnosti ima za posljedicu široku distribuciju normalne distribucije, što je bio jedan od razloga za njegovo ime.
Svojstva
Trenuci
Ako su slučajne varijable X 1 (\displaystyle X_(1)) i X 2 (\displaystyle X_(2)) neovisni su i imaju normalnu distribuciju s matematičkim očekivanjima μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) i μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) i disperzije σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) i σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) odnosno onda X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) također ima normalnu distribuciju s očekivanom vrijednošću μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) i disperzija σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) To implicira da se normalna slučajna varijabla može predstaviti kao zbroj proizvoljnog broja neovisnih normalnih slučajnih varijabli.
Maksimalna entropija
Normalna raspodjela ima najveću diferencijalnu entropiju među svim kontinuiranim distribucijama čija varijanca ne prelazi zadanu vrijednost.
Modeliranje normalnih pseudoslučajnih varijabli
Najjednostavnije približne metode modeliranja temelje se na središnjem graničnom teoremu. Naime, ako dodamo nekoliko neovisnih identično raspoređenih veličina s konačnom varijansom , tada će zbroj biti raspoređen približno fino. Na primjer, ako dodate 100 neovisnih standarda ravnomjerno distribuirane slučajne varijable, tada će distribucija zbroja biti približna normalan.
Za generiranje softvera normalno raspoređenih pseudo-slučajnih varijabli, poželjno je koristiti Box - Mullerovu transformaciju. Omogućuje vam generiranje jedne normalno raspoređene vrijednosti na temelju jedne jednako raspoređene.
Normalna distribucija u prirodi i primjenama
Normalna raspodjela često se nalazi u prirodi. Na primjer, sljedeće slučajne varijable dobro su modelirane normalnom distribucijom:
- otklon pucanja.
- mjerne pogreške (međutim, pogreške nekih mjernih instrumenata imaju nenormalne distribucije).
- neke karakteristike živih organizama u populaciji.
Ova je raspodjela toliko raširena jer je beskonačno djeljiva kontinuirana raspodjela s konačnom varijansom. Stoga mu neki drugi pristupaju u granicama, poput binoma i Poissona. Mnogi nedeterministički fizički procesi su modelirani ovom distribucijom.
Odnos s drugim distribucijama
- Normalna raspodjela je Pearsonova distribucija tipa XI.
- Omjer para neovisnih standardnih normalno raspoređenih slučajnih varijabli ima Cauchyjevu distribuciju. Odnosno, ako je slučajna varijabla X (\displaystyle X) predstavlja odnos X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(gdje Y (\displaystyle Y) i Z (\displaystyle Z) su nezavisne standardne normalne slučajne varijable), tada će imati Cauchyjevu distribuciju.
- Ako je a z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots,z_(k)) su zajednički nezavisne standardne normalne slučajne varijable, t.j. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\lijevo(0,1\desno)), zatim slučajna varijabla x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) ima hi-kvadrat raspodjelu s k stupnjeva slobode.
- Ako je slučajna varijabla X (\displaystyle X) podliježe lognormalnoj raspodjeli, tada njegov prirodni logaritam ima normalnu raspodjelu. Odnosno, ako X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \lijevo(\mu,\sigma ^(2)\desno)), onda Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). I obrnuto, ako Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \lijevo(\mu,\sigma ^(2)\desno)), onda X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2) \pravo)).
- Omjer kvadrata dvije standardne normalne slučajne varijable ima
Zakon normalne distribucije (često nazvan Gaussov zakon) igra iznimno važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti i zauzima poseban položaj među ostalim zakonima raspodjele. Ovo je najčešći zakon o distribuciji u praksi. Glavna značajka koja razlikuje normalni zakon od drugih zakona je da je to granični zakon, kojemu se drugi zakoni distribucije približavaju pod vrlo često tipičnim uvjetima.
