Stupanj se koristi za pojednostavljenje snimanja množenja broja sebe. Na primjer, umjesto snimanja možete pisati 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5)) (Objašnjenje ovog prijelaza dan je u prvom dijelu ovog članka). Stupnjevi omogućuju vam da pojednostavite pisanje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi; Također, stupnjevi se lako presavijaju i oduzimaju, što dovodi do pojednostavljenja izraza ili jednadžbe (na primjer, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Bilješka: Ako trebate riješiti indikativnu jednadžbu (u ovoj jednadžbi, nepoznato je u indikatoru stupnja), čitati.

Koraci

Rješenje najjednostavnijih zadataka s stupnjevima

Pomnožite temelj samog stupnja po broju vremena jednaka indikatoru. Ako trebate ručno riješiti zadatak s stupnjevima, prepišite stupanj u obliku operacije množenja, gdje se temelji stupnja pomno pomnoži. Na primjer, s obzirom na stupanj 3 4 (DisplayStyle 3 ^ (4)), U ovom slučaju, baza stupnja 3 mora se pomnožiti sama 4 puta: 3 * 3 * 3 * 3 (DisplayStyle 3 * 3 * 3 * 3), Ovdje su i drugi primjeri:

Za početak, pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (DisplayStyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4), Ne brinite - proces izračuna nije tako kompliciran jer se čini na prvi pogled. Prvo, pomnožite prva dva četiri, a zatim ih zamijenite rezultatom. Kao ovo:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (DisplayStyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Pomnožite rezultat (u našem primjeru 16) na sljedeći broj. Svaki sljedeći rezultat povećat će se razmjerno. U našem primjeru, pomnožite 16 do 4. tako:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (DisplayStyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (DisplayStyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (DisplayStyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Nastavite množenjem rezultata množenja prve dva broja na sljedeći broj dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, promijenite prva dva broja, a zatim se rezultat pomnoži s sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koji stupanj. U našem primjeru trebate dobiti: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Odlučite sljedeće zadatke. Provjerite odgovor pomoću kalkulatora.

   • 8 2 (DisplayStyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (DisplayStyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (DisplayStyle 10 ^ (7))

3. Na kalkulatoru, pronađite ključ označen kao "Exp" ili " X N (DisplayStyle X ^ (n))", Ili" ^ ". S ovim ključem povećat ćete broj u stupnju. Izračunajte opseg s velikim indikatorom ručno nemogućim (na primjer, stupanj 9 15 (DisplayStyle 9 ^ (15))), Ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U sustavu Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti na inženjerski način; Da biste to učinili, kliknite "View" -\u003e "Engineering". Da biste se prebacili u normalan način, kliknite "Prikaži" -\u003e "Normal".

   • Provjerite odgovor na tražilicu (Google ili Yandex), Koristeći tipku "^" na tipkovnici računala, unesite izraz tražilice, koji odmah prikazuje točan odgovor (i može ponuditi slične izraze za proučavanje).

   Dodatak, oduzimanje, množenje stupnjeva

   1. Možete dodati i odbiti stupnjeve samo ako imaju iste baze. Ako trebate dodati stupnjeve s istim bazama i pokazateljima, možete zamijeniti rad dodavanja množenja. Na primjer, izraz se daje 4 5 + 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)), Zapamtite da je stupanj 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5)) može biti predstavljen kao 1 * 4 5 (DisplayStyle 1 * 4 ^ (5)); na ovaj način, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (gdje je 1 +1 \u003d 2). To jest, razmotrite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite takav stupanj i to je broj. U našem primjeru, izgraditi 4 u petom stupnju, a zatim rezultirajući rezultat pomnoženo s 2. Zapamtite da se postupak dodavanja može zamijeniti s višestrukim postupkom, na primjer, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (DisplayStyle 3 + 3 \u003d 2 * 3), Ovdje su i drugi primjeri:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (DisplayStyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (DisplayStyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (DisplayStyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Prilikom umnožavanja stupnjeva s istom bazom, njihovi su pokazatelji presavijeni (baza se ne mijenja). Na primjer, izraz se daje X 2 * X 5 (DisplayStyle X ^ (2) * x ^ (5)), U tom slučaju, samo trebate preklopiti pokazatelje, ostavljajući osnova nepromijenjena. Na ovaj način, x 2 * x 5 \u003d x 7 (DisplayStyle X ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)), Ovdje je vizualno objašnjenje ovog pravila:

