MINISTARSTVO PROSVJETE I ZNANOSTI RUSKE FEDERACIJE

Savezna državna autonomna obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"Uralsko federalno sveučilište nazvano po prvom predsjedniku Rusije B. N. Jeljcinu"

Institut za radio elektroniku i informacijske tehnologije - RTF

Odjel Automatizacija i informacijska tehnologija

Interpolacija spline

METODOLOŠKE UPUTE ZA LABORATORIJSKI RAD NA DISCIPLINI "Numeričke metode"

Sastavila I.A. Selivanova, viši predavač.

INTERPOLACIJA IGRE: Metodička uputstva za praktične vježbe iz discipline "Numeričke metode"

Upute su namijenjene studentima svih oblika obrazovanja smjera 230100 - "Informatika i računalno inženjerstvo".

P FGAOU VPO "UrFU nazvan po prvom predsjedniku Rusije B. N. Jeljcinu", 2011

1. INTERPOLACIJA IGRAČAMA. 4

1.1. Kubni spline. 4

1.2. Poseban oblik spline notacije. 5

1.3. Kvadratni spline. 13

1.4. Zadatak za vježbu. osamnaest

1.5. Mogućnosti posla. 19

Literatura 21

1. Interpolacija splinovima.

U slučajevima kada je interval [ a,b] gdje želite zamijeniti funkciju f(x) je velika, možete primijeniti spline interpolaciju.

1.1. Kubni spline.

Interpolacijski ulošci 3. reda su funkcije koje se sastoje od dijelova polinoma 3 th narudžba. Na čvorovima sučelja osiguran je kontinuitet funkcije, njezina prva i druga izvedenica. Aproksimativna funkcija sastoji se od zasebnih polinoma, u pravilu, istog malog stupnja, od kojih je svaki definiran na svom dijelu segmenta.

Neka na segmentu [ a, b] stvarna os x data je mreža na čijim čvorovima su vrijednosti
funkcija f(x). Potrebno je konstruirati na segmentu [ a, b] kontinuirana funkcija spline S(x), koji zadovoljava sljedeće uvjete:

Da biste konstruirali traženi spline, morate pronaći koeficijente
polinomi
,i=1,… n, tj. 4 n nepoznati koeficijenti koji zadovoljavaju 4 n-2 jednadžbe (1), (2), (3). Da bi sustav jednadžbi imao rješenje, dodaju se dva dodatna (rubna) uvjeta. Koriste se tri vrste rubnih uvjeta:

Uvjeti (1), (2), (3) i jedan od uvjeta (4), (5), (6) tvore SLAE reda 4 n. Rješenje sustava može se provesti Gaussovom metodom. Međutim, odabirom posebnog zapisa za kubični polinom, može se značajno smanjiti redoslijed rješavanja sustava jednadžbi.

1.2. Poseban oblik spline notacije.

Razmotrite segment
... Uvedimo sljedeće zapise varijabli:

Ovdje
- duljina segmenta
,

,
- pomoćne varijable,

x- međutočka na segmentu
.

Kada x prolazi kroz sve vrijednosti u intervalu
, promjenjivo varira od 0 do 1, i
kreće se od 1 do 0.

Neka je kubni polinom
na segmentu
izgleda kao:

Varijable i
određuju se u odnosu na određeni segment interpolacije.

Pronađite vrijednost spline
na krajevima segmenta
... Točka
početni je za segment
, dakle =0,
= 1 iu skladu s (3.8):
.

Na kraju segmenta
=1,
= 0 i
.

Za interval
točka
je konačan, dakle =1,
= 0 i iz formule (9) dobivamo:
... Dakle, uvjet kontinuiteta funkcije S(x) na spojevima kubičnih polinoma bez obzira na izbor brojeva  i.

Za određivanje koeficijenata  i, i=0,… n razlikujemo (8) dvaput kao složenu funkciju od x... Zatim

Definirajmo druge derivate spline
i
:

Za polinom
točka je početak segmenta interpolacije i =0,
= 1, dakle

Iz (15) i (16) slijedi da je na segmentu [ a,b] spline funkcija "zalijepljena" od dijelova polinoma trećeg reda ima kontinuiranu derivaciju drugog reda.

