Rekli smo da je algebarska krivulja drugog reda određena algebarskom jednadžbom drugog stupnja u odnosu na NS i na... Općenito, takva jednadžba se piše kao

A NS 2 + B hu+ C na 2 + D x+ E y+ F = 0, (6)

štoviše, A 2 + V 2 + S 2 ¹ 0 (tj. u isto vrijeme brojevi A, V, S ne nestaju). Uvjeti A NS 2, B hu, S na 2 nazivaju se višim izrazima jednadžbe, brojem

zvao diskriminirajući ove jednadžbe. Jednadžba (6) se naziva opća jednadžba krivulja drugog reda.

Za ranije razmatrane krivulje imamo:

Elipsa: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

krug NS 2 + na 2 = a 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - a 2, d = 1> 0;

Hiperbola: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Parabola: na 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Krivulje date jednadžbom (6) zovu se središnji krivulje ako je d¹0. Ako je d> 0, tada je krivulja eliptičan upišite ako d<0, то кривая hiperbolički tip. Krivulje za koje je d = 0 krivulje parabolički tip.

Dokazano je da je linija drugog reda u bilo koji Dekartov koordinatni sustav dan je algebarskom jednadžbom drugog reda. Samo u jednom sustavu jednadžba ima složen oblik (na primjer (6)), a u drugom je jednostavnija, na primjer (5). Stoga je prikladno razmotriti koordinatni sustav u kojem je proučena krivulja zapisana najjednostavnijom (na primjer, kanonskom) jednadžbom. Prijelaz iz jednog koordinatnog sustava u kojem je krivulja dana jednadžbom oblika (6) u drugi, gdje njegova jednadžba ima jednostavniji oblik, naziva se koordinatna transformacija.

Razmotrimo glavne vrste transformacija koordinata.

Ja Izvršite transformaciju koordinatne osi (uz očuvanje smjera). Neka u izvornom koordinatnom sustavu XOU točka M ima koordinate ( NS, naNS¢, na¢). Iz crteža se vidi da su koordinate točke M u različitim sustavima povezane omjerima

(7) ili (8).

Formule (7) i (8) nazivaju se formule za koordinatnu transformaciju.

II. Rotacijska transformacija koordinatne osi pod kutom a. Ako točka M ima koordinate ( NS, na), a u novom koordinatnom sustavu XO ¢ Y ima koordinate ( NS¢, na¢). Tada se veza između ovih koordinata izražava formulama

, (9)

ili

Pretvaranjem koordinata, jednadžba (6) se može svesti na jedno od sljedećeg kanonski jednadžbe.

1) - elipsa,

2) - hiperbola,

3) na 2 = 2px, NS 2 = 2RU- parabola

4) a 2 NS 2 – b 2 y 2 = 0 - par pravih linija koje se sijeku (slika A)

5) y 2 – a 2 = 0 - par paralelnih ravnih linija (slika B)

6) x 2 –a 2 = 0 - par paralelnih ravnih linija (slika C)

7) y 2 = 0 - podudaranje ravnih linija (OX os)

8) x 2 = 0 - podudaranje ravnih linija (OU os)

9) a 2 NS 2 + b 2 y 2 = 0 - bod (0, 0)

10) zamišljena elipsa

11) y 2 + a 2 = 0 - par zamišljenih linija

12) x 2 + a 2 = 0 je par zamišljenih linija.

Svaka od ovih jednadžbi jednadžba je drugog reda. Nazivaju se linije definirane jednadžbama 4 - 12 degenerirati krivulje drugog reda.

Razmotrimo primjere pretvaranja opće jednadžbe krivulje u kanonski oblik.

1) 9NS 2 + 4na 2 – 54NS + 8na+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4na 2 + 8na) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(na 2 + 2na+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( NS –3) 2 + 4(na+ 1) = 36, Þ

.

Stavljamo NS¢ = NS – 3, na¢ = na+ 1, dobivamo kanoničku jednadžbu elipse ... Jednakost NS¢ = NS – 3, na¢ = na+ 1 definiraju transformaciju prijenosa koordinatnog sustava u točku (3, –1). Izgradivši stari i novi koordinatni sustav, nije teško nacrtati ovu elipsu.

