Decimal frakcija- raznolikost razlomci, koji ima "okrugli" broj u nazivniku: 10, 100, 1000 itd., Na primjer, frakcija 5/10 ima decimalni zapis 0,5. Na temelju ovog principa, frakcija može biti predstavljen u oblik decimal razlomci.

Upute

Recimo da se morate podrediti oblik decimal frakcija 18/25.
Prvo morate biti sigurni da se jedan od "okruglih" brojeva pojavljuje u nazivniku: 100, 1000 itd. Da biste to učinili, trebate pomnožiti nazivnik s 4. Ali morate pomnožiti i brojnik i nazivnik s 4.

Množenjem brojnika i nazivnika razlomci 18/25 sa 4, to je 72/100. Ovaj frakcija u decimalnom oblik dakle: 0,72.

Ulomak u matematici je racionalan broj jednak jednom ili više dijelova na koji se dijeli. U tom slučaju zapis razlomka mora sadržavati naznaku dva broja: jedan od njih točno označava na koliko je razlomka jedinica podijeljena pri stvaranju tog razlomka, a drugi - koliko od tih razlomaka uključuje razlomačni broj. Ako su ta dva broja napisana kao brojnik i nazivnik odvojeni trakom, tada se ovaj format naziva "običnim" razlomom. Međutim, postoji još jedan format za pisanje razlomaka koji se zove "decimalni".

Trokatni oblik pisanja brojeva, u kojem se nazivnik nalazi iznad brojnika, a između njih također postoji linija razdjelnice, nije uvijek prikladan. Posebno se ova neugodnost počela manifestirati masovnom distribucijom osobnih računala. Decimalni oblik predstavljanja razlomaka lišen je ovog nedostatka - nije potrebno u njemu navesti brojnik, jer je po definiciji uvijek jednak deset u negativnoj snazi. Stoga se razlomljeni broj može zapisati u jedan redak, iako će njegova duljina u većini slučajeva biti mnogo veća od duljine odgovarajućeg običnog razlomka.

Još jedna prednost pisanja brojeva u decimalnom formatu je da ih je mnogo lakše međusobno uspoređivati. Budući da je nazivnik svake znamenke dva takva broja isti, dovoljno je usporediti samo dvije znamenke odgovarajućih znamenki, dok se pri usporedbi običnih razlomaka mora uzeti u obzir i brojnik i nazivnik svakog od njih. Ova je prednost važna ne samo za ljude, već i za računala - usporedbu brojeva u decimalnom formatu prilično je jednostavno programirati.

Postoje stoljetna pravila za zbrajanje, množenje i druge matematičke operacije koje vam omogućuju da izračunate na papiru ili u glavi s brojevima u formatu decimalnih razlomaka. Ovo je još jedna prednost ovog formata u odnosu na obične razlomke. Iako s razvojem računalne tehnologije, kad je kalkulator čak i u satu, postaje manje uočljiv.

Opisane prednosti decimalnog formata za pisanje razlomačkih brojeva pokazuju da je njegova glavna svrha pojednostaviti rad s matematičkim vrijednostima. Ovaj format također ima nedostatke - na primjer, za pisanje periodičnih razlomaka u decimalni razlomak morate dodati i broj u zagradi, a iracionalni brojevi u decimalnom obliku uvijek imaju približnu vrijednost. Međutim, na trenutnoj razini razvoja ljudi i njihovih tehnologija, mnogo je prikladnije za korištenje od uobičajenog formata za snimanje razlomaka.

Decimalni razlomak je razlomak u kojem je nazivnik prirodni stepen 10. Ovo je, na primjer, razlomak Ovaj razlomak se može napisati u sljedećem obliku: napišite znamenke brojnika u nizu i odvojite što više njih sa zarez s desne strane jer u nazivniku ima nula, naime:

U takvom zapisu brojevi lijevo od zareza čine cijeli dio, a brojevi desno od zareza čine razlomak ovog decimalnog razlomka.

Neka je p / q bilo koji pozitivan racionalan broj. Iz aritmetike je dobro poznat postupak dijeljenja koji vam omogućuje da broj predstavite kao decimalni razlomak. Bit procesa podjele je da se prvo pronađe najveći cijeli broj puta q sadržano u p; ako je p višekratnik q, tada proces podjele završava. U suprotnom će se pojaviti ostatak. Zatim pronalaze koliko desetina q sadrži ovaj ostatak, a u ovom koraku proces može završiti ili će se pojaviti novi ostatak. U potonjem slučaju pronalaze koliko stotinki q je sadržano u njemu i tako dalje.

Ako nazivnik q nema drugih prostih djelitelja osim 2 ili 5, tada će nakon konačnog broja koraka ostatak biti nula, proces dijeljenja će završiti i ovaj će se obični razlomak pretvoriti u konačni decimalni razlomak. Doista, u ovom slučaju uvijek možete odabrati cijeli broj tako da nakon što pomnožite brojnik i nazivnik danog razlomka s njim, dobijete jednak razlomak, u kojem će nazivnik predstavljati prirodnu snagu deset. Takav je, na primjer, razlomak

koji se može predstaviti ovako:

Međutim, bez ovih transformacija, dijeljenjem brojnika s nazivnikom, čitatelj će dobiti isti rezultat:

Ako nazivnik nesvodivog razlomka ima barem jedan prosti djelitelj osim 2 ili 5, tada proces dijeljenja s q nikada neće završiti (ni jedan od sljedećih ostataka neće nestati).

