Obrazloženje koje se temelji samo na preciznim činjenicama i točnim zaključcima temeljenim na tim činjenicama naziva se rigoroznim razmatranjem. U slučajevima kada je za donošenje odluka potrebno koristiti nesigurne činjenice, strogo obrazloženje postaje neprikladno. Stoga se jedna od snaga svakog stručnog sustava smatra njegovom sposobnošću da oblikuje zaključivanje u uvjetima neizvjesnosti jednako uspješno kao što to čine ljudski stručnjaci. Takvo zaključivanje je labave prirode. Možete sigurno govoriti o prisutnosti Mutna logika.

Nesigurnost, pa se kao rezultat toga nejasna logika može smatrati nedostatnom informacijom za donošenje odluke. Neizvjesnost postaje problem jer može spriječiti stvaranje najboljeg rješenja, pa čak i uzrokovati pronalaženje lošeg rješenja. Valja napomenuti da se kvalitetno rješenje pronađeno u stvarnom vremenu često smatra prihvatljivijim od boljeg rješenja za čije je izračunavanje potrebno puno vremena. Na primjer, kašnjenje u pružanju liječenja za dodatno testiranje može rezultirati smrću pacijenta bez čekanja na pomoć.

Razlog nesigurnosti je prisutnost različitih pogrešaka u informacijama. Pojednostavljena klasifikacija te se pogreške mogu prezentirati podjelom na sljedeće vrste:

• nejasnoća informacija, čija je pojava posljedica činjenice da se neke informacije mogu tumačiti na različite načine;
• nepotpune informacije zbog nedostatka nekih podataka;
• nedostatnost informacija uzrokovana uporabom podataka ne odgovara stvarnom stanju (mogući razlozi su subjektivne pogreške: laži, pogrešne informacije, kvar opreme);
• pogreške mjerenja koje nastaju zbog nepoštivanja zahtjeva za ispravnost i točnost kriterija za kvantitativni prikaz podataka;
• slučajne pogreške, čija su manifestacija slučajne fluktuacije podataka u odnosu na njihovu srednju vrijednost (razlog može biti: nepouzdanost opreme, Brownovo kretanje, toplinski učinci itd.).

Do danas je razvijen značajan broj teorija nesigurnosti u kojima se pokušava ukloniti neke ili čak sve pogreške i dati pouzdan zaključak u uvjetima nesigurnosti. U praksi se najviše koriste teorije temeljene na klasičnoj definiciji vjerojatnosti i na stražnjoj vjerojatnosti.

Jedan od najstarijih i najvažnijih alata za rješavanje problema umjetne inteligencije je vjerojatnost. Vjerojatnost je kvantitativni način objašnjavanja nesigurnosti. Klasična vjerojatnost potječe iz teorije koju su Pascal i Fermat prvi put predložili 1654. Od tada je mnogo učinjeno na proučavanju vjerojatnosti i implementaciji brojnih primjena vjerojatnosti u znanosti, tehnologiji, poslovanju, ekonomiji i drugim područjima.

Klasična vjerojatnost

Klasična vjerojatnost naziva se i apriornom vjerojatnošću, budući da se njezina definicija odnosi na idealne sustave. Izraz "prethodni" označava vjerojatnost koja je određena "prema događajima", ne uzimajući u obzir mnoge čimbenike koji se događaju u stvarnom svijetu. Koncept apriorne vjerojatnosti primjenjuje se na događaje koji se događaju u idealnim sustavima sklonim trošenju ili utjecaju drugih sustava. U idealnom sustavu, pojava bilo kojeg događaja događa se na isti način, što znatno olakšava njihovu analizu.

Temeljna formula za klasičnu vjerojatnost (P) definirana je kako slijedi:

U ovoj formuli W je broj očekivanih događaja, i N- ukupan broj događaja s jednakom vjerojatnošću koji su mogući rezultati pokusa ili testa. Na primjer, vjerojatnost da dobijete bilo koje lice šestostrane kocke je 1/6, a izvlačenje bilo koje karte iz špila koje sadrži 52 različite karte je 1/52.