      Prilikom podizanja stupnja, pokazatelji se množe. Na primjer, s obzirom na stupanj. Budući da su pokazatelji stupnja varijabilni, onda (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)), Značenje ovog pravila je da pomnožite stupanj (x 2) (zaslon (x ^ (2)))) Sebe za sebe pet puta. Kao ovo:

      • (x 2) 5 (DisplayStyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2x 2 * x 2 (zaslon (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Budući da je baza ista, pokazatelji stupnja jednostavno se zbrajaju: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Stupanj s negativnim indikatorom treba pretvoriti u frakciju (u obrnuto). Ne nevolja, ako ne znate što je stupanj povratka je. Ako ste dodijelili stupanj s negativnim indikatorom, na primjer, 3 - 2 (DisplayStyle 3 ^ (- 2)), Napišite ovaj stupanj u denominator hlača (u numeritoru, mjesto 1) i učinite pokazatelj pozitivnim. U našem primjeru: 1 3 2 (DisplayStyle (frac (1) (3 ^ (2)))), Ovdje su i drugi primjeri:

      Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji oduzimaju (osnova se ne mijenja). Rad podjela je suprotnost operaciji množenja. Na primjer, izraz se daje 4 4 4 2 (DisplayStyle (frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))), Izbrišite stupanj denominatora, od indikatora stupnja prema numeritoru (ne mijenjajte bazu). Na ovaj način, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (DisplayStyle (frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Stupanj suočavanja s denominatorom može se napisati u ovom obliku: 1 4 2 (DisplayStyle (frac (1) (4 ^ (2))))) = 4 - 2 (DisplayStyle 4 ^ (- 2)), Zapamtite da je frakcija broj (stupanj, izraz) s negativnim pokazateljem stupnja.

   4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite riješiti zadatke s stupnjevima. Ovi izrazi pokrivaju materijal naveden u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, jednostavno označite prazan prostor nakon znaka jednakosti.

   Rješavanje zadataka s frakcijskim pokazateljima

   Stupanj s frakcijskim pokazateljem (na primjer) se pretvara u rad ekstrakcije korijena. U našem primjeru: X 1 2 (DisplayStyle X ^ (frac (1) (2))) = X (DisplayStyle (sqrt (x))), Nije važno koji je broj u nazivniku frakcijskog pokazatelja. Na primjer, X 1 4 (DisplayStyle X ^ (frac (1) (4))) - Ovo je korijen četvrtog stupnja od "X", to jest X 4 (DisplayStyle (sqrt [(4)] (x)))) .

   1. Ako je indikator nepravilna frakcija, tada se takav stupanj može razgraditi za dva stupnja da pojednostavi rješenje problema. U tome nema ništa komplicirano - samo zapamtite pravilo umnožavanja po stupnjevima. Na primjer, s obzirom na stupanj. Okrenite takav stupanj do korijena, čiji stupanj će biti jednak izboru frakcijskog pokazatelja, a zatim uzeti ovaj korijen na stupanj jednak broju frakcijskog pokazatelja. To učiniti, zapamtite to 5 3 (DisplayStyle (frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (DisplayStyle ((frac (1) (3)) * 5), U našem primjeru:

