Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste zbrajanja razlomaka:

1. Zbrajanje razlomaka sa isti nazivnici
2. Zbrajanje razlomaka sa različite nazivnike

Prvo, naučimo zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, zbrojimo razlomke i . Zbrojite brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2. Zbrojite razlomke i .

Odgovor nije bio pravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je riješiti se nepravih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju cijeli dio lako se ističe - dva podijeljeno s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Dodate li još pizze na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

Opet zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako na pizzu dodate još pizze, dobit ćete pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike je potrebno zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u zbrajanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti nazivnik nepromijenjen;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Naučimo sada kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo pogledati samo jednu od njih, budući da se druge metode početniku mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode je da se prvo pretražuje LCM nazivnika obaju razlomaka. LCM se zatim dijeli s nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto čine s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojnici i nazivnici razlomaka zatim se množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

Primjer 1. Zbrojimo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo razlomcima i . Prvo podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Dobiveni broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu crtu preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Dobiveni broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do drugog razlomka. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pažljivo pogledajte do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovo dovršava primjer. Ispada dodati .

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizzu na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri komada od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri komada od šest). Zbrajanjem ovih komada dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo istaknuli cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo opisali ovaj primjer previše detaljno. U obrazovne ustanove Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore sa svojim brojnicima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako u prvim fazama učenja matematike ne vodite detaljne bilješke, tada se počinju javljati takva pitanja. “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

1. Odredite LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Poslužimo se gore navedenim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Odredite LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Dobivamo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobijemo treći dodatni faktor 3. Zapišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojnike i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Zbrojite razlomke s istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje samo zbrojiti ove razlomke. Zbrojite:

Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, premješta se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraju prvog i na početku novog retka. Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli njegov dio

Pokazalo se da je naš odgovor netočan razlomak. Moramo istaknuti cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, morate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, ali nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, morate brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak možete oduzeti od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo koristeći isti princip koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je zapisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih trebate svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Prvo nalazimo LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo razlomcima i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako izrežete pizzu od pizze, dobit ćete pizzu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Ispostavilo se da je odgovor obični razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Što može biti učinjeno? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (NOT) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim gcd, odnosno s 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak s brojem, potrebno je brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

Snimanje se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, umnožak se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovice jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i mi uzmemo pola, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka s 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pizze, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množenik i množitelj, dobit ćemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se odgovor pokaže kao netočan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravit ćemo pizzu. Prisjetite se kako pizza izgleda podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva komada koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o otprilike iste veličine pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Pokazalo se da je odgovor obični razlomak, ali bilo bi dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti s najvećim zajednički djelitelj(GCD) brojevi 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora s gcd-om koji smo sada pronašli, to jest s 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Ovo neće promijeniti značenje pet, budući da izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto prema brojua je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak samim sobom, samo naopako:

Što će se dogoditi kao rezultat toga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je obrnuto od broja 5 broj , jer kad pomnožite 5 s dobit ćete jedan.

Recipročna vrijednost broja može se pronaći i za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidljivo je da su se nakon dijeljenja pizze na pola dobila dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Dijeljenje razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi omogućuju vam da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili s brojem, morate razlomak pomnožiti s obrnutim dijelom djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisat ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak s brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj broj 2.

Da biste razlomak podijelili s brojem 2, morate taj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih cijeli život, budući da je u svakodnevnom životu često potrebno razmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dionice. Udjeli su jednaki dijelovi, u koji je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda cijelim brojem, već treba uzeti u obzir dijelove ili razlomke neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici matematike, nazivali su ih "razbijeni brojevi", što je ljudima bilo vrlo teško razumjeti.

Moderan izgled jednostavne frakcijske ostatke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi radovi datiraju iz 1202. godine. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se množe mješoviti razlomci s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je vrijedno odrediti vrste razlomaka:

• ispravan;
• netočno;
• mješoviti.

Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je samostalno formulirati: rezultat množenja prosti razlomci s istim nazivnicima je razlomački izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika tih razlomaka. To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.

Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina je razlika u tome što će dobiveni broj ispod razlomačke crte biti umnožak različitih brojeva i, naravno, kvadrata jednog brojčani izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

U primjerima se koriste metode redukcije frakcijskih izraza. Brojeve brojnika možete smanjiti samo brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod crte razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke postoji i pojam mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako radi množenje?

Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, pravilo za ovu radnju može se napisati kao:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova to pokazuje prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedno rješenje za množenje broja ostatkom u razlomku. Samo trebate podijeliti nazivnik ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Ova tehnika je korisna za korištenje kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.

Mješovite brojeve pretvorimo u neprave razlomke i dobijemo umnožak na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravog razlomka, a može se također predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, gdje se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela s nazivnikom i njegovim zbrajanjem s brojnikom izvornog ostatka razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces također funkcionira u obrnuta strana. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak, morate brojnik nepravilnog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom pomoću "kuta".

Množenje nepravih razlomaka proizvedeni na općeprihvaćen način. Kada pišete ispod jedne crte razlomka, trebate smanjiti razlomke koliko je potrebno kako biste smanjili brojeve ovom metodom i olakšali izračun rezultata.

Na internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programa. Dovoljna količina takve usluge nude svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka različite brojeve u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. U stanju su ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Lako je raditi s njim; ispunite odgovarajuća polja na stranici web-mjesta i odaberete znak matematička operacija i kliknite na "izračunaj". Program izračunava automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima aktualna je u cijelom obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune dobiveno ranije primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro savladano osnovno znanje daje potpuno povjerenje u uspješna odluka najviše složeni zadaci.

Zaključno, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - svoje zasluge - ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.

) i nazivnik po nazivnik (dobivamo nazivnik umnoška).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego počnete množiti brojnike i nazivnike, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje izračune.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojevima.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvarati mješovite razlomke u neprave razlomke;
• množenje brojnika i nazivnika razlomaka;
• smanjiti frakciju;
• Ako dobijete nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti razlomak.

Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak drugim mješovitim razlomkom, prvo ih morate pretvoriti u oblik nepravih razlomaka, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Možda je prikladnije koristiti drugu metodu množenja obični razlomak po broju.

Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

Višekatni razlomci.

U srednjoj školi često se susreću trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, upotrijebite dijeljenje kroz 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati nekoliko dodatnih redaka u svoj nacrt nego se izgubiti u mentalnim proračunima.

2. U zadacima sa različiti tipovi razlomci - prijeći u oblik običnih razlomaka.

3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

4. Višerazinske frakcijske izraze pretvaramo u obične koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.

Zadnji put smo naučili zbrajati i oduzimati razlomke (vidi lekciju “Zbrajanje i oduzimanje razlomaka”). Najteži dio tih akcija bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije još jednostavnije od zbrajanja i oduzimanja. Prvo, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez odvojenog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj bit će brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, morate pomnožiti prvi razlomak s "obrnutim" drugim razlomkom.

Oznaka:

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo kroz lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) reducibilni ulomak - on se, naravno, mora smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, potrebno je istaknuti cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, najveći faktori i najmanji zajednički višekratnici.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelovima i negativnim razlomcima

Ako razlomci sadrže cijeli broj, moraju se pretvoriti u neprave - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, može se izbaciti iz množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus za minus daje minus;
2. Dvije negativne riječi čine potvrdnu.

Do sada su se ova pravila susrela samo kod zbrajanja i oduzimanja negativnih razlomaka, kada se trebalo riješiti cijelog dijela. Za djelo se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko nedostataka odjednom:

1. Prekrižimo negative u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnim slučajevima može preživjeti jedan minus – onaj za koji nije bilo para;
2. Ako nema preostalih minusa, operacija je završena - možete započeti množenje. Ako zadnji minus nije prekrižen jer za njega nije bilo para, iznosimo ga izvan granica množenja. Rezultat je negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Sve razlomke pretvaramo u neprave, a zatim iz množenja izbacujemo minuse. Ono što ostane umnožimo prema uobičajenim pravilima. Dobivamo:

Još jednom podsjećam da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na cijeli njegov dio (ovo se odnosi na zadnja dva primjera).

