Formula u nastavku bit će definicija stupnjevi s prirodnim eksponentom(a je baza potencije i faktor ponavljanja, a n je eksponent koji pokazuje koliko puta se faktor ponavlja):

Ovaj izraz znači da je potencija broja a s prirodnim eksponentom n umnožak n faktora, unatoč činjenici da je svaki od faktora jednak a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - osnovni stupanj,

5 - eksponent,

1419857 — vrijednost stupnja.

Potencijal s eksponentom nula jednak je 1, pod uvjetom da je a\neq 0:

a^0=1 .

Na primjer: 2^0=1

Kada trebate napisati veliki broj, obično koristite potenciju 10.

Na primjer, jedan od najstarijih dinosaura na Zemlji živio je prije otprilike 280 milijuna godina. Njegova starost je zapisana na sljedeći način: 2,8 \cdot 10^8 .

Svaki broj veći od 10 može se napisati kao \cdot 10^n , pod uvjetom da je 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standardni oblik broja.

Primjeri takvih brojeva: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Možete reći i "a na n-tu potenciju" i "n-tu potenciju broja a" i "a na n-tu potenciju".

4^5 - "četiri na potenciju 5" ili "4 na petu potenciju" ili također možete reći "peta potencija od 4"

U u ovom primjeru 4 je baza stupnja, 5 je eksponent.

Dajmo sada primjer s razlomcima i negativnim brojevima. Da bi se izbjegla zabuna, uobičajeno je da se baze osim prirodnih brojeva pišu u zagradama:

(7,38)^2 , \lijevo(\frac 12 \desno)^7, (-1)^4, itd.

Također primijetite razliku:

(-5)^6 - označava potenciju negativnog broja −5 s prirodnim eksponentom 6.

5^6 - odgovara suprotnom broju 5^6.

Svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentom

Osnovno svojstvo stupnja

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Baza ostaje ista, ali se dodaju eksponenti.

Na primjer: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Svojstvo kvocijentnih potencija s istim bazama

a^n: a^k=a^(n-k), ako je n > k .

Eksponenti se oduzimaju, ali baza ostaje ista.

Ovo ograničenje n > k uvedeno je kako se ne bi izašlo izvan prirodnih eksponenata. Doista, za n > k eksponent a^(n-k) će biti prirodan broj, inače će to biti ili negativan broj (k< n ), либо нулем (k-n ).

Na primjer: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Svojstvo dizanja potencije na potenciju

(a^n)^k=a^(nk)

Baza ostaje ista, samo se eksponenti množe.

Na primjer: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Svojstvo potenciranja proizvoda

Svaki faktor je podignut na potenciju n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Na primjer: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Svojstvo potenciranja razlomka

\frac(a^n)(b^n)=\lijevo(\frac(a)(b) \desno) ^n, b \neq 0

I brojnik i nazivnik razlomka dižu se na potenciju. \lijevo(\frac(2)(5) \desno)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

U ovom materijalu ćemo pogledati što je potencija broja. Uz osnovne definicije, formulirat ćemo što su potencije s prirodnim, cjelobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentom. Kao i uvijek, svi koncepti bit će ilustrirani primjerima problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, formulirajmo osnovnu definiciju stupnja s prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Unaprijed pojasnimo da ćemo za sada kao bazu uzeti realni broj (označen slovom a), a prirodni broj kao indikator (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija broja a s prirodnim eksponentom n umnožak je n-tog broja faktora od kojih je svaki jednak broju a. Diploma se piše ovako: a n, au obliku formule njegov se sastav može prikazati na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza a, tada se prva potencija a piše kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je diploma prikladan oblik pisanja velikog broja jednakih faktora. Dakle, evidencija obrasca 8 8 8 8 može se skratiti na 8 4 . Na otprilike isti način, djelo nam pomaže da izbjegnemo snimanje veliki brojčlanovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; O tome smo već govorili u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati unos diplome? Općeprihvaćena opcija je "a na potenciju n". Ili možete reći "n-ta potencija a" ili "antova potencija". Ako smo recimo u primjeru naišli na unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. potenciju", "8 na 12. potenciju" ili "12. potenciju od 8".

