Prijeđimo na proučavanje sljedeće akcije s decimalnim razlomcima, sada ćemo sveobuhvatno razmotriti množenje decimala. Prvo raspravimo generalni principi množenje decimala. Nakon toga prijeđimo na množenje decimalnog razlomka decimalnim razlomkom, pokažimo kako se izvodi množenje decimalnih razlomaka stupcem, razmotrimo rješenja primjera. Zatim ćemo analizirati množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojevima, posebno s 10, 100 itd. Zaključno, razgovarajmo o množenju decimalnih razlomaka običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo u ovom članku govoriti samo o množenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi analizirani su u člancima množenje racionalnih brojeva i množenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opća načela množenja decimala

Raspravljajmo o općim načelima kojih se trebamo pridržavati prilikom množenja s decimale.

Budući da su konačne decimale i beskonačni periodični razlomci decimalni oblik običnih razlomaka, množenje takvih decimalnih razlomaka je u biti množenje običnih razlomaka. Drugim riječima, množenje konačnih decimala, množenje konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, i množenje periodičnih decimala svodi se na množenje običnih razlomaka nakon pretvaranja decimalnih razlomaka u obične.

Razmotrite primjere primjene glasovnog načela množenja decimalnih razlomaka.

Primjer.

Izvršite množenje decimala 1,5 i 0,75.

Riješenje.

Zamijenimo umnožene decimalne razlomke odgovarajućim običnim razlomcima. Kako je 1,5=15/10 i 0,75=75/100, tada je . Možete smanjiti razlomak, a zatim odabrati cijeli dio iz pogrešnog razlomka, ali prikladnije je rezultirajući obični razlomak 1 125/1 000 zapiši kao decimalni razlomak 1,125.

Odgovor:

1,5 0,75=1,125.

Treba napomenuti da je prikladno množiti konačne decimalne frakcije u stupcu; o ovoj metodi množenja decimalnih frakcija ćemo govoriti u.

Razmotrimo primjer množenja periodičnih decimalnih razlomaka.

Primjer.

Izračunajte umnožak periodičnih decimala 0,(3) i 2,(36) .

Riješenje.

Pretvorimo periodične decimalne razlomke u obične razlomke:

Zatim . Možete pretvoriti dobiveni obični razlomak u decimalni razlomak:

Odgovor:

0,(3) 2,(36)=0,(78) .

Ako među umnoženim decimalnim razlomcima ima beskonačno neperiodičnih razlomaka, tada sve umnožene razlomke, uključujući konačne i periodične, treba zaokružiti na određenu znamenku (vidi zaokruživanje brojeva), a zatim izvršiti množenje konačnih decimalnih razlomaka dobivenih zaokruživanjem.

Primjer.

Pomnožite decimale 5,382… i 0,2.

Riješenje.

Prvo, zaokružujemo beskonačni neperiodični decimalni razlomak, zaokruživanje se može učiniti na stotinke, imamo 5,382 ... ≈5,38. Konačni decimalni razlomak 0,2 ne treba zaokruživati ​​na stotinke. Dakle, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Ostaje izračunati proizvod konačnih decimalnih razlomaka: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

Odgovor:

5,382… 0,2≈1,076.

Množenje decimalnih razlomaka stupcem

Množenje decimala na kraju može se izvršiti stupcem, slično množenju prirodnih brojeva u stupcu.

Idemo formulirati pravilo množenja decimalnih razlomaka. Da biste decimalne razlomke pomnožili stupcem, trebate:

• zanemarujući zareze, izvoditi množenje prema svim pravilima množenja stupcem prirodnih brojeva;
• u dobivenom broju decimalnim zarezom odvojite onoliko znamenki s desne strane koliko ima decimalnih znamenaka u oba faktora zajedno, a ako nema dovoljno znamenaka u umnošku, tada trebate zbrojiti s lijeve strane pravi iznos nule.

Razmotrite primjere množenja decimalnih razlomaka stupcem.

Primjer.

Pomnožite decimale 63,37 i 0,12.

Riješenje.

Izvršimo množenje decimalnih razlomaka stupcem. Prvo množimo brojeve, zanemarujući zareze:

Ostaje staviti zarez u dobiveni proizvod. Ona treba odvojiti 4 znamenke s desne strane, budući da faktori imaju četiri decimale (dva u razlomku 3,37 i dva u razlomku 0,12). Tamo ima dovoljno brojeva, tako da ne morate dodavati nule s lijeve strane. Završimo zapis:

Kao rezultat, imamo 3,37 0,12 = 7,6044.

Odgovor:

3,37 0,12=7,6044.

Primjer.

Izračunajte umnožak decimala 3,2601 i 0,0254.

Riješenje.

Nakon izvođenja množenja stupcem bez uzimanja u obzir zareza, dobivamo sljedeću sliku:

Sada u proizvodu trebate odvojiti 8 znamenki s desne strane zarezom, budući da je ukupan broj decimalnih mjesta umnoženih razlomaka osam. Ali proizvod ima samo 7 znamenki, stoga trebate dodijeliti onoliko nula s lijeve strane da se 8 znamenki može odvojiti zarezom. U našem slučaju, moramo dodijeliti dvije nule:

Time je završeno množenje decimalnih razlomaka stupcem.

