Eksponencijalna funkcija. Ciljevi lekcije: Razmotriti stupanj s iracionalnim pokazateljem; Uvedite definiciju eksponencijalne funkcije. Formulirajte glavne. Stupanj broja: definicije, oznake, primjeri

Dijelovi web mjesta

Izbor urednika:

Oglašavanje

glavni - Klima

U ovom ćemo članku shvatiti što je stupanj od... Ovdje ćemo dati definicije stupnja broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta, završavajući iracionalnim. U materijalu ćete pronaći puno primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Stupanj s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kocka broja

Krenimo od. Gledajući unaprijed, kažemo da je definicija stupnja broja a s prirodnim eksponentom n dana za a, što ćemo nazvati osnovni stupanj, i n, koje ćemo nazvati eksponent... Također imajte na umu da se stupanj s prirodnim eksponentom određuje kroz proizvod, pa da biste razumjeli donji materijal, morate imati ideju o množenju brojeva.

Definicija.

Snaga broja a s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka umnožku n čimbenika, od kojih je svaki jednak a, tj.
Konkretno, snaga broja a s eksponentom 1 je sam broj a, to jest a 1 \u003d a.

Treba odmah reći o pravilima za čitanje stupnjeva. Univerzalni način čitanja zapisa a n je sljedeći: "a u moć n". U nekim su slučajevima prihvatljive i sljedeće opcije: "a do n-tog stepena" i "n-ti stepen broja a". Na primjer, uzmimo snagu 8 12, koja je "osam u stepen dvanaest" ili "osam u dvanaesti stupanj" ili "dvanaesta snaga u osam".

Drugi stupanj broja, kao i treći stupanj broja, imaju svoja imena. Poziva se drugi stepen broja kvadratom brojana primjer, 7 2 glasi "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Pozvan je treći stepen broja brojevi kockena primjer, 5 3 se može čitati kao "kocka pet" ili reći "kocka broja 5".

Vrijeme je za vodstvo primjeri stupnjeva s prirodnim pokazateljima... Počnimo sa potencijom 5 7, ovdje je 5 osnova snage, a 7 eksponent. Dajmo još jedan primjer: 4.32 je baza i prirodni broj 9 - eksponent (4,32) 9.

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru osnova stupnja 4,32 zapisana u zagradama: da bismo izbjegli zabunu, u zagrade ćemo staviti sve osnove stupnja koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stupnjeve s prirodnim pokazateljima , njihove baze nisu prirodni brojevi, pa su zapisane u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće u ovom ćemo trenutku pokazati razliku između unosa oblika (-2) 3 i -2 -2. Izraz (−2) 3 je snaga −2 s prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se zapisati kao - (2 3)) odgovara broju, vrijednosti snage 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka stupnja broja a s eksponentom n oblika a ^ n. Štoviše, ako je n višeznačni prirodni broj, tada se eksponent uzima u zagrade. Na primjer, 4 ^ 9 je još jedan zapis snage 4 9. I evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). U nastavku ćemo se uglavnom služiti oznakom stupnja oblika a n.

Jedan od zadataka, inverzan uzdizanju u stepen s prirodnim eksponentom, jest problem pronalaska baze stupnja iz poznate vrijednosti stupnja i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do.

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih brojeva i razlomljenih brojeva, i to svakog razlomljeni broj mogu se predstaviti kao pozitivni ili negativni uobičajena frakcija... Stoga smo u prethodnom odlomku definirali stupanj s cijelim brojem kako bismo dovršili definiciju stupnja s racionalni pokazatelj, potrebno je dati značenje potencijalu broja a s razlomljenim eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodni broj. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s razlomljenim eksponentom oblika. Da bi svojstvo stupnja do stupnja vrijedilo, mora se ispuniti jednakost ... Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i način na koji smo je odredili, onda je logično prihvatiti, pod uvjetom da za zadane m, n i a izraz ima smisla.

Lako je to provjeriti za sva svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku o svojstvima stupnja s racionalnim eksponentom).

Gornje obrazloženje omogućuje nam sljedeće. izlaz: ako za zadane m, n i a izraz ima smisla, tada se snaga broja a s razlomljenim eksponentom m / n naziva n-tim korijenom a iz snage m.

Ova nas je izjava vrlo blizu određivanju stupnja s razlomljenim eksponentom. Ostaje samo opisati za koje m, n i a izraz ima smisla. Postoje dva glavna pristupa, ovisno o ograničenjima na m, n i a.

Najlakši je način ograničiti a prihvaćajući a≥0 za pozitivan m i a\u003e 0 za negativni m (jer za m≤0 stupanj 0 m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju razlomljenog eksponenta.

Definicija.

Snaga pozitivnog broja a s razlomljenim eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodni broj, naziva se n-tim korijenom broja a u moć m, tj.

Djelomična snaga nule također se određuje s tim da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Snaga nule s pozitivnim frakcijskim eksponentom m / n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodni broj, definira se kao .
Kada stupanj nije određen, odnosno stupanj broja nula s razlomljenim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da s takvom definicijom stupnja s razlomljenim eksponentom postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n izraz ima smisla, a mi smo te slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, ima smisla pisati ili, a gore navedena definicija prisiljava nas da kažemo da su stupnjevi s razlomljenim eksponentom oblika nemaju smisla, jer baza ne bi trebala biti negativna.

