U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli stupanj broja. Danas ćemo pokušati navigirati u procesu pronalaženja njegovog značenja. Znanstveno govoreći, shvatit ćemo kako pravilno eksponirati. Razumjet ćemo kako se taj proces provodi, dotičući se istovremeno svih mogućih eksponenata: prirodnih, iracionalnih, racionalnih, cjelovitih.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

1. Definicija pojma.
2. Uzdizanje do negativne umjetnosti.
3. Cjelobrojni indikator.
4. Podizanje broja do iracionalni stupanj.

Evo definicije koja točno odražava značenje: "Podizanje na stepen je definicija vrijednosti stupnja broja."

Sukladno tome, konstrukcija broja a u čl. r i proces pronalaženja vrijednosti stupnja a s eksponentom r identični su pojmovi. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost stupnja (0,6) 6 ″, onda se može pojednostaviti na izraz "Podignite broj 0,6 na stepen 6".

Nakon toga možete nastaviti izravno na pravila izgradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, obratite pažnju na sljedeći lanac izraza:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 u minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 u minus 2 koraka.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stupnja.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 na bilo koju negativnu snagu. U tu svrhu dovoljno je jednostavno pomaknuti decimalnu komponentu:

• 10 do -1 stupanj - prije jedinice 1 nula;
• u -3 - tri nule prije jedan;
• -9 je 9 nula i tako dalje.

Također je lako razumjeti prema ovoj shemi koliko će biti 10 minus 5 žlica. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodni stepen

Podsjećajući na definiciju, uzimamo u obzir da prirodni broj a u čl. n je jednako umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrirajmo: (a * a * ... a) n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Sukladno tome, da bi se a podiglo na n, potrebno je izračunati umnožak sljedećeg oblika: a * a * ... i podijeliti s n puta.

Odavde postaje očito da erekcija u prirodnoj umjetnosti. oslanja se na sposobnost obavljanja množenja(ovo je gradivo obrađeno u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Podignite -2 do 4. žlice.

Imamo posla s prirodnim pokazateljem. Sukladno tome, tijek odluke bit će sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada ostaje samo izvršiti množenje cijelih brojeva: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Dobivamo 16.

Odgovor na zadatak:

(-2) u čl. 4=16.

Primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zareze dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer jednak je sljedećem umnošku: tri boda dva sedme puta tri boda dva sedme. Sjećajući se kako se provodi množenje mješovitih brojeva, dovršavamo konstrukciju:

• 3 cijele 2 sedme pomnožene same po sebi;
• jednako 23 sedmine puta 23 sedmine;
• iznosi 529 četrdeset devetina;
• smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetina.

Odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni pokazatelj, treba napomenuti da se izračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stupnja na neki rang, što bi omogućilo dobivanje vrijednosti s zadanim točnost. Na primjer, trebamo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo sa zaokruživanjem P na stotinke i dobivamo:

P na kvadrat = (3,14) 2 = 9,8596. Međutim, ako P svedemo na desettisućinke, dobivamo P = 3,14159. Tada kvadriranje dobiva potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe podizati iracionalne brojeve na stepen. U pravilu se odgovor upisuje ili u obliku, zapravo, stupnja, na primjer, korijena 6 na stepen od 3, ili, ako izraz dopušta, provodi se njegova transformacija: korijen od 5 do 7 stupnjeva \u003d 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cijeli broj

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

• za cijele brojeve;
• za nulti indikator;
• za pozitivan cijeli broj.

Budući da se gotovo svi pozitivni cijeli brojevi podudaraju s masom prirodnih brojeva, postavljanje na pozitivni cijeli broj je isti postupak kao i postavljanje u čl. prirodnim. Ovaj proces smo opisali u prethodnom odlomku.

Sada razgovarajmo o izračunu čl. null. Gore smo već doznali da se nulta snaga broja a može odrediti za bilo koji ne-nula a (realan), dok a u sv. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, konstrukcija bilo kojeg realnog broja na nulu art. dat će jedan.