Odgovor:

3,2601 0,0254=0,08280654 .

Množenje decimala s 0,1, 0,01 itd.

Vrlo često morate množiti decimale s 0,1, 0,01 i tako dalje. Stoga je preporučljivo formulirati pravilo za množenje decimalnog razlomka ovim brojevima, što proizlazi iz gore razmotrenih načela množenja decimalnih razlomaka.

Tako, množenje zadane decimale s 0,1, 0,01, 0,001 i tako dalje daje razlomak, koji se dobiva iz izvornog, ako se u njegovom unosu zarez pomakne ulijevo za 1, 2, 3 i tako redom znamenke, a ako nema dovoljno znamenki za pomicanje zareza, tada se trebate dodati potreban broj nula s lijeve strane.

Na primjer, da biste pomnožili decimalni razlomak 54,34 s 0,1, trebate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za 1 znamenku u razlomku 54,34 i dobit ćete razlomak 5,434, odnosno 54,34 0,1 \u003d 5,434. Uzmimo drugi primjer. Pomnožite decimalni razlomak 9,3 s 0,0001. Da bismo to učinili, moramo pomaknuti zarez 4 znamenke ulijevo u umnoženom decimalnom razlomku 9.3, ali zapis razlomka 9.3 ne sadrži toliki broj znakova. Dakle, moramo dodijeliti što više nula u zapisu razlomka 9.3 s lijeve strane kako bismo lako mogli prenijeti zarez na 4 znamenke, imamo 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Imajte na umu da najavljeno pravilo za množenje decimalnog razlomka s 0,1, 0,01, ... vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Na primjer, 0,(18) 0,01=0,00(18) ili 93,938… 0,1=9,3938… .

Množenje decimale prirodnim brojem

U svojoj srži množenje decimala prirodnim brojevima ne razlikuje se od množenja decimale decimalom.

Najpogodnije je množiti konačni decimalni razlomak s prirodnim brojem stupcem, dok se trebate pridržavati pravila za množenje stupcem decimalnih razlomaka o kojima smo govorili u jednom od prethodnih odlomaka.

Primjer.

Izračunaj umnožak 15 2.27 .

Riješenje.

Izvršimo množenje prirodnog broja decimalnim razlomkom u stupcu:

Odgovor:

15 2,27=34,05.

Pri množenju periodičkog decimalnog razlomka prirodnim brojem periodični razlomak treba zamijeniti običnim razlomkom.

Primjer.

Pomnožite decimalni razlomak 0,(42) prirodnim brojem 22.

Riješenje.

Prvo, pretvorimo periodičku decimalu u obični razlomak:

Sada izvršimo množenje: . Ovaj decimalni rezultat je 9,(3) .

Odgovor:

0,(42) 22=9,(3) .

A kada množite beskonačni neperiodični decimalni razlomak s prirodnim brojem, prvo morate zaokružiti.

Primjer.

Izvršite množenje 4 2.145….

Riješenje.

Zaokružujući na stotinke izvorni beskonačni decimalni razlomak, doći ćemo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka. Imamo 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Odgovor:

4 2,145…≈8,60.

Množenje decimale s 10, 100, ...

Vrlo često morate množiti decimalne razlomke s 10, 100, ... Stoga je preporučljivo detaljno se zadržati na ovim slučajevima.

Hajdemo glas pravilo za množenje decimale s 10, 100, 1000 itd. Kada decimalni razlomak množite s 10, 100, ... u njegovom unosu, trebate pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, redom, i odbaciti dodatne nule s lijeve strane; ako u zapisu umnoženog ulomka nema dovoljno znamenki za prijenos zareza, potrebno je dodati potreban broj nula s desne strane.

Primjer.

Pomnožite decimalu 0,0783 sa 100.

Riješenje.

Prenesimo razlomak 0,0783 dvije znamenke desno u zapis, i dobit ćemo 007,83. Ispuštanjem dvije nule s lijeve strane dobivamo decimalni razlomak 7,38. Dakle, 0,0783 100=7,83.

Odgovor:

0,0783 100=7,83.

Primjer.

Pomnožite decimalni razlomak 0,02 s 10 000.

Riješenje.

Da bismo pomnožili 0,02 s 10 000, moramo pomaknuti zarez za 4 znamenke udesno. Očito u zapisu razlomka 0,02 nema dovoljno znamenki za prijenos zareza na 4 znamenke, pa ćemo dodati nekoliko nula s desne strane kako bi se zarez mogao prenijeti. U našem primjeru dovoljno je dodati tri nule, imamo 0,02000. Nakon pomicanja zareza dobivamo unos 00200.0 . Ispuštanjem nula s lijeve strane dobivamo broj 200,0, koji je jednak prirodnom broju 200, rezultat je množenja decimalnog razlomka 0,02 s 10 000.

U ovom ćemo članku razmotriti takvu radnju kao množenje decimalnih frakcija. Počnimo s formulacijom općih načela, a zatim ćemo pokazati kako pomnožiti jedan decimalni razlomak s drugim i razmotriti metodu množenja stupcem. Sve definicije bit će ilustrirane primjerima. Zatim ćemo analizirati kako ispravno pomnožiti decimalne razlomke običnim, kao i mješovitim i prirodnim brojevima (uključujući 100, 10, itd.)