Aksiomi teorije vjerojatnosti

Formalna teorija vjerojatnosti može se stvoriti na temelju tri aksioma:

Gore navedeni aksiomi omogućili su postavljanje temelja teoriji vjerojatnosti, ali ne uzimaju u obzir vjerojatnost događaja u stvarnim - neidealnim sustavima. Za razliku od apriornog pristupa, u stvarnim sustavima, za određivanje vjerojatnosti nekog događaja P (E), primjenjuje se metoda za određivanje eksperimentalne vjerojatnosti kao granice distribucije frekvencije:

Posteriorna vjerojatnost

U ovoj formuli f (E) označava učestalost pojavljivanja nekog događaja između N broj opažanja ukupnih rezultata. Ova vrsta vjerojatnosti naziva se i stražnja vjerojatnost, tj. vjerojatnost određena "nakon događaja". Temelj za određivanje posteriorne vjerojatnosti je mjerenje učestalosti s kojom se događaj događa tijekom velikog broja ispitivanja. Na primjer, definicija društvenog tipa kreditno sposobnog klijenta banke na temelju empirijskog iskustva.

Događaji koji se međusobno ne isključuju mogu utjecati jedni na druge. Takvi se događaji klasificiraju kao složeni. Vjerojatnost složenih događaja može se izračunati analizom odgovarajućih prostora uzorka. Ovi prostori za uzorke mogu se prikazati pomoću Vennovih dijagrama, kao što je prikazano na Sl. 1

Slika 1 Uzorak prostora za dva događaja koja se međusobno ne isključuju

Vjerojatnost pojave događaja A, koja se utvrđuje uzimajući u obzir činjenicu da se dogodio događaj B, naziva se uvjetna vjerojatnost i označava se P (A | B)... Uvjetna vjerojatnost definirana je na sljedeći način:

Prethodna vjerojatnost

U ovoj formuli vjerojatnost P (B) ne smije biti nula i prethodna je vjerojatnost koja se utvrđuje prije nego što postanu poznate druge dodatne informacije. Prethodna vjerojatnost ono što se koristi u vezi s upotrebom uvjetne vjerojatnosti ponekad se naziva apsolutna vjerojatnost.

Postoji problem koji je u biti suprotan problemu izračuna uvjetne vjerojatnosti. Sastoji se u određivanju inverzne vjerojatnosti, koja pokazuje vjerojatnost prethodnog događaja, uzimajući u obzir one događaje koji su se dogodili u budućnosti. U praksi se ova vrsta vjerojatnosti često susreće, na primjer, tijekom medicinske dijagnostike ili dijagnostike opreme, u kojoj se otkrivaju određeni simptomi, a zadatak je pronaći mogući uzrok.

Za rješavanje ovog problema koristimo se Bayesov teorem, nazvan po britanskom matematičaru iz 18. stoljeća Thomasu Bayesu. Bayesova teorija danas se naširoko koristi za analizu stabala odlučivanja u ekonomiji i društvenim znanostima. Bayesovo traženje rješenja također se koristi u stručnom sustavu PROSPECTOR pri identificiranju obećavajućih mjesta za istraživanje minerala. Sustav PROSPECTOR stekao je široku popularnost kao prvi stručni sustav, uz pomoć kojeg je otkriveno vrijedno ležište molibdena, koje je koštalo 100 milijuna dolara.

C7 U ovom modernom obliku, Bayesov je teorem zapravo formulirao Laplace. Sama formulacija problema pripada Thomasu Bayesu. On je to formulirao kao inverz dobro poznatog Bernoullijevog problema. Ako je Bernoulli tražio vjerojatnost različitih ishoda "krivulje" bacanja novčića, tada je Bayes, naprotiv, nastojao utvrditi stupanj te "zakrivljenosti" empirijski promatranim ishodima bacanja novčića. U njegovu rješenju nije postojala prethodna vjerojatnost.