Da bi se dobio kontinuitet prve izvedenice funkcije S(x), na unutarnjim čvorovima interpolacije zahtijevamo ispunjenje uvjeta:

Za prirodni kubični spline
, stoga će sustav jednadžbi imati oblik:

a sustav jednadžbi (17) imat će oblik:

Primjer.

Početni podaci:

Zamijenite funkciju
interpolacijski kubični spline, čije se vrijednosti u danim čvornim točkama (vidi tablicu) podudaraju s vrijednostima funkcije u istim točkama. Razmotrimo različite granične uvjete.

Izračunajmo vrijednost funkcije u čvornim točkama. Da bismo to učinili, zamjenjujemo vrijednosti iz tablice u zadanu funkciju.

Za različite rubne uvjete (4), (5), (6) nalazimo koeficijente kubičnih splinova.

1. Razmotrimo prve rubne uvjete.

U našem slučaju n=3,
,
,
... Pronaći
koristimo sustav jednadžbi (3.18):

Izračunajmo i koristeći formule (7) i (11):

Zamijenite dobivene vrijednosti u sustav jednadžbi:

.

Rješenje sustava:

Uzimajući u obzir prve rubne uvjete, koeficijenti spline:

Razmotrimo definiciju spline koeficijenata uzimajući u obzir granične uvjete (3.5):

Pronađi izvedenicu funkcije
:

Izračunajmo
i
:

Zamijenimo vrijednosti u sustavu jednadžbi (21) i :

Pomoću formule (20) definiramo  0 i  3:

Uzimajući u obzir određene vrijednosti:

i vektor koeficijenata:

Izračunajmo vrijednosti kubičnog splaina S (x) na sredini interpolacijskih segmenata.

Sredina segmenata:

Za izračun vrijednosti kubičnog splaina na sredini interpolacijskih segmenata koristimo se formulama (7) i (9).

3.1.

Pronaći i
:

U formuli (3.9) zamjenjujemo koeficijente

3.2.

Pronaći i
:

, za rubne uvjete (4), (5), (6):

3.3.

Pronaći i
:

U formuli (9) zamjenjujemo koeficijente
, za rubne uvjete (4), (5), (6):

Napravimo tablicu:

Riječ spline (engleska riječ "spline") znači fleksibilno ravnalo koje se koristi za povlačenje glatkih krivulja kroz određene točke na ravnini. Oblik ovog univerzalnog komada na svakom segmentu opisan je kubičnom parabolom. Splines se naširoko koristi u inženjerskim aplikacijama, osobito u računalnoj grafici. Dakle, na svakom i-T segment [ x i –1 , x i], i = 1, 2,…, N, rješenje će se tražiti u obliku polinoma trećeg stupnja:

S i(x)= a i + b i(x - x i)+ c i(x–x i) 2 /2+ d i(x - x i) 3 /6

Nepoznati izgledi a i, b i, c i, d i, i = 1, 2,..., N, nalazimo iz:

Uvjeti interpolacije: S i(x i)= f i, i = 1, 2,..., N;S 1 (x 0)= f 0 ,

Funkcija kontinuiteta S i(x i– 1 ) = S i– 1 (x i –1), i = 2, 3,..., N,

Kontinuiteti prve i druge izvedenice:

S / i(x i– 1)=S / i– 1 (x i –1), S // i(x i –1)= S // i –1 (x i –1), i = 2, 3,..., N.

Uzimajući u obzir to, za utvrđivanje 4 N nepoznato, dobivamo sustav 4 N–2 jednadžbe:

a i = f i, i = 1, 2,..., N,

b i h i - c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6= f i - f i –1 , i = 1, 2,..., N,

b i - b i - 1 = c i h i - d i h i 2 /2, i = 2, 3,..., N,

d i h i = c i - c i– 1 , i = 2, 3,..., N.

gdje h i = x i - x i– 1. Dvije jednadžbe koje nedostaju izvedene su iz dodatnih uvjeta: S //(a)= S //(b)=0. Može se pokazati da je u ovom slučaju. Nepoznato se može isključiti iz sustava b i, d i, primivši sustav N + 1 linearne jednadžbe (SLAE) za određivanje koeficijenata c i:

c 0 = 0, c N = 0,

h i c i –1 + 2(h i + h i +1)c i + h i +1 c i +1 = 6 , i = 1, 2,…, N–1. (1)

Nakon toga se izračunavaju koeficijenti b i, d i:

, ja = 1, 2,..., N. (2)

U slučaju konstantne rešetke h i = h ovaj sustav jednadžbi je pojednostavljen.