U sklopu ovog materijala dotaknut ćemo se samo pravila množenja pozitivnih razlomaka. Slučajevi s negativnim brojevima posebno su obrađeni u člancima o množenju racionalnih i realnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulirajmo opće principe kojih se moramo pridržavati pri rješavanju problema množenja decimalnih razlomaka.

Za početak, podsjetimo se da decimalni razlomci nisu ništa drugo nego poseban oblik pisanja običnih razlomaka, stoga se postupak njihovog množenja može svesti na isti za obične razlomke. Ovo pravilo vrijedi i za konačne i za beskonačne razlomke: nakon što ih pretvorite u obične razlomke, lako je izvesti množenje s njima prema pravilima koja smo već proučili.

Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Primjer 1

Izračunajte umnožak 1,5 i 0,75.

Rješenje: Prvo zamijenite decimalne razlomke običnim. Znamo da je 0,75 75/100, a 1,5 1510. Možemo smanjiti razlomak i izdvojiti cijeli dio. Rezultat 125 1000 ćemo napisati kao 1 , 125 .

Odgovor: 1 , 125 .

Možemo koristiti metodu brojanja stupaca kao što to radimo za prirodne brojeve.

Primjer 2

Pomnožite jedan periodički razlomak 0 , (3) s drugim 2 , (36) .

Prvo svedimo izvorne razlomke na obične. Moći ćemo:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Prema tome, 0 , (3) 2 , (36) = 1 3 26 11 = 26 33 .

Dobiveni obični razlomak može se svesti na decimalni oblik dijeleći brojnik nazivnikom u stupcu:

Odgovor: 0 , (3) 2 , (36) = 0 , (78) .

Ako u uvjetu zadatka imamo beskonačne neperiodične razlomke, tada moramo izvršiti njihovo preliminarno zaokruživanje (pogledajte članak o zaokruživanju brojeva ako ste zaboravili kako se to radi). Nakon toga možete izvesti operaciju množenja s već zaokruženim decimalnim razlomcima. Uzmimo primjer.

Primjer 3

Izračunajte umnožak 5, 382 ... i 0, 2.

Riješenje

U zadatku imamo beskonačni razlomak, koji se prvo mora zaokružiti na stotinke. Ispada da je 5, 382 ... ≈ 5, 38. Zaokruživanje drugog faktora na stotinke nema smisla. Sada možete izračunati željeni umnožak i zapisati odgovor: 5, 38 0, 2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1, 076.

Odgovor: 5,382… 0,2 ≈ 1,076.

Metoda brojanja stupaca može se primijeniti ne samo na prirodne brojeve. Ako imamo decimale, možemo ih pomnožiti na potpuno isti način. Izvedimo pravilo:

Definicija 1

Množenje decimalnih razlomaka stupcem izvodi se u 2 koraka:

1. Izvodimo množenje stupcem, ne obraćajući pažnju na zareze.

2. Stavljamo decimalnu točku u konačni broj, odvajajući ga onoliko znamenki s desne strane koliko oba faktora zajedno sadrže decimalna mjesta. Ako kao rezultat toga nema dovoljno brojeva za to, dodamo nule s lijeve strane.

Analizirat ćemo primjere takvih izračuna u praksi.

Primjer 4

Pomnožite decimale 63, 37 i 0, 12 sa stupcem.

Riješenje

Prije svega, napravimo množenje brojeva, zanemarujući decimalne točke.

Sada moramo staviti zarez na pravo mjesto. Razdvojit će četiri znamenke s desne strane jer je zbroj decimalnih mjesta u oba faktora 4. Ne morate dodavati nule, jer znakovi su dovoljni.

Odgovor: 3,37 0,12 = 7,6044.

Primjer 5

Izračunajte koliko je 3,2601 puta 0,0254.

Riješenje

Brojimo bez zareza. Dobijamo sljedeći broj:

S desne strane ćemo staviti zarez koji odvaja 8 znamenki, jer izvorni razlomci zajedno imaju 8 decimalnih mjesta. Ali naš rezultat ima samo sedam znamenki i ne možemo bez dodatnih nula:

Odgovor: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Kako pomnožiti decimalu s 0,001, 0,01, 01 itd

Često morate množiti decimale takvim brojevima, stoga je važno to moći učiniti brzo i točno. Zapisujemo posebno pravilo koje ćemo koristiti pri takvom množenju:

Definicija 2

Ako decimalu pomnožimo s 0, 1, 0, 01 itd., dobivamo broj koji izgleda kao izvorni razlomak, s decimalnom točkom pomaknutom ulijevo za potreban broj mjesta. Ako nema dovoljno znamenki za prijenos, trebate dodati nule s lijeve strane.

Dakle, za množenje 45, 34 s 0, 1, zarez se mora pomaknuti u izvornom decimalnom razlomku za jedan znak. Na kraju imamo 4,534.

Primjer 6

Pomnožite 9,4 s 0,0001.