Iako pravilo izgleda vrlo jednostavno, pokazalo se da ga je teško primijeniti u praksi, budući da su zadnje vjerojatnosti (ili čak vrijednosti pojednostavljenih funkcija odlučivanja) nepoznate. Njihove se vrijednosti mogu procijeniti. Na temelju Bayesovog teorema, aposteriori vjerojatnosti mogu se izraziti putem apriornih vjerojatnosti i funkcija gustoće formulom P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Cy P xI C,

Ocjenjujući rezultate klasifikacije prema MDA metodi, vidimo značajan udio pogrešnih odluka za tvrtke u stečaju (skupina 1) - jedno od njih bi dobilo kredit. Tvrtke s nejasnim položajem (skupina 2) teško je ispravno klasificirati jer na kraju mogu pasti u prvu ili treću skupinu. Stvar se ne može poboljšati usklađivanjem ranijih vjerojatnosti s percepcijom banke o vjerojatnosti da tvrtka pripada različitim grupama. Ukupni pokazatelj ispravnosti prognoze bio je samo 56,6%, a iz prve skupine samo 30% je ispravno klasificirano.

S postojećom razinom složenosti i istodobnosti tekućih procesa, modeli temeljeni na uzročno -posljedičnim vezama imaju ograničene mogućnosti primjene, novonastali događaji stalno mijenjaju specifikacije svih varijabli (i uključenih i ne uključenih u model), te vrijednosti apriornih vjerojatnosti i plaćanja za različite strategije vrlo su nesigurne i brzo se mijenjaju s promjenama u gospodarskom rastu, kamatnim stopama, tečajevima i profitabilnosti transakcija koje ne daju zajmove (na primjer, kada se promijene operativne naknade i provizije).

Budući da je u stvarnoj situaciji nemoguće unaprijed znati koji će dio tvrtki zastupljenih u slučajnom uzorku bankrotirati u roku od godinu dana i budući da su autori dva razmatrana modela, kako se može pretpostaviti, postavili razdjelne razine na temelju nekih specifične pretpostavke o apriornim vjerojatnostima bankrota i cijeni pogrešaka pojednostavili smo postupak usporedbe i uveli relativne razdjelne razine. Drugim riječima, za svaki smo model donjih 10% signala koje je model generirao za sljedeću godinu smatrali signalima bankrota. Zapravo, ovaj pristup znači ukupnu 10% prethodnu vjerojatnost bankrota i omjer broja signala stečaja prema stvarnim stečajevima u prethodnom testu, koji se utvrđuje pomoću optimizacijskog praga. Osim toga, ova metoda ima prednost u tome što smanjuje izobličenja zbog velikog vremenskog odmaka između objavljivanja Altmanove Z-ocjene i izvođenja eksperimenta. Prosječni pokazatelji tijekom tog vremena mogli su se promijeniti, pa se čini da je podjela tvrtki na jaka i slaba, na temelju određenog udjela, pouzdanija. Stol 9.2 prikazuje rezultate eksperimenta za predviđanje bankrota za godinu dana unaprijed s naznakom pogreške za svaki model.

Uzimajući prethodnu vjerojatnost kao činjenicu, procijenite očekivanu dobit u slučaju otvaranja podružnice.

S A. označavamo događaj da je q 6 [

Pretpostavimo, na primjer, da su odabrani sljedeći parametri: vrijednost kapitalnih ulaganja, vrijednost operativnih troškova i cijena gotovih proizvoda, koji respektivno mogu uzeti vrijednosti Kb K2, K3 Éʹ É2, É3 Cʹ C2 , Cz- Svaka od ovih vrijednosti odgovara nekoj apriornoj vjerojatnosti, na primjer, Kʹ Éʹ Ts ima vjerojatnost pt = 0,1, za K2, A2, Ts2 vjerojatnost će biti p2 = 0,8, a za K3, E3, Ts3 - p3 = 0,1.

Neka je apriorna vjerojatnost dobivanja na kraju procesa projektiranja tehničkog rješenja koje zadovoljava

Ako igrač 2 ima više od jedne strategije u igri D, a prethodne vjerojatnosti njihove uporabe nisu poznate igraču 1, ili čak nema smisla govoriti o tim vjerojatnostima, onda je sve što je upravo rečeno neprimjenjivo.

Kao što smo vidjeli ranije, promjene prethodnih vjerojatnosti p i q ovise o podešavanju signala.

Slijedi da ako imamo subjekt koji nije rizičan i koji vjeruje da će call opcija vrijediti C s vjerojatnošću m i j s vjerojatnosti (1 - m), tada će taj entitet izračunati cijenu trenutne opcije u potpunosti u skladu s našom izvedenom jednadžbom ... Imajte na umu da nikada nismo pretpostavili postojanje apriornih vjerojatnosti pojave određene cijene dionica i, prema tome, buduće vrednovanje opcije. Ovaj pristup naziva se procjena neutralne prema riziku.

