U računskoj praksi često se moramo baviti funkcijama danim u tablicama njihovih vrijednosti za neki konačan skup vrijednosti NS : .

U procesu rješavanja problema potrebno je koristiti vrijednosti
za srednje vrijednosti argumenta. U tom se slučaju konstruira funkcija F (x), što je dovoljno jednostavno za izračune, koji u danim točkama x 0 , x 1 , ..., x n , naziva interpolacijski čvorovi, poprima vrijednosti i na drugim točkama segmenta (x 0, x n) koje pripadaju području definicije
, približno predstavlja funkciju
s različitim stupnjevima točnosti.

Prilikom rješavanja problema, u ovom slučaju, umjesto funkcije
raditi s funkcijom F (x). Problem konstruiranja takve funkcije F (x) naziva se problem interpolacije. Najčešće se interpolacijska funkcija F (x) traži u obliku algebarskog polinoma.

1. Interpolacijski polinom

Za svaku funkciju
definirano na [ a, b] i bilo koji skup čvorova x 0 , x 1 , ...., x n (x i
[a, b], x i x j za i j) među algebarskim polinomima stupnja najviše n postoji jedinstveni interpolacijski polinom F (x) koji se može zapisati u obliku:

, (3.1)

gdje
- polinom stupnja n sa sljedećim svojstvom:

Za interpolacijski polinom, polinom
izgleda kao:

Ovaj polinom (3.1) rješava problem interpolacije i naziva se Lagrangeov interpolacijski polinom.

Kao primjer, razmotrimo funkciju oblika
na intervalu
dano tabelarno.

Potrebno je odrediti vrijednost funkcije u točki x-2.5. Za to ćemo upotrijebiti Lagrangeov polinom. Na temelju formula (3.1 i 3.3), ovaj polinom zapisujemo u eksplicitnom obliku:

(3.4).

Zatim zamjenom početnih vrijednosti iz naše tablice u formulu (3.4), dobivamo

Dobiveni rezultat odgovara teoriji, tj. ...

1. Lagrangeova formula interpolacije

Lagrangeov interpolacijski polinom može se napisati u drugom obliku:

(3.5)

Zapisivanje polinoma u obliku (3.5) prikladnije je za programiranje.

Pri rješavanju problema interpolacije količina n naziva se red interpolirajućeg polinoma. Štoviše, kao što se može vidjeti iz formula (3.1) i (3.5), broj čvorova interpolacije uvijek će biti jednak n + 1 i značenje x, za koju vrijednost
, moraju ležati unutar domene definicije interpolacijskih čvorova oni.

. (3.6)

U nekim je praktičnim slučajevima ukupan poznati broj interpolacijskih čvorova jednak m može biti veći od reda interpolirajućeg polinoma n.

U ovom slučaju, prije provedbe postupka interpolacije prema formuli (3.5), potrebno je odrediti one čvorove interpolacije za koje vrijedi uvjet (3.6). Treba imati na umu da se najmanja pogreška postiže pri pronalaženju vrijednosti x u središtu interpolacijskog područja. Kako bi se to osiguralo, predlaže se sljedeći postupak:

Glavna svrha interpolacije je izračunavanje vrijednosti tabelarne funkcije za vrijednosti koje nisu čvorne (među) vrijednosti, pa se interpolacija često naziva "umjetnošću čitanja tablica između redaka".

Lagrangeov polinom

Lagranžov interpolacijski polinom- polinom minimalnog stupnja koji uzima zadane vrijednosti u danom skupu točaka. Za n+ 1 par brojeva, gdje su svi x i različit, postoji samo jedan polinom L(x) više nema stupnja n, za koji L(x i) = y i .

U najjednostavnijem slučaju ( n= 1) je linearni polinom čiji je graf ravna linija koja prolazi kroz dvije zadane točke.