Druga i treća potencija brojeva imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugu potenciju, na primjer, broj 7 (7 2), tada možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stupanj se čita ovako: 5 3 - ovo je "kocka broja 5" ili "5 kockica". No, možete koristiti i standardnu ​​formulaciju "na drugu/treću potenciju", to neće biti pogreška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer stupnja s prirodnim eksponentom: for 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti eksponent.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent će biti devet. Obratite pozornost na zagrade: ovaj zapis se koristi za sve potencije čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 I − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva podignut na potenciju s prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stupnja 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji način pisanja snage broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Odnosno, 4^9 je isto što i 4 9 . Ako je n višeznamenkasti broj, stavlja se u zagrade. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali koristit ćemo notaciju a n kao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost eksponenta s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. O tome smo više pisali u drugom članku.

Pojam stupnja obrnut je od drugog matematičkog pojma - korijena broja. Ako znamo vrijednost potencije i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema, o čemu smo raspravljali u zasebnom materijalu.

Eksponenti mogu uključivati ​​ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cijele vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Potencija broja s eksponentom pozitivnog cijelog broja može se prikazati formulom: .

U ovom slučaju, n je bilo koji pozitivni cijeli broj.

Razumimo koncept nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije s jednakim bazama. Formulirano je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će točna pod sljedećim uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, tada dobivamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je kvocijent jednaki brojevi a n i a. Ispada da je nulta potencija svakog broja koji nije nula jednaka jedinici.

Međutim, takav dokaz se ne odnosi na nulu na nultu potenciju. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo potencija - svojstvo produkata potencija s jednakim bazama. Ovako izgleda: a m · a n = a m + n .

Ako je n jednako 0, tada a m · a 0 = a m(ova jednakost nam također to dokazuje a 0 = 1). Ali ako je i također jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, To će biti točno za bilo koju prirodnu vrijednost n i nije važno kojoj je točno vrijednosti stupnja jednaka 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na točnost jednakosti. Dakle, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje, te mu ga nećemo pripisivati.

Ako želite, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n = a m n pod uvjetom da baza stupnja nije nula. Dakle, potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja, samo moramo shvatiti što je negativni stupanj. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo umnoška potencija s jednakim bazama koje smo već upotrijebili gore: a m · a n = a m + n.

Uvedimo uvjet: m = − n, tada a ne bi trebao biti jednak nuli. Iz toga slijedi da a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je a n i a−n imamo međusobno recipročne brojeve.

Kao rezultat toga, općenito negativan stupanj nije ništa više od razlomka 1 a n .

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s cijelim brojem negativan pokazatelj vrijede sva ista svojstva koja ima stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a s negativnim cijelim eksponentom n može se prikazati kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n podliježe a ≠ 0 a n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U zadnjem dijelu paragrafa pokušat ćemo jasno prikazati sve što je rečeno jednom formulom:

Definicija 4

Potencija broja s prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e s l i z - cijelim brojem 1, z = 0 i a ≠ 0, (za z = 0 i a = 0 rezultat je 0 0, vrijednosti izraza 0 0 nisu definirane) 1 a z, ako je i z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobivate 0 z, egoz vrijednost nije određena)

Što su potencije s racionalnim eksponentom?

Ispitali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, broj možete podići na potenciju čak i kada njegov eksponent sadrži razlomački broj. To se zove stupanj c racionalni pokazatelj. U ovom odjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge potencije.

Što se dogodilo racionalni brojevi? Njihova raznolikost uključuje i cijele i razlomački brojevi, dok se razlomački brojevi mogu prikazati kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formulirajmo definiciju potencije broja a s frakcijskim eksponentom m / n, gdje je n prirodan broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomačkim eksponentom a m n . Da bi vrijedilo svojstvo snage za snagu, mora biti istinita jednakost a m n n = a m n · n = a m.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za dane vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će točna pod uvjetom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: potencija određenog broja a s razlomačkim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a na potenciju m. To je točno ako, za date vrijednosti m, n i a, izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - strogo manje (jer za m ≤ 0 dobivamo 0 m, ali takav stupanj nije definiran). U ovom slučaju, definicija stupnja s frakcijskim eksponentom izgledat će ovako:

Potencija s razlomačkim eksponentom m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na potenciju m. To se može izraziti kao formula:

Za potenciju s nultom bazom ova je odredba također prikladna, ali samo ako je njen eksponent pozitivan broj.