Ovaj SLAE ima tridijagonalnu matricu i rješava se metodom zamaha.

Koeficijenti se određuju prema formulama:

Za izračunavanje vrijednosti S(x) na proizvoljnoj točki segmenta z∈[a, b] potrebno je riješiti sustav jednadžbi za koeficijente c i, i = 1,2,…, N–1, zatim pronaći sve koeficijente b i, d i. Nadalje, potrebno je utvrditi za koji interval [ x i 0, x i 0-1] pogađa ovu točku i znajući broj i 0, izračunati vrijednost splaina i njegovih derivata u jednoj točki z

S(z)= a i 0 + b i 0 (z - x i 0)+ c i 0 (z - x i 0) 2 /2+ d i 0 (z - x i 0) 3 /6

S /(z)= b i 0 + c i 0 (z - x i 0)+ d i 0 (z - x i 0) 2 /2, S //(z)= c i 0 + d i 0 (z - x i 0).

Potrebno je izračunati vrijednosti funkcije u točkama 0,25 i 0,8 pomoću spline interpolacije.

U našem slučaju: h i = 1/4 ,.

Napišimo sustav jednadžbi za određivanje:

Rješavajući ovaj sustav linearnih jednadžbi, dobivamo :.

Razmotrimo točku 0.25 koja pripada prvom segmentu, tj. ... Stoga dobivamo

Razmotrimo točku 0.8 koja pripada četvrtom segmentu, tj. ...

Stoga,

Globalna interpolacija

Kada globalna interpolacija jedan polinom se nalazi na cijelom intervalu [ a, b], tj konstruira se polinom koji se koristi za interpolaciju funkcije f (x) tijekom cijelog intervala varijacije argumenta x. Tražit ćemo interpolacijsku funkciju u obliku polinoma (polinom) m-Th stupanj P m(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +… + A m x m. Koliki je stupanj polinoma da zadovolji sve uvjete interpolacije? Pretpostavimo da su date dvije točke: ( x 0 , f 0) i ( x 1 , f 1), tj. N = 1. Kroz te točke može se povući jedna ravna linija, tj. interpolacijska funkcija bit će polinom prvog stupnja P 1 (x)= a 0 + a 1 x. Kroz tri točke (N = 2) može se povući parabola P 2 (x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2, itd. Obrazlažući na ovaj način, možemo pretpostaviti da željeni polinom mora imati stupanj N .

Kako bismo to dokazali, zapisujemo sustav jednadžbi za koeficijente. Jednadžbe sustava uvjeti su za interpolaciju u svakoj x = x i:

Ovaj sustav je linearan u odnosu na željene koeficijente a 0 , a 1 , a 2 , …,a N. Poznato je da SLAE ima rješenje ako mu odrednica nije nula. Odrednica danog sustava

nosi ime odrednica Vandermonde... Iz tečaja matematičke analize poznato je da nije nula ako x k≠x m(tj. Svi interpolacijski čvorovi su različiti). Dakle, dokazano je da sustav ima rješenje.

To smo pokazali da bismo pronašli koeficijente
a 0 , a 1 , a 2 , …,a N potrebno je riješiti SLAE, što je težak zadatak. No postoji i drugi način za konstruiranje polinoma N-Th stupanj, koji ne zahtijeva rješenje takvog sustava.

Lagrangeov polinom

Tražimo rješenje u obliku , gdje l i(z) – bazični polinomi N-Stupanj za koji je uvjet ispunjen: ... Provjerimo da ako su takvi polinomi konstruirani, tada L N (x) zadovoljit će uvjete interpolacije:

Kako konstruirati osnovne polinome? Definiramo

, ja = 0, 1,..., N.