Može se dokazati da zbroj dovoljno velikog broja neovisnih (ili slabo ovisnih) slučajnih varijabli podložnih proizvoljnim zakonima distribucije (podložni određenim vrlo labavim ograničenjima) približno odgovara normalnom zakonu, a to je točno što je točnije što je veći broj slučajnih varijabli se zbraja. Većina slučajnih varijabli koje se susreću u praksi, kao što su, na primjer, mjerne pogreške, pogreške snimanja itd., mogu se predstaviti kao zbroj vrlo velikog broja relativno malih članova - elementarnih pogrešaka, od kojih je svaka uzrokovana djelovanje zasebnog uzroka koji ne ovisi o drugima . Kakvi god zakoni distribucije bili podložni pojedinačnim elementarnim pogreškama, značajke tih distribucija u zbroju velikog broja pojmova se izravnavaju i ispada da zbroj podliježe zakonu bliskom normalnom. Glavno ograničenje nametnuto zbrojivim pogreškama je da sve one jednako igraju relativno malu ulogu u ukupnom zbroju. Ako ovaj uvjet nije zadovoljen i, na primjer, pokaže se da jedna od slučajnih pogrešaka oštro prevladava nad svim ostalim po svom utjecaju na zbroj, tada će zakon raspodjele ove prevladavajuće pogreške nametnuti svoj utjecaj na zbroj i odrediti u svojim glavnim značajkama njegov zakon distribucije.
Teoremi koji uspostavljaju normalni zakon kao granicu za zbroj neovisnih jednoliko malih slučajnih članova bit će detaljnije razmotreni u 13. poglavlju.
Zakon normalne distribucije karakterizira gustoća vjerojatnosti oblika:
Krivulja raspodjele prema normalnom zakonu ima simetričan brežuljkasti izgled (slika 6.1.1). Maksimalna ordinata krivulje, jednaka , odgovara točki ; kako se udaljavamo od točke, gustoća distribucije opada, a na , krivulja se asimptotski približava osi apscise.
Otkrijmo značenje numeričkih parametara i uključenih u izraz normalnog zakona (6.1.1); dokazat ćemo da vrijednost nije ništa drugo nego matematičko očekivanje, a vrijednost je standardna devijacija vrijednosti . Da bismo to učinili, izračunavamo glavne numeričke karakteristike količine - matematičko očekivanje i varijancu.
Primjena promjene varijable
Lako je provjeriti da je prvi od dva intervala u formuli (6.1.2) jednak nuli; drugi je dobro poznati Euler-Poissonov integral:
. (6.1.3)
Stoga,
oni. parametar je matematičko očekivanje vrijednosti . Ovaj parametar, osobito u zadacima gađanja, često se naziva središtem disperzije (skraćeno c.r.).
Izračunajmo disperziju količine:
.
Ponovno primjena promjene varijable
Integrirajući po dijelovima, dobivamo:
Prvi član u vitičastim zagradama jednak je nuli (budući da kada opada brže od bilo koje snage raste), drugi član prema formuli (6.1.3) jednak je , odakle
Stoga, parametar u formuli (6.1.1) nije ništa drugo nego standardna devijacija vrijednosti.
Doznajmo značenje parametara i normalnu distribuciju. Iz formule (6.1.1) se može izravno vidjeti da je središte simetrije raspodjele središte raspršenja. To je jasno iz činjenice da kada se predznak razlike obrne, izraz (6.1.1) se ne mijenja. Ako promijenite centar disperzije, krivulja distribucije će se pomaknuti duž x-osi bez promjene oblika (slika 6.1.2). Središte raspršenja karakterizira položaj distribucije na x-osi.
Dimenzija centra raspršenja je ista kao i dimenzija slučajne varijable .
Parametar ne karakterizira položaj, već sam oblik krivulje distribucije. Ovo je karakteristika disperzije. Najveća ordinata krivulje distribucije obrnuto je proporcionalna ; pri porastu maksimalna ordinata opada. Budući da površina krivulje distribucije uvijek mora ostati jednaka jedinici, kako se krivulja distribucije povećava, ona postaje ravnija, protežući se duž x-osi; naprotiv, sa smanjenjem, krivulja distribucije se proteže prema gore, istovremeno se skupljajući sa strana i postaje igličastija. Na sl. 6.1.3 prikazuje tri normalne krivulje (I, II, III) na ; od njih, krivulja I odgovara najvećoj vrijednosti, a krivulja III najmanjoj vrijednosti. Promjena parametra je ekvivalentna promjeni mjerila krivulje distribucije – povećanje razmjera duž jedne osi, a isto smanjenje duž druge.