Riješenje

Morat ćemo pomaknuti zarez na četiri znamenke prema broju nula u drugom faktoru, ali brojevi u prvom za to nisu dovoljni. Dodijelimo potrebne nule i dobijemo da je 9, 4 0, 0001 = 0, 00094.

Odgovor: 0 , 00094 .

Za beskonačne decimale koristimo isto pravilo. Tako, na primjer, 0 , (18) 0 , 01 = 0 , 00 (18) ili 94 , 938 … 0 , 1 = 9 , 4938 … . i tako dalje.

Proces takvog množenja ne razlikuje se od radnje množenja dva decimalna razlomka. Pogodno je koristiti metodu množenja u stupcu ako uvjet zadatka sadrži konačni decimalni razlomak. U ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir sva pravila o kojima smo govorili u prethodnom odlomku.

Primjer 7

Izračunajte koliko će biti 15 2, 27.

Riješenje

Pomnožite izvorne brojeve sa stupcem i odvojite dva zareza.

Odgovor: 15 2,27 = 34,05.

Ako izvodimo množenje periodičkog decimalnog razlomka s prirodnim brojem, prvo moramo decimalni razlomak promijeniti u običan.

Primjer 8

Izračunajte umnožak 0 , (42) i 22 .

Periodični razlomak dovodimo u oblik običnog razlomka.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0 , 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Konačni rezultat može se napisati kao periodični decimalni razlomak kao 9 , (3) .

Odgovor: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Beskonačni razlomci moraju se zaokružiti prije brojanja.

Primjer 9

Izračunaj koliko će biti 4 2 , 145 ... .

Riješenje

Zaokružimo na stotinke izvorni beskonačni decimalni razlomak. Nakon toga dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka:

4 2, 145 ... ≈ 4 2, 15 = 8, 60.

Odgovor: 4 2,145 ... ≈ 8,60.

Kako pomnožiti decimalu sa 1000, 100, 10 itd.

Množenje decimalnog razlomka s 10, 100 itd. često se nalazi u zadacima, pa ćemo ovaj slučaj posebno analizirati. Osnovno pravilo množenja je:

Definicija 3

Da biste pomnožili decimalu s 1000, 100, 10 itd., trebate pomaknuti zarez za 3, 2, 1 znamenku ovisno o množitelju i odbaciti dodatne nule s lijeve strane. Ako nema dovoljno znamenki za pomicanje zareza, dodamo onoliko nula s desne strane koliko nam treba.

Pokažimo primjer kako to učiniti.

Primjer 10

Izvršite množenje 100 i 0,0783.

Riješenje

Da bismo to učinili, moramo pomaknuti decimalnu točku za 2 znamenke udesno. Završavamo s 007, 83. Nule s lijeve strane se mogu odbaciti i rezultat se može napisati kao 7, 38.

Odgovor: 0,0783 100 = 7,83.

Primjer 11

Pomnožite 0,02 s 10 tisuća.

Rješenje: pomaknut ćemo zarez četiri znamenke udesno. U izvornom decimalnom razlomku nemamo dovoljno predznaka za to, pa moramo dodati nule. U ovom slučaju bit će dovoljne tri nule. Kao rezultat, ispalo je 0, 02000, pomaknite zarez i dobijete 00200, 0. Zanemarujući nule s lijeve strane, možemo napisati odgovor kao 200 .

Odgovor: 0,02 10 000 = 200.

Pravilo koje smo dali također će raditi u slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, ali ovdje treba biti vrlo oprezan s periodom konačnog razlomka, jer je lako pogriješiti u njemu.

Primjer 12

Izračunajte umnožak 5,32 (672) puta 1000 .

Rješenje: prije svega ćemo periodični razlomak napisati kao 5, 32672672672 ..., pa će vjerojatnost pogreške biti manja. Nakon toga možemo pomaknuti zarez na željeni broj znakova (tri). Kao rezultat, dobivamo 5326 , 726726 ... Stavimo točku u zagrade i napišimo odgovor kao 5 326 , (726) .

Odgovor: 5. 32 (672) 1000 = 5 326. (726) .

Ako u uvjetima zadatka postoje beskonačni neperiodični razlomci koji se moraju pomnožiti s deset, sto, tisuću itd., ne zaboravite ih zaokružiti prije množenja.

Da biste izvršili ovu vrstu množenja, trebate predstaviti decimalni razlomak kao obični razlomak, a zatim slijediti već poznata pravila.

Primjer 13

Pomnožite 0, 4 sa 3 5 6

Riješenje

Prvo pretvorimo decimalu u obični razlomak. Imamo: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .

Dobili smo odgovor kao mješoviti broj. Možete ga napisati kao periodični razlomak 1, 5 (3) .

Odgovor: 1 , 5 (3) .

Ako je u izračunu uključen beskonačni neperiodični razlomak, potrebno ga je zaokružiti na određeni broj i tek onda pomnožiti.