Na primjer, 10 u st.0=1, (-3,65)0=1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Kako bismo dovršili eksponencijaciju na cjelobrojni stepen, ostaje odlučiti o opcijama za negativne cjelobrojne vrijednosti. Sjećamo se da je čl. iz a s cjelobrojnim eksponentom -z će se definirati kao razlomak. U nazivniku razlomka je čl. s pozitivnom cjelobrojnom vrijednošću, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo razmotriti primjer izgradnje.

Primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 u kocki s cijelim brojem negativan pokazatelj.

Proces rješenja:

Prema definiciji stupnja s negativnim pokazateljem, označavamo: dva u minus 3 žlice. jednako jedan prema dva na treći stepen.

Nazivnik se izračunava jednostavno: dva kocka;

3 = 2*2*2=8.

Odgovor: dvije do minus 3. žlice. = jedna osmina.

U okviru ovog materijala analizirat ćemo što je stepen broja. Uz osnovne definicije, formulirati ćemo što su stupnjevi s prirodnim, cjelobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrirani primjerima zadataka.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprije formuliramo osnovnu definiciju stupnja s prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Unaprijed pojasnimo da ćemo za sada kao bazu uzeti realni broj (označimo ga slovom a), a kao pokazatelj - prirodni broj (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija a s prirodnim eksponentom n umnožak je n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stepen se piše ovako: a n, a u obliku formule, njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza je a, tada se prvi stepen a zapisuje kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je stupanj prikladan oblik pisanja velikog broja jednakih čimbenika. Dakle, zapis obrasca 8 8 8 8 može se svesti na 8 4 . Na isti način, rad nam pomaže izbjeći pisanje veliki broj pojmovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; o tome smo već raspravljali u članku o množenju prirodni brojevi.

Kako ispravno pročitati zapisnik o diplomi? Općeprihvaćena opcija je "a na stepen n". Ili možete reći "n-ti stepen a" ili "n-ti stepen". Ako, recimo, u primjeru postoji unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. stepen", "8 na stepen od 12" ili "12. stepen od 8".

Drugi i treći stupanj broja imaju svoje uvriježene nazive: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stepen, na primjer, broja 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stupanj se čita ovako: 5 3 je "kocka broja 5" ili "5 kockica". Međutim, također je moguće koristiti standardni izraz "u drugom / trećem stupnju", to neće biti pogreška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer diplome s prirodnim pokazateljem: for 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti indikator.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent devet. Obratite pozornost na zagrade: takav je zapis napravljen za sve stupnjeve čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 i − 2 3 . Prvi znači negativan broj minus dva podignuta na prirodni eksponent tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stupnja 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji pravopis stupnja broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Dakle 4^9 je isto kao 4 9 . Ako je n višeznamenkasti broj, stavlja se u zagrade. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali mi ćemo koristiti notaciju a n kao češći.

Kako izračunati vrijednost stupnja s prirodnim eksponentom lako je pogoditi iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n -ti broj puta. Više o tome pisali smo u drugom članku.

Koncept stupnja suprotan je drugom matematičkom konceptu - korijenu broja. Ako znamo vrijednost eksponenta i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema koje smo analizirali u zasebnom materijalu.

Eksponenti mogu sadržavati ne samo prirodne brojeve, već općenito bilo koje cjelobrojne vrijednosti, uključujući negativne one i nule, jer također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Stupanj broja s pozitivnim cijelim eksponentom može se prikazati kao formula: .

Štoviše, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Pozabavimo se konceptom nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije s jednakim bazama. Formulira se ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će istinit pod sljedećim uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Posljednji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, dobit ćemo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je kvocijent jednaki brojevi a n i a. Ispada da je nulti stupanj bilo kojeg broja različitog od nule jednak jedan.

Međutim, takav dokaz nije prikladan za nulu na nultu snagu. Da bismo to učinili, trebamo još jedno svojstvo potencija - svojstvo proizvoda potencija s jednakim bazama. izgleda ovako: a m a n = a m + n .