Potencija s bazom nula i razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom da je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj.

Za negativan omjer m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zabilježimo jednu stvar. Budući da smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, na kraju smo odbacili neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, točni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Tada ćemo trebati uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u čijem je eksponentu svodivi obični razlomak, smatramo stupnjem a, u čijem se eksponentu nalazi odgovarajući nesvodivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , tada ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj i vrijednost m je pozitivna, a a je bilo koji nenegativan broj, tada a m n ima smisla. Uvjet da a ne bude negativan je nužan jer se iz negativnog broja ne može izvući korijen parnog stupnja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparni korijen može se uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve gornje definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesvodivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodni broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični reducibilni razlomak m · k n · k stupanj se može zamijeniti s a m n .

Potencija broja a s nesvodivim razlomačkim eksponentom m / n – može se izraziti kao a m n u sljedećim slučajevima: - za svaki realni a, cijeli brojevi pozitivne vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za bilo koji realni a koji nije nula, negativne vrijednosti cijelog broja od m i neparne vrijednosti od n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za svaki nenegativan a, pozitivan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s razlomačkim eksponentom se ne određuje. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost gore navedenog uvjeta: zašto zamijeniti razlomak s reducibilnim eksponentom razlomkom s nesmanjivim eksponentom. Da to nismo učinili, imali bismo sljedeće situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti točno (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stupnja s frakcijskim eksponentom, koju smo prvo predstavili, praktičnija je za korištenje u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n definirana je kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnog a zapis a m n nema smisla. Potencija nule za pozitivne razlomačke eksponente m/n je definiran kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne razlomačke eksponente ne definiramo stupanj nule.

U zaključcima napominjemo da se bilo koji frakcijski pokazatelj može napisati u obliku mješoviti broj, a u obliku decimalnog razlomka: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Prilikom računanja, bolje je zamijeniti eksponent obični razlomak te nastaviti koristiti definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom. Za gore navedene primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su potencije s iracionalnim i realnim eksponentom?

Što su realni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli što je stupanj s realnim eksponentom, moramo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim eksponentom. Racionalne smo već spomenuli gore. Pozabavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1,67175331. . . , Zatim

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati s nizom stupnjeva a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se sjetimo što smo ranije rekli o podizanju brojeva na racionalne potencije, tada možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada je a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Niz potencija može se svesti na broj koji će biti vrijednost potencije s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom oblika 3 1, 67175331. . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a piše se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, s 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ali to se ne može učiniti za negativne, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koji iracionalni stupanj, ostaje jedan, na primjer, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Video vodič 2: Stupanj s prirodnim pokazateljem i njegovim svojstvima

Predavanje:

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Pod, ispod stupanj neki broj "A" s nekim indikatorom "n" razumjeti umnožak broja "A" samostalno "n" jednom.

Kada govorimo o stupnju s prirodnim eksponentom, to znači da broj "n" mora biti cijeli broj, a ne negativan.

A- osnovica stupnja, koja pokazuje koji broj treba pomnožiti sam sa sobom,

n- eksponent - govori koliko puta bazu treba pomnožiti sama sa sobom.

Na primjer:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

U u ovom slučaju Osnova stepena je broj “8”, eksponent stepena je broj “4”, a vrijednost stepena je broj “4096”.

Najveća i najčešća pogreška pri računanju stupnja je množenje eksponenta s bazom – TO NIJE ISPRAVNO!

Kada govorimo o o stupnju s prirodnim eksponentom, što znači da samo eksponent (n) mora biti prirodan broj.

Kao bazu možete uzeti bilo koji broj na brojevnoj crti.

Na primjer,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Matematička operacija koja se izvodi nad bazom i eksponentom naziva se potenciranje.

Zbrajanje\oduzimanje je matematička operacija prve faze, množenje\dijeljenje je radnja druge faze, dizanje na potenciju je matematička radnja treće faze, odnosno jedna od najviših.

Ova hijerarhija matematičke operacije određuje redoslijed u obračunu. Ako se ova radnja dogodi u zadacima među prethodna dva, tada se radi prva.