Primjeri slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu su visina osobe, masa ulovljene ribe iste vrste. Normalna raspodjela znači sljedeće
: postoje vrijednosti ljudske visine, mase riba iste vrste, koje se intuitivno percipiraju kao "normalne" (a zapravo - prosječne), a mnogo su češće u dovoljno velikom uzorku od onih koji se razlikuju gore ili dolje.
Normalna raspodjela vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable (ponekad Gaussova raspodjela) može se nazvati zvonastom zbog činjenice da je funkcija gustoće ove raspodjele, koja je simetrična u odnosu na srednju vrijednost, vrlo slična rezu zvona ( crvena krivulja na gornjoj slici).
Vjerojatnost ispunjavanja određenih vrijednosti u uzorku jednaka je površini figure ispod krivulje, a u slučaju normalne raspodjele vidimo da je ispod vrha "zvona" , što odgovara vrijednostima koje teže prosjeku, površina, a time i vjerojatnost, veća je nego ispod rubova. Dakle, dobivamo isto što je već rečeno: vjerojatnost susreta s osobom "normalne" visine, ulov ribe "normalne" težine veća je nego za vrijednosti koje se razlikuju gore ili dolje. U mnogim slučajevima u praksi, pogreške mjerenja se distribuiraju prema zakonu koji je blizak normalnom.
Zaustavimo se opet na slici na početku lekcije koja prikazuje funkciju gustoće normalne raspodjele. Graf ove funkcije dobiven je izračunavanjem nekog uzorka podataka u programskom paketu STATISTIKA. Na njemu stupci histograma predstavljaju intervale vrijednosti uzorka čija je distribucija bliska (ili, kako kažu u statistici, ne razlikuje se značajno od) samom grafu funkcije gustoće normalne distribucije, koji je crvena krivulja. Grafikon pokazuje da je ova krivulja doista zvonastog oblika.
Normalna raspodjela je vrijedna na mnogo načina jer znajući samo srednju vrijednost neprekidne slučajne varijable i standardnu devijaciju, možete izračunati bilo koju vjerojatnost povezanu s tom varijablom.
Normalna distribucija ima dodatnu prednost jer je jedna od najjednostavnijih za korištenje statistički kriteriji koji se koriste za provjeru statističkih hipoteza - Studentov t-test- može se koristiti samo u slučaju kada podaci uzorka poštuju zakon normalne distribucije.
Funkcija gustoće normalne distribucije kontinuirane slučajne varijable može se pronaći pomoću formule:
,
gdje x- vrijednost varijable, - srednja vrijednost, - standardna devijacija, e\u003d 2,71828 ... - baza prirodnog logaritma, \u003d 3,1416 ...
Svojstva funkcije gustoće normalne distribucije
Promjene srednje vrijednosti pomiču zvonastu krivulju u smjeru osi Vol. Ako se povećava, krivulja se pomiče udesno, ako se smanjuje, onda ulijevo.
Ako se standardna devijacija promijeni, tada se mijenja visina vrha krivulje. Kada se standardna devijacija povećava, vrh krivulje je viši, kada se smanjuje, niži.
Vjerojatnost da će vrijednost normalno raspoređene slučajne varijable pasti unutar zadanog intervala
Već u ovom odlomku počet ćemo rješavati praktične probleme čije je značenje naznačeno u naslovu. Analizirajmo koje mogućnosti pruža teorija za rješavanje problema. Početni koncept za izračun vjerojatnosti pada normalno raspoređene slučajne varijable u zadani interval je integralna funkcija normalne distribucije.
Funkcija integralne normalne distribucije:
.