Sljedeći pristup određivanju eksponenta s razlomljenim eksponentom m / n jest razmatranje odvojenih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: stupanj broja a, čiji je pokazatelj, smatra se snagom broja a, čiji je pokazatelj odgovarajuća nesvodiva frakcija (važnost ovog stanja bit će objašnjena u nastavku). Odnosno, ako je m / n nesvodivi razlomak, tada je za bilo koji prirodni broj k stupanj preliminarno zamijenjen sa.

Za parno n i pozitivno m izraz ima smisla za bilo koji negativan a (paran korijen negativnog broja nema smisla), za negativni m broj a i dalje mora biti nula (inače će postojati dijeljenje s nulom ). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stupnja definiran je za bilo koji stvarni broj), a za negativni m, broj a mora biti nula (tako da nema podjele s nulom) .

Gornje obrazloženje vodi nas do takve definicije stupnja s razlomljenim eksponentom.

Definicija.

Neka je m / n nesvodivi razlomak, m cijeli broj i n prirodni broj. Za bilo koji djelić koji se može poništiti, eksponent se zamjenjuje sa. Snaga broja s nesvodivim frakcijskim eksponentom m / n je za

Objasnimo zašto je stupanj s reduciranim razlomljenim eksponentom prethodno zamijenjen stupnjem s nesvodivim eksponentom. Ako bismo jednostavno definirali stupanj kao i ne bismo rezervirali nesvodivost razlomka m / n, tada bismo se suočili sa situacijama sličnim sljedećim: budući da je 6/10 \u003d 3/5, tada bi trebala vrijediti jednakost ali , i.

Nakon što je utvrđen stupanj broja, logično je razgovarati o tome svojstva stupnja... U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva stupnja broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze o svim svojstvima stupnja, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva primjenjuju u rješavanju primjera.

Navigacija po stranici.

Svojstva prirodnih eksponenata

Prema definiciji stupnja s prirodnim eksponentom, stupanj a n produkt je n čimbenika, od kojih je svaki jednak a. Na temelju ove definicije, kao i korištenja stvarna svojstva množenja, možete dobiti i obrazložiti sljedeće prirodna eksponentna svojstva:

glavno svojstvo stupnja a m · a n \u003d a m + n, njegovo uopćavanje;
svojstvo privatnih stupnjeva s istim osnovama a m: a n \u003d a m - n;
svojstvo stupnja proizvoda (a b) n \u003d a n b n, njegovo proširenje;
privatno vlasništvo u prirodni stupanj (a: b) n \u003d a n: b n;
podizanje potencijala u stepen (a m) n \u003d a mn, njegovo generaliziranje (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 n 2 ... n k;
uspoređivanje stupnja s nulom:
- ako je a\u003e 0, tada je n\u003e 0 za bilo koji prirodni n;
- ako je a \u003d 0, tada je a n \u003d 0;
- ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako je a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
ako su a i b pozitivni brojevi i a
ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m\u003e n, tada je za 0 0 nejednakost a m\u003e a n je istinita.

Odmah primijetite da su sve zapisane jednakosti identičan podliježu navedenim uvjetima, a njihovi se desni i lijevi dijelovi mogu zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m a n \u003d a m + n za pojednostavljenje izraza često se koristi kao m + n \u003d a m a n.

Pogledajmo sada svaku od njih detaljno.

Krenimo od svojstva proizvoda od dva stupnja s istim bazama, koje se naziva glavno svojstvo stupnja: za bilo koji stvarni broj a i bilo koji prirodni broj m i n vrijedi jednakost a m · a n \u003d a m + n.

Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Definicijom stupnja s prirodnim eksponentom, umnožak stupnjeva s istim osnovama oblika a m · a n može se zapisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, rezultirajući izraz možemo zapisati kao , a ovaj je proizvod snaga broja a s prirodnim eksponentom m + n, to jest a m + n. Time je dokaz završen.

Dajmo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim osnovama 2 i prirodne stupnjeve 2 i 3, prema glavnom svojstvu stupnja možemo zapisati jednakost 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Provjerimo njegovu valjanost, za koju izračunavamo vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5. Pojačavanje, imamo 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 i 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, budući da se dobivaju jednake vrijednosti, jednakost 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 je istinita i ona potvrđuje glavno svojstvo stupnja.

Glavno svojstvo stupnja na temelju svojstava množenja može se generalizirati na umnožak tri ili više stupnjeva s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, ..., n k jednakost a n 1 a n 2… a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k.

Na primjer, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 \u003d (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Možete prijeći na sljedeće svojstvo stupnjeva s prirodnim eksponentom - svojstvo privatnih stupnjeva s istim osnovama: za bilo koji nula stvarni broj a i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m\u003e n vrijedi jednakost a m: a n \u003d a m - n.

Prije dokazivanja ovog svojstva, razgovarajmo o značenju dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a ≠ 0 potreban je kako bi se izbjeglo dijeljenje s nulom, budući da je 0 n \u003d 0, a kad smo se upoznali s dijeljenjem, složili smo se da se ne može dijeliti s nulom. Uveden je uvjet m\u003e n tako da ne izlazimo dalje od prirodnih eksponenata. Zapravo, za m\u003e n je eksponent a m - n prirodni broj, inače će biti ili nula (što se događa za m - n), ili negativan broj (što se događa kada m
Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam zapisivanje jednakosti a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m... Iz dobivene jednakosti a m - n · a n \u003d a m i iz toga proizlazi da je m - n količnik potencijala a m i a n. To dokazuje svojstvo privatnih stupnjeva s istim osnovama.

Dajmo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, razmatrano svojstvo stupnja odgovara jednakosti π 5: π 2 \u003d π 5−3 \u003d π 3.