Lako je to shvatiti

Funkcija l i(z) je polinom N-Stupanj od z i za to su zadovoljeni uvjeti "bazičnosti":

0, i ≠ k ;, tj. k = 1,…, i-1 ili k = i + 1,…, N.

Tako smo uspjeli riješiti problem konstruiranja interpolirajućeg polinoma N– stupnja, a za to nije potrebno rješavati SLAE. Lagrangeov polinom se može napisati kao kompaktna formula: . Pogreška ove formule može se procijeniti ako je izvorna funkcija g(x) ima izvedenice do N + 1 narudžba:

Iz ove formule proizlazi da pogreška metode ovisi o svojstvima funkcije g(x), kao i od položaja interpolacijskih čvorova i točke z. Izračunati pokusi to pokazuju Lagrangeov polinom ima malu pogrešku za male vrijednosti N<20 ... Za veće N pogreška počinje rasti, što ukazuje da se Lagrangeova metoda ne konvergira (tj. njezina se pogreška ne smanjuje s povećanjem N).

Razmotrimo posebne slučajeve. Neka je N = 1, tj. vrijednosti funkcija date su samo u dvije točke. Tada su osnovni polinomi:

, tj. dobivamo formule za linearnu interpolaciju po komadu.

Neka je N = 2. Zatim:

Zbog toga smo dobili formule za tzv kvadratna ili parabolična interpolacija.

Primjer: Dane su vrijednosti neke funkcije:

Potrebno je pronaći vrijednost funkcije za z = 1 pomoću Lgrangeovog interpolacijskog polinoma. Ad hoc N= 3, tj. Lagrangeov polinom je trećeg reda. Izračunajmo vrijednosti osnovnih polinoma za z=1:

Izbor empirijskih formula

Prilikom interpolacije funkcija koristili smo uvjet jednakosti vrijednosti interpolacijskog polinoma i zadane funkcije na čvorovima interpolacije. Ako su početni podaci dobiveni kao rezultat eksperimentalnih mjerenja, tada zahtjev za točnim podudaranjem nije potreban, budući da se podaci ne dobivaju točno. U tim se slučajevima može zahtijevati samo približno ispunjenje uvjeta interpolacije. Ovaj uvjet znači da interpolacijska funkcija F (x) ne prolazi točno kroz zadane točke, već u nekom njihovom susjedstvu, kao što je, na primjer, prikazano na sl.

Zatim razgovarajte o izbor empirijskih formula... Konstrukcija empirijske formule sastoji se od dvije faze6 odabira oblika ove formule koja sadrži nepoznate parametre i određivanja najboljih, u određenom smislu, ovih parametara. Oblik formule ponekad je poznat iz fizičkih razmatranja (za elastični medij, odnos između naprezanja i naprezanja) ili odabran iz geometrijskih razmatranja: eksperimentalne točke iscrtane su na grafikonu, a opći oblik ovisnosti približno se pogađa usporedbom rezultirajuća krivulja s grafikonima poznatih funkcija. Uspjeh je ovdje uvelike određen iskustvom i intuicijom istraživača.

Za praksu je važan slučaj aproksimacije funkcije polinomima, t.j. ...

Nakon što je odabran tip empirijske ovisnosti, stupanj bliskosti empirijskim podacima utvrđuje se pomoću minimalni zbroj kvadrata odstupanja izračunatih i eksperimentalnih podataka.

Metoda najmanjeg kvadrata

Neka za početne podatke x i, f i, i = 1,…, N (bolje je početi numerirati s jednim), odabire se vrsta empirijske ovisnosti: s nepoznatim koeficijentima. Napišimo zbroj kvadrata odstupanja između onih izračunatih empirijskom formulom i danih eksperimentalnih podataka:

Parametri će se pronaći iz uvjeta minimuma funkcije ... Ovo je metoda najmanjih kvadrata (OLS).

Poznato je da su u minimalnoj točki sve parcijalne izvedenice w jednake nuli:

(1)

Razmotrimo primjenu OLS -a za pojedini slučaj, koji se naširoko koristi u praksi. Kao empirijsku funkciju, razmotrite polinom

Formula (1) za određivanje zbroja kvadrata odstupanja poprimit će oblik:

Izračunajmo izvedenice:

Izjednačavanjem ovih izraza s nulom i prikupljanjem koeficijenata za nepoznato, dobivamo sljedeći sustav linearnih jednadžbi.