Međutim, problematično je dobiti tablice za svaku moguću kombinaciju srednje vrijednosti i standardne devijacije. Stoga je jedan od jednostavnih načina za izračunavanje vjerojatnosti da normalno raspoređena slučajna varijable padne u zadani interval korištenje tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju.
Normalna raspodjela naziva se standardizirana ili normalizirana distribucija., čija je srednja vrijednost , a standardna devijacija je .
Funkcija gustoće standardizirane normalne distribucije:
.
Kumulativna funkcija standardizirane normalne distribucije:
.
Slika ispod prikazuje integralnu funkciju standardizirane normalne distribucije, čiji je graf dobiven izračunavanjem nekog uzorka podataka u programskom paketu STATISTIKA. Sam graf je crvena krivulja, a vrijednosti uzorka joj se približavaju.
Za povećanje slike možete kliknuti lijevom tipkom miša.
Standardiziranje slučajne varijable znači prelazak s izvornih jedinica korištenih u zadatku na standardizirane jedinice. Standardizacija se provodi prema formuli
U praksi često nisu poznate sve moguće vrijednosti slučajne varijable, pa se vrijednosti srednje vrijednosti i standardne devijacije ne mogu točno odrediti. Zamijenjene su aritmetičkom sredinom opažanja i standardnom devijacijom s. Vrijednost z izražava odstupanja vrijednosti slučajne varijable od aritmetičke sredine pri mjerenju standardnih odstupanja.
Otvoreni interval
Tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju, koja je dostupna u gotovo svakoj knjizi o statistici, sadrži vjerojatnosti da slučajna varijabla ima standardnu normalnu distribuciju Z poprima vrijednost manju od određenog broja z. To jest, pasti će u otvoreni interval od minus beskonačnosti do z. Na primjer, vjerojatnost da vrijednost Z manje od 1,5 jednako je 0,93319.
Primjer 1 Tvrtka proizvodi dijelove koji imaju normalno raspoređeni životni vijek sa prosjekom od 1000 i standardnom devijacijom od 200 sati.
Za slučajno odabrani dio izračunajte vjerojatnost da će njegov vijek trajanja biti najmanje 900 sati.
Odluka. Uvedemo prvu oznaku:
Željena vjerojatnost.
Vrijednosti slučajne varijable su u otvorenom intervalu. Ali možemo izračunati vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost manju od zadane vrijednosti, a prema uvjetu zadatka potrebno je pronaći jednaku ili veću vrijednost od zadane. Ovo je drugi dio prostora ispod zvonaste krivulje. Stoga, da bismo pronašli željenu vjerojatnost, potrebno je od jedne oduzeti spomenutu vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od navedenih 900:
Sada slučajnu varijablu treba standardizirati.
Nastavljamo uvoditi oznaku:
z = (x ≤ 900)
;
x= 900 - zadana vrijednost slučajne varijable;
μ
= 1000 - prosječna vrijednost;
σ
= 200 - standardna devijacija.
Na temelju ovih podataka dobivamo uvjete problema:
.
Prema tablicama standardizirane slučajne varijable (granica intervala) z= −0,5 odgovara vjerojatnosti 0,30854. Oduzmite ga od jedinice i dobijete ono što je potrebno u uvjetu problema:
Dakle, vjerojatnost da će životni vijek dijela biti najmanje 900 sati je 69%.
Ova se vjerojatnost može dobiti pomoću MS Excel funkcije NORM.DIST (vrijednost integralne vrijednosti je 1):
P(x≥900) = 1 - P(x≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
O izračunima u MS Excelu - u jednom od sljedećih odlomaka ove lekcije.
Primjer 2 U nekom gradu prosječni godišnji prihod obitelji je normalno raspoređena slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 300 000 i standardnom devijacijom od 50 000. Poznato je da je prihod 40% obitelji manji od vrijednosti A. Pronađite vrijednost A.
Odluka. U ovom problemu, 40% nije ništa drugo do vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz otvorenog intervala koja je manja od određene vrijednosti, označene slovom A.
Da biste pronašli vrijednost A, prvo sastavljamo integralnu funkciju:
Prema zadatku
μ
= 300000 - prosječna vrijednost;
σ
= 50000 - standardna devijacija;
x = A je vrijednost koju treba pronaći.