Neka je m (

Desna strana (7.53) nije gustoća u pravom smislu riječi, budući da njen integral nije definiran; ipak, pri izračunavanju gustoće stražnje raspodjele parametara pomoću Bayesove formule nastaju formalne poteškoće pri radu s ( 7.53) ili ne nastaju ili se lako mogu prevladati ... Kao što ćemo vidjeti dolje u odjeljku 7.3.2, izbor (7.53) je analitički prikladan i, čini se, dobro odražava potpuni nedostatak apriornog znanja o raspodjeli parametara. Međutim, zapravo skriva vrlo čvrste pretpostavke da nema korelacije između parametara (ne treba se miješati s korelacijom između procjena vrijednosti parametara, što ovisi o raspodjeli regresora i vrijednosti a), zanemarivo a apriorna vjerojatnost da vektor parametara leži u bilo kojem danom konačnom volumenu, bez obzira na njegovu veličinu itd. To ponekad dovodi do ozbiljnih poteškoća u tumačenju rezultata Bayesove procjene.

Razmotrimo sadržaj Bayesovog teorema s malo drukčijeg gledišta. Da bismo to učinili, napišimo sve moguće ishode našeg eksperimenta. Neka simboli N0, h znače ishod, novčić nije prekriven, a gornja strana mu je grb. "

Ja sam poput V2i, tada će vjerojatnost navedenog ishoda biti Va X x1 / 2 = 1 / 4- Dolje dajemo popis svih ishoda i njihove prethodne vjerojatnosti

Dakle, u primjeru s novčićem i matricom, P (Ha) je prethodna vjerojatnost, P (Na K) je zadnja vjerojatnost, a P (H Ha) vjerojatnost.

Ako se sada prethodna vjerojatnost P (H0) može uzeti kao jednaka 1 ili 0, kaže se da je donositelj odluke

Zamislite sada da eksperimentator donositelju odluke nudi potpuno pouzdane (ili potpune) informacije o tome koji određeni objekt nije obuhvaćen. Donositelj odluke mora, međutim, platiti uslugu prenošenja tako savršeno pouzdanih podataka prije nego što primi te podatke. Kolika bi bila vrijednost takvih informacija? On može pogledati naprijed i zapitati se što će učiniti kao odgovor na svaku od dvije moguće poruke koje neka usluga može pružiti, te izračunati svoj prihod na temelju primljenih odgovora. Vaganje tog prihoda korištenjem apriornih vjerojatnosti mogućih poruka omogućilo bi mu da procijeni iznos svog očekivanog prihoda ako je platio određeni iznos za savršeno pouzdane informacije prije nego što ih je zapravo primio. Budući da bi ovaj očekivani prihod bio veći od 0,5 USD, odnosno ono što očekuje samo na temelju apriornih podataka, tada bi povećanje prihoda bilo najveći iznos koji bi za njega imalo smisla platiti informacijsku uslugu.

Tvrtka mora kupiti veliku količinu robe danas ili sutra. Danas je cijena proizvoda 14,5 USD po jedinici. Prema tvrtki, sutra će njegova cijena biti 10 USD ili 20 USD s jednakom vjerojatnošću. Neka x označava sutrašnju cijenu onda su prethodne vjerojatnosti

U posljednjoj fazi provjerava se pouzdanost izbora apriornih vjerojatnosti pojave tržišnih uvjeta i izračunava očekivana korisnost od preciziranja tih vjerojatnosti. Za to se gradi stablo odluka. Ako se pojavi potreba za dodatnim istraživanjem tržišta, preporuča se obustaviti provedbu odabrane inačice novog proizvoda dok se ne dobiju pouzdaniji rezultati.