Neka se navede tablica vrijednosti funkcija y i u čvorovima NS 0 < х 1 < ... < х п . Označiti h i = x i - x i -1 , i= 1, 2, ... , NS.

Spline- glatka krivulja koja prolazi kroz zadane točke ( x i, y i), ja = 0, 1, ... , NS. Interpolacija spline leži u činjenici da na svakom segmentu [ x i -1 , x i] koristi se polinom određenog stupnja. Najčešće korišteni polinom trećeg stupnja, rjeđe - drugog ili četvrtog. U ovom slučaju za određivanje koeficijenata polinoma koriste se uvjeti za kontinuitet derivacija na čvorovima interpolacije.

Interpolacija kubičnog spline je lokalna interpolacija kada je na svakom segmentu [ x i -1 , x i], ja = 1, 2, ... , NS koristi se kubična krivulja koja zadovoljava određene uvjete glatkoće, naime, kontinuitet same funkcije te njezinu prvu i drugu izvedenicu u čvornim točkama. Upotreba kubične funkcije motivirana je sljedećim razmatranjima. Pretpostavimo li da interpolacijska krivulja odgovara elastičnom ravnalu fiksiranom u točkama ( x i, y i), tada je iz tečaja otpornosti materijala poznato da je ova krivulja definirana kao rješenje diferencijalne jednadžbe f(IV) ( x) = 0 na segmentu [ x i -1 , x i] (radi jednostavnosti prezentacije ne razmatramo pitanja vezana za fizičke dimenzije). Općenito rješenje takve jednadžbe je polinom trećeg stupnja s proizvoljnim koeficijentima, koji se prikladno može zapisati u obliku
S i(x) = i ja + b i(NS - x i -1) +sa i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ NS £ x i, ja = 1, 2, ... , NS.(4.32)

Koeficijenti funkcija S i(x) određuju se iz uvjeta kontinuiteta funkcije te njenih prvih i drugih derivacija na unutarnjim čvorovima x i,i= 1, 2,..., NS - 1.

Iz formula (4.32) s NS = x i-1 dobivamo

S i(x i- 1) = y i -1 = a i, ja = 1, 2,..., NS,(4.33)

i u NS = x i

S i(x i) = i ja + b i h i +sa i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

i= 1, 2,..., n.

Uvjeti za kontinuitet funkcije interpolacije zapisani su u obliku S i(x i) = S i -1 (x i), i= 1, 2, ... , n- 1 i iz uvjeta (4.33) i (4.34) proizlazi da su zadovoljeni.

Pronađi izvedenice funkcije S i(x):

S "i(x) =b i + 2sa i(NS - x i -1) + 3di(NS – x i -1) 2 ,

S "i(x) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

Na x = x i-1, imamo S "i(x i -1) = b i, S " (x i -1) = 2sa i, i u NS = x i dobiti

S "i(x i) = b i+ 2sa i h i+ 3dih ja 2 , S " (x i) = 2sa i + 6d i h i.

Uvjeti za kontinuitet derivacija dovode do jednadžbi

S "i(x i) =S "i +1 (x i) Þ b i+ 2sa i h i+ 3dih ja 2 = b i +1 ,

i= l, 2, ..., NS - 1. (4.35)

S "i (x i) = S "i +1 (x i) Þ 2 sa i + 6d i h i= 2c i +1 ,

i= l, 2, ..., n- 1. (4.36)

Ukupno imamo 4 n- 2 jednadžbe za određivanje 4 n nepoznato. Za dobivanje još dviju jednadžbi koriste se dodatni rubni uvjeti, na primjer, zahtjev nulte zakrivljenosti interpolacijske krivulje na krajnjim točkama, odnosno jednakost druge izvedenice nuli na krajevima segmenta [ a, b]a = NS 0 , b= x n:

S " 1 (x 0) = 2c 1 = 0 Þ s 1 = 0,

S n(x n) = 2s n + 6d n h n = 0 Þ s n + 3d n h n = 0. (4.37)

Sustav jednadžbi (4.33) - (4.37) može se pojednostaviti i mogu se dobiti ponavljajuće formule za izračun koeficijenata spline.