Stvaranje jednakosti
.
Prema statističkim tablicama nalazimo da vjerojatnost od 0,40 odgovara vrijednosti granice intervala z = −0,25
.
Stoga pravimo jednakost
i pronađite njegovo rješenje:
A = 287300
.
Odgovor: prihod 40% obitelji manji je od 287300.
Zatvoreni interval
U mnogim je problemima potrebno pronaći vjerojatnost da normalno raspoređena slučajna varijabla uzme vrijednost u intervalu od z 1 do z 2. To jest, pasti će u zatvoreni interval. Za rješavanje takvih problema potrebno je u tablici pronaći vjerojatnosti koje odgovaraju granicama intervala, a zatim pronaći razliku između tih vjerojatnosti. To zahtijeva oduzimanje manje vrijednosti od veće. Primjeri za rješavanje ovih uobičajenih problema su sljedeći, a predlaže se da ih sami riješite i tada možete vidjeti točna rješenja i odgovore.
Primjer 3 Dobit poduzeća za određeno razdoblje je slučajna varijabla koja podliježe normalnom zakonu raspodjele s prosječnom vrijednošću od 0,5 milijuna c.u. i standardna devijacija od 0,354. Odredite, s točnošću od dvije decimale, vjerojatnost da će dobit poduzeća biti od 0,4 do 0,6 c.u.
Primjer 4 Duljina proizvedenog dijela je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima μ
=10 i σ
=0,071. Odrediti, s točnošću od dvije decimale, vjerojatnost braka ako bi dopuštene dimenzije dijela trebale biti 10 ± 0,05.
Savjet: u ovom zadatku, osim pronalaženja vjerojatnosti da slučajna varijable padne u zatvoreni interval (vjerojatnost dobivanja neispravnog dijela), potrebna je još jedna radnja.
omogućuje određivanje vjerojatnosti da standardizirana vrijednost Z ne manje -z i ne više +z, gdje z- proizvoljno odabrana vrijednost standardizirane slučajne varijable.
Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije
Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije vrijednosti uzorka temelji se na sljedećem svojstvo normalne raspodjele: iskrivljenost β
1
i koeficijent kurtoze β
2
nula.
Koeficijent asimetrije β
1
numerički karakterizira simetriju empirijske raspodjele u odnosu na srednju vrijednost. Ako je asimetrija nula, tada su aritmetrijska sredina, medijan i mod jednaki: a krivulja gustoće distribucije je simetrična u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije manji od nule (β
1
< 0
), tada je aritmetička sredina manja od medijane, a medijana je pak manja od modusa () i krivulja je pomaknuta udesno (u usporedbi s normalnom distribucijom). Ako je koeficijent asimetrije veći od nule (β
1
> 0
), tada je aritmetička sredina veća od medijane, a medijana je pak veća od modusa () i krivulja je pomaknuta ulijevo (u usporedbi s normalnom distribucijom).
Kurtosis koeficijent β
2
karakterizira koncentraciju empirijske distribucije oko aritmetičke sredine u smjeru osi Oy i stupanj vrhunca krivulje gustoće distribucije. Ako je koeficijent kurtoze veći od nule, tada je krivulja više izdužena (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Oy(grafikon je šiljatiji). Ako je koeficijent kurtoze manji od nule, tada je krivulja spljoštenija (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Oy(graf je tupiji).
Koeficijent zakrivljenosti može se izračunati pomoću MS Excel funkcije SKRS. Ako provjeravate jedan niz podataka, tada morate unijeti raspon podataka u jedan okvir "Broj".
Koeficijent ekscesa može se izračunati korištenjem MS Excel funkcije kurtosis. Prilikom provjere jednog niza podataka dovoljno je i upisati raspon podataka u jedan okvir "Broj".