Na primjer:

15 + 6 *2 2 = 39

U ovom primjeru, prvo morate podići 2 na potenciju, tj.

zatim rezultat pomnožite sa 6, tj

Snaga s prirodnim eksponentom koristi se ne samo za specifične izračune, već i za praktičnost pisanja velikih brojeva. U ovom slučaju također se koristi koncept "standardni oblik broja". Ovaj unos uključuje množenje nekog broja od 1 do 9 potencijom jednakom 10 s nekim eksponentom.

Na primjer, za zapis radijusa Zemlje u standardnom obliku, koristite sljedeću notaciju:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

a masa Zemlje, na primjer, piše se na sljedeći način:

Svojstva stupnja

Za praktičnost rješavanja primjera sa stupnjevima, morate znati njihova osnovna svojstva:

1. Ako trebate pomnožiti dvije potencije koje imaju istu bazu, onda u ovom slučaju baza mora ostati nepromijenjena, a eksponenti dodati.

a n * a m = a n+m

Na primjer:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ako je potrebno podijeliti dva stupnja s istim bazama, onda u tom slučaju baza mora ostati nepromijenjena, a eksponenti oduzeti. Imajte na umu da za operacije s potencijama s prirodnim eksponentom, eksponent dividende mora biti veći od eksponenta djelitelja. Inače će kvocijent ove akcije biti broj s negativnim eksponentom.

a n / a m = a n-m

Na primjer,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ako je potrebno podići jednu potenciju na drugu, isti broj ostaje baza rezultata, a eksponenti se množe.

(a n) m = a n*m

Na primjer,

4. Ako je potrebno podići proizvod na neki stupanj proizvoljni brojevi, onda možemo upotrijebiti određeni zakon distribucije, pod kojim dobivamo umnožak različitih baza na isti stupanj.

(a * b) m = a m * b m

Na primjer,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Slično se svojstvo može koristiti za dijeljenje potencija, drugim riječima, za dizanje običnog dvojnika na potenciju.

(a / b) m = a m / b m

6. Svaki broj koji je podignut na eksponent jednak jedan jednak je izvornom broju.

a 1 = a

Na primjer,

7. Kada podižete bilo koji broj na potenciju s eksponentom nula, rezultat ovog izračuna uvijek će biti jedan.

i 0 = 1

Na primjer,

Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Naučiti sve o diplomama, čemu one služe, kako iskoristiti svoje znanje u Svakidašnjica pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspjehu prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i upis na sveučilište iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI RAZINA

Podizanje na potenciju je isto matematička operacija poput zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom na vrlo jednostavni primjeri. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodavanjem.

Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svatko ima dvije boce kole. Koliko cole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati i drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uočavaju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku ​​koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete sporije, teže i s greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

Koje druge? lukavih trikova jesu li račune izmislili lijeni matematičari? desno - dizanje broja na potenciju.

Dizanje broja na potenciju

Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju... I takve probleme rješavaju u svojim glavama – brže, lakše i bez greške.

Sve što trebate učiniti je zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam uvelike olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar sa metar. Bazen je u vašoj kući. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena morate obložiti pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to utvrdili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izračunati upiranjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice veličine metar sa metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerojatnije biti cm po cm. A onda ćete biti mučeni "brojenjem prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Pomnožite s i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sa samim sobom? Što to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​"potencijaliranja". (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dignuti na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima Za Jedinstveni državni ispit ovo je vrlo važno).
Dakle, trideset na drugu potenciju bit će (). Ili možemo reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: izbrojte koliko ima polja na šahovskoj ploči pomoću kvadrata broja... S jedne i s druge strane ćelija. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam s osam ili... ako primijetite da je šahovnica kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobit ćete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine se mjere u kubičnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine metar i dubine metar i pokušajte izbrojati koliko će kockica dimenzija metar puta metar stati u vaš bazen.

Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset i dva, dvadeset i tri...Koliko si ih dobio? Niste izgubljeni? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako su i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Uočili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Što to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri kubna je jednako. Napisano je ovako: .