2) 3na 2 +4NS– 12na+8 = 0. Pretvorba:

(3na 2 – 12na)+ 4 NS+8 = 0

3(na 2 – 4na+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(na – 2) 2 = – (NS – 1) .

Stavljamo NS¢ = NS – 1, na¢ = na- 2, dobivamo jednadžbu parabole na¢ 2 = - NS¢. Odabrana zamjena odgovara prijenosu koordinatnog sustava u točku O ¢ (1,2).

U ovom članku ćemo pogledati opću jednadžbu ravne linije na ravnini. Navedimo primjere konstruiranja opće jednadžbe ravne linije ako su poznate dvije točke ove ravne linije ili ako su poznate jedna točka i vektor normale ove ravne. Predstavimo metode pretvorbe jednadžbe u općenitom obliku u kanonske i parametarske oblike.

Neka je dan proizvoljan kartezijanski pravokutni koordinatni sustav Oxy... Razmotrimo jednadžbu prvog stupnja ili linearnu jednadžbu:

gdje A, B, C- neke konstante i barem jedan od elemenata A i B različito od nule.

Pokazat ćemo da linearna jednadžba u ravnini definira ravnu liniju. Dokažimo sljedeći teorem.

Teorem 1. U proizvoljnom kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini svaka ravna linija može se specificirati linearnom jednadžbom. Obrnuto, svaka linearna jednadžba (1) u proizvoljnom kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini definira ravnu liniju.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je linija L je određena linearnom jednadžbom za bilo koji Kartezijev pravokutni koordinatni sustav, budući da će tada biti određena linearnom jednadžbom i za bilo koji izbor kartezijanskog pravokutnog koordinatnog sustava.

Neka je na ravnini dana ravna crta L... Odaberemo koordinatni sustav tako da os Vol poklapalo s ravnom linijom L i os Oj bila okomita na nju. Zatim jednadžba ravne crte L poprimit će sljedeći oblik:

Sve točke na pravoj liniji L zadovoljit će linearnu jednadžbu (2), a sve točke izvan ove ravne linije neće zadovoljiti jednadžbu (2). Dokazan je prvi dio teorema.

Neka je dan kartezijanski pravokutni koordinatni sustav i neka je dana linearna jednadžba (1), gdje je barem jedan od elemenata A i B različito od nule. Pronađimo mjesto točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1). Budući da je barem jedan od koeficijenata A i B se razlikuje od nule, tada jednadžba (1) ima najmanje jedno rješenje M(x 0 ,y 0). (Na primjer, za A≠ 0, bod M 0 (−C / A, 0) pripada zadanom mjestu točaka). Zamjenom ovih koordinata u (1) dobivamo identitet

Oduzmite identitet (3) od (1):

Očito je jednadžba (4) ekvivalentna jednadžbi (1). Stoga je dovoljno dokazati da (4) definira neku pravu.

Budući da razmatramo kartezijanski pravokutni koordinatni sustav, iz jednakosti (4) slijedi da je vektor s komponentama ( x - x 0 , y - y 0) je ortogonalna na vektor n s koordinatama ( A, B}.

Razmotrimo neku ravnu liniju L prolazeći kroz točku M 0 (x 0 , y 0) i okomito na vektor n(Sl. 1). Dopustite točku M(x, y) pripada pravoj liniji L... Zatim vektor s koordinatama x - x 0 , y - y 0 okomito n a jednadžba (4) je zadovoljena (skalarni proizvod vektora n i jednak je nuli). Natrag ako točka M(x, y) ne leži na ravnoj liniji L, zatim vektor s koordinatama x - x 0 , y - y 0 nije ortogonalno na vektor n i jednadžba (4) nije zadovoljena. Teorem je dokazan.

Dokaz. Budući da ravne linije (5) i (6) definiraju istu ravnu liniju, normalni vektori n 1 ={A 1 ,B 1) i n 2 ={A 2 ,B 2) su kolinearni. Pošto vektori n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, tada postoji broj λ , što n 2 =n 1 λ ... Stoga imamo: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Dokažimo to C 2 =C 1 λ ... Očigledno, podudarne linije imaju zajedničku točku M 0 (x 0 , y 0). Pomnožite jednadžbu (5) sa λ i oduzimajući od nje jednadžbu (6) dobivamo:

Budući da su prve dvije jednakosti iz izraza (7) zadovoljene, tada C 1 λ −C 2 = 0. Oni. C 2 =C 1 λ ... Primjedba je dokazana.