Sad razmislite svojstvo stupnja proizvoda: prirodni stupanj n umnoška bilo koja dva stvarna broja a i b jednak je umnošku potencija a i b n, to jest, (a b) n \u003d a n b n.

Zapravo, prema definiciji stupnja s prirodnim eksponentom, imamo ... Posljednji proizvod, temeljen na svojstvima množenja, može se prepisati kao , što je jednako a n · b n.

Dajmo primjer: .

Ovo se svojstvo odnosi na stupanj umnoška tri ili više čimbenika. Odnosno, svojstvo prirodnog stupnja n umnoška k faktora zapisano je kao (a 1 a 2 ... a k) n \u003d a 1 n a 2 n ... a k n.

Radi jasnoće, ovo ćemo svojstvo pokazati na primjeru. Za umnožak tri čimbenika u moć 7 imamo.

Sljedeće je svojstvo privatno vlasništvo u naturi: količnik realnih brojeva a i b, b ≠ 0 u prirodnoj moći n jednak je količniku potencijala a n i b n, odnosno (a: b) n \u003d a n: b n.

Dokazivanje se može izvršiti pomoću prethodnog svojstva. Tako (a: b) n b n \u003d ((a: b) b) n \u003d a n, a iz jednakosti (a: b) n · b n \u003d a n proizlazi da je (a: b) n količnik dijeljenja a n s b n.

Napišimo ovo svojstvo na primjeru određenih brojeva: .

Sad ćemo zvučati svojstvo potenciranja: za bilo koji stvarni broj a i bilo koji prirodni broj m i n, stupanj a m do snage n jednak je moći broja a s eksponentom m · n, to jest, (a m) n \u003d a m · n.

Na primjer, (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6.

Dokaz svojstva stupnja do stupnja je sljedeći lanac jednakosti: .

Razmatrano svojstvo može se proširiti na stupanj na stupanj na stupanj, itd. Na primjer, za bilo koji prirodni broj p, q, r i s jednakost ... Radi jasnoće, evo primjera s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Preostaje zadržati se na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom.

Počnimo s dokazivanjem svojstva uspoređivanja nule i stupnja s prirodnim eksponentom.

Prvo, dokažimo da je a n\u003e 0 za bilo koji a\u003e 0.

Umnožak dva pozitivna broja pozitivan je broj, što slijedi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja omogućuju tvrdnju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva biti i pozitivan broj. A stupanj broja a s prirodnim eksponentom n po definiciji je umnožak n čimbenika, od kojih je svaki jednak a. Ti nam argumenti omogućuju tvrdnju da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Zahvaljujući dokazanom svojstvu 3 5\u003e 0, (0,00201) 2\u003e 0 i .

Sasvim je očito da je za bilo koji prirodni n za a \u003d 0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n \u003d 0 · 0 ·… · 0 \u003d 0. Na primjer, 0 3 \u003d 0 i 0 762 \u003d 0.

Prelazimo na negativne osnove stupnja.

Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2 · m, gdje je m prirodni broj. Zatim ... Za svaki od proizvoda oblika a · a jednak je umnošku apsolutnih vrijednosti brojeva a i a, što znači da je to pozitivan broj. Prema tome, proizvod a stupanj a 2 m. Evo nekoliko primjera: (−6) 4\u003e 0, (−2,2) 12\u003e 0 i.

Konačno, kada je baza eksponenta a negativna, a eksponent neparan broj 2 m - 1, tada ... Svi proizvodi a · a pozitivni su brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva također je pozitivan, a pomnoženjem s preostalim negativnim brojem a nastaje negativan broj. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Okrećemo se svojstvu uspoređivanja stupnjeva s istim prirodnim pokazateljima, koje ima sljedeću formulaciju: od dva stupnja s istim prirodnim pokazateljima, n je manje od onoga čija je baza manja, a veći je onaj čija je baza veća . Dokažimo to.

Nejednakost a n svojstva nejednakosti dokazana nejednakost oblika a n .

Preostalo je dokazati posljednje od navedenih svojstava stupnjeva prirodnim eksponentima. Ajmo to formulirati. Od dva stupnja s prirodnim pokazateljima i istim pozitivnim osnovama, manjim od jednog, veći je stupanj čiji je pokazatelj manji; a od dva stupnja s prirodnim pokazateljima i istim bazama, veći od jednog, veći je stupanj čiji je pokazatelj veći. Prelazimo na dokaz o ovom svojstvu.

Dokažimo da je za m\u003e n i 0 0 na osnovu početnog uvjeta m\u003e n, odakle slijedi da je za 0
Preostaje dokazivanje drugog dijela imovine. Dokažimo da vrijedi a m\u003e a n za m\u003e n i a\u003e 1. Razlika a m - a n, nakon stavljanja n u zagrade, poprima oblik a n · (a m - n - 1). Ovaj je proizvod pozitivan, jer je za a\u003e 1 stupanj an pozitivan broj, a razlika am - n −1 pozitivan broj, budući da je m - n\u003e 0 zbog početnog stanja, a za a\u003e 1, stupanj am - n je veći od jednog ... Prema tome, a m - a n\u003e 0 i a m\u003e a n, prema potrebi. To svojstvo ilustrira nejednakost 3 7\u003e 3 2.

Svojstva stupnjeva s cjelobrojnim eksponentima
Budući da su pozitivni cijeli brojevi prirodni brojevi, sva svojstva stupnjeva s pozitivnim cjelobrojnim eksponentima točno se podudaraju sa svojstvima stupnjeva s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odjeljku.