Dakle, kao što već znamo, s normalnom distribucijom, koeficijenti nagnutosti i kurtosis jednaki su nuli. Ali što ako smo dobili koeficijente asimetrije jednake -0,14, 0,22, 0,43 i koeficijente kurtosis jednake 0,17, -0,31, 0,55? Pitanje je sasvim pošteno, budući da se u praksi bavimo samo približnim, selektivnim vrijednostima asimetrije i kurtosisa, koji su podložni nekom neizbježnom, nekontroliranom raspršenju. Stoga je nemoguće zahtijevati strogu jednakost ovih koeficijenata na nulu, oni bi trebali biti samo dovoljno blizu nuli. Ali što znači dovoljno?
Potrebno je usporediti primljene empirijske vrijednosti s dopuštenim vrijednostima. Da biste to učinili, trebate provjeriti sljedeće nejednakosti (usporedite vrijednosti koeficijenata po modulu s kritičnim vrijednostima - granicama područja testiranja hipoteze).
Za koeficijent asimetrije β
1
.
) ima posebno važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti i najčešće se koristi u rješavanju praktičnih problema. Njegova glavna značajka je da je to granični zakon, kojemu pristupaju drugi zakoni distribucije pod vrlo uobičajenim tipičnim uvjetima. Na primjer, zbroj dovoljno velikog broja neovisnih (ili slabo ovisnih) slučajnih varijabli približno odgovara normalnom zakonu, a to je točnije, što se više slučajnih varijabli zbraja.
Eksperimentalno je dokazano da mjerne pogreške, odstupanja geometrijskih dimenzija i položaja elemenata građevinskih konstrukcija tijekom njihove izrade i ugradnje, varijabilnost fizičko-mehaničkih karakteristika materijala i opterećenja koja djeluju na građevinske konstrukcije podliježu normalnom zakonu.
Gotovo sve slučajne varijable podliježu Gaussovoj raspodjeli, čije je odstupanje od prosječnih vrijednosti uzrokovano velikim skupom slučajnih čimbenika, od kojih je svaki pojedinačno beznačajan (središnji granični teorem).
normalna distribucija nazivamo distribucijom slučajne kontinuirane varijable za koju gustoća vjerojatnosti ima oblik (slika 18.1).
Riža. 18.1. Zakon normalne distribucije za 1< a 2 .
gdje su a i parametri distribucije.
Vjerojatnostne karakteristike slučajne varijable raspoređene prema normalnom zakonu jednake su:
Matematičko očekivanje (18.2)
Disperzija (18.3)
Standardna devijacija (18,4)
Koeficijent asimetrije A = 0(18.5)
Višak E= 0. (18.6)
Parametar σ uključen u Gaussovu distribuciju jednak je korijenskom srednjem kvadratnom omjeru slučajne varijable. Vrijednost a određuje položaj distribucijskog centra (vidi sliku 18.1), i vrijednost a- širina distribucije (slika 18.2), t.j. statističko širenje oko srednje vrijednosti.
Riža. 18.2. Zakon normalne raspodjele za σ 1< σ 2 < σ 3
Vjerojatnost pada u zadani interval (od x 1 do x 2) za normalnu distribuciju, kao iu svim slučajevima, određena je integralom gustoće vjerojatnosti (18.1), koji nije izražen u terminima elementarnih funkcija i iznosi predstavljeno posebnom funkcijom, koja se zove Laplaceova funkcija (integral vjerojatnosti).
Jedan od prikaza integrala vjerojatnosti:
Vrijednost i pozvao kvantila.
Vidi se da je F(h) neparna funkcija, tj. F(-h) = -F(h) .
Vrijednosti ove funkcije izračunate su i prikazane u obliku tablica u tehničkoj i obrazovnoj literaturi.
Funkcija distribucije normalnog zakona (slika 18.3) može se izraziti u smislu integrala vjerojatnosti:
Riža. 18.2. Funkcija zakona normalne distribucije.
Vjerojatnost da slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu spada u interval od X. do x, određena je izrazom:
Treba napomenuti da
F(0) = 0; F(∞) = 0,5; F(-∞) = -0,5.