U marketinškoj praksi poduzeća često je potrebno usporediti troškove dobivanja djelomičnih (nepotpunih) informacija i troškove dobivanja dodatnih novih informacija kako bi se donijela bolja odluka. Menadžer (donositelj odluke) mora procijeniti u kojoj mjeri koristi dobivene dodatnim informacijama pokrivaju troškove njihovog dobivanja. U ovom slučaju može se primijeniti Bayesova teorija odlučivanja. Početni podaci su apriorne vjerojatnosti P (Sk) i uvjetne vjerojatnosti P (Z Sk) pojave tržišnog stanja Z, pod uvjetom da se pretpostavi izgled stanja 5A. Po primitku novih informacija izračunava se očekivana korisnost svake strategije, a zatim se odabire strategija s najvećom vrijednošću očekivanog korisnosti. Uz pomoć novih informacija donositelj odluke može ispraviti prethodne vjerojatnosti P (Sk), a to je vrlo važno pri donošenju odluka.

Sada je poželjno znati kolika će biti vjerojatnost pojave objektivnog stanja Sk kada se dobiju nove informacije. Dakle, potrebno je pronaći P (Sk Z), gdje je k, q = 1, n. Ovo je uvjetna vjerojatnost i prilagođena prethodna vjerojatnost. Za izračun P (Sk Z) koristimo se Bayesovom formulom

Dakle, dobili smo unaprijed dorađene vjerojatnosti pojave objektivnih tržišnih uvjeta. Cijeli postupak izračuna i dobiveni rezultati prikazani su u tablici. 9.11 i 9.12.

Korištenje Bayesovog pristupa (6.47) zahtijeva poznavanje apriornih vjerojatnosti i gustoće raspodjele vjerojatnosti.

Koristeći numeričke karakteristike objekata dobivene iz AGC -a, proveli smo standardnu ​​linearnu višestruku diskriminacijsku analizu s istim (jednakim 33%) prethodnim vjerojatnostima članstva elementa. grupe. 41% od ukupnog broja slučajeva ispravno je klasificirano, što je nešto bolje od točnosti od 33% koja bi se dobila da se objekt nasumično dodijeli jednoj ili drugoj skupini. Tab. 8.6 ispod je tablica pogrešne klasifikacije, koja se također naziva matrica pogrešaka.

Sljedeći izazov je razvoj standarda za testiranje. U većini slučajeva uzima se nekoliko uzoraka za procjenu MDA modela, a to povećava vjerojatnost da će model previše odgovarati testnim podacima. Uzorci obično sadrže jednak udio poduzeća u stečaju i u stečaju, a sami podaci u pravilu odgovaraju razdobljima intenzivnog bankrota. To dovodi do zaključka da su samo rezultati procjene modela na novim podacima pouzdani. Sa stola. 9.1 može se vidjeti da je čak i na najpovoljnijim testovima s novim podacima (kada su svi primjeri uzeti iz istog vremenskog razdoblja i, štoviše, homogeni u smislu industrije i veličine poduzeća) kvaliteta lošija nego na uzorcima, što korišteni su za određivanje parametara modela. Budući da u praksi korisnici klasifikacijskih modela neće moći prilagoditi model drugim vjerojatnostima bankrota, veličine tvrtke ili industrije, stvarna kvaliteta modela mogla bi biti još gora. Kvaliteta se također može pogoršati zbog činjenice da postoji nekoliko tvrtki u uzorcima koji se koriste za testiranje modela MDA koji nisu bankrotirali, ali su u opasnosti. Ako postoji samo četiri ili pet takvih tvrtki koje preživljavaju rizik, to iskrivljuje stvarni udio rizičnih tvrtki, pa se kao rezultat toga podcjenjuje učestalost pogrešaka tipa II.

Metode MDA uključene u usporedbu izračunate su i optimizirane na temelju brzine lažnog signala 10 1 s nekim prethodnim vjerojatnostima i troškovima pogreške. Htio bih koristiti kao ex ante kriterij manji od 10 posto, broj potencijalnih bankrota u populaciji, ali to se ne slaže dobro s parametrima modela. To je također suprotno praksi u kojoj spuštanje praga ispod 10 posto nije dovelo do bankrota. Dakle, kad je udio lažnih signala smanjen na 7%, Taffler Z ljestvica prestala je u potpunosti identificirati bankrote, a model Datastream naišao je na ovu prepreku od oko 8%. Nasuprot tome, neuronska mreža prepoznala je dva slučaja bankrota ispod razdjelne razine od 4,5%, tj. mreža može raditi u uvjetima u kojima postoji samo pet lažnih signala za jednu ispravnu identifikaciju bankrota. Ova je brojka usporediva s najboljim rezultatima koje MDA modeli postižu na mnogo manje zahtjevnim ex post testovima. To dovodi do dva zaključka: prvo, neuronski modeli pouzdana su metoda klasifikacije u kreditnom sektoru, a drugo, korištenje cijene dionice kao ciljane varijable u obuci moglo bi se pokazati isplativijim od samog pokazatelja bankrota / preživljavanja. Cijena dionice odražava-