Definicija

Ovaj primjer prikazuje Lagrangeov interpolacijski polinom za četiri točke (-9,5), (-4,2), (-1, -2) i (7,9), kao i polinome y j l j (x), od kojih svaka prolazi kroz jednu od odabranih točaka, a u ostatku uzima nultu vrijednost x i

Neka za funkciju f(x) vrijednosti su poznate y j = f(x j) u nekim točkama. Tada ovu funkciju možemo interpolirati kao

Posebno,

Vrijednosti integrala od l j ne ovise o f(x), a mogu se unaprijed izračunati, poznavajući slijed x i .

U slučaju jednolike raspodjele interpolacijskih čvorova duž segmenta

U ovom slučaju možemo izraziti x i kroz udaljenost između čvorova interpolacije h i početne točke x 0 :

i stoga

Zamjenom ovih izraza u formulu osnovnog polinoma i uzimanjem h za znakove množenja u brojniku i nazivniku dobivamo

Sada možete unijeti zamjensku varijablu

i dobiti polinom od y koji se gradi samo pomoću cijele aritmetike. Nedostatak ovog pristupa je faktorska složenost brojnika i nazivnika, koja zahtijeva upotrebu algoritama s višebajtnim prikazom brojeva.

vanjske poveznice

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Lagrangeov polinom" u drugim rječnicima:

Oblik pisanja polinoma stupnja n (Lagrangeov interpolacijski polinom) koji interpolira zadanu funkciju f (x). Na čvorovima x 0, x1, ..., xn: U slučaju kada su vrijednosti xi jednako udaljene, je, koristeći zapis (x x0) / h = t formulu (1) ... ... Enciklopedija matematike

U matematici su polinomi ili polinomi u jednoj varijabli funkcije oblika gdje su ci fiksni koeficijenti, a x varijabla. Polinomi čine jednu od najvažnijih klasa elementarnih funkcija. Proučavanje polinomskih jednadžbi i njihovih rješenja ... ... Wikipedia

U računskoj matematici, Bernsteinovi polinomi su algebarski polinomi koji su linearne kombinacije osnovnih Bernsteinovih polinoma. Stabilan algoritam za računanje polinoma u Bernsteinovom obliku je algoritam ... ... Wikipedia

Polinom minimalnog stupnja koji uzima zadane vrijednosti u danom skupu točaka. Za parove brojeva gdje su svi različiti, postoji najviše jedan polinom stupnja, za koji. U najjednostavnijem slučaju (... Wikipedia

Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom minimalnog stupnja koji uzima zadane vrijednosti u danom skupu točaka. Za n + 1 parova brojeva, gdje su svi xi različiti, postoji jedinstveni polinom L (x) najviše n stupnja, za koji je L (xi) = yi ... ... Wikipedia

Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom minimalnog stupnja koji uzima zadane vrijednosti u danom skupu točaka. Za n + 1 parova brojeva, gdje su svi xi različiti, postoji jedinstveni polinom L (x) najviše n stupnja, za koji je L (xi) = yi ... ... Wikipedia

O funkciji vidi: Interpolyant. Interpolacija u računskoj matematici je metoda pronalaženja srednjih vrijednosti veličine iz dostupnog diskretnog skupa poznatih vrijednosti. Mnogi od onih koji su suočeni sa znanstvenim i inženjerskim proračunima često ... Wikipedia

O funkciji vidi: Interpolyant. Interpolacija, interpolacija u računskoj matematici je metoda pronalaženja srednjih vrijednosti veličine iz dostupnog diskretnog skupa poznatih vrijednosti. Mnogi od onih koji naiđu na znanstvenu i ... ... Wikipedia

Konstruirat ćemo interpolacijski polinom u obliku

gdje su najviše polinomi stupnja NS, koji imaju sljedeće svojstvo:

Doista, u ovom slučaju polinom (4.9) na svakom čvoru x j, j = 0,1, ... n, jednaka je odgovarajućoj vrijednosti funkcije y j, tj. je interpolacija.