Stupanj s negativnim cjelobrojnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, utvrdili smo tako da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima, izražena jednakostima, ostanu istinita. Stoga sva ta svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, osnove eksponenata nula.

Dakle, za bilo koji stvarni i nula broj a i b, kao i sve cjelobrojne brojeve m i n, vrijede sljedeće svojstva potencijala s cjelobrojnim eksponentima:

a m a n \u003d a m + n;

a m: a n \u003d a m - n;

(a b) n \u003d a n b n;

(a: b) n \u003d a n: b n;

(a m) n \u003d a m n;

ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b −n;

ako su m i n cjelobrojni brojevi i m\u003e n, tada je na 0 1 vrijedi nejednakost a m\u003e a n.

Za a \u003d 0, stupnjevi a m i a n imaju smisla samo kad su i m i n pozitivni cijeli brojevi, to jest prirodni brojevi. Dakle, upravo zapisana svojstva vrijede i za slučajeve kada je a \u003d 0, a brojevi m i n pozitivni cijeli brojevi.

Nije teško dokazati svako od ovih svojstava, jer je dovoljno koristiti definicije stupnja s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva djelovanja sa stvarnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo stupnja do stupnja vrijedi i za pozitivne cijele i za pozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, potrebno je pokazati da ako su p nula ili prirodni broj, a q nula ili prirodni broj, tada su jednakosti (ap) q \u003d ap q, (a - p) q \u003d a (−p) q, (ap) −q \u003d ap (−q) i (a −p) −q \u003d a (−p) (−q)... Učinimo to.

Za pozitivne p i q jednakost (a p) q \u003d a p q dokazana je u prethodnom pododjeljku. Ako je p \u003d 0, tada imamo (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 i a 0 q \u003d a 0 \u003d 1, odakle (a 0) q \u003d a 0 q. Slično tome, ako je q \u003d 0, tada je (a p) 0 \u003d 1 i a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1, odakle (a p) 0 \u003d a p · 0. Ako su i p \u003d 0 i q \u003d 0, tada je (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 i a 0 0 \u003d a 0 \u003d 1, odakle (a 0) 0 \u003d a 0 0.

Dokažimo sada da je (a - p) q \u003d a (- p) q. Prema definiciji stupnja s cjelobrojnim negativnim eksponentom ... Svojstvom količnika na snazi \u200b\u200bimamo ... Budući da je 1 p \u003d 1 · 1 ·… · 1 \u003d 1 i, onda. Posljednji izraz, po definiciji, je stepen oblika a - (p q), koji se zbog pravila množenja može zapisati kao (−p) q.

Također .

I .

Po istom principu moguće je dokazati sva ostala svojstva stupnja cjelobrojnim eksponentom, zapisanim u obliku jednakosti.

Pretposljednjeg od napisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a - n\u003e b - n, koji vrijedi za bilo koji negativni cijeli broj −n i bilo koji pozitivni a i b za koje je uvjet ... Budući da je po uvjetu a 0. Umnožak a n · b n je također pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n. Tada je rezultirajući razlomak pozitivan kao količnik pozitivnih brojeva b n - a n i a n · b n. Dakle, odakle a - n\u003e b - n, prema potrebi.

Posljednje svojstvo stupnjeva s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao i analogno svojstvo stupnjeva s prirodnim eksponentima.

Svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentima

Odredili smo stupanj s razlomljenim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cijelim eksponentom. Drugim riječima, razlomljeni eksponenti imaju ista svojstva kao i cjelobrojni eksponenti. Naime:

Dokaz svojstava stupnjeva s razlomljenim eksponentima temelji se na definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, na i na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Evo dokaza.

Prema definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, a zatim ... Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da napišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo, odakle, prema definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, imamo , a eksponent dobivenog stupnja može se transformirati na sljedeći način :. Time je dokaz završen.

Drugo svojstvo stupnjeva s razlomljenim eksponentima dokazuje se na potpuno isti način:

Ostale jednakosti dokazuju se sličnim načelima:

Prelazimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koji pozitivni a i b, a b str. Racionalni broj p zapisujemo kao m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodni broj. Uvjeti str<0 и p>0 u ovom slučaju, uvjeti m<0 и m>0 odnosno. Za m\u003e 0 i a
Slično tome, za m<0 имеем a m >b m, odakle, odnosno a p\u003e b p.

Preostalo je dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da je za racionalne brojeve p i q p\u003e q za 0 0 - nejednakost a p\u003e a q. Uvijek možemo racionalne brojeve p i q dovesti na zajednički nazivnik, uzmimo obične razlomke i, gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n je prirodno. U tom će slučaju uvjet p\u003e q odgovarati stanju m 1\u003e m 2, što proizlazi iz. Zatim, svojstvom usporedbe stupnjeva s istim bazama i prirodnim eksponentima na 0 1 - nejednakost a m 1\u003e a m 2. Te se nejednakosti u pogledu svojstava korijena mogu prema tome prepisati kao i ... A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje vam da prijeđete na nejednakosti i u skladu s tim Stoga izvlačimo konačni zaključak: za p\u003e q i 0 0 - nejednakost a p\u003e a q.

Svojstva stupnjeva s iracionalnim eksponentima

Iz kako je definiran stupanj s iracionalnim eksponentom, možemo zaključiti da on ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. Dakle, za bilo koji a\u003e 0, b\u003e 0 i iracionalne brojeve p i q vrijede sljedeće: svojstva stupnjeva s iracionalnim eksponentima:

a p a q \u003d a p + q;

a p: a q \u003d a p - q;

(a b) p \u003d a p b p;

(a: b) p \u003d a p: b p;

(a p) q \u003d a p q;

za bilo koji pozitivan broj a i b, a 0 nejednakost a str b p;

za iracionalne brojeve p i q, p\u003e q na 0 0 - nejednakost a p\u003e a q.