Imajte na umu da jednadžba (4) definira jednadžbu prave linije koja prolazi kroz točku M 0 (x 0 , y 0) i koji imaju normalni vektor n={A, B). Stoga, ako su poznati normalni vektor ravne linije i točka koja pripada ovoj ravnoj liniji, tada se opća jednadžba ravne može konstruirati pomoću jednadžbe (4).

Primjer 1. Ravna linija prolazi kroz točku M= (4, −1) i ima normalni vektor n= (3, 5). Konstruirajte opću jednadžbu ravne crte.

Riješenje. Imamo: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B= 5. Da bismo konstruirali opću jednadžbu ravne linije, zamjenjujemo ove vrijednosti u jednadžbu (4):

Odgovor:

Vektor je paralelan s pravom linijom L te je stoga perdikularna na normalni vektor ravne linije L... Konstruirajmo normalni vektor ravne linije L, uzimajući u obzir da je skalarni proizvod vektora n i jednaka je nuli. Možemo zapisati, na primjer, n={1,−3}.

Za konstruiranje opće jednadžbe ravne linije upotrijebit ćemo formulu (4). Zamijenite (4) koordinate točke M 1 (možemo uzeti i koordinate točke M 2) i normalni vektor n:

Zamjena koordinata točaka M 1 i M 2 u (9) možemo osigurati da ravna linija dana jednadžbom (9) prolazi kroz te točke.

Odgovor:

Oduzmite (10) od (1):

Dobili smo kanoničku jednadžbu pravca. Vektor q={−B, A) je usmjeravajući vektor ravne linije (12).

Vidi obrnutu transformaciju.

Primjer 3. Ravna linija na ravnini predstavljena je sljedećom općom jednadžbom:

Pomaknite drugi član udesno i podijelite obje strane jednadžbe za 2,5.

Krivulja drugog reda- mjesto točaka na ravnini, pravokutne koordinate

koji zadovoljavaju jednadžbu oblika:

u kojem je barem jedan od koeficijenata a 11, a 12, a 22 nije nula.

Invarijante krivulja drugog reda.

Oblik krivulje ovisi o 4 dolje navedene invarijante:

Rotacijske i translacijske invarijante koordinatnog sustava:

Invarijantno u odnosu na rotaciju koordinatnog sustava ( poluinvarijantan):

Za proučavanje krivulja drugog reda razmotrite proizvod A * C.

Općenito jednadžba krivulje drugog reda izgleda ovako:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Ako A * C> 0 eliptičnog tipa... Bilo koji eliptični

jednadžba je jednadžba obične elipse, degenerirane elipse (točke) ili zamišljene

elipsa (u ovom slučaju jednadžba ne definira jednu geometrijsku sliku na ravnini);

Ako A * C< 0 , tada jednadžba ima oblik jednadžbe hiperbolički tip... Bilo koji hiperbolički

jednadžba izražava jednostavnu hiperbolu ili degeneriranu hiperbolu (dvije linije koje se sijeku);

Ako A * C = 0, tada linija drugog reda neće biti središnja. Jednadžbe ove vrste nazivaju se

jednadžbe parabolički tip i izraziti u ravnini jednostavnu parabolu ili 2 paralele

(ili se podudaraju) ravne linije ili ne izražavaju nikakvu geometrijsku sliku na ravnini;

Ako A * C ≠ 0, krivulja drugog reda bit će

Opća jednadžba krivulje drugog reda u ravnini je:

Sjekira 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ej + Ž = 0, (39)

gdje A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, Ž) R... Definira sve moguće stožaste presjeke koji su proizvoljno smješteni u ravnini.