Nakon izvršene podjele nalazimo

Da bi se zabilježio rezultat dobiven u ovom primjeru, povremeno ponavljajuće znamenke 0 i 6 su zatvorene u zagradama i napisane:

U ovom primjeru i drugim sličnim slučajevima, podjela ne daje konačni rezultat kao decimalni broj. Moguće je, generalizirajući pojam decimalnog razlomka, ipak reći da je količnik 965/132 predstavljen beskonačnim periodičnim razlomom. Ponavljajući se brojevi 06 nazivaju razdobljem tog razlomka, a njihov broj, jednak u našem primjeru, je duljina razdoblja.

Da bismo razumjeli razlog fenomena periodičnosti razlomka, analizirajmo, na primjer, proces dijeljenja sa 7. Ako dijeljenje nije u potpunosti izvedeno, tada se pojavljuje ostatak koji može imati samo jednu od sljedećih vrijednosti : 1, 2, 3, 4, 5, 6. I na svakom od sljedećih koraka, ostatak će opet imati jednu od ovih šest vrijednosti. Stoga ćemo najkasnije na sedmom koraku neizbježno naići na jednu od vrijednosti ostatka, koje su se već pojavile prije. Od ovog trenutka proces podjele poprimit će periodični karakter. Vrijednosti zaostataka i količnik periodično će se ponavljati. Ovo razmišljanje je primjenjivo u slučaju bilo kojeg drugog djelitelja.

Dakle, svaki obični razlomak predstavljen je konačnim ili beskonačnim periodičnim decimalnim razlomom. Izvanredno je da se, obrnuto, bilo koji periodični decimalni razlomak može predstaviti kao običan razlomak. Pokažimo kako se ova radnja izvodi. U ovom slučaju koristi se formula za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (odjeljak 92).

može se razumjeti na sljedeći način:

ovdje izrazi s desne strane, počevši od drugog, tvore beskonačnu geometrijsku progresiju s nazivnikom i prvim članom

Koristeći formulu (92.2):

Jasno je da će isti proces omogućiti da se bilo koji zadani beskonačni periodični razlomak predstavi kao običan razlomak (i, kako se može pokazati, točno onaj iz kojeg se, u procesu dijeljenja, dobiva ovaj beskonačni periodični razlomak). Međutim, postoji jedna iznimka. Uzmite u obzir razlomak

i na njega primijeniti postupak pretvaranja u obični razlomak:

Došli smo do broja 1/2, koji je predstavljen konačnim decimalnim razlomom

Sličan rezultat dobit će se kad god razdoblje danog beskonačnog razlomka ima oblik (9). Stoga identificiramo takve parove brojeva kao npr.

Ponekad je također korisno dopustiti zapise oblika

koji formalno predstavljaju konačne decimalne razlomke kao beskonačne s razdobljem (0).

Sve što je rečeno o pretvaranju običnog razlomka u decimalni periodični razlomak i obrnuto vrijedi za pozitivne racionalne brojeve. U slučaju negativnog broja, možete učiniti dvije stvari.

1) Uzmite pozitivan broj nasuprot danom negativnom, pretvorite ga u decimalni razlomak, a zatim ispred njega stavite znak minus. Na primjer, za - 5/3 dobivamo

2) Ovaj negativni racionalni broj predstavljen je kao zbroj njegova cjelobrojnog dijela (negativan) i njegovog razlomljenog dijela (nenegativan), a zatim se samo ovaj razlomljeni dio broja pretvara u decimalni razlomak. Na primjer:

Za pisanje brojeva predstavljenih kao zbroj njihovog negativnog cijelog broja i konačnog ili beskonačnog decimalnog razlomka, usvaja se sljedeća oznaka (umjetni oblik pisanja negativnog broja):

Ovdje se znak minus ne postavlja ispred cijelog razlomka, već iznad njegova cijelog dijela, kako bi se naglasilo da je samo cijeli broj negativan, a razlomljeni dio iza zareza pozitivan.

Ovaj zapis stvara ujednačenost u zapisu pozitivnih i negativnih decimalnih razlomaka i koristit će se u budućnosti u teoriji decimalnih logaritama (str. 28). Za praksu predlažemo čitatelju da provjeri prijelaz s jednog zapisa na drugi u primjerima:

Sada možemo formulirati konačni zaključak: svaki racionalni broj može biti predstavljen beskonačnim decimalnim periodičnim razlomkom, i obrnuto, svaki takav razlomak definira racionalni broj. Završni decimalni razlomak također dopušta dva oblika zapisa u obliku beskonačnog decimalnog razlomka: s točkom (0) i s točkom (9).

Učenici se već u osnovnoj školi suočavaju s razlomcima. I onda se pojavljuju u svakoj temi. Nemoguće je zaboraviti radnje s ovim brojevima. Stoga morate znati sve podatke o običnim i decimalnim razlomacima. Ovi koncepti su jednostavni, glavna stvar je razumjeti sve redom.

Čemu služe razlomci?

Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Stoga nema potrebe za dionicama. Ali svakodnevni život neprestano tjera ljude na rad s dijelovima predmeta i stvari.

Na primjer, čokolada ima nekoliko kriški. Razmotrimo situaciju u kojoj njezinu pločicu čini dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva, dobit ćete 6 dijelova. Ona će se dobro podijeliti na troje. Ali pet neće moći dati cijeli broj čokoladnih kriški.

Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.

Što je razlomak?

To je broj sastavljen od dijelova jednog. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom linijom. Ova se značajka naziva frakcijska. Broj upisan gore (lijevo) naziva se brojnik. Dolje (desno) je nazivnik.

Zapravo, razlomljena traka se pokazuje kao znak podjele. Odnosno, brojnik se može nazvati djeljivim, a nazivnik djeliteljem.