Stoga možemo zaključiti da stupnjevi s bilo kojim realnim eksponentima p i q za a\u003e 0 imaju ista svojstva.

Popis referenci.

Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik MatematikaZh za 5. razred. obrazovne ustanove.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i početak analize: Udžbenik za 10 - 11 razrede obrazovnih institucija.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (vodič za pristupnike tehničkim školama).

DIO II. POGLAVLJE 6
BROJ SEKVENCIJA

Pojam stupnja s iracionalnim eksponentom

Neka je a pozitivan broj, a a iracionalan.
Kakvo značenje treba dati izrazu a *?
Da bi prezentacija bila opisnija, provest ćemo je privatno
primjer. Naime, stavili smo a - 2 i a \u003d 1. 624121121112. ... ... ...
Ovdje je a beskonačni decimalni razlomak koji se temelji na takvom
zakon: počevši od četvrte decimale, za sliku a
koriste se samo znamenke 1 i 2, a broj znamenki je 1,
zabilježeno u nizu prije broja 2, sve vrijeme se povećava za
jedan. Razlomak a nije periodičan, jer je u suprotnom broj znamenki 1,
zabilježeni u nizu na njegovoj slici bili bi ograničeni.
Prema tome, a je iracionalan broj.
Dakle, koje značenje treba dati izrazu
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, sastavimo nizove vrijednosti
a s nedostatkom i suviškom s točnošću od (0,1) *. Dobivamo
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Sastavimo odgovarajuće nizove potencijala broja 2:
2M. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Vu 21,6 Š; ... (četiri)
Slijed (3) se povećava kako se niz slijedi
(1) (Teorem 2 § 6).
Niz (4) se smanjuje jer se niz smanjuje
(2).
Svaki član niza (3) manji je od svakog člana niza
(4), pa je stoga niz (3) ograničen
odozgo, a niz (4) je ograničen odozdo.
Na temelju teorema o monotono ograničenom nizu
svaka od sekvenci (3) i (4) ima ograničenje. Ako je a

384 Pojam stupnja s iracionalnim eksponentom . .

sada se ispostavlja da razlika sekvenci (4) i (3) konvergira
na nulu, tada će iz toga slijediti da su oba slijeda,
imaju zajedničku granicu.
Razlika između prvih članaka nizova (3) i (4)
21-7 - 21 '* \u003d 2 |, u (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Razlika u drugim pojmovima
21'63 - 21,62 \u003d 21,62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Razlika n-tih pojmova
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Na temelju teorema 3 § 6
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
Dakle, nizovi (3) i (4) imaju zajedničku granicu. Ovaj
limit je jedini stvarni broj koji je veći od
svih članova niza (3) i manje od svih članova niza
(4), te je poželjno uzeti u obzir točnu vrijednost 2 *.
Iz rečenog proizlazi da je općenito preporučljivo prihvatiti
sljedeća definicija:
Definicija. Ako je a\u003e 1, tada je stupanj a s iracionalnim
eksponent a je takav stvaran broj,
koji je veći od svih potencijala ovog broja čiji su eksponenti
racionalne aproksimacije a s nedostatkom i manjim od svih stupnjeva
ovog broja čiji su eksponenti racionalne aproksimacije i sa
višak.
Ako je a<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
naziva se stvarnim brojem koji je veći od svih potencijala
ovog broja, čiji su eksponenti racionalne aproksimacije a
s viškom, a manjim od svih potencijala ovog broja, čiji su eksponenti
- racionalne aproksimacije i s nedostatkom.
Ako je a-1, tada je njegov stupanj s iracionalnim eksponentom a
je 1.
Koristeći koncept ograničenja, ova se definicija može formulirati
Tako:
Moć pozitivnog broja s iracionalnim eksponentom
a je granica kojoj teži niz
racionalne moći ovog broja, pod uvjetom da slijed
eksponenti tih stupnjeva teže ka a, t.j.
aa \u003d lim aH
B - *
13 D, K. Fatshcheev, I. S. Sominsky

U okviru ovog materijala analizirat ćemo koliki je stupanj broja. Uz osnovne definicije, formulirat ćemo koji su stupnjevi s prirodnim, cjelovitim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti bit će ilustrirani primjerima zadataka.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prvo, formuliramo osnovnu definiciju stupnja s prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo se sjetiti osnovnih pravila množenja. Pojasnimo unaprijed da ćemo zasad kao bazu uzeti stvarni broj (označiti ga slovom a), a kao pokazatelj - prirodni broj (označiti ga slovom n).
Definicija 1
Snaga broja a s prirodnim eksponentom n umnožava se n -tog broja čimbenika, od kojih je svaki jednak broju a. Stupanj je napisan ovako: a n, a u obliku formule, njegov sastav može se predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a osnova a, tada se prva snaga a zapisuje kao a 1... S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo to zaključiti a 1 \u003d a.

Općenito, možemo reći da je diploma prikladan oblik pisanja velikog broja jednakih čimbenika. Dakle, unos obrasca 8 8 8 8 može se svesti na 8 4 ... Otprilike na isti način, proizvod nam pomaže da izbjegnemo pisanje velikog broja pojmova (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 · 4); to smo već analizirali u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako se može ispravno pročitati zapis o stupnju? Općenito je prihvaćena opcija "a prema moći n". Ili možete reći "n-ti stupanj" ili "n-ti stupanj". Ako, recimo, primjer sadrži unos 8 12 , možemo pročitati "8 do 12. stupnja", "8 do 12. stupnja" ili "12. stupnja do 8.".