Konstruirajmo takve polinome. Budući da je za x = x 0, x 1,… x i -1, x i +1,… x n, možemo faktorisati na sljedeći način

gdje je c konstanta. Iz uvjeta to dobivamo

Interpolacijski polinom (4.1) zapisan u obliku

naziva se Lagrangeov interpolacijski polinom.

Približna vrijednost funkcije u točki x * izračunato pomoću Lagrangeova polinoma imat će zaostalu pogrešku (4.8). Ako su vrijednosti funkcije y i na interpolacijskim čvorovima x i se postavljaju približno s istom apsolutnom pogreškom, tada će se umjesto točne vrijednosti izračunati približna vrijednost, i

gdje je računska apsolutna pogreška Lagrangeova interpolacijskog polinoma. Konačno, imamo sljedeću procjenu ukupne pogreške približne vrijednosti.

Konkretno, Lagrangeovi polinomi prvog i drugog stupnja imat će oblik

i njihove ukupne pogreške u točki x *

Postoje i drugi oblici pisanja istog interpolacijskog polinoma (4.1), na primjer Newtonova formula interpolacije s dolje odvojenim razlikama i njezinim varijantama. Za točne izračune, vrijednosti Pn (x *) dobivene različitim formulama interpolacije izgrađenim od istih čvorova podudaraju se. Prisutnost računske pogreške dovodi do razlike u vrijednostima dobivenim iz ovih formula. Zapisivanje polinoma u obliku Lagrangea dovodi u pravilu do manje računske pogreške.

Korištenje formula za procjenu pogrešaka koje proizlaze iz interpolacije ovisi o formulaciji problema. Na primjer, ako je poznat broj čvorova, a funkcija je navedena s dovoljno velikim brojem točnih znakova, tada dolazi do problema izračunavanja f (x *) s najvećom mogućom točnošću. Ako je, naprotiv, broj ispravnih znakova mali, a broj čvorova velik, tada je problem izračuna f (x *) s točnošću koju dopušta tablična vrijednost funkcije, a za rješavanje ovog problema može biti potrebno i razrjeđivanje i zbijanje tablice.

§4.3. Razdvojene razlike i njihova svojstva.

Koncept podijeljene razlike generaliziran je koncept izvedenice. Neka su vrijednosti funkcija f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Razdvojene razlike prvog reda određene su jednakostima

odvojene razlikama drugog reda - jednakostima,

i odvojene razlike k-redoslijed se određuje sljedećom rekurzivnom formulom:

Podijeljene razlike obično se stavljaju u ovakvu tablicu:

Razmotrimo sljedeća svojstva odvojenih razlika.

1. Podijeljene razlike svih naloga linearne su kombinacije vrijednosti f (x i), tj. vrijedi sljedeća formula:

Dokažimo valjanost ove formule indukcijom po redoslijedu razlika. Za razlike prvog reda

Vrijedi formula (4.12). Pretpostavimo sada da vrijedi za sve razlike u redoslijedu.

Zatim, prema (4.11) i (4.12), za razlike u redoslijedu k = n + 1 imamo

Pojmovi koji sadrže f (x 0) i f (x n +1), imati traženi obrazac. Razmotrite pojmove koji sadrže f (x i), i = 1, 2, ..., n... Postoje dva takva pojma - iz prvog i drugog zbroja:

oni. formula (4.12) vrijedi za razliku narudžbe k = n + 1, dokaz je potpun.

2. Podijeljena razlika je simetrična funkcija njezinih argumenata x 0, x 1, ... x n (to jest, ne mijenja se za bilo koju permutaciju):

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz jednakosti (4.12).

3. Jednostavan odnos podijeljene razlike f i izvedenica f (n) (x) daje sljedeći teorem.

Neka čvorovi x 0, x 1, ... x n pripadaju segmentu i funkciju f (x) ima na ovom segmentu kontinuiranu izvedenicu reda NS... Zatim postoji točka xÎ, što

Dokažimo najprije valjanost relacije

Prema (4.12), izraz u uglatim zagradama je

f.