      • X 5 3 (DisplayStyle X ^ (Frac (5) (3)))
      • X 1 3 \u003d X 3 (DisplayStyle X ^ (frac (1) (3)) \u003d (sqrt [(3)] (x)))
      • X 5 3 \u003d X 5 * X 1 3 (DisplayStyle X ^ (frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (frac (1) (3))) = (x 3) 5 (DisplayStyle ((SQRT [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Na nekim kalkulatorima postoji gumb za izračunavanje stupnjeva (najprije morate unijeti bazu, zatim pritisnite gumb, a zatim unesite indikator). To je označeno kao ^ ili x ^ y.
   3. Zapamtite da je bilo koji broj u prvom stupnju jednako samo po sebi, na primjer, 4 1 \u003d 4. (DisplayStyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Štoviše, bilo koji broj pomnožen ili podijeljen s jednim je jednak sebi, na primjer, 5 * 1 \u003d 5 (DisplayStyle 5 * 1 \u003d 5) i 5/1 \u003d 5 (DisplayStyle 5/1 \u003d 5).
   4. Znajte da stupnjevi 0 0 ne postoji (takav stupanj nema rješenje). Kada pokušate riješiti takav stupanj na kalkulatoru ili na računalu dobivate pogrešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj u nultom stupnju 1, na primjer, 4 0 \u003d 1. (DisplayStyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. U najvišoj matematici, koji djeluje s imaginarnim brojevima: e i x \u003d c o s a x + i s i n a x (a) ix \u003d cosax + isinax)gdje i \u003d (- 1) (DisplayStyle I \u003d (sqrt (()) - 1)); e - konstantna, približno jednaka 2,7; A - proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se naći u bilo kojem udžbeniku na većoj matematici.

   Upozorenja

   • Uz povećanje pokazatelja stupnja, njegova se vrijednost mnogo povećava. Stoga, ako vam se odgovor ne pogriješi, zapravo može biti vjeran. Možete ga provjeriti izgradnjom rasporeda bilo kojeg indikativna funkcija, na primjer, 2 x.

Konstrukcija negativnog stupnja je jedan od glavnih elemenata matematike, koji se često nalaze u rješavanju algebarskih problema. U nastavku je detaljna uputa.

Kako izgraditi negativnu stupanj - teorija

Kada smo broj u redovnom stupnju, umnožimo njegovu vrijednost nekoliko puta. Na primjer, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. s negativnom frakcijom, obrnuto. Opći oblik Formula će imati sljedeći oblik: -N \u003d 1 / a n. Dakle, kako bi se izgradio broj negativnom stupnju, potrebno je podijeliti uređaj na određeni broj, ali u pozitivan stupanj.

Kako podići negativan stupanj - primjeri na konvencionalnim brojevima

Držeći gore navedeno pravilo o umu, riješi nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 \u003d 1/16.

Ali zašto je odgovor u prvom i drugom primjeru isto? Činjenica je da kada je podignuta negativan broj U radu (2, 4, 6, itd.), Znak postaje pozitivan. Ako je stupanj bio ravnomjerno, tada je minus očuvan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako izgraditi negativni stupanj - brojevi od 0 do 1

Podsjetimo se da kada se broj podigne u prazninu od 0 do 1 do pozitivnog stupnja, vrijednost se smanjuje s povećanjem stupnja. Na primjer, 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Odgovor: 0,5 -2 \u003d 4

Katastrofa (slijed djelovanja):

• Prevedi decimalna frakcija 0,5 u frakcijskom 1/2. Tako lakše.
  Gradimo 1/2 negativnom stupnju. 1 / (2) -2. Delim 1 do 1 / (2) 2, dobivamo 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Primjer 5: Izračunajte -0.5 -3
Otopina: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Odgovor: -0,5 -3 \u003d -8

Na temelju 4. i 5. primjera, donijet ćemo nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj U rasponu od 0 do 1 (Primjer 4), koji se povećava u negativan stupanj, paritet ili točnost stupnja nije važna, vrijednost izraza će biti pozitivna. U isto vrijeme, to je više stupnja, to je veća vrijednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (Primjer 5), koji se podiže u negativni stupanj, paritet ili točnost stupnja nevažnog, vrijednost izraza bit će negativna. U isto vrijeme, to je više stupnja, manja vrijednost.

Kako izgraditi negativan stupanj u obliku frakcijskog broja

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: -m / n, gdje je A je zajednički broj, m je numerator, n je denominator.