Drugi i treći stepen broja imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stupanj, na primjer, broj 7 (7 2), tada možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično se treći stupanj čita ovako: 5 3 Je li "kocka broja 5" ili "5 u kocki". Međutim, također je moguće koristiti standardnu \u200b\u200bformulaciju "u drugom / trećem stupnju", to neće biti pogreška.
Primjer 1
Analizirajmo primjer stupnja s prirodnim pokazateljem: za 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti pokazatelj.

Osnova ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza je razlomak 4, 32, a eksponent devet. Obratite pažnju na zagrade: takav se unos vrši za sve stupnjeve čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunu. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 i − 2 3 ... Prvi od njih znači negativan broj minus dva, podignut u stepen s prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stupnja 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji pravopis stupnja broja - a ^ n (gdje je a osnova, a n eksponent). Odnosno, 4 ^ 9 je isto što i 4 9 ... Ako je n višeznamenkasti broj, stavlja se u zagrade. Na primjer, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ali koristit ćemo notaciju a nkao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost stupnja s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. O tome smo napisali više u drugom članku.

Koncept stupnja suprotan je drugom matematičkom konceptu - korijenu broja. Ako znamo vrijednost stupnja i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva korisna za rješavanje problema o kojima smo govorili u zasebnom materijalu.

U eksponentima ne mogu stajati samo prirodni brojevi, već općenito sve cjelobrojne vrijednosti, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.
Definicija 2
Snaga broja s pozitivnim cjelobrojnim eksponentom može se prikazati kao formula: .

Štoviše, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Bavimo se konceptom nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo količnika za stupnjeve s jednakim osnovama. Formulirano je kako slijedi:
Definicija 3
Jednakost a m: a n \u003d a m - n bit će istinita pod uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Posljednji je uvjet važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, tada ćemo dobiti sljedeći rezultat: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

Ali istodobno je a n: a n \u003d 1 količnik jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulti stupanj bilo kojeg nula broja jednak jedinici.

Međutim, takav se dokaz ne odnosi na nulu do nula stupnjeva. Za to nam treba još jedno svojstvo stupnjeva - svojstvo proizvoda stupnjeva s jednakim bazama. Izgleda ovako: a m a n \u003d a m + n .

Ako imamo n jednako 0, onda a m a 0 \u003d a m (ova nam jednakost također dokazuje da a 0 \u003d 1). Ali ako je i a jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m 0 0 \u003d 0 m, To će vrijediti za bilo koju prirodnu vrijednost n i nije važno koja je točno vrijednost stupnja 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na vjernost jednakosti. Prema tome, zapis oblika 0 0 nema posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji je to lako provjeriti a 0 \u003d 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n \u003d a m n s tim da baza stupnja nije nula. Dakle, stupanj bilo kojeg nultog broja s nultim eksponentom jednak je jedinici.
Primjer 2
Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1 i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja ostaje nam da shvatimo koliki je negativni stupanj. Da bismo to učinili, treba nam isto svojstvo umnoška stupnjeva s jednakim bazama, koje smo već upotrijebili: a m · a n \u003d a m + n.

Uvedimo uvjet: m \u003d - n, tada a ne bi trebao biti jednak nuli. Iz toga slijedi a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... Ispada da a n i a - n imamo međusobno obrnute brojeve.

Kao rezultat, a na cjelobrojni negativni stepen nije ništa drugo do razlomak 1 a n.

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom sva ista svojstva vrijede kao stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije nula).
Primjer 3
Snaga a s negativnim cijelim brojem n može se predstaviti kao razlomak 1 a n. Dakle, a - n \u003d 1 a n pod uvjetom a ≠ 0 a n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu misao na konkretnim primjerima:
Primjer 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U posljednjem dijelu odlomka pokušat ćemo jasno prikazati sve rečeno u jednoj formuli:
Definicija 4
Moć broja a s prirodnim eksponentom z je: az \u003d az, e s l i z - cijeli broj pozitivan 1, z \u003d 0 i a ≠ 0, (za i z \u003d 0 i a \u003d 0, dobivamo 0 0, vrijednosti potenciranja su 0 0, a ne DEFINICIJE) 1 az, ako je i z cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z cijeli broj i a \u003d 0 daje 0 z, ego z n u n n e n d e d e t e)

Koji su racionalni eksponentni stupnjevi

Analizirali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, broj također možete podići u stepen kada u njegovom eksponentu postoji razlomljeni broj. To se naziva racionalni eksponentni stupanj. U ovom ćemo pododjeljku dokazati da ima ista svojstva kao i ostali stupnjevi.

Što su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele i razlomljene brojeve, dok se razlomljeni brojevi mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formulirajmo definiciju stupnja broja a s razlomljenim eksponentom m / n, gdje je n prirodni broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomljenim eksponentom a m n. Da bi svojstvo stupnja do stupnja bilo zadovoljeno mora biti istina jednakost a m n n \u003d a m n · n \u003d a m.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n \u003d a m, možemo prihvatiti uvjet a m n \u003d a m n ako a m n ima smisla za zadane vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će točna pod uvjetom da je m n \u003d a m n.