Od koeficijenata jednadžbe (39) sastavljamo dvije odrednice:

Nazvan diskriminator jednadžbe(39), i - diskriminator vodećih članova jednadžbe. Pri 0, jednadžba (39) određuje:> 0 - elipsa;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Iz opće jednadžbe (39) možete prijeći na kanoničku jednadžbu ako izuzmete linearne i križne pojmove promjenom na novi koordinatni sustav koji se podudara s osama simetrije na slici. Zamijeni u (39) x na x + a i y na y + b, gdje a, b neke konstante. Zapišimo dobivene koeficijente za NS i y te ih izjednačiti s 0

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Kao rezultat toga, jednadžba (39) će imati oblik:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + Ž = 0, (42)

gdje su koeficijenti A, B, C se nisu promijenili, ali Ž= /. Rješenjem sustava jednadžbi (41) odredit će se koordinate središta simetrije figure:

Ako B= 0, onda a = -D/A, b = -E/C i prikladno je linearne članove u (39) isključiti metodom redukcije na savršeni kvadrat:

Sjekira 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

U jednadžbi (42), rotirat ćemo koordinate za kut a (38). Zapišimo dobiveni koeficijent na ukrštanju xy i izjednačite ga s 0

xy = 0. (44)

Uvjet (44) određuje potrebni kut rotacije koordinatnih osi sve dok se ne poklapaju s osama simetrije figure i poprimi oblik:

Jednadžba (42) ima oblik:

A+ X 2 + C + Y 2 + Ž = 0 (46)

iz koje je lako prijeći na kanonsku jednadžbu krivulje:

Izgledi A + , C+, podložno uvjetu (45), može se predstaviti kao korijeni pomoćne kvadratne jednadžbe:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Kao rezultat toga, određen je položaj i smjer osi simetrije figure, njene poluosi:

a može se izgraditi geometrijski.

U slučaju = 0 imamo parabolu. Ako je njegova os simetrije paralelna s osi Oh, tada se jednadžba svodi u oblik:

ako ne, onda u obrazac:

gdje izrazi u zagradama, izjednačeni s 0, definiraju crte novih koordinatnih osi:,.

Rješavanje tipičnih zadataka

Primjer 15. Jednadžba 2 x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0 kanonskom obliku i izgraditi krivulju.

Riješenje. B= 0, = -72 0, = 6> 0 elipsa.

Izvedimo redukciju na potpuni kvadrat:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Koordinate središta simetrije (1; -1), linearna transformacija x = x - 1, Y = y+ 1 dovodi jednadžbu u kanonski oblik.

Primjer 16. Jednadžba 2 xy = a 2 kanonskom obliku i izgraditi krivulju.

Riješenje. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Središte koordinatnog sustava je u središtu simetrije krivulje; u jednadžbi nema linearnih pojmova. Okrenimo osi kroz kut a. Po formuli (45) imamo tan2a = B/(A - C) =, tj. a = 45 °. Koeficijenti kanoničke jednadžbe (46) A + , C+ određene su jednadžbom (48): t 2 = 1 ili t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, tj.
x 2 - Y 2 = a 2 ili. Dakle, jednadžba 2 hu = a 2 opisuje hiperbolu sa središtem simetrije u (0; 0). Osi simetrije nalaze se duž simetrala koordinatnih kutova, koordinatne osi su asimptote, poluosi hiperbole su jednake a.y - 9 = 0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4NS + y - 2 = 0;

3x 2 - 6NS - y + 2 = 0;

- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8NS - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Uspostavljamo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i razmatramo opću jednadžbu drugog stupnja

u kojem
.

Skup svih točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (8.4.1) naziva se iskrivljen (crta) druga narudžba.

Za svaku krivulju drugog reda postoji pravokutni koordinatni sustav, nazvan kanonički, u kojem jednadžba ove krivulje ima jedan od sljedećih oblika:

1)
(elipsa);

2)
(zamišljena elipsa);

3)
(par zamišljenih linija koje se sijeku);

4)
(hiperbola);

5)
(par linija koje se sijeku);

6)
(parabola);

7)
(par paralelnih linija);

8)
(par zamišljenih paralelnih linija);

9)
(par podudarnih ravnih linija).

Jednadžbe 1) –9) se pozivaju kanoničke jednadžbe krivulja drugog reda.

Rješenje problema svođenja jednadžbe krivulje drugog reda na kanonski oblik uključuje pronalaženje kanoničke jednadžbe krivulje i kanonskog koordinatnog sustava. Kanonizacija vam omogućuje da izračunate parametre krivulje i odredite njeno mjesto u odnosu na izvorni koordinatni sustav. Prijelaz s izvornog pravokutnog koordinatnog sustava
kanonskom
provodi se rotiranjem osi izvornog koordinatnog sustava oko točke O. pod nekim kutom  i naknadnim paralelnim translacijom koordinatnog sustava.