Uspoređujući (4.14) s izrazom (4.7) za ostatak R n (x) = f (x) -L n (x) dobivamo (4.13), teorem je dokazan.

Iz ovog teorema slijedi jednostavan zaključak. Za polinom NS-th stupanj

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + ... a n

izvedenica reda NS očito postoji

a odnos (4.13) daje za podijeljenu razliku vrijednost

Dakle, svaki polinom stupnja NS odvojene razlike u redoslijedu NS jednake su konstantnoj vrijednosti - koeficijentu na najvišem stupnju polinoma. Odvojene razlike viših redova
(više NS) očito jednaki nuli. Međutim, ovaj zaključak vrijedi samo ako nema računske pogreške za razdvojene razlike.

§4.4. Interpolacijski Newtonov polinom s odvojenim razlikama

Lagrangeov interpolacijski polinom zapisujemo u sljedećem obliku:

gdje L 0 (x) = f (x 0) = y 0, a L k (x)- Lagrangeov interpolacijski polinom stupnja k izgrađeni čvorovima x 0, x 1, ..., x k... Zatim postoji polinom stupnja kčiji su korijeni točke x 0, x 1, ..., x k -1... Stoga se može faktoriti

gdje je A k konstanta.

U skladu s (4.14) dobivamo

Uspoređujući (4.16) i (4.17), dobivamo da (4.15) također ima oblik

koji se naziva Newtonov interpolacijski polinom s odvojenim razlikama.

Ova vrsta zapisa interpolacijskog polinoma više je opisna (dodavanje jednog čvora odgovara izgledu jednog pojma) i omogućuje bolje praćenje analogije izgrađenih konstrukcija s osnovnim konstrukcijama matematičke analize.

Zaostala pogreška Newtonova interpolacijskog polinoma izražena je formulom (4.8), ali se ona, uzimajući u obzir (4.13), može zapisati u drugom obliku

oni. zaostala pogreška može se procijeniti prema modulu prvog odbijenog člana u polinomu N n (x *).

Računarska pogreška N n (x *) bit će određene greškama odvojenih razlika. Interpolacijski čvorovi najbliži interpoliranoj vrijednosti x *, imat će veći utjecaj na interpolacijski polinom, koji leži dalje - manji. Stoga je poželjno, ako je moguće, za x 0 i x 1 uzeti dolazak x * interpolacijskih čvorova i najprije na tim čvorovima izvrši linearnu interpolaciju. Zatim postupno privlačite sljedeće čvorove tako da budu što simetričniji u odnosu na x * sve dok sljedeći izraz u apsolutnoj vrijednosti nije manji od apsolutne pogreške podijeljene razlike koja je u njega uključena.

Neka na segment funkcija y = f (x) postavljeno je u tablicu, tj. (x i, y i), (i = 0,1, .., n), gdje y i = f (x i). Ova funkcija se naziva " mreža».

Formulacija problema: pronaći algebarski polinom (polinom):

stupanj nije veći n takav da

L n (x i) = y i, na ja = 0,1, .., n,(5.6)

oni. koji imaju na zadanim čvorovima x i, (i=0,1,..,n) iste vrijednosti kao i mrežna funkcija na=f (x).

Sam polinom L n (x) zvao interpolacijski polinom, a zadatak je polinomska interpolacija .

Pronađi polinom L n (x)- to znači pronaći njegove koeficijente a 0 , a 1 ,…, A n. Za ovo postoji n + 1 uvjet (5.6), koji su zapisani u obliku sustava linearnih algebarskih jednadžbi s obzirom na nepoznanice a ja,(i=0, 1,…,n):

gdje x ja i y ja ( i=0,1,…,n) - tablične vrijednosti argumenta i funkcije.