Primjer 14

Izračunajte umnožak od 3,5678. . . 2 3

Riješenje

Drugi faktor možemo predstaviti kao 2 3 = 0, 6666 …. Zatim zaokružujemo oba faktora na tisućiti dio. Nakon toga trebat ćemo izračunati umnožak dva zadnja decimalna razlomka 3,568 i 0,667. Prebrojimo kolonu i dobijemo odgovor:

Konačni rezultat mora biti zaokružen na tisućinke, budući da smo na ovu kategoriju zaokružili izvorne brojeve. Dobivamo da je 2,379856 ≈ 2,380.

Odgovor: 3, 5678. . . 2 3 ≈ 2, 380

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Decimalni razlomak koristi se kada trebate izvršiti operacije s brojevima koji nisu cijeli. Ovo se može činiti iracionalnim. Ali ova vrsta brojeva uvelike olakšava matematičke operacije koje se s njima moraju izvesti. To razumijevanje dolazi s vremenom, kada im pisanje postane poznato, a čitanje ne predstavlja poteškoće, a pravila decimalnih razlomaka se savladaju. Štoviše, ponavljaju se sve već poznate radnje koje se uče s prirodnim brojevima. Samo se trebate sjetiti nekih značajki.

Decimalna definicija

Decimala je poseban prikaz necijelog broja s nazivnikom koji je djeljiv s 10, a odgovor je jedan i moguće nule. Drugim riječima, ako je nazivnik 10, 100, 1000 i tako dalje, prikladnije je prepisati broj koristeći zarez. Tada će cijeli dio biti smješten ispred njega, a zatim razlomački dio. Štoviše, zapis druge polovice broja ovisit će o nazivniku. Broj znamenki u razlomku mora biti jednak nazivniku.

Gore navedeno može se ilustrirati ovim brojevima:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Razlozi za korištenje decimala

Matematičarima su decimale bile potrebne iz nekoliko razloga:

Pojednostavite snimanje. Takav razlomak nalazi se duž jedne crte bez crtice između nazivnika i brojnika, dok jasnoća ne trpi.

Jednostavnost u usporedbi. Dovoljno je samo povezati brojeve koji se nalaze na istim pozicijama, dok bi ih kod običnih razlomaka trebalo dovesti na zajednički nazivnik.

Pojednostavljenje izračuna.

Kalkulatori nisu dizajnirani za uvođenje običnih razlomaka, oni koriste decimalni zapis za sve operacije.

Kako pravilno čitati takve brojeve?

Odgovor je jednostavan: baš kao i obični mješoviti broj s nazivnikom koji je višekratnik 10. Jedina iznimka su razlomci bez cjelobrojne vrijednosti, tada prilikom čitanja morate reći "nula cijelih brojeva".

Na primjer, 45/1000 treba se izgovarati kao četrdeset pet tisućitih, dok će 0,045 zvučati kao nula točka četrdeset pet tisućinki.

Mješoviti broj sa cijeli dio jednak 7 i razlomak od 17/100, koji će biti zapisan kao 7,17, u oba slučaja to će se čitati kao sedam zarez sedamnaest stotinki.

Uloga znamenki u zapisu razlomaka

Istina je primijetiti pražnjenje - to je ono što matematika zahtijeva. Decimale i njihovo značenje mogu se značajno promijeniti ako znamenku napišete na krivom mjestu. Međutim, to je vrijedilo i prije.

Da biste pročitali znamenke cijelog dijela decimalnog razlomka, samo trebate koristiti pravila poznata za prirodne brojeve. A na desnoj strani su zrcaljeni i čitaju se drugačije. Ako su "desetice" zvučale u cijelom dijelu, tada će nakon decimalne točke biti već "desetine".

To se jasno može vidjeti u ovoj tablici.

Kako napisati mješoviti broj kao decimalu?

Ako nazivnik sadrži broj jednak 10 ili 100 i druge, tada je pitanje kako pretvoriti razlomak u decimalu jednostavno. Da biste to učinili, dovoljno je prepisati sve njegove sastavne dijelove na drugačiji način. Sljedeće točke pomoći će u tome:

napišite brojnik razlomka malo u stranu, u ovom trenutku decimalna točka nalazi se s desne strane, nakon posljednje znamenke;

pomaknite zarez ulijevo, ovdje je najvažnije pravilno prebrojati brojeve - morate ga pomaknuti za onoliko mjesta koliko ima nula u nazivniku;

ako ih nema dovoljno, tada se na praznim mjestima trebaju pojaviti nule;

nule koje su bile na kraju brojnika više nisu potrebne, a mogu se i precrtati;

prije zareza dodajte cijeli broj, ako ga nema, ovdje će se pojaviti i nula.

Pažnja. Nule koje su okružene drugim brojevima ne mogu se prekrižiti.

O tome kako biti u situaciji u kojoj nazivnik sadrži broj ne samo od jedan i nula, kako pretvoriti razlomak u decimalu, možete pročitati malo niže. Ovaj važna informacijašto svakako vrijedi provjeriti.

Kako pretvoriti razlomak u decimalu ako je nazivnik proizvoljan broj?

Ovdje postoje dvije opcije:

Kada se nazivnik može predstaviti kao broj koji je deset na bilo koju potenciju.

Ako se takva operacija ne može učiniti.