Invarijantima krivulje drugog reda(8.4.1) nazivaju se takve funkcije koeficijenata njegove jednadžbe čije se vrijednosti ne mijenjaju pri prelasku iz jednog pravokutnog koordinatnog sustava u drugi istog sustava.

Za krivulju drugog reda (8.4.1) zbroj koeficijenata na kvadratima koordinata

,

odrednica sastavljena od koeficijenata na najvišim člancima

i odrednica trećeg reda

su invarijante.

Vrijednost invarijanata s, ,  može se koristiti za određivanje vrste i sastavljanje kanoničke jednadžbe krivulje drugog reda (tablica 8.1).

Tablica 8.1

Klasifikacija krivulja drugog reda na temelju invarijanata

Pogledajmo pobliže elipsu, hiperbolu i parabolu.

Elipsa(Slika 8.1) naziva se mjesto točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti do dvije fiksne točke
ovaj avion, tzv žarišta elipse, postoji konstantna vrijednost (veća od udaljenosti između žarišta). To ne isključuje podudarnost fokusa elipse. Ako se fokusi podudaraju, elipsa je krug.

Polovina zbroja udaljenosti od točke elipse do njezinih žarišta označena je sa a, pola udaljenosti između žarišta - s... Ako je pravokutni koordinatni sustav na ravnini odabran tako da se žarišta elipse nalaze na osi O.x simetrično oko ishodišta, tada je u ovom koordinatnom sustavu elipsa dana jednadžbom

, (8.4.2)

zvao jednadžba kanoničke elipse, gdje
.

Riža. 8.1

S navedenim izborom pravokutnog koordinatnog sustava, elipsa je simetrična u odnosu na koordinatne osi i ishodište. Osi simetrije elipse to zovu osovine, i središte simetrije - središte elipse... U isto vrijeme, brojevi 2 često se nazivaju osi elipse. a i 2 b i brojevima a i b – velik i polu-manja os odnosno.

Točke sjecišta elipse s njezinim osima nazivaju se vrhovi elipse... Vrhovi elipse imaju koordinate ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Elipsa ekscentričnosti pozvao broj

. (8.4.3)

Od 0  c < a, ekscentricitet elipse 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Stoga se može vidjeti da ekscentricitet karakterizira oblik elipse: što je bliže zero nuli, elipsa više izgleda kao krug; s povećanjem  elipsa postaje sve produženija.

Neka bude
- proizvoljna točka elipse,
i
- udaljenost od točke M prije trikova Ž 1 i Ž 2 respektivno. Brojevi r 1 i r 2 se zovu polumjeri žarišne točke M elipsa a izračunavaju se po formulama

Ravnateljice osim kruga elipsa s kanoničkom jednadžbom (8.4.2) dvije su prave crte

.

Direktrika elipse nalazi se izvan elipse (slika 8.1).

Omjer žarišnog radijusa bodovaMelipsa na udaljenost  ova elipsa (fokus i directrix smatraju se prikladnima ako su na istoj strani središta elipse).

Hiperbola(Slika 8.2.) Naziva se mjesto točaka ravnine za koje je modul razlike udaljenosti do dvije fiksne točke i ovaj avion, tzv žarišta hiperbole, postoji konstantna vrijednost (nije jednaka nuli i manja je od udaljenosti između žarišta).

Neka udaljenost između žarišta bude 2 s, a naznačeni modul razlike udaljenosti je 2 a... Odaberimo pravokutni koordinatni sustav na isti način kao i za elipsu. U ovom koordinatnom sustavu hiperbola je dana jednadžbom

, (8.4.4)

zvao kanonička jednadžba hiperbole, gdje
.

Riža. 8.2

Ovim izborom pravokutnog koordinatnog sustava koordinatne osi su osi simetrije hiperbole, a ishodište je njegovo središte simetrije. Osi simetrije hiperbole to zovu osovine, a središte simetrije je središte hiperbole... Pravokutnik sa stranicama 2 a i 2 b nalazi kako je prikazano na sl. 8.2 se zove glavni pravokutnik hiperbole... Brojevi 2 a i 2 b Jesu li osi hiperbole i brojevi a i b- nju poluosovine... Linije koje su nastavak dijagonala glavnog pravokutnika hiperbolne asimptote

.