Iz tečaja algebre poznato je da je odrednica ovog sustava, nazvana Vandermondeova odrednica:

različito od nule pa sustav (5.7) ima jedina odluka.

Utvrdivši koeficijente a 0 , a 1 ,…, A n, rješavajući sustav (5.7), dobivamo tzv Lagrangeov interpolacijski polinom za funkciju f (x):

(5.8)

koji se može napisati kao:

Dokazano je da s obzirom n Mogu se iscrtati +1 vrijednosti funkcije jedini Lagrangeov interpolacijski polinom(5.8).

U praksi su Lagrangeovi interpolacijski polinomi prvog ( n = 1) i drugi ( n = 2) stupnjevi.

Na n = 1 informacija o interpoliranoj funkciji y = f (x) postavljen je na dvije točke: (x 0 , y 0 ) i (x 1 , y 1 ), a Lagrangeov polinom ima oblik

Za n = 2 Lagrangeov polinom konstruiran je iz tablice s tri točke

Riješenje: Zamjenjujemo početne podatke u formulu (5.8). Stupanj dobivenog Lagrangeova polinoma nije veći od trećeg, budući da je funkcija navedena s četiri vrijednosti:

Koristeći Lagrangeov interpolacijski polinom, vrijednost funkcije možete pronaći u bilo kojoj međutočki, na primjer, za NS=4:

= 43

Lagrangeovi interpolacijski polinomi korišteno u metoda konačnih elemenata, naširoko koristi u rješavanju građevinskih problema.

Poznate su i druge formule interpolacije, na primjer, Newtonova formula interpolacije koristi se za interpolaciju u slučaju jednako raspoređenih čvorova ili interpolacijskog polinoma Hermita.

Interpolacija spline... Prilikom korištenja velikog broja čvorova interpolacije koristi se posebna tehnika - interpolacija polinomija u komadu kada je funkcija interpolirana polinomom stupnja T između susjednih čvorova mreže.

Aproksimacija korijena srednjeg korijena funkcija

Formulacija problema

Rms približavanje funkcije je drugi pristup dobivanju analitičkih izraza za aproksimaciju funkcija. Značajka takvih problema je činjenica da su početni podaci za izgradnju određenih zakonitosti očito približan karakter.

Ti se podaci dobivaju kao rezultat bilo kojeg eksperimenta ili kao rezultat nekog računalnog procesa. Sukladno tome, ti podaci sadrže eksperimentalne pogreške (pogreške mjerne opreme i uvjeta, slučajne pogreške itd.) Ili pogreške zaokruživanja.

Recimo da se istražuje neki fenomen ili proces. Općenito, objekt istraživanja može biti predstavljen kibernetičkim sustavom ("crna kutija") prikazan na slici.

Promjenjivo NS Je neovisna kontrolirana varijabla (ulazni parametar).

Promjenjivo Y Je li reakcija (odgovor) istraživačkog objekta na utjecaj ulaznog parametra. Ovo je ovisna varijabla.

Pretpostavimo da je prilikom obrade rezultata ovog pokusa pronađena određena funkcionalna ovisnost y = f (x) između neovisne varijable NS i ovisna varijabla na. Ova ovisnost prikazana je u obliku tablice. 5.1 vrijednosti x i, y i (i=1,2,…, N) dobivenih tijekom pokusa.

Tablica 5.1

Ako izraz analitičke funkcije y = f (x) je nepoznat ili vrlo težak, tada se javlja problem u pronalaženju funkcije y = j (NS), vrijednosti od kojih pri x = x i, možda malo drugačije iz eksperimentalnih podataka y ja, (i=1,..,n). Dakle, ispitivana ovisnost aproksimira se funkcijom y = j (NS) na segmentu [ x 1 , x n]:

f (x) @ j (NS). (5.9)

Aproksimativna funkcija y = j (NS) zvao empirijska formula (EF) ili regresijska jednadžba (RR).