Glavni zaključak iz našeg obrazloženja je sljedeći: snaga nekog broja a s razlomljenim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a iz snage m. To je točno ako za zadane vrijednosti m, n i a izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost osnove stupnja: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - strogo manje (budući da je za m ≤ 0 dobiti 0 m, ali ovaj stupanj nije definiran). U ovom će slučaju definicija stupnja s razlomljenim eksponentom izgledati ovako:

Moć s razlomljenim eksponentom m / n za neki pozitivan broj a n-ti je korijen uzdignute u snagu m. U obliku formule, to se može prikazati na sljedeći način:

Za stupanj s nultom bazom ovaj je položaj također prikladan, ali samo ako je njegov eksponent pozitivan broj.

Stupanj s osnovnom nulom i razlomljenim pozitivnim eksponentom m / n može se izraziti kao

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 pod uvjetom pozitivnog cijelog broja m i prirodnog n.

S negativnim omjerom m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zabilježimo jednu točku. Otkad smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, tada smo neke slučajeve izbacili.

Izraz a m n ponekad ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, točni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je razmatranje odvojeno korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Tada moramo uvesti još jedan uvjet: snaga a, u čijem eksponentu postoji obični razlomak koji se može poništiti, smatra se snagom a, u čijem eksponentu postoji odgovarajući nesvodivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m k n k, tada ga možemo smanjiti na m m i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan i m pozitivan, a je bilo koji negativan broj, tada m n ima smisla. Uvjet za nenegativno a nužan je, jer se ne vadi paran korijen negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti negativna ili nula, budući da iz bilo kojeg realnog broja može se izvući neparan korijen.

Kombinirajmo sve podatke iznad definicije u jedan zapis:

Ovdje m / n znači nesvodivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n bilo koji prirodni broj.
Definicija 5
Za bilo koji uobičajeni razlomak koji se može poništiti m · k n · k, eksponent se može zamijeniti s m n.

Snaga broja a s nesvodivim razlomljenim eksponentom m / n - može se izraziti kao m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koju stvarnu a, pozitivne cjelobrojne vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

Za bilo koji nula stvarni a, negativni cijeli broj m i neparan n, na primjer, 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

Za bilo koji nenegativan a, pozitivni cijeli broj m, pa čak i n, na primjer, 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, cjelobrojni negativni m, pa čak i n, na primjer, 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,.

Za ostale vrijednosti frakcijski eksponent nije definiran. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Sad objasnimo važnost gore spomenutog stanja: zašto razlomak zamijeniti eksponentom koji se može poništiti razlomkom s nesvodljivim. Da to nismo učinili, tada bismo imali takve situacije, recimo, 6/10 \u003d 3/5. Tada mora biti točno (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, ali - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1, i (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

Definiciju stupnja s razlomljenim eksponentom, koju smo dali prvi, prikladnije je koristiti u praksi od druge, pa ćemo je i dalje koristiti.
Definicija 6
Dakle, stupanj pozitivnog broja a s razlomljenim eksponentom m / n definiran je kao 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. U slučaju negativnog a notacija a m n je besmislena. Snaga nule za pozitivne frakcijske eksponente m / n definira se kao 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, za negativne frakcijske eksponente ne određujemo stupanj nule.

U zaključcima napominjemo da bilo koji frakcijski pokazatelj možete napisati i kao mješoviti broj i kao decimalni razlomak: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Prilikom izračunavanja bolje je eksponent zamijeniti običnim razlomkom, a zatim koristiti definiciju eksponenta frakcijskim eksponentom. Za gornje primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su stupnjevi s iracionalnim i valjanim eksponentom

Koji su stvarni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli što je stupanj sa stvarnim pokazateljem, moramo definirati stupnjeve racionalnim i iracionalnim pokazateljima. Gore smo već spomenuli racionalne. Bavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.
Primjer 5
Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0, a 1, a 2 ,. ... ... ... Na primjer, uzmimo vrijednost a \u003d 1,67175331. ... ... zatim

a 0 \u003d 1,6, a 1 \u003d 1,67, a 2 \u003d 1,671 ,. ... ... , a 0 \u003d 1,67, a 1 \u003d 1,6717, a 2 \u003d 1,671753 ,. ... ...

Slijed aproksimacija možemo povezati sa nizom stupnjeva a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... ... Ako se prisjetimo onoga što smo ranije rekli o podizanju brojeva na racionalnu razinu, tada sami možemo izračunati vrijednosti tih potencijala.

Uzmimo za primjer a \u003d 3, tada je a a 0 \u003d 31,67, a a 1 \u003d 31,6717, a a 2 \u003d 31,671753 ,. ... ... itd.

Slijed stupnjeva može se svesti na broj koji će biti vrijednost stupnja s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom poput 3 1, 67175331. ... može se svesti na broj 6, 27.
Definicija 7
Stupanj pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a. Njegova vrijednost je granica niza a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , gdje su a 0, a 1, a 2 ,. ... ... su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom može se odrediti i za pozitivne iracionalne pokazatelje, dok je 0 a \u003d 0 Dakle, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. A za negativne se to ne može učiniti, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu snagu ostaje jedinica, na primjer, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednaki 1.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Stupanj s racionalnim pokazateljem, njegova svojstva.
Izraz a n definiran je za sve a i n, osim za slučaj a \u003d 0 za n≤0. Prisjetimo se svojstava takvih stupnjeva.

Za bilo koje brojeve a, b i sve cjelobrojne m i n vrijede sljedeće jednakosti:
A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Također bilježimo sljedeće svojstvo:

Ako je m\u003e n, tada je m\u003e a n za a\u003e 1 i a m<а n при 0<а<1.