Točke presjeka hiperbole s osi Vol se zovu vrhovi hiperbole... Vrhovi hiperbole imaju koordinate ( a, 0), (–a, 0).

Ekscentricitet hiperbole pozvao broj

. (8.4.5)

Ukoliko s > a, ekscentricitet hiperbole > 1. Jednakost (8.4.5) prepisujemo u obliku

.

Stoga se može vidjeti da ekscentričnost karakterizira oblik glavnog pravokutnika i, prema tome, oblik same hiperbole: što je manji , to se glavni pravokutnik više proteže, a nakon njega i sama hiperbola po osi Vol.

Neka bude
- proizvoljna točka hiperbole,
i
- udaljenost od točke M prije trikova Ž 1 i Ž 2 respektivno. Brojevi r 1 i r 2 se zovu polumjeri žarišne točke M hiperbola a izračunavaju se po formulama

Ravnateljice hiperbola s kanoničkom jednadžbom (8.4.4) dvije su crte

.

Direktne linije hiperbole sijeku glavni pravokutnik i prolaze između središta i odgovarajućeg vrha hiperbole (slika 8.2).

O. omjer žarišnog radijusa bodovaM hiperbola na daljinu od ove točke do odgovarajućeg fokusa ravnateljica jednaka je ekscentričnosti ove hiperbole (fokus i directrix se smatraju prikladnima ako se nalaze na istoj strani središta hiperbole).

Parabola(Slika 8.3) naziva se mjesto točaka ravnine za koje je udaljenost do neke fiksne točke Ž (parabola fokusa) ove ravnine jednaka je udaljenosti do neke fiksne ravne linije ( parabola directrix), koji se također nalazi u ravnini koja se razmatra.

Odaberimo početak O. pravokutni koordinatni sustav u sredini segmenta [ F D], koja je okomica izvan fokusa Ž na directrix (pretpostavlja se da fokus ne pripada directrixu), te na os Vol i Oj izravno kao što je prikazano na sl. 8.3. Neka je duljina segmenta [ F D] jednako je str... Zatim u odabranom koordinatnom sustavu
i kanonička jednadžba parabole ima oblik

. (8.4.6)

Količina str zvao parabola parametar.

Parabola ima os simetrije tzv os parabole... Točka presjecanja parabole s osi naziva se vrh parabole... Ako je parabola dana svojom kanoničkom jednadžbom (8.4.6), tada je os parabole os Vol... Očito je vrh parabole ishodište.

Primjer 1. Točka A= (2, –1) pripada elipsi, točki Ž= (1, 0) mu je fokus, odgovarajući Ž directrix je dan jednadžbom
... Izjednačite ovu elipsu.

Riješenje. Pretpostavit ćemo da je koordinatni sustav pravokutni. Zatim udaljenost od točke A ravnateljici
u skladu s relacijom (8.1.8), u kojoj


, jednako

.

Udaljenost od točke A usredotočiti se Ž jednak

,

što vam omogućuje da odredite ekscentričnost elipse

.

Neka bude M = (x, y) Je proizvoljna točka elipse. Zatim udaljenost
od točke M ravnateljici
po formuli (8.1.8) jednako je

i udaljenost od točke M usredotočiti se Ž jednak

.

Budući da za bilo koju točku elipse omjer je konstantna vrijednost jednaka ekscentričnosti elipse, stoga imamo

,

Primjer 2. Krivulja je dana jednadžbom

u pravokutnom koordinatnom sustavu. Pronađi kanonički koordinatni sustav i kanoničku jednadžbu ove krivulje. Odredite vrstu krivulje.

Riješenje. Kvadratni oblik
ima matricu

.

Njegov karakteristični polinom

ima korijene  1 = 4 i  2 = 9. Dakle, u ortonomiranoj bazi vlastitih vektora matrice A razmatrani kvadratni oblik ima kanonski oblik

.

Prijeđimo na izgradnju matrice ortogonalne transformacije varijabli, koja razmatrani kvadratni oblik svodi na naznačeni kanonički oblik. Za to ćemo konstruirati temeljne sustave rješenja homogenih sustava jednadžbi
te ih ortonormizirati.

Na
ovaj sustav ima oblik

Njegovo opće rješenje je
... Ovdje postoji jedna besplatna varijabla. Stoga se temeljni sustav odluka sastoji od jednog vektora, na primjer, vektora
... Normalizirajući to, dobivamo vektor

.