Iz uvjeta (4.33) imamo eksplicitne formule za izračunavanje koeficijenata a i:

a i = y i -1 , ja = 1,..., n. (4.38)

Izrazimo d i preko c i koristeći (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,n; .

Stavljamo s n+1 = 0, tada za d i dobivamo jednu formulu:

, i = 1, 2,...,n. (4.39)

Zamjenski izrazi za i ja i d i u jednakost (4.34):

, i= 1, 2,..., n.

i izraziti b i, preko sa i:

, i= 1, 2,..., n. (4.40)

Iz jednadžbi (4.35) isključujemo koeficijente b i i d i koristeći (4.39) i (4.40):

i= 1, 2,..., n -1.

Tako dobivamo sustav jednadžbi za određivanje sa i:

Sustav jednadžbi (4.41) može se prepisati kao

Oznaka je ovdje uvedena

, i =1, 2,..., n- 1.

Riješimo sustav jednadžbi (4.42) metodom zamaha. Iz prve jednadžbe izražavamo s 2 do kraja s 3:

c 2 = a 2 c 3 + b 2 ,,. (4,43)

Zamijenite (4.43) drugom jednadžbom (4.42):

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2 ( h 2 + h 3)c 3 + h 3 c 4 = g 2 ,

i izraziti s 3 do kraja s 4:

s 3 = a 3 s 4 + b 3, (4,44)

Pod pretpostavkom da sa i-1 = a i -1 c i+ b i-1 od i-tu jednadžbu (4.42) dobivamo

c i= a ja sa i+1 + b i

, i = 3,..., n- 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= a ja sa i+1 + b i, i= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Izračun koeficijenata i ja, b i,d i:

a i = y i -1 ,

i= 1, 2,..., n.

4. Proračun vrijednosti funkcije pomoću spline. Da biste to učinili, pronađite takvu vrijednost i da je zadana vrijednost varijable NS pripada segmentu [ x i -1 , x i] i izračunajte

S i(x) = i ja + b i(NS - x i -1) +sa i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 Interpolacija kubičnog spline

Kubični interpolacijski сплаjn koji odgovara datoj funkciji f (x) i zadanim čvorovima x i je funkcija S (x) koja zadovoljava sljedeće uvjete:

1. Na svakom segmentu, i = 1, 2, ..., N, funkcija S (x) je polinom trećeg stupnja,

2. Funkcija S (x), kao i njezina prva i druga izvedenica, kontinuirane su na intervalu,

3. S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., N.

Na svakom od intervala, i = 1, 2, ..., N, tražit ćemo funkciju S (x) = S i (x) u obliku polinoma trećeg stupnja:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i,

gdje su a i, b i, c i, d i - koeficijenti koji se trebaju odrediti na svih n elementarnih segmenata. Da bi sustav algebarskih jednadžbi imao rješenje, broj jednadžbi mora biti točno jednak broju nepoznatih. Stoga moramo dobiti 4n jednadžbe.

Prve 2n jednadžbe dobivamo iz uvjeta da graf funkcije S (x) mora proći kroz zadane točke, t.j.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Ti se uvjeti mogu zapisati kao:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Sljedeće 2n - 2 jednadžbe slijede iz uvjeta kontinuiteta prve i druge izvedenice na interpolacijskim čvorovima, odnosno uvjeta za glatkoću krivulje u svim točkama.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Izjednačavajući na svakom unutarnjem čvoru x = x i vrijednosti ovih derivacija izračunate u lijevom i desnom intervalu od čvora, dobivamo (uzimajući u obzir h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

ako je x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

U ovoj fazi imamo 4n nepoznanica i 4n - 2 jednadžbe. Stoga je potrebno pronaći još dvije jednadžbe.