Sve što ostaje je zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili odustatelji i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vama stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki milijun koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i... glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnoženo s dva... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine... Stop! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate natjecanje i da će onaj tko najbrže broji dobiti te milijune... Vrijedno je prisjetiti se moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednom... To je već dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa sobom puta. Dakle, na četvrtu potenciju to je jednako milijunu. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Termini i pojmovi.. da ne bude zabune

Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" potencije broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje...

Pa, u isto vrijeme, što takvu diplomsku osnovu? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u podnožju.

Evo crteža za dobru mjeru.

Pa unutra opći pogled, radi generaliziranja i boljeg pamćenja... Stupanj s osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “na stupanj” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste pri brojanju pri nabrajanju predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Također ne kažemo: “jedna trećina”, ili “nula zarez pet”. Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovo brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno kako bi ukazali na dugove: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, beskonačno decimal. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo koncept stupnja čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
2. Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
3. Kubirati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:

Definicija. Podizanje broja na prirodni potenciju znači množenje broja samim sobom puta:
.

Svojstva stupnjeva

Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.

Da vidimo: što je I ?

A-prior:

Koliko je ukupno množitelja?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest: , što je i trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod snaga!

Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.

2. to je to potenciju broja

Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:

Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom

Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.

Ali što bi trebala biti osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, funkcionira.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za vježbanje

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu snagu, što vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Dakle, sjećate li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:

Pogledajmo pažljivo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Redoslijed izraza je pogrešan. Da su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Čarobno su pojmovi promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" odnosi na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom) nazivamo i brojem.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stupanj s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj s, i dobili smo isto što je i bilo - . S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množio sam sa sobom, svejedno ćeš dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultu potenciju, mora biti jednak. Dakle, koliko je od ovoga istina? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativna potencija, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativnu potenciju:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo sada dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj s negativnom potencijom recipročna je vrijednost istog broja s pozitivnom potencijom. Ali u isto vrijeme Baza ne može biti nula:(jer ne možete dijeliti po).

Ukratko:

I. Izraz nije definiran u padežu. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je inverzan od istog broja na pozitivnu potenciju: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, i.

Da shvatim što je to "frakcijski stupanj", razmotrite razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Prisjetimo se sada pravila o "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th potencije je inverzna operacija dizanja na potenciju: .

Ispostavilo se da. Očito ovo poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajemo brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, ne može se izvući korijen iz svih brojeva.

nijedan!

Sjetimo se pravila: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući parne korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izrazom?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali ako indikator zapišemo drugačije, opet ćemo upasti u nevolju: (to jest, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za vježbanje

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu prikazati kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo stvorili određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stupanj s prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazni broj" , odnosno broj;

...negativan cijeli broj stupanj- kao da se nešto dogodilo" obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent čak nije ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za dizanje potencije na potenciju:

Sada pogledajte indikator. Zar vas on ne podsjeća ni na što? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili oba decimala ili oba obična. Dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Određivanje stupnja

Diploma je izraz u obliku: , gdje je:

• — baza stupnja;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim pokazateljem (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stupanj:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete dijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnjeva

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

A-prior:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobivamo sljedeći proizvod:

Ali po definiciji to je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za produkt potencija!

Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.

Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Pregrupirajmo ovaj posao ovako:

Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi trebao biti indeks stupnjeva. Ali što bi trebala biti osnova? U ovlastima prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možemo formulirati sljedeće jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da, a samim tim i osnova manje od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedan s drugim, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije nego pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu snagu, što vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Dakle, sjećate li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pogledajmo pažljivo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Redoslijed izraza je pogrešan. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Čarobno su pojmovi promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" odnosi na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti promjenom samo jednog nedostatka koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo koncept diplome i pojednostavnimo ga:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko je ukupno slova? puta množiteljima - na što vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa više od definicije operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. Odnosno, ovo je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz informacije o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo stvorili određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stupanj s prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultu potenciju je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazan broj“, odnosno broj; stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je više čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili da prošire koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent čak nije ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Pa što ćemo ako vidimo iracionalni pokazatelj stupnjevi? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

odgovori:

1. Sjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODSJEKA I OSNOVNE FORMULE

Stupanj zove se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su eksponenti negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnjeva

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu s korištenjem svojstava stupnja.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!