Koji razlomci postoje?

U matematici postoje samo dvije vrste: obični i decimalni razlomak. S prvima se školarci upoznaju u osnovnim razredima, nazivajući ih jednostavno "razlomcima". Drugi će prepoznati u 5. razredu. Tada se pojavljuju ta imena.

Obični razlomci su svi oni koji su zapisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomak ima oznaku položaja i odvojen je od cjeline zarezom. Na primjer, 4.7. Učenicima mora biti jasno da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.

Svaki razlomak se može napisati kao decimalni. Ova je izjava gotovo uvijek točna u suprotnom smjeru. Postoje pravila koja vam omogućuju da napišete decimalni razlomak s običnim razlomom.

Koje su podvrste ovih vrsta razlomka?

Bolje je započeti kronološkim redoslijedom dok se proučavaju. Razlomci su na prvom mjestu. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.

Ispravno. Njegov brojnik uvijek je manji od nazivnika.

Pogrešno. Brojnik mu je veći ili jednak nazivniku.

Kontraktibilno / nesvodivo. Može biti i ispravno i pogrešno. Važno je ima li brojnik s nazivnikom zajedničke faktore. Ako postoje, onda bi trebali podijeliti oba dijela razlomka, odnosno smanjiti ga.

Mješovito. Cijeli broj se dodjeljuje svom uobičajenom ispravnom (netočnom) razlomkom. Štoviše, uvijek stoji na lijevoj strani.

Kompozitni. Nastaje od dvije frakcije koje su međusobno odvojene. To jest, u njemu se nalaze tri razlomke odjednom.

Decimalni razlomci imaju samo dvije podvrste:

konačan, odnosno onaj u kojem je razlomki dio ograničen (ima kraj);

beskonačan - broj čije znamenke iza decimalne točke ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).

Kako decimalu pretvoriti u razlomak?

Ako je ovo konačan broj, onda se primjenjuje asocijacija na temelju pravila - kako čujem, tako i napišem. Odnosno, morate ga ispravno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.

Kao nagovještaj o traženom nazivniku, morate zapamtiti da je to uvijek jedna i nekoliko nula. Potonje je potrebno napisati onoliko koliko ima znamenki u razlomku dotičnog broja.

Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične razlomke ako je njihov cijeli broj odsutan, odnosno jednak nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispostavlja se da morate napisati nula cijelih brojeva. Ali nije naznačeno. Ostaje zapisati samo razlomljene dijelove. Prvi će broj imati nazivnik 10, drugi - 100. Odnosno, dani primjeri imat će brojeve: 9/10, 5/100. Štoviše, ispostavlja se da se potonji može smanjiti za 5. Stoga se rezultat za njega mora napisati 1/20.

Kako od decimalnog mjesta napraviti običan razlomak ako mu je cijeli broj različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. U oba primjera čita se cijeli broj i zapisuje njegova vrijednost. U prvom slučaju to je 5, u drugom - 13. Zatim morate prijeći na razlomljeni dio. Oni bi trebali izvršiti istu operaciju. Prvi broj ima 23/100, drugi ima 108/100000. Drugu vrijednost treba ponovno skratiti. Odgovor je sljedeći miješani razlomak: 5 23/100 i 13 27/25000.

Kako pretvoriti beskonačni decimalni razlomak u razlomak?

Ako nije periodično, onda takva operacija neće uspjeti. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek prevodi u konačni ili periodični.

Jedino što možete učiniti s takvim razlomom je zaokružiti ga. Ali tada će decimalni broj biti približno jednak toj beskonačnoj. Već se može pretvoriti u običan. No obrnuti proces: pretvaranje u decimalni - nikada neće dati početnu vrijednost. Odnosno, beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se pretvoriti u obične. Ovo se mora zapamtiti.

Kako napisati beskonačan periodični razlomak kao običan razlomak?

U tim se brojevima uvijek pojavljuje jedna ili više znamenki iza decimalne točke, koje se ponavljaju. Zovu se razdoblje. Na primjer, 0,3 (3). Ovdje "3" u razdoblju. Klasificirani su kao racionalni jer se mogu pretvoriti u razlomke.

Oni koji su naišli na periodične razlomke znaju da mogu biti čisti ili miješani. U prvom slučaju točka počinje odmah od zareza. U drugom, razlomljeni dio počinje nekim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.

Pravilo prema kojem trebate napisati beskonačnu decimalu u obliku običnog razlomka bit će različito za navedene dvije vrste brojeva. Lako je zapisati čiste periodične razlomke običnim. Kao i kod posljednjih, potrebno ih je pretvoriti: upiši točku u brojnik, a nazivnik će biti broj 9, ponovljen onoliko puta koliko tačka sadrži.

Na primjer, 0, (5). Broj nema cijeli broj, pa morate odmah početi s razlomkom. U brojnik upišite 5, a u nazivnik jedan 9. Odnosno, odgovor će biti razlomak 5/9.

Pravilo o tome kako napisati običan decimalni periodični razlomak koji je miješan.

Pogledajte duljinu razdoblja. Toliko 9 će imati nazivnik.

Zapišite nazivnik: prvo devetke, pa nule.

Da biste odredili brojnik, trebate zapisati razliku između dva broja. Sve znamenke iza decimalne točke, zajedno s točkom, bit će smanjene. Oduzeto - to je bez točke.

Na primjer, 0,5 (8) - zapišite periodični decimalni razlomak u obliku običnog. U razlomljenom dijelu prije točke nalazi se jedna znamenka. Dakle, nula će biti jedna. U razdoblju postoji i samo jedan broj - 8. To jest, postoji samo jedna devetka. To jest, trebate unijeti 90 u nazivnik.