U gl. 3-5 opisuju metode za skaliranje preferencija (pondera) budućih događaja, kvantitativne procjene stupnja sklonosti i možemo izračunati bezuvjetnu vjerojatnost bilo kojeg rezultata uzorka

I. Uvjetne vjerojatnosti. A priori i posteriorne vjerojatnosti. 3

II. Nezavisni događaji. 5

III. Testiranje statističkih hipoteza. Statistička pouzdanost. 7

IV.Korištenje Chi-Square testa 19

1. Određivanje pouzdanosti razlike između skupa frekvencija i skupa vjerojatnosti. 19

2. Određivanje pouzdanosti razlike između nekoliko skupova frekvencija. 26

V SAMOSTALAN POSAO 33

Lekcija broj 2

1. Uvjetne vjerojatnosti. A priori i posteriorne vjerojatnosti.

Slučajnu varijablu postavljaju tri objekta: skup elementarnih događaja, skup događaja i vjerojatnost događaja. Zovu se one vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti elementarni događaji. Skup elementarnih događaja naziva se događajima... Za numeričke i druge ne baš složene slučajne varijable, svaki zadani skup elementarnih događaja je događaj.

Uzmimo primjer: bacanje kocke.

Ukupno ima 6 osnovnih događaja: "bod", "2 boda", "3 boda" ... "6 bodova". Događaj - bilo koji skup elementarnih događaja, na primjer, "paran" je zbroj osnovnih događaja "2 boda", "4 boda" i "6 bodova".

Vjerojatnost bilo kojeg elementarnog događaja P (A) je 1/6:

vjerojatnost događaja je broj osnovnih događaja koji su u njega uključeni, podijeljen sa 6.

Vrlo često, osim poznate vjerojatnosti događaja, postoje i neke dodatne informacije koje mijenjaju tu vjerojatnost. Na primjer, smrtnost pacijenata. primljen u bolnicu s akutnim krvarenjem čira na želucu, iznosi oko 10%. Međutim, ako je pacijent stariji od 80 godina, ta je smrtnost 30%.

Za opis takvih situacija, tzv uvjetne vjerojatnosti... Označeni su kao P (A / B) i čitaju "vjerojatnost događaja A pod uvjetom događaja B". Za izračun uvjetne vjerojatnosti koristi se formula:

Vratimo se na prethodni primjer:

Neka među pacijentima koji su primljeni u bolnicu s akutnim krvarenjem čira na želucu, 20% su pacijenti stariji od 80 godina. Štoviše, među svim pacijentima udio umrlih pacijenata starijih od 80 godina iznosi 6% (sjetite se da je udio svih smrtnih slučajeva 10%). U ovom slučaju

Prilikom definiranja uvjetnih vjerojatnosti pojmovi apriorno(doslovno - prije iskustva) i a posteriori(doslovno - nakon iskustva) vjerojatnosti.

Koristeći uvjetne vjerojatnosti, mogu se izračunati druge iz jedne vjerojatnosti, na primjer, za zamjenu događaja i uvjeta.

Razmotrimo ovu tehniku ​​na primjeru analize odnosa između rizika od bolesti reume (reumatske groznice) i jednog od antigena, koji su za nju faktor rizika.

Učestalost reume je oko 1%. Označimo prisutnost reume kao R +, dok je P (R +) = 0,01.

Prisutnost antigena bit će označena kao A +. Nalazi se u 95% pacijenata s reumom i u 6% onih bez reume. U našem zapisu to su: uvjetne vjerojatnosti P (A + / R +) = 0,95 i P (A + / R -) = 0,06.

Na temelju ove tri vjerojatnosti uzastopno ćemo odrediti ostale vjerojatnosti.

Prije svega, ako je učestalost reume P (R +) = 0,01, tada je vjerojatnost da se ne razbolimo P (R -) = 1 -P (R +) = 0,99.