Na
također konstruirati vektor

.

Vektori i već su ortogonalne jer se odnose na različite vlastite vrijednosti simetrične matrice A... Oni čine kanonsku ortonormalnu osnovu zadanog kvadratnog oblika. Tražena ortogonalna matrica (rotacijska matrica) konstruirana je iz stupaca njihovih koordinata

.

Provjerimo ispravnost pronalaska matrice R prema formuli
, gdje
- matrica kvadratnog oblika u bazi
:

Matrica R ispravno pronađen.

Izvedimo transformaciju varijabli

i zapisati jednadžbu ove krivulje u novi pravokutni koordinatni sustav sa starim vektorom središta i smjera
:

gdje
.

Dobio kanoničku jednadžbu elipse

.

Zbog činjenice da je rezultirajuća transformacija pravokutnih koordinata određena formulama

,

,

kanonski koordinatni sustav
ima početak
i vodiči vektori
.

Primjer 3. Pomoću invarijantne teorije odredite vrstu i napišite kanoničku jednadžbu krivulje

Riješenje. Ukoliko

,

u skladu s tablicom. 8.1 zaključujemo da je ovo hiperbola.

Budući da je s = 0, karakteristični polinom matrice kvadratnog oblika

Njegovi korijeni
i
omogućuju vam da napišete kanoničku jednadžbu krivulje

gdje S se nalazi iz stanja

,

.

Željena kanonička jednadžba krivulje

.

U zadacima ovog odjeljka, koordinatex, ypretpostavlja se da su pravokutne.

8.4.1. Za elipse
i
pronaći:

a) poluosi;

b) trikovi;

c) ekscentričnost;

d) izravne jednadžbe.

8.4.2. Napravite jednadžbe elipse, znajući njezin fokus
odgovara ravnatelju x= 8 i ekscentričnost ... Pronađi drugi fokus i drugu direktrisu elipse.

8.4.3. Izjednačite elipsu s žarištima na koordinatama (1, 0) i (0, 1) i s velikom osi dvije.

8.4.4. S obzirom na hiperbolu
... Pronaći:

a) poluosi a i b;

b) trikovi;

c) ekscentričnost;

d) jednadžbe asimptota;

e) izravne jednadžbe.

8.4.5. S obzirom na hiperbolu
... Pronaći:

a) poluosi a i b;

b) trikovi;

c) ekscentričnost;

d) jednadžbe asimptota;

e) izravne jednadžbe.

8.4.6. Točka
pripada hiperboli čiji je fokus
, a odgovarajuća directrix zadana je jednadžbom
... Izjednačite ovu hiperbolu.

8.4.7. Izjednačite parabolu ako joj se da fokus
i ravnateljica
.

8.4.8. S obzirom na vrh parabole
i jednadžba direktriksa
... Ujednačite ovu parabolu.

8.4.9. Izjednačite parabolu čiji je fokus u točki

a izravna je zadana jednadžbom
.

8.4.10. Izjednačite krivulju drugog reda, znajući njezinu ekscentričnost
, usredotočenost
i odgovarajući ravnatelj
.

8.4.11. Odredite vrstu krivulje drugog reda, napišite njezinu kanoničku jednadžbu i pronađite kanonički koordinatni sustav:

G)
;

8.4.12.

je elipsa. Nađi duljine poluosi i ekscentricitet ove elipse, koordinate središta i žarišta, napravi jednadžbe za osi i direktrisu.

8.4.13. Dokazati da je krivulja drugog reda dana jednadžbom

je hiperbola. Pronađite duljine poluosi i ekscentricitet ove hiperbole, koordinate središta i žarišta, sastavite jednadžbe za osi, izravnu liniju i asimptote.

8.4.14. Dokazati da je krivulja drugog reda dana jednadžbom

,

je parabola. Pronađi parametar ove parabole, koordinate vrhova i fokusa, napravi jednadžbe za os i directrix.

8.4.15. Dovedite svaku od sljedećih jednadžbi u kanonski oblik. Nacrtajte odgovarajuću krivulju drugog reda na crtežu u odnosu na izvorni pravokutni koordinatni sustav:

8.4.16. Pomoću invarijantne teorije odredite vrstu i napišite kanoničku jednadžbu krivulje.