Da biste odredili brojnik od 58, trebate oduzeti 5. Ispada 53. Odgovor će, na primjer, morati napisati 53/90.

Kako se uobičajeni razlomci pretvaraju u decimale?

Najjednostavnija opcija ispada broj, čiji je nazivnik 10, 100 itd. Tada se nazivnik jednostavno odbacuje, a između razlomka i cijelog broja stavlja se zarez.

Postoje situacije kada se nazivnik lako pretvori u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti s 2, 5 i 4, respektivno. Treba pomnožiti samo nazivnik, ali i brojnik istim brojem.

Za sve ostale slučajeve dobro dolazi jednostavno pravilo: brojnik podijelite nazivnikom. U tom slučaju možete dobiti dvije opcije za odgovore: konačni ili periodični decimalni razlomak.

Radnje s uobičajenim razlomcima

Zbrajanje i oduzimanje

Učenici ih upoznaju prije drugih. Štoviše, prvo razlomci imaju iste nazivnike, a zatim su različiti. Opća pravila mogu se sažeti u takav plan.

Nađi najmanji zajednički višekratnik nazivnika.

Zapišite dodatne čimbenike na sve uobičajene razlomke.

Pomnožite brojnike i nazivnike s faktorima definiranim za njih.

Zbrojite (oduzmite) brojnike razlomaka i ostavite zajednički nazivnik nepromijenjen.

Ako je brojnik reduciranog broja manji od oduzetog, tada morate saznati imamo li mješoviti broj ili pravilan razlomak.

U prvom slučaju morate uzeti jednu jedinicu iz cijelog dijela. Dodajte nazivnik brojniku razlomka. A zatim izvršite oduzimanje.

U drugom je potrebno primijeniti pravilo oduzimanja većeg od manjeg broja. Odnosno, oduzmite opadajući modul od modula oduzetog i stavite znak "-" kao odgovor.

Pažljivo pogledajte rezultat zbrajanja (oduzimanja). Ako dobijete netočan razlomak, tada je potrebno odabrati cijeli dio. To jest, podijelite brojnik s nazivnikom.

Množenje i dijeljenje

Razlomke nije potrebno dovoditi do zajedničkog nazivnika da bi se dovršili. To olakšava praćenje koraka. No, i dalje se moraju pridržavati pravila.

Prilikom množenja običnih razlomaka morate uzeti u obzir brojeve u brojnicima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, onda se mogu poništiti.

Pomnožite brojnike.

Pomnožite nazivnike.

Ako dobijete razlomak koji se može poništiti, on bi trebao biti ponovno pojednostavljen.

Prilikom dijeljenja najprije morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim (zamijenite brojnik i nazivnik).

Zatim nastavite kao kod množenja (počevši od točke 1).

U zadacima u kojima trebate pomnožiti (podijeliti) cijeli broj, potonji bi trebao biti napisan kao neprikladan razlomak. To jest, s nazivnikom 1. Zatim nastavite kako je gore opisano.



Decimalne radnje

Zbrajanje i oduzimanje

Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u razlomak. I djelovati po već opisanom planu. Ali ponekad je prikladnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje biti potpuno ista.

Izjednačite broj znamenki u razlomku broja, odnosno iza decimalne točke. Dodajte mu broj nula koji nedostaje.

Zapišite razlomke tako da zarez bude ispod zareza.

Dodaj (oduzmi) kao prirodne brojeve.

Uklonite zarez.

Množenje i dijeljenje

Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti kako je navedeno u primjeru. A onda idite prema planu.

Za množenje morate napisati razlomke jedan ispod drugog, zanemarujući zareze.

Pomnožite kao prirodne brojeve.

Stavite zarez u odgovor, računajući od desnog kraja odgovora onoliko znamenki koliko ih ima u razlomcima oba faktora.

Da biste podijelili, prvo morate transformirati djelitelj: učiniti ga prirodnim brojem. To jest, pomnožite ga s 10, 100 itd., ovisno o tome koliko je znamenki u razlomku djelitelja.

Pomnožite dividendu s istim brojem.

Podijelite decimalu prirodnim brojem.

U odgovoru stavite zarez u trenutku kada završi podjela cijelog dijela.



Što ako u jednom primjeru postoje obje vrste razlomaka?

Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvesti radnje na običnim i decimalnim razlomacima. U takvim zadacima moguća su dva rješenja. Potrebno je objektivno odvagnuti brojke i odabrati najbolju.

Prvi način: predstavlja običnu decimalu

Prikladno je ako se pri dijeljenju ili prevođenju dobiju konačni ulomci. Ako barem jedan broj daje periodični dio, tada je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.

Drugi način: zapišite decimalne razlomke običnim

Ova se tehnika pokazuje prikladnom ako u dijelu nakon decimalne točke postoje 1-2 znamenke. Ako ih ima više, može se ispostaviti vrlo veliki obični razlomak, a decimalni zapisi omogućit će vam brže i lakše brojanje zadatka. Stoga uvijek trebate trijezno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniji način rješenja.

U ovom ćemo članku analizirati kako pretvaranje običnih razlomaka u decimalne razlomke, a također razmotriti i obrnuti proces - pretvaranje decimalnih razlomaka u razlomke. Ovdje ćemo izraziti pravila za invertiranje razlomaka i dati detaljna rješenja tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Pretvaranje razlomaka u decimalne razlomke

Označimo slijed kojim ćemo se baviti pretvaranje običnih razlomaka u decimalne razlomke.