Kako to provjeriti? Morate faktorizirati nazivnik. Ako su samo 2 i 5 prisutni u umnošku, onda je sve u redu, a razlomak se lako pretvara u konačnu decimalu. Inače, ako se pojave 3, 7 i drugi prosti brojevi, rezultat će biti beskonačan. Takav decimalni razlomak za jednostavnu upotrebu u matematičke operacije zaokruženo. O tome će se raspravljati malo niže.

Proučavanje načina dobivanja takvih decimalnih razlomaka, 5. razred. Ovdje će primjeri biti od velike pomoći.

Neka nazivnici sadrže brojeve: 40, 24 i 75. Rastavljanje na glavni faktori za njih će biti:

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

U ovim primjerima samo se prvi razlomak može predstaviti kao konačni razlomak.

Algoritam za pretvaranje običnog razlomka u konačnu decimalu

Provjerite rastavljanje nazivnika na proste faktore i uvjerite se da će se sastojati od 2 i 5.

Ovim brojevima dodajte toliko 2 i 5 da postanu jednaki brojevi. Oni će dati vrijednost dodatnog množitelja.

Pomnožite nazivnik i brojnik ovim brojem. Rezultat je obični razlomak ispod čije se crte donekle nalazi 10.

Ako se u zadatku ove radnje izvode s mješovitim brojem, tada se on najprije mora prikazati kao nepravi razlomak. I tek onda postupite prema opisanom scenariju.

Predstavljanje običnog razlomka kao zaokružene decimale

Nekome će se ovaj način pretvaranja razlomka u decimalu činiti još lakšim. Jer nema puno akcije. Trebate samo podijeliti brojnik s nazivnikom.

Svakom broju s decimalnim dijelom desno od decimalne točke može se dodijeliti beskonačan broj nula. Ovo svojstvo treba koristiti.

Prvo zapišite cijeli dio i stavite zarez iza njega. Ako je razlomak točan, napiši nulu.

Zatim je potrebno izvršiti dijeljenje brojnika nazivnikom. Tako da imaju isti broj znamenki. Odnosno, dodijelite potreban broj nula desno od brojnika.

Izvršite dijeljenje u stupcu sve dok se ne bira potreban broj znamenki. Na primjer, ako trebate zaokružiti na stotinke, tada bi ih u odgovoru trebalo biti 3. Općenito, trebala bi biti jedna znamenka više nego što trebate dobiti na kraju.

Zapišite međuodgovor iza decimalne točke i zaokružite prema pravilima. Ako je posljednja znamenka od 0 do 4, tada je jednostavno trebate odbaciti. A kada je jednak 5-9, tada se onaj ispred njega mora povećati za jedan, odbacujući posljednji.

Povratak s decimalnog na obični

U matematici postoje problemi kada je prikladnije prikazati decimalne razlomke u obliku običnih, u kojima postoji brojnik s nazivnikom. Možete odahnuti: ova operacija je uvijek moguća.

Za ovaj postupak trebate učiniti sljedeće:

zapišite cijeli broj, ako je jednak nuli, ne treba ništa pisati;

nacrtati razlomačku crtu;

iznad njega napišite brojeve s desne strane, ako su prve nule, onda ih morate prekrižiti;

ispod crte upišite jedinicu s onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom razlomku.

To je sve što trebate učiniti da pretvorite decimalu u obični razlomak.

Što možete učiniti s decimalama?

U matematici, to će biti određene radnje s decimalnim razlomcima koje su prethodno izvedene za druge brojeve.

Oni su:

usporedba;

zbrajanje i oduzimanje;

množenje i dijeljenje.

Prva radnja, usporedba, slična je kao što je učinjeno za prirodne brojeve. Da biste odredili koji je veći, morate usporediti znamenke cijelog dijela. Ako se ispostavi da su jednaki, tada se prelazi na razlomački i na isti način ih uspoređuje po znamenkama. Odgovor će biti broj s najvećom znamenkom u najvišem redu.

Zbrajanje i oduzimanje decimala

Ovo je možda najviše jednostavnih koraka. Budući da se izvode prema pravilima za prirodne brojeve.



Dakle, da bi se dodali decimalni razlomci, potrebno ih je napisati jedan ispod drugog, stavljajući zareze u stupac. Kod takvog zapisa cjelobrojni dijelovi se pojavljuju lijevo od zareza, a razlomački dijelovi desno. A sada trebate zbrajati brojeve malo po malo, kao što se radi s prirodnim brojevima, pomičući zarez prema dolje. Morate početi zbrajati od najmanje znamenke razlomka broja. Ako u desnoj polovici nema dovoljno brojeva, dodajte nule.

Oduzimanje radi na isti način. I ovdje vrijedi pravilo koje opisuje mogućnost uzimanja jedinice s najviše znamenke. Ako smanjeni razlomak ima manje znamenki nakon decimalne točke od oduzetog, tada mu se jednostavno pridružuju nule.

Situacija je malo kompliciranija sa zadacima u kojima treba izvesti množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka.

Kako množiti decimale u različitim primjerima?

Pravilo za množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojem je sljedeće:

zapišite ih u stupac, zanemarujući zarez;

množe se kao da su prirodne;

odvojite zarezom onoliko znamenki koliko ih je bilo u razlomačkom dijelu izvornog broja.