Ako je n 0, onda a m a 0 = a m(ova jednakost nam također dokazuje da a 0 = 1). Ali ako je i jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m 0 0 = 0 m, To će vrijediti za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije važno koja je točno vrijednost stupnja 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na valjanost jednakosti. Dakle, zapis obrasca 0 0 nema nikakvo posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n = a m n pod uvjetom da baza stupnja nije jednaka nuli. Dakle, stupanj bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednak je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja, ostaje nam odgonetnuti što je negativan stupanj. Da bismo to učinili, trebamo isto svojstvo umnoška potencija s jednakim bazama, koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Uvodimo uvjet: m = − n , tada a ne smije biti jednako nuli. Iz toga slijedi a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da a n i a-n imamo međusobno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativan cijeli broj nije ništa drugo nego razlomak 1 a n .

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s negativnim cjelobrojnim eksponentom vrijede sva ista svojstva koja ima stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a s negativnim cijelim brojem n može se predstaviti kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n pod uvjetom a ≠ 0 a n je bilo koji prirodan broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U posljednjem dijelu odlomka pokušat ćemo sve što je rečeno jasno opisati u jednoj formuli:

Definicija 4

Potencija a s prirodnim eksponentom z je: az = az, e sa z i z je pozitivan cijeli broj 1, z = 0 i a ≠ 0 , (ako je z = 0 i a = 0 dobivamo 0 0 , vrijednosti ​izraza 0 0 ne treba odrediti)   1 az , ako je z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobivamo 0 z, to je n d e n t i o n )

Što su stupnjevi s racionalnim eksponentom

Analizirali smo slučajeve kada je eksponent cijeli broj. Međutim, također možete podići broj na stepen kada je njegov eksponent razlomak. To se zove stupanj racionalni pokazatelj. U ovom pododjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i ostali potenci.

Što su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele brojeve i frakcijski brojevi, dok se razlomci mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formuliramo definiciju stupnja broja a s razlomkom eksponenta m / n, gdje je n prirodni broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomnim eksponentom a m n . Da bi svojstvo moći vrijedilo u stupnju, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti istinita.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m , možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za dane vrijednosti m , n i a .

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će istinita pod uvjetom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: stupanj nekog broja a s razlomnim eksponentom m / n korijen je n-tog stupnja od broja a do stepena m. To je točno ako, za dane vrijednosti m, n i a, izraz a m n ima smisla.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzmimo a, koji će za pozitivne vrijednosti m biti veći ili jednak 0, a za negativne vrijednosti će biti strogo manji (budući da za m ≤ 0 dobivamo 0 m, ali taj stupanj nije definiran). U ovom slučaju, definicija stupnja s frakcijskim eksponentom izgledat će ovako:

Razlomak eksponenta m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na m stepen. U obliku formule to se može predstaviti na sljedeći način:

Za stupanj s nultom bazom, ova je odredba također prikladna, ali samo ako je njegov eksponent pozitivan broj.

Potencija s bazom nula i pozitivnim frakcijskim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom pozitivnog cijelog broja m i prirodnog n .

S negativnim omjerom m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Napomenimo jednu točku. Budući da smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, neke smo slučajeve odbacili.

Izraz a m n ponekad još uvijek ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke negativne vrijednosti m. Dakle, unosi su točni (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim trebamo uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u čijem eksponentu je reducibilni obični razlomak, smatra se stupnjem a u čijem eksponentu se nalazi odgovarajući nesvodljivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , onda ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj i m je pozitivan, a a bilo koji nenegativan broj, tada m n ima smisla. Uvjet za nenegativno a je nužan, budući da se korijen parnog stupnja ne izdvaja iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Iz bilo kojeg realnog broja može se uzeti neparni korijen.

Kombinirajmo sve podatke iznad definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesmanjivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodan broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični reduciran razlomak m · k n · k, stupanj se može zamijeniti s a m n .