Prvo ćemo pogledati kako predstaviti uobičajene razlomke s nazivnicima 10, 100, 1000, ... kao decimalne razlomke. To je zbog činjenice da su decimalni razlomci u biti kompaktni oblik pisanja zajedničkih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ....

Nakon toga ćemo otići dalje i pokazati kako se bilo koji običan razlomak (ne samo s nazivnicima 10, 100, ...) može napisati kao decimalni razlomak. Ovakav način preokretanja uobičajenih razlomaka proizvodi i konačne decimalne razlomke i beskonačne periodične decimalne razlomke.

Sada razgovarajmo o svemu po redu.

Pretvaranje uobičajenih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke

Neki redovni uobičajeni razlomci trebaju "prethodnu pripremu" prije nego što se pretvore u decimalne razlomke. To se odnosi na obične razlomke čiji je broj znamenki manji od broja nula u nazivniku. Na primjer, obični razlomak 2/100 prvo se mora pripremiti za pretvorbu u decimalni razlomak, a razlomak 9/10 ne treba pripremati.

"Prethodna priprema" običnih običnih razlomaka za pretvaranje u decimalne razlomke sastoji se u dodavanju takvog broja nula slijeva u brojniku tako da ukupni broj znamenki tamo postane jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, nakon dodavanja nula, razlomak će izgledati.

Nakon što pripremite ispravan obični razlomak, možete ga početi pretvarati u decimalni razlomak.

Dajmo pravilo za pretvaranje pravilnog razlomka s nazivnikom 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalni razlomak... Sastoji se od tri koraka:

• napiši 0;
• nakon njega stavljamo decimalnu točku;
• zapisujemo broj iz brojnika (zajedno s dodanim nulama, ako smo ih zbrajali).

Razmotrimo primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera.

Primjer.

Pretvorite regularni razlomak 37/100 u decimalni.

Riješenje.

Nazivnik sadrži broj 100 koji sadrži dvije nule. Brojnik sadrži broj 37, sadrži dvije znamenke, stoga ovaj razlomak nije potrebno pripremiti za pretvaranje u decimalni razlomak.

Sada zapisujemo 0, stavljamo decimalnu točku i zapisujemo broj 37 iz brojnika i dobivamo decimalni ulomak od 0,37.

Odgovor:

0,37 .

Kako bismo konsolidirali vještine prevođenja redovitih običnih razlomaka s brojnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke, analizirat ćemo rješenje drugog primjera.

Primjer.

Zapišite točan razlomak 107/10 000 000 kao decimalni razlomak.

Riješenje.

Broj znamenki u brojniku je 3, a broj nula u nazivniku 7, pa je za ovaj obični razlomak potrebna priprema za pretvaranje u decimalni broj. Lijevo u brojniku trebamo dodati 7-3 = 4 nule tako da ukupan broj znamenki postane jednak broju nula u nazivniku. Primamo.

Ostaje sastaviti željeni decimalni razlomak. Da bismo to učinili, prvo pišemo 0, drugo, stavljamo zarez, i treće, zapisujemo broj iz brojnika zajedno s nulama 0000107, pa kao rezultat imamo decimalni razlomak 0,0000107.

Odgovor:

0,0000107 .

Nepravilni razlomci ne zahtijevaju pripremu pri pretvaranju u decimale. Treba se pridržavati sljedećeg pravila pretvaranja nepravilnih običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke:

• zapiši broj iz brojnika;
• odvajamo decimalnu točku onoliko znamenki desno koliko ima nula u nazivniku izvornog razlomka.

Analizirajmo primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera.

Primjer.

Pretvorite nepravilan zajednički razlomak 56 888 038 009/100 000 u decimalni razlomak.

Riješenje.

Prvo zapisujemo broj iz brojnika 56888038009, a zatim odvajamo decimalnu točku od 5 znamenki udesno, budući da u nazivniku izvornog razlomka ima 5 nula. Kao rezultat toga, imamo decimalni razlomak 568 880.38009.

Odgovor:

568 880,38009 .

Za pretvaranje mješovitog broja u decimalni razlomak, čiji je nazivnik razlomljenog dijela broj 10, ili 100, ili 1.000, ..., mješoviti broj možete pretvoriti u nepravilan zajednički razlomak, nakon čega se dobiveni razlomak može se pretvoriti u decimalni razlomak. Ali možete koristiti i sljedeće pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva s nazivnikom razlomaka 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalne razlomke:

• po potrebi vršimo "prethodnu pripremu" razlomka izvornog mješovitog broja dodavanjem traženog broja nula lijevo u brojniku;
• zapisujemo cijeli dio izvornog mješovitog broja;
• staviti decimalni zarez;
• zapisujemo broj iz brojnika zajedno s dodanim nulama.

Razmotrimo primjer, u rješavanju kojeg ćemo izvesti sve potrebne korake da mješoviti broj predstavimo kao decimalni razlomak.

Primjer.

Pretvorite mješoviti broj u decimalni broj.

Riješenje.

U nazivniku razlomljenog dijela nalaze se 4 nule, u brojniku je broj 17, koji se sastoji od 2 znamenke, stoga moramo dodati dvije nule lijevo u brojniku tako da broj tamošnjih znamenki postane jednak broj nula u nazivniku. Na taj način brojnik će biti 0017.

Sada zapisujemo cijeli dio izvornog broja, odnosno broja 23, stavljamo decimalnu točku, nakon čega zapisujemo broj iz brojnika zajedno s dodanim nulama, odnosno 0017, i dobivamo željeni decimalni razlomak 23.0017.