Iz formule za uvjetnu vjerojatnost nalazimo da

P (A +i R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0,95 * 0,01 = 0,0095, odnosno 0,95% populacije istodobno boluje od reume i ima antigen.

Također

P (A + i R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0,06 * 0,99 = 0,0594, ili 5,94% populacije nosi antigen, ali ne dobiva reumu.

Budući da svi koji imaju antigen ili imaju reumu ili se ne razbole (ali ne oboje u isto vrijeme), zbroj posljednje dvije vjerojatnosti daje učestalost prijenosa antigena u populaciji u cjelini:

P (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

U skladu s tim, udio ljudi bez antigena jednak je

P (A -) = 1- P (A +) = 0,9311

Budući da je učestalost reume 1%, a udio osoba s antigenom i reumom 0,95%, udio osoba s reumom i bez antigena jednak je:

P (A - i R +) = P (R +) - P (A +i R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Sada ćemo krenuti u suprotnom smjeru, krećući se od vjerojatnosti događaja i njihovih kombinacija do uvjetnih vjerojatnosti. Prema početnoj formuli uvjetne vjerojatnosti P (A + / R +) = P (R +i A +) / P (A +) = 0,0095 / 0,06890,1379 ili približno 13,8% osoba koje nose antigen razboli se od reume . Budući da je incidencija stanovništva u cjelini samo 1%, činjenica otkrivanja antigena povećava vjerojatnost reume 14 puta.

Slično, P (R + / A -) = P (R + i A -) / P (A -) = 0,0005 / 0,93110,000054, odnosno činjenica da tijekom testiranja nije otkriven antigen smanjuje vjerojatnost dobivanja reume 19 puta.

Formatirajmo ovaj zadatak u Excel proračunskoj tablici:

Možete vidjeti proces izgradnje tablične slike2 \ p2-1.gif

Slučajni događaj ocjenjuje se brojem koji određuje intenzitet manifestacije ovog događaja. Taj se broj naziva vjerojatnost razvoja P () ... Vjerojatnost elementarnog događaja je ... Vjerojatnost događaja je numerička mjera stupnja objektivnosti, mogućnosti ovog događaja. Što je veća vjerojatnost, veća je vjerojatnost za događaj.

Svaki događaj koji odgovara cijelom prostoru ishoda S Zove se vjerodostojan događaj, tj. takav događaj koji se, kao rezultat pokusa, mora nužno dogoditi (na primjer, pad bilo kojeg broja bodova s ​​1 na 6 na kockicama). Ako događaj ne pripada skupu S, tada se smatra nemoguće(na primjer, pojavljivanje niza bodova većih od 6 na kocki). Vjerojatnost nemogućeg događaja je 0, vjerojatnost određenog događaja je 1. Svi ostali događaji imaju vjerojatnost od 0 do 1.

Događanja E i se zovu suprotan, ako E dolazi kad ne dolazi ... Na primjer, događaj E- "gubitak parnog broja bodova", zatim događaj - "gubitak neparnog broja bodova." Dva događaja E 1 i E 2 se zovu nedosljedan ako nema ishoda zajedničkog za oba događaja.

Za određivanje vjerojatnosti slučajnih događaja koriste se izravne ili neizravne metode. Pri izravnom izračunavanju vjerojatnosti razlikuju se apriorna i a posteriori shema izračuna, kada provesti promatranja (pokuse) ili apriorno prebrojiti broj pokusa m u kojem se događaj očitovao, te ukupan broj izvedenih eksperimenata n... Neizravne metode temelje se na aksiomatskoj teoriji. Budući da su događaji definirani kao skupovi, na njima se mogu izvesti sve teorijske operacije skupova. Teoriju skupova, funkcionalnu analizu predložio je akademik A.N. Kolmogorova i činili su osnovu aksiomatske teorije vjerojatnosti. Evo aksioma vjerojatnosti.

AksiomJa. Polje događajaŽ(S) je algebra skupova.

Ovaj aksiom ukazuje na analogiju između teorije skupova i teorije vjerojatnosti.