U ovom pododjeljku generaliziramo pojam snage broja, dajući značenje izrazima poput 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 i tako dalje. U ovom je slučaju prirodno dati definiciju tako da stupnjevi s racionalnim eksponentima imaju ista svojstva (ili barem neka od njih) kao stupnjevi s cijelim eksponentom. Zatim, posebno, n-ti stepen broja treba biti jednako a m ... Doista, ako je imovina
(a p) q \u003d a pq

se izvršava, onda

Posljednja jednakost znači (prema definiciji n-tog korijena) da je broj mora biti n-ti korijen broja a m.

Definicija.

Stupanj broja a\u003e 0 s racionalnim eksponentom r \u003d, gdje je m cijeli broj, a n prirodni broj (n\u003e 1), jest broj

Dakle, po definiciji
(1)

Moć broja 0 definirana je samo za pozitivne eksponente; po definiciji 0 r \u003d 0 za bilo koji r\u003e 0.
Stupanj s iracionalnim pokazateljem.
Iracionalni brojmože se predstaviti kaogranica niza racionalnih brojeva: .
Neka bude. Tada postoje stupnjevi s racionalnim eksponentom. Može se pokazati da je slijed tih stupnjeva konvergentan. Pozvana je granica ovog niza stupanj s opravdanjem i iracionalni eksponent: .
Fiksiramo pozitivan broj a i dodijelimo svakom broju... Tako dobivamo numeričku funkciju f (x) \u003d a x definiran na skupu Q racionalnih brojeva i ima prethodno navedena svojstva. Za a \u003d 1, funkcija f (x) \u003d a x je konstanta od 1 x \u003d 1 za bilo koji racionalni x.

Nacrtajmo nekoliko točaka grafikona funkcije y \u003d 2 x predračun vrijednosti 2 x na segmentu [–2; 3] s korakom od 1/4 (slika 1, a), a zatim s korakom od 1/8 (slika 1, b). Nastavljajući mentalno iste konstrukcije s korakom od 1/16, 1/32 itd., vidimo da se rezultirajuće točke mogu povezati glatkom krivuljom, što je prirodno uzeti u obzir graf neke funkcije, definirane i povećane već na cijeloj brojevnoj liniji i uzimajući vrijednosti u racionalnim točkama (Slika 1, c). Izgradivši dovoljno veliki broj točke grafa funkcije, možemo se pobrinuti da i ova funkcija ima slična svojstva (razlika je u tome što funkcija smanjuje se za R).

Ova zapažanja sugeriraju da je brojeve 2 moguće definirati na ovaj način. α i za svaki iracionalni α takav da su funkcije definirane formulama y \u003d 2 x i bit će kontinuirana, a funkcija y \u003d 2 x povećava, a funkcija smanjuje se duž cijele brojevne crte.

Opišimo općenito kako broj a α za iracionalno α za a\u003e 1. Želimo postići da je funkcija y \u003d a x se povećavao. Tada za bilo koji racionalni r 1 i r 2 takvi da je r 1<α mora zadovoljiti nejednakosti a r 1<а α <а r 1 .

Odabir vrijednosti r 1 i r 2 približavajući se x, možemo vidjeti da odgovarajuće vrijednosti a r 1 i a r 2 malo će se razlikovati. Može se dokazati da postoji i, osim toga, samo jedan, broj y, koji je veći od svih a r 1 za sve racionalne r 1 a najmanje a r 2 za sve racionalne r 2 ... Ovaj je broj y po definiciji a α .

Na primjer, pomoću kalkulatora za izračunavanje vrijednosti 2 x u točkama x n i x` n, gdje su x n i x` n - decimalne aproksimacije broja otkrit ćemo da je bliže x n i x` n k , što je manja razlika 2 x n i 2 x` n.

Od tada

i stoga

Slično tome, uzimajući u obzir sljedeće decimalne aproksimacije nedostatkom i suviškom dolazimo do omjera
;

;

;

;

.

Vrijednost izračunato na kalkulatoru je kako slijedi:
.

Broj a α za 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 za bilo koji α i 0 α \u003d 0 za α\u003e 0.
Eksponencijalna funkcija.

Kada a > 0, a = 1, funkcija je definirana y \u003d a x osim konstantne. Ova se značajka naziva eksponencijalna funkcijas temeljema.

g\u003d a x na a> 1:

Grafikoni eksponencijalne funkcije s bazom 0< a < 1 и a \u003e 1 prikazani su na slici.

Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije g\u003d a x u 0< a < 1:
Domena funkcije je cijela brojevna crta.

Raspon funkcija - raspon (0; + ) .

Funkcija se strogo monotono povećava na cijeloj brojevnoj liniji, odnosno ako x 1 < x 2, dakle a x 1 \u003e a x 2 .

Kada x \u003d 0, vrijednost funkcije je 1.

Ako je a x\u003e 0, pa 0< a < 1 i ako x < 0, то a x > 1.
DO opća svojstva eksponencijalna funkcija kao za 0< a < 1, так и при a\u003e 1 uključuju:
a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, za sve x 1 i x 2.

a - x= ( a x) − 1 = 1 ax za bilo koga x.

na x= a

Čitati:

Postupak za registraciju donacije za stan ili udjela u njemu od javnog bilježnika Može postojati jedna dionica ili Je li popust na porez na vozila prihvatljiv ako je automobil registriran kod umirovljenika? Mirovina za štetne radne uvjete Pravila prijevremene mirovine za nezaposlene građane Kako saznati iznos alimentacijskog duga?