Napišimo ukratko cijelo rješenje: .

Nedvojbeno je bilo moguće najprije predstaviti mješoviti broj u obliku nepravilnog razlomka, a zatim ga pretvoriti u decimalni razlomak. Ovim pristupom rješenje izgleda ovako :.

Odgovor:

23,0017 .

Pretvaranje običnih razlomaka u konačne i beskonačne periodične decimalne razlomke

Ne samo obični razlomci s nazivnicima 10, 100, ..., već i obični razlomci s drugim nazivnicima mogu se pretvoriti u decimalni razlomak. Sada ćemo shvatiti kako se to radi.

U nekim slučajevima, izvorni obični razlomak se lako svodi na jedan od nazivnika 10, ili 100, ili 1000, ... (vidi svođenje običnog razlomka na novi nazivnik), nakon čega nije teško predstaviti rezultirajući razlomak kao decimalni razlomak. Na primjer, očito je da se razlomak 2/5 može svesti na razlomak s nazivnikom 10, za to trebate pomnožiti brojnik i nazivnik s 2, što će dati razlomak 4/10, što, prema pravila o kojima smo govorili u prethodnom odlomku, mogu se lako pretvoriti u decimalni razlomak 0, 4 .

U drugim slučajevima morate koristiti drugačiju metodu pretvaranja običnog razlomka u decimalni, na što ćemo se sada obratiti.

Za pretvaranje običnog razlomka u decimalni razlomak, brojnik razlomka dijeli se nazivnikom, brojnik je prethodno zamijenjen jednakim decimalnim razlomkom s bilo kojim brojem nula nakon decimalne točke (o tome smo govorili u odjeljku jednako i nejednaki decimalni razlomci). U ovom slučaju podjela se vrši na isti način kao i dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, a u količnik se stavlja decimalna točka kad završi podjela cjelobrojnog dijela dividende. Sve će to biti jasno iz rješenja dolje navedenih primjera.

Primjer.

Pretvorite zajednički razlomak 621/4 u decimalni broj.

Riješenje.

Broj u brojniku 621 predstavljamo kao decimalni razlomak, dodajući decimalnu točku i nekoliko nula iza nje. Za početak dodajemo 2 znamenke 0, kasnije, ako je potrebno, uvijek možemo dodati još nula. Dakle, imamo 621,00.

Sada izvršimo podjelu stupaca 621.000 na 4. Prva tri koraka se ne razlikuju od dijeljenja stupcem prirodnih brojeva, nakon njih dolazimo do sljedeće slike:

Tako smo došli do decimalne točke u dividendi, a ostatak je različit od nule. U ovom slučaju u količnik stavljamo decimalnu točku i nastavljamo dijeljenje stupcem, ne obraćajući pažnju na zareze:

Time je dijeljenje završeno, a kao rezultat dobili smo decimalni razlomak 155,25, što odgovara izvornom običnom razlomku.

Odgovor:

155,25 .

Kako biste konsolidirali materijal, razmislite o rješenju još jednog primjera.

Primjer.

Pretvorite zajednički razlomak 21/800 u decimalni.

Riješenje.

Da bismo ovaj obični razlomak pretvorili u decimalni, podijelit ćemo stupcem decimalnog razlomka 21 000 ... sa 800. Nakon prvog koraka morat ćemo staviti decimalnu točku u količnik, a zatim nastaviti podjelu:

Konačno, dobili smo ostatak 0, tu je dovršena pretvorba običnog razlomka 21/400 u decimalni razlomak i došli smo do decimalnog razlomka 0,02625.

Odgovor:

0,02625 .

Može se dogoditi da dijeljenjem brojnika nazivnikom običnog razlomka i dalje ne dobijemo ostatak 0. U tim slučajevima podjela se može nastaviti koliko god želite. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci se povremeno ponavljaju, a ponavljaju se i brojevi u količniku. To znači da se izvorni razlomak pretvara u beskonačni periodični decimalni razlomak. Pokažimo to primjerom.

Primjer.

Zapiši razlomak 19/44 kao decimalni razlomak.

Riješenje.

Da bismo obični razlomak pretvorili u decimalni, izvodimo dijeljenje stupaca:

Već je jasno da su se tijekom dijeljenja ostatci 8 i 36 počeli ponavljati, dok se u kvocijentu ponavljaju brojevi 1 i 8. Tako se izvorni obični razlomak 19/44 pretvara u periodični decimalni razlomak 0,43181818 ... = 0,43 (18).

Odgovor:

0,43(18) .

Na kraju ovog odlomka shvatit ćemo koji se obični razlomci mogu pretvoriti u konačne decimalne razlomke, a koji - samo u periodične.

Neka je ispred nas nesvodljivi obični razlomak (ako je razlomak poništiv, onda prvo izvedemo redukciju razlomka), a trebamo saznati u koji se decimalni razlomak može pretvoriti - konačni ili periodični.

Jasno je da ako se obični razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ..., tada se dobiveni razlomak lako može pretvoriti u konačni decimalni razlomak prema pravilima o kojima smo raspravljali u prethodnom odlomku. Ali nazivnicima 10, 100, 1000 itd. daleko od toga da su dati svi obični razlomci. Takvim se nazivnicima mogu samo reducirati razlomci čiji su nazivnici barem jedan od brojeva 10, 100, ... A koji brojevi mogu biti djelitelji 10, 100, ...? Brojevi 10, 100,… omogućit će nam da odgovorimo na ovo pitanje, a oni su sljedeći: 10 = 2 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5, 1.000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 ,…. Iz toga slijedi da su djelitelji 10, 100, 1000 itd. mogu postojati samo brojevi čije prosti faktorizacije sadrže samo brojeve 2 i (ili) 5.