Stupanj a s nesmanjivim frakcijskim eksponentom m / n - može se izraziti kao m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koje realno a , cijeli broj pozitivne vrijednosti m i neparni pozitivni cijeli brojevi n . Primjer: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Za bilo koju realnu a različitu od nule, negativne cjelobrojne vrijednosti m i neparne vrijednosti n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Za bilo koje nenegativne a , pozitivne cjelobrojne vrijednosti m i čak n , na primjer, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Za bilo koji pozitivan a , negativan cijeli broj m pa čak i n , na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s razlomkom eksponenta nije određen. Primjeri takvih potencija: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Sada objasnimo važnost gore spomenutog uvjeta: zašto razlomak zamijeniti svodljivim eksponentom za razlomak nesvodljivim. Da to ne bismo učinili, onda bi takve situacije ispale, recimo, 6 / 10 = 3 / 5. Tada bi (- 1) 6 10 = - 1 3 5 trebalo biti točno, ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definiciju stupnja s razlomnim eksponentom, koju smo dali prvi, praktičnije je primijeniti u praksi nego drugi, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, snaga pozitivnog broja a s razlomkom eksponenta m / n definirana je kao 0 m n = 0 m n = 0 . U slučaju negativnog a oznaka a m n nema smisla. Stupanj nule za pozitivne frakcijske eksponente m/n definira se kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne frakcijske eksponente ne definiramo stupanj nule.

U zaključcima napominjemo da se svaki frakcijski pokazatelj može napisati kao u obrascu mješoviti broj, i u obliku decimalni razlomak: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Prilikom izračunavanja bolje je eksponent zamijeniti običnim razlomkom, a zatim koristiti definiciju stupnja s razlomkom. Za gornje primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su stupnjevi s iracionalnim i realnim eksponentom

Što su stvarni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli što je stupanj s realnim eksponentom, moramo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim eksponentima. O racionalnom smo već spomenuli gore. Pozabavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1 , 67175331 . . . , onda

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati s nizom potencija a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se prisjetimo onoga o čemu smo ranije govorili o podizanju brojeva na racionalni stepen, tada možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . itd.

Niz stupnjeva se može svesti na broj, koji će biti vrijednost stupnja s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom oblika 3 1 , 67175331 . . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, dok je 0 a \u003d 0 Dakle, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. A za negativne, to se ne može učiniti, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu snagu ostaje jedinica, na primjer, a 1 2 , 1 5 u 2 i 1 - 5 će biti jednako 1 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jedna od glavnih karakteristika u algebri, ai u cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. stoljeću svi se izračuni mogu izvesti na online kalkulatoru, ali bolje je naučiti kako to učiniti sami za razvoj mozga.

U ovom članku razmotrit ćemo najvažnija pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, razumjet ćemo što je to uopće i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo primjere kako izgleda izračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i po čemu se razlikuju od ostalih funkcija.

Razumjet ćemo kako riješiti različite probleme koristeći ovu vrijednost. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulti stupanj, iracionalan, negativan itd.

Online eksponencijalni kalkulator

Koliki je stupanj broja

Što se podrazumijeva pod izrazom "podignuti broj na stepen"?

Stupanj n broja a je umnožak faktora veličine a n puta za redom.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tablica kvadrata i kocke od 1 do 10.

Tablica stupnjeva od 1 do 10

U nastavku su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne potencije - "od 1 do 100".

Svojstva stupnja

Što je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.

Znanstvenici su ustanovili sljedeće znakovi karakteristični za sve stupnjeve:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Provjerimo primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Što ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcioniraju.

Ali kako biti sa zbrajanjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se izvodi eksponencijacija, a tek onda zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ali u ovom slučaju prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje radnje u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvesti računanje u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim eksponencijalnost;
• zatim izvršiti operacije množenja, dijeljenja;
• nakon zbrajanja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stupnjeve:

1. Korijen n-tog stupnja od broja a do stupnja m zapisuje se kao: a m / n .
2. Prilikom podizanja razlomka na stepen: i brojnik i njegov nazivnik podliježu ovom postupku.
3. Prilikom građenja djela različite brojeve na stepen, izraz će odgovarati umnošku tih brojeva na zadanu potenciju. To jest: (a * b) n = a n * b n .
4. Kada podižete broj na negativan stepen, trebate podijeliti 1 brojem u istom koraku, ali sa znakom "+".
5. Ako je nazivnik razlomka u negativnom stepenu, tada će ovaj izraz biti jednak umnošku brojnika i nazivnika u pozitivnom stepenu.
6. Bilo koji broj na stepen 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.