Poseban slučaj je primjer u kojem je prirodni broj jednak 10 na bilo koju potenciju. Zatim, da biste dobili odgovor, samo trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko mjesta koliko ima nula u drugom faktoru. Drugim riječima, kada se množi s 10, zarez se pomiče za jednu znamenku, za 100 - bit će ih dva i tako dalje. Ako u frakcijskom dijelu nema dovoljno znamenki, tada trebate napisati nule na prazna mjesta.

Pravilo koje se koristi kada u zadatku trebate pomnožiti decimalne razlomke s drugim istim brojem:

zapišite ih jednu ispod druge, zanemarujući zareze;

množiti kao da su prirodni brojevi;

odvojite zarezom onoliko znamenki koliko ih je bilo u razlomačkim dijelovima oba izvorna razlomka zajedno.

Kao posebni slučajevi izdvajaju se primjeri u kojima je jedan od faktora jednak 0,1 ili 0,01 i tako dalje. U njima morate pomaknuti zarez ulijevo za broj znamenki u prikazanim faktorima. To jest, ako se pomnoži s 0,1, tada se zarez pomiče za jedno mjesto.

Kako podijeliti decimalni razlomak u različitim zadacima?

Dijeljenje decimalnih razlomaka prirodnim brojem izvodi se prema sljedećem pravilu:

zapišite ih za podjelu u stupac, kao da su prirodni;

podijelite prema uobičajenom pravilu dok cijeli dio ne završi;

staviti zarez u odgovoru;

nastavite dijeliti razlomačku komponentu dok ostatak ne bude nula;

ako je potrebno, možete dodijeliti potreban broj nula.

Ako je cijeli broj jednak nuli, tada ga neće biti ni u odgovoru.

Zasebno postoji podjela na brojeve jednake deset, sto i tako dalje. U takvim zadacima trebate pomaknuti zarez ulijevo za broj nula u djelitelju. Događa se da u cijelom dijelu nema dovoljno znamenki, pa se umjesto njih koriste nule. Može se vidjeti da je ova operacija slična množenju s 0,1 i sličnim brojevima.

Da biste izvršili dijeljenje decimala, morate koristiti ovo pravilo:

pretvorite djelitelj u prirodni broj, a za to pomaknite zarez u njemu udesno do kraja;

pomaknuti zarez i u djeljivu za isti broj znamenki;

slijedite prethodni scenarij.

Istaknuta je podjela s 0,1; 0,01 i drugi slični brojevi. U takvim primjerima zarez je pomaknut udesno za broj znamenki u razlomku. Ako su gotovi, tada morate dodijeliti broj nula koji nedostaje. Vrijedno je napomenuti da se ovom radnjom ponavlja dijeljenje s 10 i sličnim brojevima.



Zaključak: sve je stvar prakse

Ništa u učenju nije lako niti bez napora. Za pouzdano svladavanje novog materijala potrebno je vrijeme i praksa. Matematika nije iznimka.

Kako tema decimalnih razlomaka ne bi stvarala poteškoće, morate s njima riješiti što više primjera. Uostalom, bilo je vrijeme kada je zbrajanje prirodnih brojeva bilo zbunjujuće. I sad je sve u redu.

Stoga, da parafraziramo poznatu rečenicu: odlučiti, odlučiti i još jednom odlučiti. Tada će se zadaci s takvim brojevima izvoditi lako i prirodno, poput još jedne zagonetke.

Usput, zagonetke je u početku teško riješiti, a onda morate raditi uobičajene pokrete. Isto vrijedi i za matematičke primjere: nakon što nekoliko puta prođete istim putem, tada više nećete razmišljati gdje skrenuti.

Da bismo razumjeli kako množiti decimale, pogledajmo konkretne primjere.

Pravilo decimalnog množenja

1) Množimo, zanemarujući zarez.

2) Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza zareza koliko ima iza zareza u oba faktora zajedno.

Primjeri.

Pronađite umnožak decimala:

Za množenje decimala, množimo ne obraćajući pažnju na zareze. Odnosno, ne množimo 6,8 i 3,4, već 68 i 34. Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ima iza zareza u oba faktora zajedno. U prvom faktoru iza decimalne točke stoji jedna znamenka, u drugom također jedna. Ukupno odvajamo dvije znamenke iza decimalne točke, pa smo dobili konačan odgovor: 6,8∙3,4=23,12.

Množenje decimala bez uzimanja u obzir zareza. To jest, zapravo, umjesto množenja 36,85 s 1,14, množimo 3685 s 14. Dobivamo 51590. Sada u ovom rezultatu trebamo zarezom odvojiti onoliko znamenki koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije znamenke iza decimalne točke, drugi ima jednu. Ukupno tri znamenke odvajamo zarezom. Budući da je na kraju unosa iza decimalne točke nula, ne pišemo je u odgovoru: 36,85∙1,4=51,59.