Razmotrite primjer:
Izračunajte: 8 -1/3

Rješenje (slijed akcija):

• Zapamtite pravilo erekcije u negativnom stupnju. Dobivamo: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Napomena, u denominatoru broj 8 u frakcijskom stupnju. Opći tip izračuna frakcijskog stupnja je: M / N \u003d N √8 m.
• Tako, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 )8 1). Primati korijen Od osam, koji je 2. na temelju toga, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Odgovor: 8 -1/3 \u003d 2

Iz škole svi znamo pravilo o vježbi u stupanj: bilo koji broj s pokazateljem n jednak je rezultat množenja određenog broja na sebi N broj puta. Drugim riječima, 7 do stupnja 3 je 7, pomnožen sam za sebe tri puta, to jest, 343. Drugo pravilo - Izgradnja bilo koje vrijednosti u stupnju 0 daje jedinicu, a izgradnja negativne vrijednosti rezultat je Uobičajena erekcija, ako je to, a isti rezultat s "minus" znak, ako je čudno.

Pravila daju i odgovorite kako podići broj u negativnom stupnju. Da bismo to učinili, moramo biti povišeni na uobičajeni način željenu vrijednost na modulu indikatora, a zatim jedinicu za podjelu na rezultat.

Iz ovih pravila postaje jasno da će performanse stvarnih zadataka s radom velikih vrijednosti zahtijevati dostupnost tehnička sredstva, Ručno ispasti da pomnožite maksimalni raspon brojeva do dvadeset i trideset, i ne više od tri ili četiri puta. To ne treba spomenuti da kasnije podijelite jedinicu na rezultat. Stoga, oni koji nemaju posebne inženjering kalkulator pri ruci, reći ćemo kako izgraditi broj u negativan stupanj u Excelu.

Rješavanje zadataka u Excelu

Za rješavanje zadataka dizajna za Excel omogućuje korištenje jedne od dvije opcije.

Prvi je uporaba formule sa standardnim znakom poklopca. Unesite sljedeće podatke u radničke stanice:

Na isti način, možete izgraditi željenu vrijednost u bilo koji stupanj - negativan, frakcijski. Izvedena sljedeće radnje I odgovorit će na pitanje kako izgraditi broj u negativnom stupnju. Primjer:

Moguće je ispraviti u formuli izravno \u003d B2 ^ -C2.

Druga je mogućnost korištenja gotove funkcije "stupanj" hostinga dva obavezna argumenta - broj i indikator. Da biste nastavili na njegovu uporabu, dovoljno je u bilo kojoj slobodnoj ćeliji staviti znak "jednak" (\u003d), što ukazuje na početak formule i unesite gore navedene riječi. Ostaje da odaberete dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili odrediti određene brojeve ručno) i kliknite na tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Kao što možete vidjeti, ne postoji ništa komplicirano u tome kako povećati broj u negativnom stupnju i uobičajenim korištenjem Excela. Doista, riješiti ovaj zadatak, možete koristiti i uobičajeni svi simbol "kapu" i prikladno za pamćenje ugrađene funkcije programa. Ovo je određeni plus!

Okrenimo se na složenije primjere. Sjetite se pravilo o tome kako izgraditi broj u negativan stupanj frakcijske prirode, i vidjet ćemo da je ovaj zadatak vrlo jednostavno riješen u Excelu.

Djelomični pokazatelji

Ako je kratko, algoritam za izračunavanje broja s frakcijskim pokazateljem je sljedeći.

1. Pretvoriti frakcijski pokazatelj u ispravnu ili netočnu frakciju.
2. Evregularni naš broj u broj koji je rezultiralo pretvaranjem frakcija.
3. Od broja dobivenog u prethodnom odlomku izračunajte korijen, s uvjetom da će indikator korijena biti denamoter frakcije dobivenog u prvoj fazi.

Slažem se da čak i pri radu s malim brojem i redovite frakcije Takvi izračuni mogu potrajati mnogo vremena. Dobro je da tablica procesor excel bez razlike, koji je broj i koji stupanj je podići. Pokušajte riješiti sljedeći primjer na Excel WorkState:

Iskorištavanje gore navedenih pravila, možete provjeriti i provjeriti je li izračun ispravno napravljen.

Na kraju našeg članka dajemo tablicu u obliku tablice s formulama i rezultatima, nekoliko primjera kako podići broj negativnog stupnja, kao i nekoliko primjera s radom frakcijskih brojeva i stupnjeva.