Uz slobodno pričvršćivanje krajeva, zakrivljenost crte u tim točkama može se izjednačiti s nulom. Iz uvjeta nulte zakrivljenosti na krajevima slijedi da su drugi izvodi jednaki nuli u ovim točkama:

S 1 (x 0) = 0 i S n (x n) = 0,

c i = 0 i 2 c n + 6 d n h n = 0.

Jednadžbe tvore sustav linearnih algebarskih jednadžbi za određivanje 4n koeficijenata: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, ..., N).

Ovaj se sustav može dovesti u prikladniji oblik. Svi koeficijenti a i mogu se odjednom pronaći iz uvjeta.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Zamjenom dobivamo:

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Iz jednadžbe isključujemo koeficijente b i i d i. Konačno, dobivamo sljedeći sustav jednadžbi samo za koeficijente s i:

c 1 = 0 i c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Koristeći pronađene koeficijente s i, lako je izračunati d i, b i.

Računanje integrala metodom Monte Carlo

Ovaj softverski proizvod implementira mogućnost postavljanja dodatnih ograničenja na područje integracije pomoću dvije dvodimenzionalne spline površine (za integrand dimenzije 3) ...

Interpolacija funkcija

Neka je dana tablica vrijednosti funkcije f (xi) = yi () u kojoj se nalaze uzlazno po vrijednosti vrijednosti argumenta: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Interpolacija spline

Interpolacija spline

Interpolacija spline

Upoznajmo se s algoritmom programa. 1. Izračunajte vrijednosti i 2. Na temelju tih vrijednosti izračunavamo koeficijente zamaha i o. 3. Na temelju dobivenih podataka izračunavamo koeficijente 4 ...

Matematičko modeliranje tehničkih objekata

Ugrađene funkcije MathCAD-a omogućuju vam crtanje krivulja različitog stupnja složenosti kroz eksperimentalne točke tijekom interpolacije. Linearna interpolacija ...

Metode aproksimacije funkcija

Na svakom segmentu interpolacijski polinom jednak je konstanti, naime lijevoj ili desnoj vrijednosti funkcije. Za lijevu komadno linearnu interpolaciju F (x) = fi-1 ako je xi-1? X

Metode aproksimacije funkcija

Na svakom intervalu funkcija je linearna Fi (x) = kix + li. Vrijednosti koeficijenata nalaze se iz ispunjenja uvjeta interpolacije na krajevima segmenta: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi-1) = fi. Dobivamo sustav jednadžbi: kixi-1 + li = fi-1, kixi + li = fi, odakle nalazimo ki = li = fii-kixi ...

Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi. Interpolacija

Izjava o problemu interpolacije. Na intervalu je dan sustav točaka (čvorovi interpolacije) xi, i = 0,1,…, N; a? x i? b, a vrijednosti nepoznate funkcije na tim čvorovima fn i = 0,1,2,…, N. Mogu se postaviti sljedeći zadaci: 1) Konstruirati funkciju F (x) ...

Konstrukcija matematičkog modela koji opisuje proces rješavanja diferencijalne jednadžbe

3.1 Konstrukcija Lagrangeova interpolacijskog polinoma i kondenzacija vrijednosti Očiti način rješavanja ovog problema je izračunavanje vrijednosti ѓ (x) pomoću analitičkih vrijednosti funkcije ѓ. Za to - prema prvim informacijama ...

Ako su stupnjevi (1, x, x2, ..., xn), tada govorimo o algebarskoj interpolaciji, a funkcija se naziva interpolacijskim polinom i označava se kao: (4) Ako () (5), tada možemo konstruirati interpolacijski polinom stupnja n i, osim toga, samo jedan ...

Praktična primjena interpolacije glatkih funkcija

Razmotrimo primjer interpolacije za elemente skupa. Radi jednostavnosti i sažetosti uzmite = [- 1; 1] ,. Neka bodovi i budu međusobno različiti. Postavimo sljedeći problem: (12) konstruiramo polinom koji zadovoljava ove uvjete ...

Primjena numeričkih metoda za rješavanje matematičkih problema

Numeričke metode

Dakle, kao što je gore spomenuto, zadatak interpolacije je pronaći takav polinom čiji graf prolazi kroz zadane točke. Neka je funkcija y = f (x) dana pomoću tablice (tablica 1) ...

Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema