Elementi kombinatorne analize

Veze. Prazan A a 1 , a 2, a 3 …a n A m (m iz n veze iz n elementi po m

Permutacije. Prazan A- skup koji se sastoji od konačnog broja elemenata a 1 , a 2, a 3 …a n... Od raznih elemenata seta A mogu se formirati grupe. Ako svaka grupa sadrži isti broj elemenata m (m iz n), onda kažu da tvore veze iz n elementi po m u svima. Postoje tri vrste veza: postavljanje, kombinacije i permutacije.

Smještaj. Veze od kojih svaka sadrži m razni elementi ( m < n) preuzeto iz n elementi skupa A, koji se međusobno razlikuju ili se sastav elemenata, ili njihov redoslijed zovu plasmane iz n elementi po m u svima. Broj takvih položaja označen je simbolom

Teorem 1. Broj svih različitih permutacija n elemenata je

N (n-1) (n-2) (n-3)… .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3… (n-1) n = n!

Teorem 2. Broj svih položaja od n elementi po m izračunati po formuli:

Kombinacije. Veze od kojih svaka sadrži m razni elementi ( m < n) preuzeto iz n elementi skupa A koji se međusobno razlikuju naziva se barem jedan od elemenata (samo sastav) kombinacije iz n elementi po m u svima. Broj takvih kombinacija označen je simbolom

Teorem 3. Broj svih kombinacija n elemenata po m određen je formulom:

Ponekad se za bilježenje broja položaja koristi sljedeća formula:

Bit i uvjeti za primjenu teorije vjerojatnosti.

Teorija vjerojatnosti

Slučajni fenomen -

samo

Televizor. služi za potkrepljivanje matematičke i primijenjene statistike, koja se koristi pri planiranju organizacije proizvodnje itd.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti.

Teorija vjerojatnosti postoji matematička znanost koja proučava obrasce u slučajnim pojavama.

Slučajni fenomen - to je takva pojava da se, uz ponovljenu reprodukciju istog pokusa, svaki put odvija nešto drukčije.

Metode teorije vjerojatnosti prirodno su prilagođene samo za proučavanje masovnih slučajnih pojava; ne omogućuju predviđanje ishoda pojedinačne slučajne pojave, ali omogućuju predviđanje prosječnog ukupnog rezultata mase homogenih slučajnih događaja.

U teoriji vjerojatnosti test uobičajeno je nazvati pokus koji se (barem teoretski) može izvesti pod istim uvjetima neograničen broj puta.

Rezultat ili ishod svakog testa se zove događaj. Događaj je osnovni koncept teorije vjerojatnosti. Događaje ćemo označavati slovima A, B, C.

Vrste događaja:

pouzdan događaj- događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat iskustva.

nemogući događaj- događaj koji se ne može dogoditi kao rezultat iskustva.

slučajni događaj- događaj koji se može ili ne mora dogoditi u danom iskustvu. Jednakost događaja

Vjerojatnost razvoja A(označiti P (A) A(označiti m (A)), N oni. P (A)= m (A) / N.

Prostor vjerojatnosti.

Prostor vjerojatnosti Je li matematički model slučajnog pokusa (pokusa) u aksiomatici A.N. Kolmogorov. Vjerojatni prostor sadrži sve podatke o svojstvima slučajnog pokusa koji su potrebni za njegovu matematičku analizu pomoću teorije vjerojatnosti. Svaki problem teorije vjerojatnosti rješava se u okviru određenog vjerojatnosnog prostora, koji je u početku potpuno specificiran. Problemi u kojima prostor vjerojatnosti nije do kraja specificiran, a informacije koje nedostaju trebale bi se dobiti iz rezultata promatranja, pripadaju području matematičke statistike.

Prostor vjerojatnosti definirano je trojkom komponenti (simbola) (Ω, S, P), gdje je Ω prostor elementarnih događaja

S-∂ (sigma) -algebra događaja, P-vjerojatnost, Ω-pouzdan događaj, S-sustav podskupova prostora elementarnih ishoda Ω.

5. 5. Izravni izračun vjerojatnosti.

Klasična definicija vjerojatnosti na temelju koncepta pravednost događaja .

Jednakost događaja znači da nema razloga dati prednost bilo kojem od njih drugom.

Razmislite o testu koji može rezultirati događajem A... Svaki ishod u kojem se događaj događa A Zove se povoljan događaj A.

Vjerojatnost razvoja A(označiti P (A)) je omjer broja ishoda povoljnih za događaj A(označiti m (A)), na broj svih ishoda ispitivanja - N oni. P (A)= m (A) / N.

Klasična definicija vjerojatnosti podrazumijeva sljedeće: Svojstva :

Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između nule i jedan.

Dokaz... Budući da se tada svi dijelovi nejednakosti dijele sa N, dobivamo

Odakle prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti slijedi da

Vjerojatnost određenog događaja jednaka je jedan.

Vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli

6. 6. Teoremi zbrajanja vjerojatnosti.

Ako su A i B nekonzistentni, tada je P (A + B) = P (A) + P (B)

Ako su A i V suprotni događaji, tada

Element sigma algebre od sada će se nazivati ​​slučajnim događajem.

Kompletna grupa događaja

Cjelovita skupina događaja potpuna je skupina podskupova, od kojih je svaki događaj. Za događaje pune skupine kaže se da su podjela prostora elementarnih ishoda.

Konačno aditivna funkcija

Neka bude A – algebra. Funkcija  koja preslikava algebru u skup realnih brojeva

naziva se konačno aditivan ako za bilo koji konačni skup parovski nespojivih događaja

Brojanje-aditivna funkcija

Neka bude Ž- algebra ili sigma-algebra. Funkcija

naziva se brojivi aditiv ako je konačno aditivan i za bilo koji brojivi skup parova nedosljednih događaja

Mjera je nenegativna prebrojivo aditivna funkcija definirana na sigma algebri koja zadovoljava uvjet

Krajnja mjera

Mjera naziva se konačnim ako

Vjerojatnost

Vjerojatnost (mjera vjerojatnosti) P ovo je takva mjera da

Od sada ćemo prestati mjeriti vjerojatnost u postocima i početi je mjeriti stvarnim brojevima od 0 do 1.

naziva se vjerojatnost događaja A

Prostor vjerojatnosti

Vjerojatnostni prostor je skup triju objekata - prostor elementarnih ishoda, sigma algebra događaja i vjerojatnost.

Ovo je matematički model slučajnog fenomena ili objekta.

Paradoks definiranja prostora vjerojatnosti

Vratimo se izvornoj formulaciji problema teorije vjerojatnosti. Naš je cilj bio izgraditi matematički model slučajnog fenomena koji bi pomogao kvantificirati vjerojatnosti slučajnih događaja. Istodobno, za konstruiranje vjerojatnog prostora potrebno je postaviti vjerojatnost, t.j. čini se da je upravo ono što tražimo (?).

Rješenje ovog paradoksa je da za potpunu definiciju vjerojatnosti kao funkcije na svim elementima Ž, obično je dovoljno pitati samo o nekim događajima iz Ž, čiju je vjerojatnost lako odrediti , a zatim, pomoću svoje brojive aditivnosti, izračunati na bilo kojem elementu Ž.

Nezavisni događaji

Nezavisnost je važan pojam u teoriji vjerojatnosti.

Događaji A i B nazivaju se neovisnima ako

oni. vjerojatnost istovremene pojave ovih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti.

Događaji u brojivom ili konačnom skupu zovu se neovisni u paru ako je bilo koji par njih neovisnih događaja

Ukupno

Događaji u prebrojivom ili konačnom skupu nazivaju se nezavisni u agregatu ako je vjerojatnost istovremenog pojavljivanja bilo kojeg njihovog konačnog skupa jednaka umnošku vjerojatnosti događaja tog podskupa.

Jasno je da su neovisni događaji nezavisni i u parovima. Obratno nije istina.

Uvjetna vjerojatnost

Uvjetna vjerojatnost događaja A, pod uvjetom da se dogodio događaj B, je vrijednost

Do sada ćemo uvjetnu vjerojatnost definirati samo za događaje B čija vjerojatnost nije nula.

Ako su događaji A i B neovisni, tada

Svojstva i teoremi

Najjednostavnija svojstva vjerojatnosti

Događaji se formiraju puna grupa ako će se barem jedan od njih nužno pojaviti kao rezultat pokusa i u paru su nespojivi.

Pretpostavimo događaj A može se dogoditi samo zajedno s jednim od nekoliko parno nekompatibilnih događaja koji čine cjelovitu skupinu. Nazivat ćemo događaje ( i= 1, 2,…, n) hipoteze dodatno iskustvo (a priori). Vjerojatnost pojave događaja A određena je formulom puna vjerojatnost :

Primjer 16. Postoje tri urne. Prva urna sadrži 5 bijelih i 3 crne kugle, druga sadrži 4 bijele i 4 crne kugle, a treća sadrži 8 bijelih kuglica. Jedna od urni odabire se nasumično (to može značiti, na primjer, da se odabir vrši iz pomoćne urne, gdje postoje tri kugle s brojevima 1, 2 i 3). Iz ove urne nasumično se izvlači kugla. Kolika je vjerojatnost da ispadne crnac?

Riješenje. Događaj A- crna kugla se uklanja. Kad bi se znalo iz koje je urne kugla izvučena, tada bi se željena vjerojatnost mogla izračunati prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti. Uvedimo pretpostavke (hipoteze) o tome koja je urna odabrana za izvlačenje loptice.

Kuglica se može izvaditi ili iz prve urne (hipoteza), ili iz druge (hipoteza), ili iz treće (hipoteza). Budući da postoje jednake šanse za odabir bilo koje od urni .

Otuda slijedi da

Primjer 17. Električne svjetiljke proizvode se u tri tvornice. Prva tvornica proizvodi 30% od ukupnog broja električnih svjetiljki, druga - 25%,
a treći je ostatak. Proizvodi prve biljke sadrže 1%neispravnih žarulja, druge - 1,5%, treće - 2%. Trgovina prima proizvode iz sve tri tvornice. Kolika je vjerojatnost da je svjetiljka kupljena u trgovini neispravna?

Riješenje. Potrebno je pretpostaviti u kojoj je tvornici žarulja proizvedena. Znajući to, možemo ustanoviti vjerojatnost da je ona neispravna. Uvedimo oznake događaja: A- pokazalo se da je kupljena žarulja neispravna, - svjetiljku je izradila prva tvornica, - svjetiljku je izradila druga tvornica,
- svjetiljku proizvodi treća tvornica.

Traženu vjerojatnost nalazimo formulom ukupne vjerojatnosti:

Bayesova formula.

Dopustiti biti potpuna skupina parova nespojivih događaja (hipoteze). A- slučajni događaj. Zatim,

Posljednja formula, koja omogućuje precjenjivanje vjerojatnosti hipoteza nakon rezultata testa, zbog čega se događaj A pojavio, postaje poznat, naziva se Bayesova formula .

Primjer 18. U prosjeku se 50% pacijenata s tom bolešću prima u specijaliziranu bolnicu DO, 30% - s bolešću L, 20 % –
s bolešću M... Vjerojatnost potpunog izlječenja bolesti K 0,7 za bolesti L i M te su vjerojatnosti 0,8 odnosno 0,9. Pacijent koji je primljen u bolnicu otpušten je zdrav. Pronađite vjerojatnost da je ovaj pacijent imao zdravstveno stanje K.

Riješenje. Uvedimo hipoteze: - pacijent je bolovao od bolesti DO L, - pacijent je bolovao od bolesti M.

Tada, prema uvjetu problema, imamo. Predstavimo događaj A- pacijent koji je primljen u bolnicu otpušten je zdrav. Po uvjetu

Formulom ukupne vjerojatnosti dobivamo:

Prema Bayesovoj formuli.

Prostor vjerojatnosti

Prvi teorijski rezultati u teoriji vjerojatnosti uključuju

do sredine 17. stoljeća i pripadaju B. Pascalu, P. Fermi, H. Huygensu, J. Bernoulliju. Ova teorija svoje uspjehe u 18. stoljeću i na početku 19. stoljeća duguje A. Moivreu, P. Laplaceu, C. Gaussu, S. Poissonu, A. Legendreu. Značajan napredak u teoriji vjerojatnosti postignut je krajem 19. i početkom 20. stoljeća u djelima L. Boltzmanna, P. Chebysheva, A. Lyapunova, A. Markova, E. Borela itd. Međutim, čak i do početka 20. stoljeća. stoljeća, stroga i dosljedna teorija. To je omogućio samo aksiomatski pristup. Po prvi put aksiomatsku konstrukciju teorije napravio je S.N.Bernstein 1917. godine, koji je svoje konstrukcije temeljio na usporedbi slučajnih događaja u smislu njihove vjerojatnosti. Međutim, ovaj pristup nije dobio daljnji razvoj. Aksiomatski pristup temeljen na teoriji skupova i teoriji mjere, koji je razvio A.N. Kolmogorov 1920-ih, pokazao se plodnijim. U Kolmogorovskoj aksiomatici pojam slučajnog događaja, za razliku od klasičnog pristupa, nije početni, već je posljedica elementarnijih pojmova. Kolmogorovljevo polazište je skup (prostor) W elementarnih događaja (ishodni prostor, prostor uzorka). Priroda elemenata ovog prostora nije bitna.

Ako su A, B, C Î W, onda su sljedeći odnosi uspostavljeni u teoriji skupova očigledni:

A + A = A, AA = A, AÆ = Æ, A + Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

gdje gornja traka označava komplement u W; A + B = A B, AB = A + B, AB = BA, A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), (AB) C = A (BC), A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C);

ovdje Æ označava prazan skup, tj. nemogući događaj.

U aksiomatici Kolmogorova razmatra se određeni sustav U podskupova skupa W čiji se elementi nazivaju slučajnim događajima. Sustav U zadovoljava sljedeće zahtjeve: ako su podskupovi A i B skupa W uključeni u sustav U, tada ovaj sustav također sadrži skupove A È B, A Ç B, A i B; sam skup W. također je element sustava U. Takav sustav skupova naziva se (Booleova) algebra skupova.

Očito, iz definicije algebre skupova slijedi da prazan skup Æ također pripada obitelji U. Dakle, algebra skupova (tj. Skup slučajnih događaja) zatvorena je s obzirom na operacije zbrajanja, presjecanja i formiranja komplemenata, pa elementarne operacije na slučajnim događajima ne izlaze izvan skupa slučajnih događaja U .

Za većinu primjena potrebno je zahtijevati da obitelj skupova U uključuje ne samo konačne zbrojeve i presjeke podskupova skupa W, već i brojive zbrojeve i presjeke. Time dolazimo do definicije s-algebre.

Definicija 1.1. S-algebra je obitelj podskupova (U) skupa W koji je zatvoren prema operacijama formiranja komplementa, prebrojivih zbroja i prebrojivih sjecišta.

Jasno je da svaka s-algebra sadrži sam skup W i prazan skup. Ako je dana proizvoljna obitelj U podskupova skupa W, tada se najmanja s-algebra koja sadrži sve skupove obitelji U naziva s-algebra koju generira obitelj U.

Najveća s-algebra sadrži sve podskupove s; korisno je u diskretnim prostorima W, u kojima se vjerojatnost obično određuje za sve podskupove skupa W. Međutim, u općenitijim prostorima, nemoguće je ili je nepoželjno odrediti vjerojatnost (definicija vjerojatnosti bit će navedena u nastavku) za sve podskupove. Druga ekstremna definicija s-algebre je s-algebra koja se sastoji samo od skupa W. i praznog skupa Æ.

Kao primjer odabira W i s-algebre podskupova U, razmotrite igru ​​u kojoj sudionici bacaju kockicu s brojevima od 1 do 6 na svako od njegovih šest lica. Za svako bacanje kocke samo šest ostvaruju se stanja: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 i w 6, od kojih i-to znači dobivanje i bodova. Obitelj U slučajnih događaja sastoji se od 2 6 = 64 elementa sastavljenih od svih mogućih kombinacija w i: w 1,…, w 6; (w 1, w 6), ..., (w 5, w 6); (w 1, w 2, w 3), ..., (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 , w 6) Æ.

Slučajni događaji, tj. često ćemo elemente s-algebre U označavati slovima A, B, ... Ako dva slučajna događaja A i B ne sadrže iste elemente w i ÎW, tada ćemo ih nazvati nespojivima. Događaji A i A nazivaju se suprotnim (u drugim zapisima, umjesto A, možemo staviti CA). Sada možemo prijeći na definiranje pojma vjerojatnosti.

Definicija 1.2. Mjera vjerojatnosti P na s-algebri U podskupova skupa W je funkcija skupa P koja zadovoljava sljedeće zahtjeve:

1) P (A) ³ 0; AÎU;

, tj. koji posjeduju svojstvo brojive aditivnosti, gdje su A k međusobno disjunktni skupovi iz U.

Dakle, bez obzira na prostor uzorka W, vjerojatnosti pripisujemo samo skupovima neke s-algebre U, a te su vjerojatnosti određene vrijednošću mjere P na tim skupovima.

Dakle, u bilo kojem problemu proučavanja slučajnih događaja početni koncept je prostor uzorka s, u kojem je na ovaj ili onaj način odabrana s-algebra, na kojoj je već određena mjera vjerojatnosti P. Stoga možemo dati sljedeća definicija

Definicija 1.3. Vjerojatni prostor je trojka (W, U, P) koja se sastoji od prostora uzorka W, s-algebre U njegovih podskupova i mjere vjerojatnosti P definirane na U.

U praksi mogu postojati problemi u kojima su različite vjerojatnosti dodijeljene istim slučajnim događajima iz U. Na primjer, u slučaju simetrične kocke, prirodno je staviti:

P (w 1) = P (w 2) = ... = P (w 6) == 1/6,

a ako je kost asimetrična, onda se sljedeće vjerojatnosti mogu pokazati dosljednijima stvarnosti: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

U osnovi ćemo se baviti skupovima W koji su podskupovi konačnodimenzionalnog euklidskog prostora R n. Glavni objekt teorije vjerojatnosti su slučajne varijable, tj. neke funkcije definirane na prostoru uzorka W. Naš prvi zadatak je ograničiti klasu funkcija s kojima ćemo operirati. Poželjno je odabrati takvu klasu funkcija, čije standardne operacije ne bi bile izvedene iz ove klase, posebno, kako se, primjerice, ne bi izvodile operacije uzimanja točkastih granica, sastav funkcija itd. iz ovog razreda.

Definicija 1.4. Najmanja klasa funkcija B, zatvorena s obzirom na točkasti prijelaz do granice (tj. Ako ¦ 1, ¦ 2, ... pripadaju klasi B i za sve x granica ¦ (x) = lim¦ n (x) postoji, tada ¦ (x) pripada B) koja sadrži sve kontinuirane funkcije naziva se Baireova klasa.

Iz ove definicije proizlazi da su zbroj, razlika, proizvod, projekcija, sastav dviju Baireovih funkcija opet Baireove funkcije, t.j. svaka funkcija Baireove funkcije opet je Baireova funkcija. Ispada da ako se ograničimo na uže klase funkcija, tada se ne može postići jačanje ili pojednostavljenje teorije.

U općem slučaju, slučajne varijable, t.j. funkcije X = U (h), gdje XÎWÌR n, treba definirati tako da događaji (X £ t) za bilo koje t imaju određenu vjerojatnost, tj. tako da skupovi (X £ t) pripadaju obitelji U, za čije su elemente definirane vjerojatnosti P, tj. tako da se odrede vrijednosti P (X £ t). To nas dovodi do sljedeće definicije mjerljivosti funkcije s obzirom na obitelj U.

Definicija 1.5. Realna funkcija U (x), xÎW, naziva se U-mjerljiva ako za bilo koje realno t skup onih točaka xÎW za koje U (x) £ t pripada obitelji U.

Budući da je s-algebra U zatvorena operacijom uzimanja komplementa, u definiciji mjerljivosti nejednakost £ može se zamijeniti bilo kojom od nejednakosti ³,>,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Kao što je već naznačeno, s-algebra se može izabrati sasvim proizvoljno, a posebno na sljedeći način: prvo su n-dimenzionalni intervali definirani na prostoru WÎR n, a zatim, pomoću operacija algebre skupova, skupovi a iz ovih intervala može se konstruirati složenija struktura i formiraju se obitelji skupova. Među svim mogućim obiteljima može se izabrati ona koja sadrži sve otvorene podskupove u W. Slična konstrukcija dovodi do sljedeće definicije.

Definicija 1.6. Najmanja s-algebra U b koja sadrži sve otvorene (pa prema tome i sve zatvorene) podskupove skupovima WÌ R n naziva se Borelova s-algebra, a njezini skupovi nazivaju se Borel.

Ispada da je klasa Berianovih funkcija B identična klasi funkcija mjerljivih s obzirom na s-algebru U b Borelovih skupova.

Sada možemo jasno definirati pojam slučajne varijable i funkciju vjerojatnosti njezine raspodjele.

Definicija 1.7. Slučajna varijabla X je realna funkcija X = U (x), xÎW, mjerljiva s obzirom na s-algebru U uključenu u definiciju prostora vjerojatnosti.

Definicija 1.8. Funkcija raspodjele slučajne varijable X je funkcija F (t) = P (X £ t), koja određuje vjerojatnost da slučajna varijabla X ne prelazi vrijednost t.

Za datu funkciju raspodjele F, mjera vjerojatnosti može se jedinstveno konstruirati, i obrnuto.

Razmotrimo glavne vjerojatne zakone na primjeru konačnog skupa W. Neka A, BÌ W. Ako A i B sadrže zajedničke elemente, t.j. AB¹0, tada možemo napisati: A + B = A + (B-AB) i B = AB + (B-AB), gdje s desne strane postoje disjunktni skupovi (tj. Nekompatibilni događaji), pa stoga, mjerom vjerojatnosti svojstva aditivnosti: P (A + B) = P (B-AB) + P (A), P (B) = P (AB) + P (B-AB); odavde slijedi Formula za zbroj vjerojatnosti proizvoljnih događaja: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Ako se pri izračunavanju vjerojatnosti događaja A ne nameću uvjeti, tada se vjerojatnost P (A) naziva bezuvjetnom. Ako se događaj A realizira, na primjer, pod uvjetom da je ostvaren događaj B, tada govorimo o uvjetnoj vjerojatnosti, označavajući je simbolom P (A / B). U aksiomatskoj teoriji vjerojatnosti po definiciji se pretpostavlja:

P (A / B) = P (AB) / P (B).

Da bi ova definicija bila intuitivno jasna, razmotrite, na primjer, sljedeću situaciju. Neka kutija sadrži k komada papira označenih slovom A, r komada papira označenih slovom B, m komada papira označenih slovima AB i n praznih papira. Ukupno ima p = k + r + n + m papira. I neka se redom iz kutije vadi jedan za drugim papir, a nakon svakog izvlačenja zabilježi se vrsta izvađenog papira i vrati se u kutiju. Zabilježeni su rezultati vrlo velikog broja takvih testova. Uvjetna vjerojatnost P (A / B) znači da se događaj A razmatra samo u vezi s provedbom događaja B. U ovom primjeru to znači da je potrebno brojati broj papira izvučenih slovima AB i slovom B i prvi broj podijelite zbrojem prvog i drugog broja. S dovoljno velikim brojem testova, ovaj će omjer težiti broju koji određuje uvjetnu vjerojatnost P (A / B). Sličan broj drugih papira to će pokazati

Izračunavanje omjera

pazimo da se točno podudara s prethodno izračunatom vrijednošću za vjerojatnost P (A / B). Tako dobivamo

P (A B) = P (A / B) P (B).

Izvodeći slično zaključivanje, zamjenjujući A i B, dobivamo

P (A B) = P (B / A) P (A)

Jednakost

P (A B) = P (A / B) P (B) = P (B / A) P (A)

naziva se teorem množenja vjerojatnosti.

Razmatrani primjer također nam omogućuje da jasno provjerimo valjanost sljedeće jednakosti za A B¹Æ:

P (A + B) == P (A) + P (B) - P (A B).

Primjer 1.1. Neka se kocka baci dva puta i potrebno je odrediti vjerojatnost ispadanja P (A / B) u zbroju 10 bodova, ako prvo bacanje ima 4.

Drugo bacanje 6 ima 1/6 šanse. Stoga,

Primjer 1.2. Neka ima 6 urni:

urna tipa A1 sadrži dvije bijele i jednu crnu kuglu, vrsta urne A2 sadrži dvije bijele i dvije crne kuglice, tip urne A3 sadrži dvije crne i jednu bijelu kuglu. Postoje 1 urne tipa A 1, 2 urne tipa A 2 i 3 urne tipa A 3. Nasumično se bira urna i iz nje se izvlači lopta. Kolika je vjerojatnost da je ova kugla bijela? Označimo s B događaj izvlačenja bijele kuglice.

Da bismo riješili problem, pretpostavimo da se neki događaj B ostvaruje samo zajedno s jednim od n nekompatibilnih događaja A1, ..., I n, t.j. V =, gdje su događaji BA i i BA j s različitim indeksima i i j nekompatibilni. Iz svojstva aditivnosti vjerojatnosti P slijedi:

Zamjenom ovisnosti (1.1) ovdje dobivamo

ova formula se zove formula ukupne vjerojatnosti. Za rješavanje posljednjeg primjera koristit ćemo formulu za ukupnu vjerojatnost. Budući da se bijela kugla (događaj B) može uzeti iz jedne od tri urne (događaji A 1, A 2, A 3), možemo zapisati

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Formula za ukupnu vjerojatnost daje

Izračunajmo vjerojatnosti uključene u ovu formulu. Vjerojatnost da je lopta uzeta iz urne tipa A1 očito je jednaka P (A1) = 1/6, iz urne tipa A2: P (A2) = 2/6 == 1/3 i iz urne tipa A3: P (A 3) = 3/6 = 1/2. Ako je lopta uzeta iz urne tipa A1, tada je P (B / A 1) = 2/3, ako je iz urne tipa A2, tada je P (B / A 2) = 1/2, a ako iz urna tipa A3, tada je P (B / A 3) = 1/3. Tako,

P (B) = (1/6) (2/Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Uvjetna vjerojatnost P (B / A) ima sva svojstva vjerojatnosti P (B / A) ³0, B (B / B) = 1 i P (B / A) je aditivan.

Ukoliko

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B),

onda slijedi da ako A ne ovisi o B, odnosno ako

P (A / B) = P (A),

tada B ne ovisi o A, tj. P (B / A) = P (B).

Dakle, u slučaju neovisnih događaja, teorem množenja poprima najjednostavniji oblik:

P (A B) = P (A) P (B) (1.3)

Ako su događaji A i B neovisni, tada je svaki od sljedećih parova događaja također neovisan: (A, B), (A, B), (A, B). Uvjerimo se, na primjer, da ako su A i B neovisni, onda su i A i B. uvjeti P (B / A) = P (B), slijedi: P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

Događaji mogu biti parovi neovisni, ali se pokazalo da su zajedno ovisni. S tim u vezi, uvodi se i koncept međusobne neovisnosti: događaji A 1, ..., A n nazivaju se međusobno neovisni ako je za bilo koji podskup E indeksa 1,2, ..., n jednakost

U praksi je često potrebno procijeniti vjerojatnosti hipoteza nakon što je provedeno neko ispitivanje. Neka se, na primjer, događaj B može realizirati samo s jednim od nekompatibilnih događaja A1, ..., I n, t.j. i neka se dogodi događaj B. Potrebno je pronaći vjerojatnost hipoteze (događaja) A i pod uvjetom

što se dogodilo. Iz teorema množenja

P (A i B) = P (B) P (A i / B) = P (A i) P (B / A i)

Uzimajući u obzir formulu za ukupnu vjerojatnost za P (B), to implicira

Te formule nazivaju se Bayesove formule.

Primjer 1.3. Pretpostavimo da je u primjeru 1.2 bijela kugla izvučena i potrebno je odrediti kolika je vjerojatnost da je uzeta iz urne tipa 3.

Vjerojatnosti i pravila za postupanje s njima. Za potpuni opis mehanizma istraživanog slučajnog eksperimenta nije dovoljno navesti samo prostor elementarnih događaja. Očigledno, uz nabrajanje svih mogućih ishoda slučajnog eksperimenta koji se proučava, trebali bismo znati i koliko često se jedan ili drugi elementarni događaj može dogoditi u dugom nizu takvih pokusa. Doista, vraćajući se, recimo, primjerima, lako je zamisliti da se u okviru svakog od

u tim prostorima elementarnih događaja možemo razmotriti beskonačan broj slučajnih eksperimenata koji se značajno razlikuju po svom mehanizmu. Dakle, u primjerima 4.1-4.3 imat ćemo značajno različite relativne učestalosti pojavljivanja istih elementarnih ishoda, ako koristimo različite trenutke i kockice (simetrične, s pomaknutim težištem, sa jako pomaknutim težištem itd.) U primjerima 4.4-4.7 učestalost pojavljivanja neispravnih proizvoda, priroda onečišćenja neispravnim proizvodima u kontroliranim serijama i učestalost pojavljivanja određenog broja kvarova automatskih linijskih strojeva ovisit će o razini tehnološke opremljenosti proučavane proizvodnje: s istim prostorom elementarnih događaja učestalost pojavljivanja "dobrih" elementarnih ishoda bit će veća u proizvodnji s višu razinu tehnologije.

Za konstrukciju (u diskretnom slučaju) cjelovite i cjelovite matematičke teorije slučajnog pokusa - teorije vjerojatnosti, uz već uvedene početne koncepte slučajnog pokusa, elementarnog ishoda i slučajnog događaja, potrebno je opskrbiti se još jedna početna pretpostavka (aksiom) koja postulira postojanje vjerojatnosti elementarnih događaja (zadovoljava određenu normalizaciju) i određuje vjerojatnost bilo kojeg slučajnog događaja.

Aksiom. Svaki element prostora elementarnih događaja Q odgovara nekoj nenegativnoj brojčanoj karakteristici šansi za njegovo pojavljivanje, koja se naziva vjerojatnost događaja i

(iz ovoga posebno proizlazi da za sve).

Određivanje vjerojatnosti događaja. Vjerojatnost bilo kojeg događaja A definirana je kao zbroj vjerojatnosti svih elementarnih događaja koji čine događaj A, odnosno ako simbolikom označite "vjerojatnost događaja A", tada

Iz ovoga i (4.2) odmah slijedi da je, štoviše, vjerojatnost pouzdanog događaja uvijek

jednaka je jedinici, a vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Svi ostali koncepti i pravila za radnje s vjerojatnostima i događajima već će biti izvedeni iz četiri početne definicije uvedene gore (slučajni eksperiment, elementarni ishod, slučajni događaj i njegova vjerojatnost) i jednog aksioma.

Dakle, za iscrpan opis mehanizma istraživanog slučajnog eksperimenta (u diskretnom slučaju) potrebno je navesti konačan ili prebrojiv skup svih mogućih elementarnih ishoda Q i svakom elementarnom ishodu dodijeliti određeni negativan (ne više od jedne) numeričke karakteristike koja se tumači kao vjerojatnost ishoda ishoda, a utvrđena vrsta korespondencije mora zadovoljiti zahtjev normalizacije (4.2).

Prostor vjerojatnosti upravo je koncept koji formalizira takav opis mehanizma slučajnog eksperimenta. Postaviti vjerojatni prostor znači postaviti prostor elementarnih događaja Q i definirati u njemu gornju korespondenciju tipa

Očito se korespondencija tipa (4.4) može specificirati na različite načine: pomoću tablica, grafikona, analitičkih formula i na kraju algoritamski.

Kako konstruirati vjerojatni prostor koji odgovara istraživanom realnom kompleksu uvjeta? U pravilu nema poteškoća s popunjavanjem pojmova slučajnog pokusa, elementarnog događaja, prostora elementarnih događaja, a u diskretnom slučaju bilo kojeg razgradivog slučajnog događaja s konkretnim sadržajem. No nije tako lako odrediti vjerojatnost pojedinih elementarnih događaja iz specifičnih uvjeta problema koji se rješava! U tu se svrhu koristi jedan od sljedeća tri pristupa.

A priori pristup izračunavanju vjerojatnosti sastoji se od teorijske, spekulativne analize specifičnih uvjeta za određeni određeni slučajni eksperiment (prije samog eksperimenta). U nizu situacija ova preliminarna analiza omogućuje teoretski potkrijepiti metodu određivanja željenih vjerojatnosti. Na primjer, moguć je slučaj kada je prostor svih mogućih

elementarni ishodi sastoje se od konačnog broja N elemenata, a uvjeti za proizvodnju istraživanog slučajnog pokusa takvi su da nam se vjerojatnosti provedbe svakog od ovih N elementarnih ishoda čine jednake (u ovoj situaciji zateknemo se prilikom bacanja simetričnog novčića, bacanja ispravnih kockica, slučajnog izvlačenja karte za igru ​​iz dobro pomiješanog špila itd.). Na temelju aksioma (4.2), vjerojatnost svakog elementarnog događaja u ovom je slučaju jednaka MN. To vam omogućuje da dobijete jednostavan recept za izračunavanje vjerojatnosti bilo kojeg događaja: ako događaj A sadrži NA elementarne događaje, tada u skladu s definicijom (4.3)

Značenje formule (4.3) je da se vjerojatnost događaja u datoj klasi situacija može definirati kao omjer broja povoljnih ishoda (tj. Elementarnih ishoda uključenih u ovaj događaj) prema broju svih mogućih ishoda (npr. takozvana klasična definicija vjerojatnosti). U suvremenom tumačenju formula (4.3) nije definicija vjerojatnosti: primjenjiva je samo u posebnom slučaju kada su svi osnovni ishodi jednako vjerojatni.

Posteriori-frekvencijski pristup izračunavanju vjerojatnosti u osnovi polazi od definicije vjerojatnosti usvojene takozvanim frekvencijskim konceptom vjerojatnosti (za više pojedinosti o ovom konceptu vidi, na primjer, u,). U skladu s tim konceptom vjerojatnost se definira kao granica relativne učestalosti pojavljivanja ishoda c u procesu neograničenog povećanja ukupnog broja slučajnih pokusa, t.j.

gdje je broj slučajnih pokusa (od ukupnog broja izvedenih slučajnih pokusa) u kojima je zabilježena pojava elementarnog događaja. Sukladno tome, za praktično (približno) određivanje vjerojatnosti, predlaže se uzimanje relativnih frekvencija pojava događaja ω za dovoljno dugo

niz slučajnih eksperimenata Ova metoda izračuna vjerojatnosti nije u suprotnosti sa suvremenim (aksiomatskim) konceptom teorije vjerojatnosti, budući da je potonja konstruirana na takav način da je empirijski (ili selektivni) analog objektivno postojeće vjerojatnosti bilo kojeg događaja A relativna učestalost ovog događaja u nizu neovisnih testova. Pokazalo se da su definicije vjerojatnosti različite u ova dva pojma: u skladu s konceptom učestalosti, vjerojatnost nije cilj, postoji prije iskustva, svojstvo fenomena koji se proučava, već se pojavljuje samo u vezi s eksperimentom ili promatranjem; to dovodi do mješavine teorijskih (istina, zbog stvarnog kompleksa uvjeta za "postojanje" fenomena koji se proučava), vjerojatnih karakteristika i njihovih empirijskih (selektivnih) analoga. Kako piše G. Kramer, "navedena definicija vjerojatnosti može se usporediti, na primjer, s definicijom geometrijske točke kao granice mrlja krede neograničeno opadajućih veličina, ali moderna aksiomatska geometrija ne uvodi takvu definiciju" () . Nećemo se ovdje zadržavati na matematičkim nedostacima frekvencijskog koncepta vjerojatnosti. Napominjemo samo temeljne poteškoće u implementaciji računske tehnike dobivanja približnih vrijednosti korištenjem relativnih frekvencija. Prvo, očuvanje uvjeta slučajnog eksperimenta nepromijenjenim (odnosno, očuvanje uvjeta statističkog ansambla), u kojem je pretpostavka o tendencija da se relativne frekvencije grupiraju oko konstantne vrijednosti pokazuje se valjanom, ne može se podržavati neograničeno dugo i s velikom točnošću. Stoga, za procjenu vjerojatnosti pomoću relativnih frekvencija nema

ima smisla uzeti preduge serije (tj. prevelike) i stoga, usput, točan prijelaz do granice (4.5) ne može imati pravi smisao. Drugo, u situacijama kada imamo dovoljno veliki broj mogućih elementarnih ishoda (a oni mogu tvoriti beskonačan, pa čak, kao što je već navedeno u odjeljku 4.1, kontinuirani skup), čak ćemo u proizvoljno dugom nizu slučajnih eksperimenata imati mogući ishodi koji nikada nisu ostvareni tijekom našeg eksperimenta; a za ostale moguće ishode, približne vrijednosti vjerojatnosti dobivenih korištenjem relativnih frekvencija bit će krajnje nepouzdane u ovim uvjetima.

Pristup postavljen modelom postavljanja vjerojatnosti koji odgovara konkretno istraživanom realnom kompleksu uvjeta trenutno je, možda, najrašireniji i najprikladniji u praksi. Logika ovog pristupa je sljedeća. S jedne strane, u okvirima apriornog pristupa, odnosno u okvirima teorijske, spekulativne analize mogućih varijanti specifičnosti hipotetičkih realnih kompleksa uvjeta, skup modela vjerojatnih prostora (binomski, Poisson, normalno, eksponencijalno itd., vidi § 6.1). S druge strane, istraživač ima rezultate ograničenog broja slučajnih pokusa. Nadalje, uz pomoć posebnih matematičkih i statističkih tehnika (temeljenih na metodama statističke procjene nepoznatih parametara i statističkog provjeravanja hipoteza, vidi 8. i 9. poglavlje), istraživač je takoreći "prilagodio" hipotetičke modele prostora vjerojatnosti rezultati promatranja koje ima (odražavajući specifičnosti proučavane stvarne stvarnosti) i ostavlja za daljnju uporabu samo onaj model ili one modele koji nisu u suprotnosti s tim rezultatima i u nekom smislu im najbolje odgovaraju.

Opišimo sada osnovna pravila za djelovanje s vjerojatnostima događaja, koje su posljedica gornjih definicija i aksioma.

Vjerojatnost zbroja događaja (teorem zbrajanja vjerojatnosti). Formulirajmo i dokažimo pravilo za izračunavanje vjerojatnosti zbroja dvaju događaja. Da bismo to učinili, podijelimo svaki od skupova elementarnih događaja,

komponente događaja u dva dijela:

gdje objedinjuje sve elementarne događaje ω, koji su uključeni, ali nisu uključeni, sastoji se od svih onih elementarnih događaja koji su istovremeno uključeni u korištenje definicije (4.3) i definicije proizvoda događaja, imamo:

Istodobno, u skladu s definicijom zbroja događaja i s (4.3), imamo

Iz (4.6), (4.7) i (4.8) dobivamo formulu za zbrajanje vjerojatnosti (za dva događaja):

Formula (4.9) za zbrajanje vjerojatnosti može se generalizirati na slučaj proizvoljnog broja pojmova (vidi, na primjer, 183, str. 105):

gdje se "dodatci" izračunavaju u obliku zbroja vjerojatnosti oblika

štoviše, zbrajanje na desnoj strani se provodi, očito, pod uvjetom da su svi različiti,. U posebnom slučaju, kada se sustav koji nas zanima sastoji samo od nespojivih događaja, svih proizvoda oblika

bit će prazni (ili nemogući) događaji i prema tome daje formula (4.9)

Vjerojatnost proizvoda događaja (teorema množenja vjerojatnosti). Uvjetna vjerojatnost.

Razmotrimo situacije kada unaprijed određeno stanje ili fiksacija određenog događaja koji se već dogodio isključuje s popisa mogućih neke od elementarnih događaja analiziranog vjerojatnog prostora. Dakle, analizirajući zbirku N proizvoda masovne proizvodnje koji sadrže proizvode prvog, - drugog, - trećeg i - četvrtog razreda, razmatramo vjerojatni prostor s elementarnim ishodima i njihovim vjerojatnostima - (ovdje se misli na događaj koji se sastoji u činjenici da proizvod se pokazao sortama). Pretpostavimo da su uvjeti za razvrstavanje proizvoda takvi da se u nekoj fazi proizvodi prvog razreda odvoje od opće populacije i da svi vjerojatnički zaključci (a osobito izračun vjerojatnosti različitih događaja) moramo izgraditi u odnosu na skraćenom stanovništvu, koje se sastoji samo od proizvoda drugog, trećeg i četvrtog razreda. U takvim je slučajevima uobičajeno govoriti o uvjetnim vjerojatnostima, odnosno o vjerojatnostima izračunatim pod uvjetom određenog događaja koji se već dogodio. U ovom slučaju, takav ostvareni događaj je događaj, odnosno događaj koji se sastoji od bilo kojeg nasumično izdvojenog proizvoda je drugog, trećeg ili četvrtog razreda. Stoga, ako smo zainteresirani za izračunavanje uvjetne vjerojatnosti događaja A (pod uvjetom da se događaj B već dogodio), na primjer, u činjenici da se slučajno izvučeni proizvod pokaže drugim ili trećim razredom, tada je, očito, ta se uvjetna vjerojatnost (označavamo je) može odrediti sljedećim odnosom:

Kako je iz ovog primjera lako razumjeti, izračun uvjetnih vjerojatnosti u biti je prijelaz u drugi, krnji zadanim uvjetom U prostoru elementarnih događaja, kada je omjer vjerojatnosti elementarnih događaja u krnjem prostoru ostaje isti kao u izvornom (širem), ali su svi oni normalizirani (podijeljeni s) tako da je zahtjev za normalizacijom (4.2) zadovoljen i u novom prostoru vjerojatnosti. Naravno, ne može se uvesti terminologija s uvjetnim vjerojatnostima, već se jednostavno u novom prostoru koristiti aparatom običnih ("bezuvjetnih") vjerojatnosti. Pisanje u smislu vjerojatnosti "starog" prostora korisno je u onim slučajevima kada se, prema uvjetima određenog problema, moramo cijelo vrijeme sjećati postojanja početnog, šireg prostora elementarnih događaja.

Dobivamo formulu za uvjetnu vjerojatnost u općem slučaju. Neka je B događaj (neprazan), za koji se smatra da se N već dogodio ("uvjet"), događaj čija se uvjetna vjerojatnost treba izračunati. Novi (krnji) prostor elementarnih događaja Q sastoji se samo od elementarnih događaja koji su uključeni u B, te su stoga njihove vjerojatnosti (s normalizacijskim uvjetom) određene relacijama

Po definiciji, vjerojatnost je vjerojatnost događaja A u "krnjem" prostoru vjerojatnosti i, prema tome, u skladu s (4.3) i (4.10)

ili, što je isto,

Ekvivalentne formule (4.11) i (4.11") obično se nazivaju formulom uvjetne vjerojatnosti, odnosno pravilom množenja vjerojatnosti.

Još jednom naglašavamo da je razmatranje uvjetnih vjerojatnosti različitih događaja pod istim uvjetom B ekvivalentno razmatranju običnih vjerojatnosti u drugom (sječenom) prostoru elementarnih događaja ponovnim izračunom odgovarajućih vjerojatnosti elementarnih događaja pomoću formule (4.10). Stoga svi opći teoremi i pravila za radnje s vjerojatnostima ostaju valjani za uvjetne vjerojatnosti ako se te uvjetne vjerojatnosti uzmu pod istim uvjetom.

Neovisnost događaja.

Dva događaja A i B nazivaju se neovisnima ako

Da bismo razjasnili prirodnost takve definicije, obratit ćemo se teoremu množenja vjerojatnosti (4.11) i vidjeti u kojim situacijama (4.12) iz njega proizlazi. Očigledno, to može biti kada je uvjetna vjerojatnost jednaka odgovarajućoj bezuvjetnoj vjerojatnosti, tj., Grubo rečeno, kada saznanje da se događaj dogodio ne utječe na procjenu šanse za nastanak događaja A.

Proširenje definicije neovisnosti na sustav s više od dva događaja je kako slijedi. Događaji se nazivaju međusobno neovisni ako za bilo koje parove, trojke, četvorke itd. za događaje uzorkovane iz ovog skupa događaja vrijede sljedeća pravila množenja:

Očito prvi red podrazumijeva

(broj kombinacija k po dva) jednadžbe, u drugoj - i tako dalje. Ukupno, dakle, (4.13) objedinjuje uvjete. Istodobno, uvjeti prve linije dovoljni su da osiguraju parnu neovisnost ovih događaja. I premda parovi i međusobna neovisnost sustava događaja, strogo govoreći, nisu isti, njihova je razlika prije teoretski nego praktični interes: praktički važni primjeri parovito neovisnih događaja koji međusobno neovisni, očito, ne postoje.

Svojstvo neovisnosti događaja uvelike olakšava analizu različitih vjerojatnosti povezanih sa sustavom događaja koji se proučava. Dovoljno je reći da ako je u općem slučaju za opis vjerojatnosti svih mogućih kombinacija događaja u sustavu potrebno navesti 2 vjerojatnosti, tada je u slučaju međusobne neovisnosti tih događaja dovoljno samo k vjerojatnosti

U proučavanoj se stvarnosti vrlo često susreću neovisni događaji, provode se u pokusima (opažanjima) koja se provode neovisno jedan o drugome u uobičajenom fizičkom smislu.

Svojstvo neovisnosti ishoda četiri uzastopna bacanja kocke omogućilo je (uz pomoć (4.13)) lako izračunati vjerojatnost da ne padne (ni u jednom od ovih bacanja) šestica u problemu odjeljka 2.2.1. Doista, označivši događaj da šestica nije ispala u bacanju (ova mogućnost izravno proizlazi iz činjenice da događaji ukupno iscrpljuju cijeli prostor elementarnih događaja i ne sijeku se u parovima), t.j.

Nadalje, korištenjem teorema zbrajanja vjerojatnosti (u odnosu na nedosljedne događaje, koji su događaji) i izračunavanjem vjerojatnosti svakog od proizvoda po formuli za umnožak vjerojatnosti (4.1 D), dobivamo (4.14).

Bayesova formula.

Prijeđimo prvo na sljedeći problem. U skladištu postoje uređaji proizvedeni u tri tvornice: 20% uređaja dostupnih u skladištu proizvodi tvornica # 1, 50% - tvornica # 2 i 30% - tvornica # 3. Vjerojatnost da će uređaju trebati popravci tijekom jamstvenog roka su za proizvode svaka od tvornica jednaki 0,2; 0,1; 0,3. Uređaj preuzet iz skladišta nije imao tvorničku oznaku i zahtijevao je popravak (tijekom jamstvenog roka). Koja je biljka najvjerojatnije napravila ovaj uređaj? Kolika je ta vjerojatnost? Označimo li događaj koji se sastoji u činjenici da se pokazalo da je uređaj slučajno preuzet iz skladišta proizveden u

Zamjenom (4.16) i (4.17) u (4.15), dobivamo

Pomoću ove formule lako je izračunati potrebne vjerojatnosti:

Slijedom toga, najvjerojatnije je podstandardni uređaj proizveden u tvornici broj 3.

Dokaz formule (4.18) u slučaju potpunog sustava događaja koji se sastoji od proizvoljnog broja k događaja točno ponavlja dokaz formule (4.18). U ovom općem obliku, formula

obično naziva Bayesova formula.