Tablica primjera

Provjerite slijedeće primjere na radnom popisu Excel knjige. Kako bi sve ispravno funkcioniralo, morate koristiti mješovitu vezu prilikom kopiranja formule. Osigurajte broj stupca koji sadrži podignut broj i broj niza koji sadrži indikator. Vaša formula bi trebala imati o sljedećem obliku: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i predivni) izračunavaju bez ikakvih pokazatelja. Nema problema s erekcijom bilo kojeg broja u cijelim pokazateljima. No, izgradnja negativnog broja u frakcijski stupanj rezultirat će pogreškom za vas, jer je nemoguće ispuniti pravilo navedeno na početku našeg članka o izgradnji negativnih brojeva, jer je paritet karakteristika iznimno cijeli broj ,

Broj podignut u stupanj Nazovite takav broj koji se višestručuje nekoliko puta.

Stupanj broja s negativnom vrijednošću (A - n) Može se odrediti na sličnosti o tome kako se određuje stupanj istog broja s pozitivnim pokazateljem. (a n) , Međutim, također zahtijeva dodatnu definiciju. Ova formula se definira kao:

a - N. \u003d (1 / a n)

Svojstva negativnih vrijednosti stupnjeva brojeva slične su stupnjevima s pozitivnim indikatorom. Predstavljena jednadžba a. m / a n \u003d m-n može biti pošteno kao

« Nigdje, kao u matematici, jasnoća i točnost izlaza ne dopušta osobi da odvrnu od odgovora oko pitanja».

A. D. Alexandrov

za n. više m. i kada m. više n. , Razmislite o primjeru: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Za početak, potrebno je odrediti broj koji djeluje definicije. b \u003d A (-N) , U ovom primjeru -N. je pokazatelj stupnja b. - željenu numeričku vrijednost a. - temelj stupnja u obliku prirodnog numerička vrijednost, Zatim definirajte modul, to jest, apsolutna vrijednost negativnog broja, koji djeluje kao pokazatelj stupnja. Izračunati stupanj tog broja relativnog apsolutni brojkao pokazatelj. Vrijednost stupnja dijelje jedinicu do rezultirajućeg broja.

Sl. jedan

Razmotrite stupanj broja s negativnim frakcijskim pokazateljem. Zamislite da je broj bilo koji pozitivan broj, broj n. i m. - cijeli brojevi. Prema definiciji a. koji se podiže u stupanj - jednaka jedinici podijeljenom na isti broj s pozitivnim stupnjem (sl. 1). Kada je stupanj broja frakcije, tada se u takvim slučajevima koristi isključivo brojeve s pozitivnim pokazateljima.

Vrijedno je pamćenjeda nula nikada ne može biti pokazatelj opsega broja (pravilo podjele za nulu).

Širenje takvog koncepta kao što je broj postao takve manipulacije kao što su izračuni mjerenja, kao i razvoj matematike, kao što je znanost. Unos negativnih vrijednosti bilo je posljedica razvoja algebre koja je dala zajednička rješenja Aritmetičke zadatke, bez obzira na njihovo specifično značenje i početne numeričke podatke. U Indiji, u VI-XI stoljećima, negativne vrijednosti brojeva sustavno su se koristile tijekom rješavanja problema i proširile su se na isti način kao i danas. U europskoj znanosti, negativni brojevi počeli su intenzivno koristiti R. descarte, koji je dao geometrijsko tumačenje negativnih brojeva kao smjerova segmenata. Decartes je predložio oznaku broja podignut za prikaz kao dvokatna formula a N. .

može se naći pomoću množenja. Na primjer: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. Ovaj izraz kaže da se iznos jednakih uvjeta pretvorio u rad. Nasuprot tome, ako pročitate ovu jednakost s desne strane, dobivamo da smo rasporedili iznos jednakih uvjeta. Slično tome, možete pretvoriti proizvod nekoliko jednakih multiplikatora 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6.

To jest, umjesto množenja šest od istih čimbenika 5x5x5x5x5x5 napišite 5 6 i kažu "Pet u šestoj."

Izraz 5 6 je stupanj broja gdje:

5 - stupanj;

6 - eksponent.

Radnje kojima se proizvod jednakih multiplikatora pretvara u stupanj u diplomu.