Da bismo pomnožili te decimale, množimo brojeve bez obraćanja pozornosti na zareze. Odnosno, pomnožimo prirodne brojeve 2315 i 7. Dobijemo 16205. U tom broju iza decimalne točke moraju biti odvojene četiri znamenke - onoliko koliko ih ima u oba faktora zajedno (po dvije u svakom). Konačni odgovor: 23,15∙0,07=1,6205.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način. Brojeve množimo ne vodeći računa o zarezu, odnosno 75 množimo sa 16. U dobivenom rezultatu iza zareza treba stajati onoliko predznaka koliko ima oba faktora zajedno - jedan. Dakle, 75∙1,6=120,0=120.

Množenje decimalnih razlomaka počinjemo množenjem prirodnih brojeva, budući da ne obraćamo pažnju na zareze. Nakon toga odvajamo onoliko znamenki iza zareza koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije decimale, a drugi dvije decimale. Ukupno, kao rezultat, nakon decimalne točke bi trebale biti četiri znamenke: 4,72∙5,04=23,7888.

U srednjoškolskom i srednjoškolskom tečaju učenici su proučavali temu „Razlomci“. Međutim, ovaj koncept je mnogo širi nego što je dan u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno se dogodilo da su se frakcijski brojevi pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što praksa pokazuje, često postoje primjeri za određivanje duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju s takvim konceptom kao dionica. Na primjer, ako lubenicu podijelite na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj dio od osam naziva se dionica.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovica; ⅓ - trećina; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Obični razlomak dijelimo na brojnik i nazivnik. Između njih je razlomačka crta, ili razlomačka crta. Razlomačka traka može se nacrtati kao vodoravna ili nagnuta linija. U ovaj slučaj stoji za znak dijeljenja.

Nazivnik predstavlja na koliko je jednakih dijelova podijeljena vrijednost, objekt; a brojnik koliko je jednakih dijelova uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je obične razlomke prikazati na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaki dio latinično pismo, rezultat može biti izvrsna vizualna pomoć. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog segmenta jedinice, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.

Varijante razlomaka

Razlomci su obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomke možemo podijeliti na prave i neprave. Ova klasifikacija je prikladnija za obične razlomke.

Pod, ispod pravilan razlomak razumjeti broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Prema tome, nepravi razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz sastoji se od cijelog i razlomljenog dijela. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - frakcijski. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjivanje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Točan razlomački izraz uvijek je manji od jedan, a netočan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik frakcijskog izraza može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti nula.

Da biste napisali decimalu, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati razlomački izraz. Treba imati na umu da nakon zareza brojnik mora sadržavati onoliko brojčanih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

U odgovoru zadatka nije ispravno zapisati nepravi razlomak, pa ga je potrebno pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
• V konkretan primjer nepotpuni kvocijent – ​​cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravi razlomak u mješoviti broj: 47/5 .

Riješenje. 47: 5. Nepotpuni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47/5 = 9 2/5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Tada morate koristiti sljedeći algoritam:

• cjelobrojni dio množi se nazivnikom frakcijskog izraza;
• dobiveni umnožak dodaje se brojniku;
• rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Izrazi broj u mješovitom obliku kao nepravi razlomak: 9 8 / 10 .

Riješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Na običnim razlomcima možete izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od umnoška razlomački brojevi s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti frakciju. Imperativ je pojednostaviti dobiveni izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je netočan razlomak u odgovoru pogreška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer. Pronađite umnožak dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja umnoška dobiva se reducibilni razlomački zapis. I brojnik i nazivnik u ovom su slučaju djeljivi s 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom je principu sasvim drugačiji od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je sljedeće:

• dva decimalna razlomka moraju biti napisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
• napisane brojeve treba množiti, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• izbrojati broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova s ​​desne strane koliko je sadržano u zbroju u oba faktora iza decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
• ako u umnošku ima manje znamenki, ispred njih treba napisati toliko nula da pokriju taj broj, staviti zarez i dodijeliti cjelobrojni dio jednak nuli.

Primjer. Izračunajte umnožak dviju decimala: 2,25 i 3,6.

Riješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvarati mješovite brojeve u neprave razlomke;
• pronaći umnožak brojnika;
• pronaći umnožak nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostaviti izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2/5.

Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)

Osim pronalaženja umnoška dvaju razlomaka, mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima treba množiti s razlomkom.

Dakle, da biste pronašli umnožak decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

• upišite broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
• pronaći djelo, unatoč zarezu;
• u dobivenom rezultatu zarezom odvojite cijeli broj od razlomka, brojeći udesno broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Da biste pomnožili obični razlomak s brojem, trebali biste pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor svodivi razlomak, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunajte umnožak 5/8 i 12.

Riješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno reducirati dobiveni rezultat i pretvoriti netočan frakcijski izraz u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste pomnožiti cijeli dio mješovitog faktora s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak broja 9 5 / 6 i 9.

Riješenje. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo proizlazi iz prethodnog odlomka. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko je nula u množitelju iza jedan.

Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Riješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite umnožak broja 3,9 i 1000.

Riješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, itd., trebate pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem umnošku za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Po potrebi se ispred prirodnog broja upisuje dovoljan broj nula.

Primjer 1. Pronađite umnožak broja 56 i 0,01.

Riješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.

Riješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje umnoška raznih frakcija ne bi trebalo uzrokovati poteškoće, osim možda izračuna rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.