Sada možemo donijeti opći zaključak o pretvaranju običnih razlomaka u decimalne brojeve:

• ako se u proširenju nazivnika u proste faktore nalaze samo brojevi 2 i (ili) 5, tada se taj razlomak može pretvoriti u konačni decimalni razlomak;
• ako su u proširenju nazivnika, osim dva i petice, prisutni i drugi prosti brojevi, tada se taj razlomak pretvara u beskonačni decimalni periodični razlomak.

Primjer.

Bez pretvaranja običnih razlomaka u decimalne brojeve, reci mi koji se od razlomaka 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 može pretvoriti u konačni decimalni razlomak, a koji - samo u periodični.

Riješenje.

Prosta faktorizacija nazivnika 47/20 je 20 = 2 · 2 · 5. Ovo proširenje sadrži samo dvojke i petice, pa se ovaj razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1.000, ... (u ovom primjeru na nazivnik 100), dakle, može se pretvoriti u konačni decimalni razlomak .

Prost faktorizacija nazivnika razlomka 7/12 je 12 = 2 · 2 · 3. Budući da sadrži primarni faktor 3 osim 2 i 5, ovaj se razlomak ne može predstaviti kao konačni decimalni razlomak, ali se može pretvoriti u periodični decimalni razlomak.

Frakcija 21/56 je kontraktilna, nakon kontrakcije poprima oblik 3/8. Faktorizacija nazivnika u proste faktore sadrži tri faktora jednaka 2, pa se obični razlomak 3/8, a time i razlomak 21/56 jednak njemu, može pretvoriti u konačni decimalni razlomak.

Konačno, proširenje nazivnika razlomka 31/17 je samo 17, stoga se taj razlomak ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak, već se može pretvoriti u beskonačni periodični razlomak.

Odgovor:

47/20 i 21/56 mogu se pretvoriti u konačnu decimalu, a 7/12 i 31/17 mogu se pretvoriti samo u periodične.

Razlomci se ne pretvaraju u beskonačne neperiodične decimale

Podaci iz prethodnog odlomka postavljaju pitanje: "Može li se dobiti beskonačan neperiodični razlomak dijeljenjem brojnika razlomka nazivnikom?"

Odgovor je ne. Prilikom prevođenja običnog razlomka možete dobiti ili konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak. Objasnimo zašto je tomu tako.

Iz teorema o djeljivosti s ostatkom jasno je da je ostatak uvijek manji od djelitelja, odnosno ako neki cijeli broj podijelimo na cijeli broj q, tada ostatak može biti samo jedan od brojeva 0, 1, 2,… , q − 1. Slijedi da će nakon završetka dijeljenja stupcem cijelog broja brojnika običnog razlomka nazivnikom q, u najviše q koraka, nastati jedna od sljedeće dvije situacije:

• ili ćemo dobiti ostatak 0, tada će podjela završiti i dobit ćemo konačni decimalni razlomak;
• ili ćemo dobiti ostatak koji se već ranije pojavio, nakon čega će se ostatci početi ponavljati kao u prethodnom primjeru (budući da se dijeljenjem jednakih brojeva s q dobivaju jednaki ostaci, što proizlazi iz već spomenutog teorema djeljivosti), pa se dobit će se beskonačni periodični decimalni razlomak.

Ne mogu postojati druge mogućnosti, stoga se prilikom pretvaranja običnog razlomka u decimalni razlomak ne može dobiti beskonačni neperiodični decimalni razlomak.

Iz obrazloženja danog u ovom stavku također proizlazi da je duljina razdoblja decimalnog razlomka uvijek manja od vrijednosti nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka.

Pretvaranje decimalnih razlomaka u razlomke

Sada shvatimo kako pretvoriti decimalni razlomak u običan. Počnimo s pretvaranjem konačnih decimalnih razlomaka u razlomke. Nakon toga razmotrite metodu invertiranja beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka. Zaključno, recimo o nemogućnosti pretvaranja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke.

Pretvaranje konačnih decimala u razlomke

Prilično je lako dobiti obični razlomak, koji je napisan u obliku konačnog decimalnog razlomka. Pravilo za pretvaranje konačne decimale u razlomke sastoji se od tri koraka:

• prvo, upišite dani decimalni razlomak u brojnik, prethodno odbacivši decimalnu točku i sve nule s lijeve strane, ako ih ima;
• drugo, upišite jedinicu u nazivnik i dodajte joj toliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom decimalnom razlomku;
• treće, ako je potrebno, smanjite rezultirajuću frakciju.

Razmotrimo rješenja primjera.

Primjer.

Pretvorite decimalni razlomak 3,025 u razlomak.

Riješenje.

Ako uklonimo decimalnu točku u izvornom decimalnom razlomku, dobivamo broj 3 025. Na lijevoj strani nema nula koje bismo odbacili. Dakle, u brojnik željenog razlomka upišite 3 025.

Zapisujemo broj 1 u nazivnik i dodajemo mu 3 nule s desne strane, budući da u izvornom decimalnom ulomku iza decimalnog zareza postoje 3 znamenke.

Tako smo dobili zajednički razlomak 3 025/1000. Ovaj razlomak se može poništiti sa 25, dobivamo .

Odgovor:

.

Primjer.

Pretvorite decimalni razlomak 0,0017 u uobičajeni razlomak.

Riješenje.

Bez decimalne točke izvorni decimalni razlomak ima oblik 00017, ispuštanjem nula s lijeve strane dobivamo broj 17, koji je brojnik željenog običnog razlomka.