Općenito, tako je napisan stupanj s osnovom "A" i pokazatelj "N"

Procijenite broj A do stupnja n - to znači pronaći proizvod n množitelja, od kojih je svaki jednak

Ako je osnova stupnja "A" 1, tada vrijednost stupnja s bilo kojim prirodnim n bit će jednak 1. na primjer, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Ako izgradimo broj "a" za izgradnju prvi stupanj, onda dobiti broj samo sama: a 1 \u003d a

Ako izgradite bilo koji broj u nula stupanj, onda kao rezultat izračuna dobivamo jedan. a 0 \u003d 1

Posebno razmotrite drugi i treći stupanj broja. Za njih su došli do imena: drugi stupanj se zove kvadratni brojTreće - kuba ovog broja.

Bilo koji broj se može podići u stupanj - pozitivan, negativan ili nula. U isto vrijeme nemojte koristiti sljedeća pravila:

Prilikom pronalaženja stupnja pozitivnog broja dobiva se pozitivan broj.

Prilikom izračunavanja nule u prirodnom mjeri, dobivamo nula.

x m. X N. \u003d x m + n

na primjer: 7 1.7 · 7 - 0,9 \u003d 7 1,7 + (- 0,9) \u003d 7 1,7 - 0,9 \u003d 7 0,8

Do podijelite stupnjeve s istim bazama Baza se ne mijenja, ali ovisi o pokazateljima:

x m. / X N. \u003d x m - n gdje m\u003e n,

na primjer: 13 3,8 / 13 -0,2 \u003d 13 (3,8-0,2) \u003d 13 3.6

Prilikom izračunavanja uspravan Baza se ne mijenja, a pokazatelji stupnjeva međusobno se pomnožavaju.

(na M. ) N. \u003d na m · N.

na primjer: (2 3) 2 \u003d 2 3 · 2 \u003d 2 6

(x · y) n. \u003d X N. · u M. ,

na primjer: (2,3) 3 \u003d 2 N · 3 m,

Prilikom izvršavanja izračuna drobljenjeu ovom smo stupnju podižemo broj i nazivnik

(x / y) n \u003d X N. / N.

na primjer: (2/5) 3 \u003d (2/5) · (2/5) · (2/5) \u003d 2 3/5 3.

Slijed izračuna pri radu s izrazima koji sadrže stupanj.

Prilikom izvođenja izraza bez zagrada, ali koji sadrže stupnjeve, prije svega proizvode vježbu u mjeri, a zatim djelovanje množenja i podjele, te samo tada rad dodavanja i oduzimanja.

Ako trebate izračunati ekspresiju koji sadrži zagrade, onda prvi u gornjem postupku izrađujemo izračune u uglatim zagradama, a zatim preostale radnje u istom redoslijedu s lijeva na desno.

Vrlo široko u praktičnim izračunima za pojednostavljenje izračuna koristi gotove stolove stupnjeva.

Lekcija i prezentacija na temu: "stupanj s negativnim pokazateljem. Definicija i primjeri rješavanja problema"

Dodatni materijali
Poštovani korisnici ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali provjeravaju antivirusni program.

Priručnici za obuku i simulatori u online trgovini "Integral" za ocjenu 8
Priručnik za udžbenik maravine g.k. Aulimov udžbenik priručnik sh.a.

Određivanje stupnja s negativnim indikatorom

Dobro znamo da je svaki broj u nultom stupnju ujedinjen. $ A ^ 0 \u003d 1 $, $ A ≠ $ 0.
Postavlja se pitanje i što će se dogoditi ako izgradimo broj u negativnom stupnju? Na primjer, što će biti broj od $ 2 ^ (- 2) $?
Prvi matematičari koji su postavili ovim pitanjem odlučili su da nije vrijedno izmisliti bicikl, i to je dobro da sva svojstva stupnjeva ostaju ista. To jest, s umnožavanjem stupnjeva s istom bazom, pokazatelji stupnja su presavijeni.
Razmotrimo takav slučaj: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
Primili da rad takvih brojeva treba dati jedinicu. Jedinica u radu se dobiva množenjem inverznih brojeva, to jest, $ 2 ^ (- 3) \u003d frac (1) (2 ^ 3) $.

Takvo obrazloženje dovelo je do sljedeće definicije.
Definicija. Ako je $ N $ je prirodan broj i $ 0 $, onda se izvodi jednakost: $ a ^ (- n) \u003d frac (1) (^ n) $.