Također imajte na umu negativni brojevi: Kod množenja se nalaze u zagradama. To je učinjeno kako bi se odvojili minusi od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje razlomaka u hodu

Množenje je vrlo radno intenzivna operacija. Pokazalo se da su brojevi ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili problem, možete pokušati dodatno smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu reducirati korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima crvenom bojom označeni su brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu ostaju jedinice koje, općenito govoreći, ne treba pisati. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpuno smanjenje, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, nikada ne koristite ovu tehniku ​​kada zbrajate i oduzimate razlomke! Da, ponekad postoje slični brojevi koje samo želite smanjiti. Evo, pogledajte:

Ne možete to učiniti!

Pogreška se javlja jer pri zbrajanju brojnik razlomka daje zbroj, a ne umnožak brojeva. Posljedično, nemoguće je primijeniti osnovno svojstvo razlomka, budući da se to svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Drugih razloga za smanjivanje razlomaka jednostavno nema, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Točno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

T vrsta lekcije: ONZ (spoznavanje novih znanja – korištenjem tehnologije aktivnosti nastave).

Osnovni ciljevi:

1. Deducirati načine dijeljenja razlomka prirodnim brojem;
2. Razvijati sposobnost dijeljenja razlomka prirodnim brojem;
3. Ponoviti i učvrstiti dijeljenje razlomaka;
4. Uvježbavati sposobnost smanjivanja razlomaka, analize i rješavanja problema.

Materijal za demonstraciju opreme:

1. Zadaci za obnavljanje znanja:

Usporedite izraze:

Referenca:

2. Probni (individualni) zadatak.

1. Izvršite dijeljenje:

2. Izvršite dijeljenje bez izvođenja cijelog lanca izračuna: .

Standardi:

• Kada razlomak dijelite prirodnim brojem, nazivnik možete pomnožiti s tim brojem, ali brojnik ostaviti isti.

• Ako je brojnik djeljiv s prirodnim brojem, tada kada dijelite razlomak s tim brojem, možete podijeliti brojnik s brojem i ostaviti nazivnik istim.

Tijekom nastave

I. Motivacija (samoodređenje) za obrazovne aktivnosti.

Svrha pozornice:

1. Organizirati ažuriranje zahtjeva za učenika u pogledu obrazovnih aktivnosti („mora”);
2. Organizirati aktivnosti učenika za uspostavljanje tematskih okvira (“Ja mogu”);
3. Stvoriti uvjete da učenik razvije unutarnju potrebu za uključivanjem u obrazovne aktivnosti („Želim“).

Organizacija obrazovnog procesa na I stupnju.

Zdravo! Drago mi je što vas sve vidim na satu matematike. Nadam se da je obostrano.

Dečki, koja ste nova znanja stekli u prošloj lekciji? (Razdijeli razlomke).

Pravo. Što vam pomaže pri dijeljenju razlomaka? (Pravilo, svojstva).

Gdje će nam to znanje? (U primjerima, jednadžbama, zadacima).

Dobro napravljeno! Dobro ste riješili zadatke na prošlom satu. Želite li već danas sami otkriti nova znanja? (Da).

Onda – idemo! A moto lekcije bit će izjava "Ne možete učiti matematiku gledajući svog susjeda kako to radi!"

II. Obnavljanje znanja i otklanjanje individualnih poteškoća u probnoj akciji.

Svrha pozornice:

1. Organizirati ažuriranje naučenih metoda djelovanja dovoljnih za izgradnju novog znanja. Zabilježiti ove metode verbalno (u govoru) i simbolički (standard) i generalizirati ih;
2. Organizirati aktualizaciju mentalnih operacija i kognitivnih procesa dovoljnih za konstruiranje novog znanja;
3. Motivirati za probnu radnju i njezinu samostalnu provedbu i opravdanje;
4. Izložiti pojedinačni zadatak za probnu radnju i analizirati ga kako bi se identificirao novi obrazovni sadržaj;
5. Organizirati fiksiranje obrazovnog cilja i teme lekcije;
6. Organizirati provedbu probne akcije i otkloniti poteškoće;
7. Organizirati analizu dobivenih odgovora i evidentirati pojedinačne poteškoće u izvođenju probne radnje ili opravdavanju iste.

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju II.

Frontalno, pomoću tableta (pojedinačne ploče).

1. Usporedite izraze:

(Ovi izrazi su jednaki)

Koje ste zanimljivosti primijetili? (Brojnik i nazivnik djelitelja, brojnik i nazivnik djelitelja u svakom izrazu uvećani za isti broj puta. Dakle, djelitelji i djelitelji u izrazima prikazani su međusobno jednakim razlomcima).