U nazivnik zapisujemo jedinicu s četiri nule, budući da u izvornom decimalnom ulomku nakon decimalne točke postoje 4 znamenke.

Kao rezultat, imamo obični razlomak od 17/10 000. Ovaj razlomak je nesvodljiv, a konverzija decimalnog razlomka u obični je potpuna.

Odgovor:

.

Kada se cijeli broj izvornog konačnog decimalnog razlomka razlikuje od nule, tada se može odmah pretvoriti u mješoviti broj, zaobilazeći obični razlomak. Dajmo pravilo za pretvaranje posljednjeg decimalnog u mješoviti broj:

• broj do decimalne točke mora biti napisan kao cijeli broj željenog mješovitog broja;
• u brojnik razlomničkog dijela trebate napisati broj dobiven iz razlomka izvornog decimalnog razlomka nakon što ispustite sve nule u njemu slijeva;
• u nazivnik razlomljenog dijela trebate upisati znamenku 1, kojoj s desne strane dodajete onoliko nula koliko ima znamenki u izvornom decimalnom razlomku iza decimalne točke;
• ako je potrebno, smanjite razlomak dobivenog mješovitog broja.

Pogledajmo primjer pretvaranja decimalnog u mješoviti broj.

Primjer.

Pošaljite decimalni broj 152.06005 kao mješoviti broj

Da biste racionalni broj m / n zapisali kao decimalni razlomak, brojnik morate podijeliti s nazivnikom. U ovom slučaju količnik je zapisan konačnim ili beskonačnim decimalnim razlomom.

Zadani broj napišite kao decimalni razlomak.

Riješenje. Podijelite u stupcu brojnik svakog razlomka po njegovu nazivniku: a) podijelite 6 sa 25; b) podijeliti 2 sa 3; v) podijelite 1 s 2, a zatim dobiveni razlomak dodijelite jednom - čitavom dijelu ovog mješovitog broja.

Neumanjivi obični razlomci, čiji nazivnici ne sadrže druge proste faktore, osim 2 i 5 , ispisane su konačnim decimalnim razlomom.

V. primjer 1 kada a) nazivnik 25 = 5 · 5; kada v) nazivnik je 2, pa smo dobili konačne decimale 0,24 i 1,5. Kada b) nazivnik je 3, pa se rezultat ne može zapisati kao konačni decimalni razlomak.

Je li moguće, bez dijeljenja u stupac, pretvoriti u decimalni razlomak tako običan razlomak čiji nazivnik ne sadrži druge faktore osim 2 i 5? Hajde da shvatimo! Koji se razlomak naziva decimalom i zapisuje se bez razlomka? Odgovor: razlomak s nazivnikom 10; 100; 1000 itd. I svaki od tih brojeva je proizvod jednak broj "dvojki" i "petica". Zapravo: 10 = 2 · 5; 100 = 2 5 2 5; 1000 = 2 5 2 5 2 5, itd.

Slijedom toga, nazivnik nesvodivog običnog razlomka bit će potrebno predstaviti kao umnožak "dvojki" i "petica", a zatim pomnožiti s 2 i (ili) sa 5 tako da "dvojke" i "petice" postanu jednake. Tada će nazivnik razlomka biti 10 ili 100 ili 1000 itd. Kako se vrijednost razlomka ne bi promijenila, brojnik razlomka množimo s istim brojem kojim je nazivnik pomnožen.

Predstavite sljedeće razlomke kao decimalni zarez:

Riješenje. Svaki od ovih razlomaka je nesvodljiv. Podijelimo nazivnik svakog razlomka na proste faktore.

20 = 2 2 5. Zaključak: nedostaje jedna "petica".

8 = 2 2 2. Zaključak: nedostaju tri "petice".

25 = 5 5. Zaključak: nedostaju dvije "dvojke".

Komentar. U praksi često ne koriste faktoriziranje nazivnika, već jednostavno postavljaju pitanje: koliko treba nazivnik pomnožiti tako da rezultat bude jedinica s nulama (10 ili 100 ili 1000 itd.). I tada se brojnik množi s istim brojem.

Dakle, u slučaju a)(primjer 2) iz broja 20 možete dobiti 100 množenjem s 5, stoga morate brojnik i nazivnik pomnožiti s 5.

Kada b)(primjer 2) od broja 8 broj 100 neće funkcionirati, ali će se broj 1000 pomnožiti sa 125. I brojnik (3) i nazivnik (8) razlomka množe se sa 125.

Kada v)(primjer 2) od 25 dobijete 100 ako pomnožite s 4. To znači da se brojnik 8 mora pomnožiti s 4.

Beskonačni decimalni razlomak u kojem se jedna ili više znamenki uvijek ponavlja u istom slijedu naziva se periodična decimalni razlomak. Zbirka brojeva koji se ponavljaju naziva se periodom ovog razlomka. Radi sažetosti, razdoblje razlomka bilježi se jednom, zatvarajući ga u zagrade.

Kada b)(primjer 1) znamenka koja se ponavlja je jedan i jednaka je 6. Stoga će naš rezultat 0,66 ... biti zapisan ovako: 0, (6). Pročitajte: nulta točka, šest u točki.

Ako postoji jedna ili više znamenki koje se ne ponavljaju između zareza i prve točke, tada se takav periodični razlomak naziva mješovitim periodičnim razlomom.

Neumanjivi obični razlomak, čiji je nazivnik zajedno s drugima množitelji sadrži faktor 2 ili 5 , postaje mješovito periodični razlomak.

Zapišite brojeve kao decimalni razlomak.