Važan identitet koji se često koristi: $ (Frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (frac (b) (a)) ^ n $.
Konkretno, $ (frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d ^ n $.

Primjeri otopina

Odluka.
Razmotrite svaku usklađenost odvojeno.
1. $ 2 ^ (- 3) \u003d frac (1) (2 ^ 3) \u003d frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d frac (1) (8) $.
2. $ (\\ FRAC (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ FRAC (5) (2)) ^ 2-\\ FRAC (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ FRAC (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) \u003d frac (1) (8) $.
Ostaje za obavljanje dodavanja i subtrakcije: $ frac (1) (8) + frac (25) (4) - frac (1) (8) \u003d frac (25) (4) \u003d 6 frac ( 1) (4) $.
Odgovor: $ 6 frac (1) (4) $.

Primjer 2.
Predstavlja određeni broj u obliku stupnja jednostavan broj $ Frac (1) (729) $.

Odluka.
Očito, $ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
No, 729 nije jednostavan broj koji završava s 9. Može se pretpostaviti da je taj broj stupanj trostruke. Sekvencijalno podijelite 729 do 3.
1) $ frac (729) (3) \u003d 243 USD;
2) $ frac (243) (3) \u003d 81 $;
3) $ frac (81) (3) \u003d 27 $;
4) $ frac (27) (3) \u003d 9 $;
5) $ frac (9) (3) \u003d 3 USD;
6) $ frac (3) (3) \u003d 1 $.
Izvršeno je šest operacija i to znači: $ 729 \u003d 3 ^ $ 6.
Za naš zadatak:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Odgovor: $ 3 ^ (- 6) $.

Primjer 3. Priprema izraz u obliku stupnja: $ \\ frac (A ^ 6 * (A ^ (- 5)) ^ 2), ((A ^ (- 3) * A ^ 8) ^ (- 1)), $.
Odluka. Prvi postupak uvijek se izvodi u zagrade, onda razmnožavanje $ \\ frac (A ^ 6 * (A ^ (- 5)) ^ 2), ((A ^ (- 3) * A ^ 8) ^ (- 1 )) \u003d \\ FRAC (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ FRAC (A ^ ((- 4)) i) (a ^ ((- 5) )) \u003d a ^ (4 - (- 5)) \u003d (a ^ - 4 + 5) \u003d a $.
Odgovor: $ $.

Primjer 4. Dokazati identitet:
$ (Frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * frac (y ^ (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (XY ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d frac (xy) (x + y) $.

Odluka.
Na lijevom dijelu razmotrite svaku tvornicu u zagradama odvojeno.
1. $ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d frac (y ^ 2 (frac (x ) (y) -1) ^ 2), (x (1 + \\ FRAC (Y) (X),) ^ 2) \u003d \\ FRAC (Y ^ 2 (\\ FRAC (X ^ 2) (Y ^ 2) -2 \\ Frac (X) (Y) +1)) (X (1 + 2 frac (y) (x) + frac (y ^ 2) (x ^ 2))) \u003d frac (x ^ 2-2xy + Y ^ 2) (X + 2Y + Frac (Y ^ 2) (x)) \u003d frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) \u003d \\ FRAC (X (X + Y ^ 2-2XY ^ 2)) ((X ^ 2 + + 2XY Y ^ 2),), $.
2. $ \\ FRAC (Y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ FRAC (Y ^ 2 (\\ FRAC (1) (X ^ 2) + \\ FRAC (1) (Y ^ 2))) (x (\\ FRAC (X) (Y) + \\ FRAC (Y) (X))) \u003d \\ FRAC (\\ FRAC (Y ^ 2) (x ^ 2) 1) (\\ FRAC (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ FRAC (\\ FRAC (Y ^ 2 + x ^ 2), (x ^ 2) ) ((\\ FRAC (X ^ 2 + Y ^ 2) (y))) \u003d \\ FRAC (Y ^ 2 + x ^ 2), (x ^ 2) * \\ FRAC (Y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d Frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) * frac (y) (x ^ 2) \u003d frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (X (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Okrećemo se u frakciju na koju se dijelimo.
$ Frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d frac (1- frac (y) (x)) (frac (x) (y) +1 ) \u003d \\ FRAC (\\ FRAC (XY) (X)), (\\ FRAC (X + Y) (Y)) \u003d \\ FRAC (XY) (X) * \\ FRAC (Y) (X + Y) \u003d \\ FRAC ( Y (XY)) (x (x + y)) $.
5. Izvršite podjelu.
$ Frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d frac (y (xy) ^ 2) ( X (X + Y) ^ 2) * Frac (X (X + Y)) (Y (XY)) \u003d Frac (XY) (X + Y) $.
Primio pravi identitet koji je trebao dokazati.