Pronađite značenje izraza i zapišite ga na svoj tablet. (2)

Kako mogu napisati ovaj broj kao razlomak?

Kako ste izveli akciju podjele? (Djeca recitiraju pravilo, učitelj ga objesi na ploču slovne oznake)

2. Izračunajte i zabilježite samo rezultate:

3. Zbrojite rezultate i zapišite odgovor. (2)

Kako se zove broj dobiven u 3. zadatku? (prirodno)

Mislite li da možete razlomak podijeliti prirodnim brojem? (Da, pokušat ćemo)

Pokušaj ovo.

4. Individualni (probni) zadatak.

Izvršite dijeljenje: (samo primjer a)

Koje ste pravilo koristili za dijeljenje? (Prema pravilu dijeljenja razlomaka razlomkom)

Sada podijelite razlomak s prirodnim brojem većim od na jednostavan način, bez izvođenja cijelog lanca izračuna: (primjer b). Dajem ti 3 sekunde za ovo.

Tko nije uspio riješiti zadatak za 3 sekunde?

Tko je to napravio? (takvih nema)

Zašto? (Ne znamo put)

Što si dobio? (Teškoća)

Što mislite, što ćemo raditi u razredu? (Podijeli razlomke prirodnim brojevima)

Tako je, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije: “Dijeljenje razlomka prirodnim brojem.”

Zašto ova tema zvuči novo kada već znate kako dijeliti razlomke? (Potreban je novi način)

Pravo. Danas ćemo uspostaviti tehniku ​​koja pojednostavljuje dijeljenje razlomka prirodnim brojem.

III. Identificiranje mjesta i uzroka problema.

Svrha pozornice:

1. Organizirati obnovu dovršenih operacija i zabilježiti (verbalno i simbolično) mjesto – korak, operaciju – gdje je nastala poteškoća;
2. Organizirati korelaciju učeničkih radnji s metodom (algoritmom) koja se koristi i bilježi vanjski govor razlozi za poteškoće - ona specifična znanja, vještine ili sposobnosti koje nedostaju za rješavanje početnog problema ove vrste.

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju III.

Koji ste zadatak morali izvršiti? (Podijelite razlomak prirodnim brojem bez prolaska kroz cijeli lanac izračuna)

Što vam je stvaralo poteškoće? (Nisam se mogao odlučiti za kratko vrijeme brz način)

Koji cilj postavljamo sebi u lekciji? (Pronaći brz način dijeljenje razlomka prirodnim brojem)

Što će vam pomoći? (Već poznato pravilo za dijeljenje razlomaka)

IV. Izrada projekta za izlazak iz problema.

Svrha pozornice:

1. Pojašnjenje cilja projekta;
2. Izbor metode (razjašnjenje);
3. Određivanje srednjih vrijednosti (algoritam);
4. Izgradnja plana za postizanje cilja.

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju IV.

Vratimo se testnom zadatku. Rekli ste da ste dijelili po pravilu za dijeljenje razlomaka? (Da)

Da biste to učinili, prirodni broj zamijenite razlomkom? (Da)

Što mislite, koji se korak (ili koraci) mogu preskočiti?

(Lanac rješenja je otvoren na ploči:

Analizirati i donijeti zaključak. (Korak 1)

Ako nema odgovora, vodimo vas kroz pitanja:

Gdje je nestao prirodni djelitelj? (U nazivnik)

Je li se brojnik promijenio? (Ne)

Dakle, koji korak možete "izostaviti"? (Korak 1)

Plan akcije:

• Pomnožite nazivnik razlomka s prirodnim brojem.
• Brojnik ne mijenjamo.
• Dobivamo novi razlomak.

V. Provedba izvedenog projekta.

Svrha pozornice:

1. Organizirati komunikacijsku interakciju u svrhu realizacije konstruiranog projekta s ciljem stjecanja nedostajućih znanja;
2. Organizirati bilježenje izgrađene metode radnje u govoru i znakovima (pomoću standarda);
3. Organizirati rješenje početnog problema i zabilježiti kako prevladati poteškoću;
4. Organizirajte pojašnjenje opće prirode novog znanja.

Organizacija obrazovnog procesa na V. stupnju.