AksiomII. Svakom setuizŽ(S) pravi broj P (), naziva se vjerojatnost događaja:

pod uvjetom S 1 S 2 =  (za nedosljedne događaje S 1 i S 2 ) ili za mnoge nedosljedne događaje

gdje N- broj elementarnih događaja (mogući ishodi).

Vjerojatnost slučajnog događaja

gdje - vjerojatnosti elementarnih događaja uključeni u podskup .

Primjer 1.1. Odredite vjerojatnost ispadanja iz svakog broja prilikom bacanja kocke, ispadanja iz parnog broja, broja 4 .

Riješenje... Vjerojatnost ispadanja svakog broja iz skupa

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Vjerojatnost dobivanja parnog broja, t.j.
={2, 4, 6}, na temelju (1.6) bit će P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Vjerojatnost dobivanja broja  4 , tj.
= {4, 5, 6 } ,

P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Zadaci za samostalno učenje

1. U košari se nalazi 20 bijelih, 30 crnih i 50 crvenih kuglica. Odredite vjerojatnost da će prva lopta izvađena iz koša biti bijela; crno; Crvena.

2. U studentskoj skupini ima 12 dječaka i 10 djevojčica. Kolika je vjerojatnost da će na seminaru iz teorije vjerojatnosti izostati: 1) mladić; 2) djevojka; 3) dva dječaka?

3. Tijekom godine 51 dan se razlikovao po tome što je ovih dana padala kiša (ili snijeg). Kolika je vjerojatnost da riskirate da vas uhvati kiša (ili snijeg): 1) odlazak na posao; 2) pješačiti 5 dana?

4. Napravite problem na temu ovog zadatka i riješite ga.

1.1.3. Određivanje zadnje vjerojatnosti (statistička vjerojatnost ili učestalost

slučajni događaj)

Pri određivanju vjerojatnosti apriorno se pretpostavljalo da jednako su vjerojatni. To nije uvijek točno, češće se to događa
na
... Pretpostavka
dovodi do pogreške u apriornoj definiciji P ( ) prema ustaljenoj shemi. Za utvrđivanje , i općenito P ( ) provesti ciljane testove. Tijekom provođenja takvih ispitivanja (na primjer, rezultati ispitivanja u primjerima 1.2, 1.3) pod različitim uvjetima, različitim uvjetima, utjecajima, uzročnim čimbenicima, tj. u različitim slučajevi, različit ishodi(različite manifestacije informacija o istraživanom objektu). Svaki ishod ispitivanja odgovara jednom elementu ili jedan podskup mnoštva S.Ako definirate m kao broj povoljnih događaja A ishodi dobiveni kao rezultat n testovi, zadnja vjerojatnost (statistička vjerojatnost ili učestalost slučajnog događaja A)

Na temelju zakona velikih brojeva za  A

oni. s povećanjem broja ispitivanja, učestalost slučajnog događaja (a posteriori ili statistička, vjerojatnost) teži vjerojatnosti ovog događaja.

Primjer 1.2. Vjerojatnost dobivanja glava na bacanju novčića, određena shemom slučajeva, iznosi 0,5. Potrebno je baciti novčić 10, 20, 30 ... puta i odrediti učestalost slučajnog događaja repa nakon svake serije testova.

Riješenje... K. Poisson bacio je novčić 24.000 puta, s 11.998 repova. Zatim, prema formuli (1.7), vjerojatnost dobivanja repova

.

Zadaci za samostalno učenje

Na temelju velikog statističkog materijala ( n  ), dobivene su vrijednosti vjerojatnosti pojavljivanja pojedinih slova ruske abecede i razmaka () u tekstovima koje su date u tablici 1.1.

Tablica 1.1. Vjerojatnost pojavljivanja slova abecede u tekstu

Uzmite stranicu bilo kojeg teksta i odredite učestalost pojavljivanja različitih slova na ovoj stranici. Povećajte opseg testova na dvije stranice. Usporedite dobivene rezultate s podacima u tablici. Donesite zaključak.

Prilikom gađanja ciljeva postignut je sljedeći rezultat (vidi tablicu 1.2).

Tablica 1.2. Rezultat gađanja cilja

Kolika je vjerojatnost da bi meta bila pogođena od prvog hica da je bila manjih dimenzija od deset, devet itd.?

3. Planirajte i provedite slične testove za druge događaje. Predstavite svoje rezultate.