Na kraju lekcije, ponovno napišemo pravila djelovanja sa stupnjevima, ovdje je indikator cijeli broj.
$ ^ s * ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
$ Frac (^ s) (^ t) \u003d ^ (s-t) $.
$ (^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
$ (Ab) ^ s \u003d ^ s * b ^ s $.
$ (Frac (a) (b)) ^ s \u003d frac (^ s) (b ^ s) $.

Zadaci za samo rješenja

Konstrukcija negativnog stupnja je jedan od glavnih elemenata matematike, koji se često nalaze u rješavanju algebarskih problema. U nastavku je detaljna uputa.

Kako izgraditi negativnu stupanj - teorija

Kada smo broj u redovnom stupnju, umnožimo njegovu vrijednost nekoliko puta. Na primjer, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. s negativnom frakcijom, obrnuto. Opći prikaz formule imat će sljedeći oblik: -N \u003d 1 / a n. Dakle, kako bi se izgradio broj negativnom stupnju, potrebno je podijeliti uređaj na određeni broj, ali u pozitivan stupanj.

Kako podići negativan stupanj - primjeri na konvencionalnim brojevima

Držeći gore navedeno pravilo o umu, riješi nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 \u003d 1/16.

Ali zašto je odgovor u prvom i drugom primjeru isto? Činjenica je da kada je negativan broj podignut u ravnomjerni studij (2, 4, 6, itd.), Znak postaje pozitivan. Ako je stupanj bio ravnomjerno, tada je minus očuvan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako izgraditi negativni stupanj - brojevi od 0 do 1

Podsjetimo se da kada se broj podigne u prazninu od 0 do 1 do pozitivnog stupnja, vrijednost se smanjuje s povećanjem stupnja. Na primjer, 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25.< 0,5. В случае с negativan stupanj Sve je suprotno. Kada se decimalni (frakcijski) broj podigne u negativni stupanj, vrijednost se povećava.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Odgovor: 0,5 -2 \u003d 4

Katastrofa (slijed djelovanja):

• Mi prevodimo decimalnu frakciju 0,5 do frakcijskog 1/2. Tako lakše.
  Gradimo 1/2 negativnom stupnju. 1 / (2) -2. Delim 1 do 1 / (2) 2, dobivamo 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Primjer 5: Izračunajte -0.5 -3
Otopina: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Odgovor: -0,5 -3 \u003d -8

Na temelju 4. i 5. primjera, donijet ćemo nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (Primjer 4), koji je podignut u negativni stupanj, paritet ili prebrojivost stupnja nije važna, vrijednost izraza bit će pozitivna. U isto vrijeme, to je više stupnja, to je veća vrijednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (Primjer 5), koji se podiže u negativni stupanj, paritet ili točnost stupnja nevažnog, vrijednost izraza bit će negativna. U isto vrijeme, to je više stupnja, manja vrijednost.

Kako izgraditi negativan stupanj u obliku frakcijskog broja

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: -m / n, gdje je A je zajednički broj, m je numerator, n je denominator.

Razmotrite primjer:
Izračunajte: 8 -1/3

Rješenje (slijed akcija):

• Zapamtite pravilo erekcije u negativnom stupnju. Dobivamo: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Napomena, u denominatoru broj 8 u frakcijskom stupnju. Opći tip izračuna frakcijskog stupnja je: M / N \u003d N √8 m.
• Tako, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 )8 1). Dobivamo kubični korijen od osam, koji je 2. na temelju toga, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Odgovor: 8 -1/3 \u003d 2