Sada brzo pokrenite testni slučaj na novi način.

Sada ste uspjeli brzo izvršiti zadatak? (Da)

Objasni kako si to napravio? (Djeca govore)

To znači da smo stekli novo znanje: pravilo dijeljenja razlomka prirodnim brojem.

Dobro napravljeno! Recite to u paru.

Zatim jedan učenik govori razredu. Pravilo-algoritam fiksiramo verbalno iu obliku standarda na ploči.

Sada unesite oznake slova i zapišite formulu za naše pravilo.

Učenik zapisuje na ploču, izgovarajući pravilo: kada razlomak dijelite prirodnim brojem, nazivnik možete pomnožiti s tim brojem, ali brojnik ostaviti isti.

(Svi zapisuju formulu u svoje bilježnice).

Sada ponovno analizirajte lanac rješavanja ispitnog zadatka, s posebnom pažnjom na odgovor. Što si učinio? (Brojnik razlomka 15 podijelili smo (umanjili) brojem 3)

Koji je ovo broj? (Natural, djelitelj)

Dakle, kako drugačije možete podijeliti razlomak prirodnim brojem? (Provjera: ako je brojnik razlomka djeljiv ovim prirodnim brojem, tada možete brojnik podijeliti s tim brojem, rezultat upisati u brojnik novog razlomka, a nazivnik ostaviti isti)

Zapišite ovu metodu kao formulu. (Učenik zapisuje pravilo na ploču dok ga izgovara. Svatko zapisuje formulu u svoju bilježnicu.)

Vratimo se na prvu metodu. Možete ga koristiti ako: n? (Da to opća metoda)

A kada je prikladno koristiti drugu metodu? (Kada se brojnik razlomka podijeli prirodnim brojem bez ostatka)

VI. Primarna konsolidacija s izgovorom u vanjskom govoru.

Svrha pozornice:

1. Organizirajte dječju asimilaciju nove metode djelovanja pri rješavanju standardnih problema s njihovim izgovorom u vanjskom govoru (frontalno, u paru ili grupi).

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju VI.

Izračunajte na novi način:

• Br. 363 (a; d) - izvodi se za pločom, izgovarajući pravilo.
• br. 363 (e; f) - u paru uz provjeru prema uzorku.

VII. Samostalni rad uz samotestiranje prema standardu.

Svrha pozornice:

1. Organizirati samostalno rješavanje zadataka učenika za novi način djelovanja;
2. Organizirati samotestiranje na temelju usporedbe sa standardom;
3. Na temelju rezultata izvršenja samostalan rad organizirati razmišljanje o usvajanju novog načina djelovanja.

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju VII.

Izračunajte na novi način:

• br. 363 (b; c)

Učenici provjeravaju standard i ocjenjuju ispravnost izvedbe. Uzroci grešaka se analiziraju i greške se ispravljaju.

Učitelj pita one učenike koji su pogriješili, koji je razlog?

U ovoj fazi važno je da svaki učenik samostalno provjeri svoj rad.

VIII. Uključivanje u sustav znanja i ponavljanje.

Svrha pozornice:

1. Organizirati utvrđivanje granica primjene novih znanja;
2. Organizirati ponavljanje obrazovnih sadržaja potrebnih za osiguranje smislenog kontinuiteta.

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju VIII.

Organizacija obrazovnog procesa na stupnju IX.

1. Dijalog:

Dečki, koja ste nova znanja danas otkrili? (Naučili kako na jednostavan način podijeliti razlomak prirodnim brojem)

Formulirajte opću metodu. (Oni kažu)

Na koji način i u kojim slučajevima ga možete koristiti? (Oni kažu)

Koja je prednost nove metode?

Jesmo li postigli cilj lekcije? (Da)

Koja ste znanja koristili da postignete svoj cilj? (Oni kažu)

Je li vam sve uspjelo?

Koje su bile poteškoće?

2. Domaća zadaća: klauzula 3.2.4.; br. 365 (l, n, o, p); broj 370.

3. Učitelj, nastavnik, profesor: Drago mi je da su danas svi bili aktivni i uspjeli pronaći izlaz iz teškoće. I što je najvažnije, nisu bili susjedi prilikom otvaranja novog i osnivanja istog. Hvala na lekciji, djeco!