Empirijske formule ne pretendiraju na zakone prirode, već su samo hipoteze koje više ili manje primjereno opisuju eksperimentalne podatke. Međutim, njihov značaj je vrlo velik. U povijesti znanosti postoje slučajevi kada je dobivena uspješna empirijska formula dovela do velikih znanstvenih otkrića.

Empirijska formula je adekvatan ako se može koristiti za opisivanje predmeta koji se proučava s dovoljnom točnošću za praksu.

Čemu služi ova ovisnost?

Ako se pronađe aproksimacija (5.9), tada je moguće:

Predvidite ponašanje istraživanog objekta izvan segmenta ( ekstrapolacija );

Odaberi optimalno smjer razvoja procesa koji se proučava.

Regresijska jednadžba može imati drugačiji oblik i različitu razinu složenosti, ovisno o karakteristikama objekta koji se proučava i potrebnoj točnosti prikaza.

Geometrijski problem konstruiranja regresijske jednadžbe sastoji se u crtanju krivulje L: y = j (NS) « što bliže»U blizini sustava eksperimentalnih točaka M i (x i, y i), i = 1,2, .., n datoj tabeli. 5.1 (slika 5.2).

Konstrukcija jednadžbe regresije (empirijska funkcija) sastoji se od 2 stupnja:

1. izbor općeg pogleda regresijske jednadžbe,

2. definiranje njegovih parametara.

Uspješno izbor regresijska jednadžba uvelike ovisi o iskustvu eksperimentatora koji istražuje proces ili pojavu.

Polinom (polinom) često se bira kao jednadžba regresije:

Drugi zadatak, pronalaženje parametara regresijske jednadžbe rješavaju se redovitim metodama, na primjer, metoda najmanjih kvadrata(OLS), koji se naširoko koristi u proučavanju bilo kojeg uzorka na temelju opažanja ili eksperimenata.

Razvoj ove metode povezan je s imenima poznatih matematičara iz prošlosti - K. Gaussa i A. Legendrea.

Metoda najmanjeg kvadrata

Pretpostavimo da su rezultati pokusa prikazani u obliku tablice. 5.1. I jednadžba regresije zapisana je u obliku (5.11), tj. ovisi o ( m+1) parametar

Ti parametri određuju mjesto grafikona regresijske jednadžbe u odnosu na eksperimentalne točke M i (x i, y i), i = 1,2, .., n(Slika 5.2).

Međutim, ti parametri nisu jedinstveno definirani. Potrebno je odabrati parametre tako da se grafikon regresijske jednadžbe nalazi “ što bliže»Na sustav ovih eksperimentalnih točaka.

Uvedimo koncept odstupanja vrijednosti regresijske jednadžbe (5.11) iz tablične vrijednosti y i za x i : , i = 1,2, .., n.

Smatrati zbroj kvadrata odstupanja, koji ovisi o( m+1) parametar

Prema OLS -u, najbolji koeficijenti a i(i=0,1,..,m) su oni koji minimiziraju zbroj kvadrata odstupanja, t.j. funkcija.

Korištenje potrebni uvjeti za ekstrem funkcije nekoliko varijabli, dobivamo tzv normalni sustav za utvrđivanje nepoznatih koeficijenata :

Za aproksimacijsku funkciju (5.11) sustav (5.14) je sustav linearnih algebarskih jednadžbi za nepoznate .

Mogući su slučajevi:

1. Ako, tada postoji beskonačno mnogo polinoma (5.11) koji minimiziraju funkciju (5.13).

2. Ako m = n–1, tada postoji samo jedna funkcija minimiziranja polinoma (5.11) (5.13).

Manje m, empirijska formula je jednostavnija, ali nije uvijek bolja. Mora se imati na umu da bi rezultirajuća empirijska formula trebala biti adekvatan predmet koji se proučava.