Prilikom rješavanja praktičnih problema vezanih za distribuciju, često se mora uzeti u obzir vjerojatnost pada u interval koji je simetričan u odnosu na matematičko očekivanje, ako duljina tog intervala, tj. ako sam interval ima granicu od do , imamo:
Prilikom rješavanja praktičnih problema, granice odstupanja slučajnih varijabli izražavaju se kroz standard, standardnu devijaciju, pomnoženu određenim faktorom koji određuje granice područja odstupanja slučajne varijable.
Uzimajući i također koristeći formulu (18.10) i tablicu F (x) (Dodatak br. 1), dobivamo
Ove formule pokazuju da ako slučajna varijabla ima normalnu distribuciju, tada je vjerojatnost njenog odstupanja od srednje vrijednosti za najviše 68,27%, ne više od 2σ - 95,45% i ne više od 3σ - 99,73%.
Budući da je vrijednost 0,9973 bliska jedinici, praktički je nemoguće da normalna distribucija slučajne varijable odstupi od matematičkog očekivanja za više od 3σ. Ovo pravilo, koje vrijedi samo za normalnu distribuciju, naziva se pravilo tri sigma. Vjerojatno je njegovo kršenje P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Ovo se pravilo koristi pri postavljanju granica dopuštenih odstupanja tolerancija geometrijskih karakteristika proizvoda i konstrukcija.
Slučajno ako, kao rezultat iskustva, može poprimiti stvarne vrijednosti s određenim vjerojatnostima. Najpotpunija, iscrpna karakteristika slučajne varijable je zakon raspodjele. Zakon distribucije je funkcija (tablica, grafikon, formula) koja vam omogućuje da odredite vjerojatnost da slučajna varijabla X zauzme određenu vrijednost xi ili padne u određeni interval. Ako slučajna varijabla ima zadani zakon distribucije, onda se kaže da je raspoređena prema ovom zakonu ili da poštuje ovaj zakon distribucije.
Svatko zakon o distribuciji je neka funkcija koja u potpunosti opisuje slučajnu varijablu s vjerojatnosnog stajališta. U praksi se distribucija vjerojatnosti slučajne varijable X često mora suditi samo prema rezultatima testa.
Normalna distribucija
Normalna distribucija, također nazvana Gaussova raspodjela, je raspodjela vjerojatnosti koja igra ključnu ulogu u mnogim područjima znanja, posebno u fizici. Fizička veličina podliježe normalnoj distribuciji kada je pod utjecajem velikog broja slučajnih šuma. Jasno je da je ova situacija iznimno česta, pa možemo reći da se od svih distribucija u prirodi najčešće javlja normalna distribucija – otuda i jedno od njezinih naziva.
Normalna raspodjela ovisi o dva parametra - pomaku i mjerilu, odnosno, s matematičke točke gledišta, to nije jedna distribucija, već cijela njihova obitelj. Vrijednosti parametara odgovaraju srednjim vrijednostima (matematičko očekivanje) i širenju (standardna devijacija).
Standardna normalna distribucija je normalna raspodjela sa srednjom 0 i standardnom devijacijom 1.
Koeficijent asimetrije
Koeficijent zakrivljenosti je pozitivan ako je desni rep distribucije duži od lijevog, a negativan u suprotnom.
Ako je distribucija simetrična u odnosu na matematičko očekivanje, tada je njezin koeficijent zakrivljenosti jednak nuli.
Koeficijent zakrivljenosti uzorka koristi se za ispitivanje simetrije distribucije, kao i za grubi preliminarni test normalnosti. Dopušta vam da odbacite, ali vam ne dopušta da prihvatite hipotezu normalnosti.
Kurtosis koeficijent
Koeficijent kurtoze (koeficijent oštrine) je mjera oštrine vrha distribucije slučajne varijable.
"Minus tri" na kraju formule uvodi se tako da je koeficijent kurtoze normalne distribucije jednak nuli. Pozitivan je ako je vrh distribucije blizu očekivane vrijednosti oštar, a negativan ako je vrh gladak.
Trenuci slučajne varijable
Moment slučajne varijable je numerička karakteristika distribucije dane slučajne varijable.