Ova pravila su važna u pojedinačnim slučajevima, u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti.

Stupanj s negativnim eksponentom

Što učiniti s negativnim stupnjem, odnosno kada je pokazatelj negativan?

Na temelju svojstava 4 i 5(vidi točku iznad) ispada:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

I obrnuto:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Što ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Razumije se kao stupanj s eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... tada će rezultat biti sa znakom “+”. Ako se negativan broj povisi na neparan stepen, onda obrnuto.

Opća svojstva i sve gore opisane specifične značajke također su karakteristične za njih.

Razlomački stupanj

Ovaj pogled se može zapisati kao shema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stupnja broja A na stepen m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, rastaviti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da biste razumjeli suštinu diplome s takvim pokazateljem, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 su racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uvjetima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 - bit će jednako 4.

Tada je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Za takve diplome, sve matematičke operacije i specifična svojstva opisana gore.

Zaključak

Ukratko - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, pojednostavljuju život matematičarima i programerima pri rješavanju primjera, jer omogućuju minimiziranje izračuna, reduciranje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojem radna specijalnost: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjering, dizajn itd.

Formule snage koristi se u procesu redukcije i pojednostavljenja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-ti stepen broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n .

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih čimbenika:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula je točna u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška nekoliko čimbenika jednak je umnošku korijena ovih čimbenika:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići korijenski broj na ovaj stepen:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n th stepen je korijenski broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupnja od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj nekog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao stupanj podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan pokazatelj:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i na m< n.

na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija svakog broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomkom eksponenta. Podići pravi broj a do stupnja m/n, trebate izvaditi korijen n th stupanj od m th stepena ovog broja a.

U nastavku razgovora o stupnju nekog broja, logično je pozabaviti se pronalaženjem vrijednosti stupnja. Ovaj proces je imenovan eksponencijalnost. U ovom članku ćemo samo proučiti kako se izvodi eksponencijaliranje, a dotaknut ćemo se svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Što znači "eksponencijal"?

Počnimo s objašnjenjem što se naziva eksponencijaliranje. Ovdje je relevantna definicija.

Definicija.

Eksponencijaliranje je pronaći vrijednost potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stupnja a s eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", onda se može preformulirati na sljedeći način: "Podigni broj 0,5 na stepen 5".

Sada možete ići izravno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost na temelju obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a podiže na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stupnja iz broja a, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojni stepen m.

Razmotrimo rješenja za primjere dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Riješenje.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomkom eksponenta. Izračunavamo vrijednost stupnja pod znakom korijena, nakon čega izvlačimo kockasti korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomnim eksponentom i na temelju svojstava korijena, jednakosti su istinite . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cijeli broj .

Očito se dobiveni rezultati dizanja na razlomak stepena podudaraju.

Odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima ga treba zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim izvesti eksponencijaciju.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2,5 .

Riješenje.

Zapisujemo eksponent u obliku obični razlomak(ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je dovoljno podizanje brojeva na racionalne stupnjeve naporan proces(osobito kada su u brojniku i nazivniku razlomka eksponenta dovoljno veliki brojevi), što se obično izvodi pomoću računalne tehnologije.

U zaključku ovog paragrafa zadržat ćemo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Razlomkom stupnju nule oblika dali smo sljedeće značenje: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle, nula do pozitivnog razlomka je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad postaje potrebno saznati vrijednost stupnja broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe, obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja do određenog predznaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektroničke računalne tehnologije, budući da ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo općenitim riječima opisati bit radnji.

Da bi se dobila približna vrijednost eksponenta a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stupnja broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će vrijednost stupnja biti točnija na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmite sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalni pokazatelj: . Sada povisimo 2 na racionalni stepen 1,17 (opisali smo bit ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Na ovaj način, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog stupnja: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).