Shvatimo što je smanjenje razlomaka, zašto i kako smanjiti razlomke, i dajmo pravilo za smanjenje razlomaka i primjere njegove upotrebe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što je "smanjenje razlomaka"

Skratiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik zajedničkim faktorom koji je pozitivan i razlikuje se od jedan.

Kao rezultat ove radnje dobit će se razlomak s novim brojnikom i nazivnikom, jednak izvornom razlomku.

Na primjer, uzmimo obični razlomak 6 24 i smanjimo ga. Podijelite brojnik i nazivnik s 2, što rezultira 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. U ovom smo primjeru smanjili izvorni razlomak za 2.

Svođenje razlomaka u nesvodivi oblik

U prethodnom smo primjeru smanjili razlomak 6 24 za 2, što je rezultiralo razlomkom 3 12. Lako je vidjeti da se ovaj razlomak može dodatno smanjiti. Obično je cilj smanjivanja razlomaka dobiti nesvodivi razlomak. Kako svesti razlomak na njegov nesvodivi oblik?

To se može učiniti smanjenjem brojnika i nazivnika za njihov najveći zajednički faktor (GCD). Zatim, svojstvom najvećeg zajednički djelitelj, brojnik i nazivnik će imati međusobno proste brojeve, a razlomak će biti nesvodiv.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Svođenje razlomka na nesvodivi oblik

Da biste razlomak sveli na njegov nesvodivi oblik, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik njihovim gcd-om.

Vratimo se razlomku 6 24 iz prvog primjera i dovedemo ga u nesvodivi oblik. Najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 24 je 6. Skratimo razlomak:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Smanjenje razlomaka prikladno je koristiti kako ne biste radili s velikim brojevima. Općenito, u matematici postoji neizgovoreno pravilo: ako možete pojednostaviti bilo koji izraz, onda to morate učiniti. Skratiti razlomak najčešće znači svođenje na nesvodivi oblik, a ne jednostavno svođenje na zajednički djelitelj brojnika i nazivnika.

Pravilo za smanjivanje razlomaka

Da biste smanjili razlomke, samo zapamtite pravilo koje se sastoji od dva koraka.

Pravilo za smanjivanje razlomaka

Za smanjenje razlomka potrebno je:

1. Odredite NNO brojnika i nazivnika.
2. Podijelite brojnik i nazivnik njihovim gcd-om.

Pogledajmo praktične primjere.

Primjer 1. Skratimo razlomak.

Zadan je razlomak 182 195. Skratimo.

Nađimo gcd brojnika i nazivnika. U tu svrhu u u ovom slučaju Najprikladnije je koristiti euklidski algoritam.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Podijelite brojnik i nazivnik s 13. Dobivamo:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Spreman. Dobili smo nesvodivi razlomak koji je jednak izvornom razlomku.

Kako drugačije možete smanjiti razlomke? U nekim je slučajevima prikladno rastaviti brojnik i nazivnik na proste faktore, a zatim ukloniti sve zajedničke faktore iz gornjeg i donjeg dijela razlomka.

Primjer 2. Skrati razlomak

Dat je razlomak 360 2940. Skratimo.

Da biste to učinili, zamislite izvorni razlomak u obliku:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Oslobodimo se zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku, što rezultira:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Na kraju, pogledajmo još jedan način smanjivanja razlomaka. To je takozvana sekvencijalna redukcija. Koristeći ovu metodu, redukcija se provodi u nekoliko faza, u svakoj od kojih se ulomak smanjuje za neki očiti zajednički faktor.

Primjer 3. Skrati razlomak

Skratimo razlomak 2000 na 4400.

Odmah je jasno da brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor 100. Razlomak smanjimo za 100 i dobijemo:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Rezultirajući rezultat ponovno smanjujemo za 2 i dobivamo nesvodljivi razlomak:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, prvo pogledajmo primjer.

Skratiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik istom stvari. I 360 i 420 završavaju znamenkom, pa ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. U novom razlomku i 180 i 210 također su djeljivi s 2, pa taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105 zbroj znamenki je djeljiv s 3, tako da su oba ova broja djeljiva s 3, smanjujemo razlomak za 3. U novom razlomku, 30 i 35 završavaju s 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva s 5, pa smanjujemo razlomak s 5. Dobiveni razlomak od šest sedmina je neskrativ. Ovo je konačan odgovor.

Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.

I 360 i 420 završavaju nulom, što znači da su djeljivi s 10. Razlomak smanjujemo za 10. U novom razlomku i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se s 2. Razlomak smanjujemo za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i nazivnik 21 dijelimo s 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.

I još jedno rješenje.

Sljedeći put ćemo pogledati primjere skraćivanja razlomaka.

Online kalkulator izvodi smanjenje algebarski razlomci u skladu s pravilom smanjivanja razlomaka: zamjenom izvornog razlomka jednakim razlomkom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom, tj. Istodobno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajedničkim faktorom (GCD). Kalkulator također prikazuje detaljno rješenje koje će vam pomoći razumjeti redoslijed smanjenja.

dano:

Riješenje:

Izvođenje redukcije razlomaka

provjera mogućnosti izvođenja redukcije algebarskih razlomaka

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (NOD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka

smanjivanje brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cijelog dijela razlomka

odvajanje cijelog dijela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvaranje algebarskog razlomka u decimal

Pomoć za razvoj web stranice projekta

Dragi posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili, svakako napišite o tome u komentarima, što trenutno nedostaje na stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kojem smjeru trebamo dalje ići, a uskoro će i drugi posjetitelji moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se web mjesto pokazalo korisnim, donirajte ga projektu samo 2 ₽ i znat ćemo da se krećemo u dobrom smjeru.

Hvala vam što ste svratili!

I. Postupak smanjivanja algebarskog razlomka pomoću online kalkulatora:

1. Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak mješovit, ispunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite polje cijelog dijela prazno.
2. Da biste odredili negativan razlomak, stavite znak minus na cijeli dio razlomka.
3. Ovisno o navedenom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći niz radnji:

• određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (NOD) brojnika i nazivnika razlomka;
• smanjenje brojnika i nazivnika razlomka za gcd;
• isticanje cijelog dijela razlomka, ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
• pretvaranje konačnog algebarskog razlomka u decimalni razlomak zaokruženo na najbližu stotinku.

II. Za referencu:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Obični razlomak(prosti razlomak) piše se kao dva broja (brojnik razlomka i nazivnik razlomka) odvojena vodoravnom crtom (razlomak) koja označava znak dijeljenja. Brojnik razlomka je broj iznad razlomka. Brojnik pokazuje koliko je dionica izdvojeno iz cjeline. Nazivnik razlomka je broj ispod razlomke. Nazivnik pokazuje na koliko je jednakih dijelova cjelina podijeljena. Prosti razlomak je razlomak koji nema cijeli dio. Jednostavni razlomak može biti pravilan i nepravilan. pravi razlomak – razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer pravilnih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravi razlomak je razlomak u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku, pa je nepravi razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravih razlomaka: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak je broj koji sadrži cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbroj tog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak može se pretvoriti u nepravi razlomak prosti razlomak. Primjer mješovite frakcije: 1¼, 2½, 4¾.

III. Bilješka:

1. Blok izvornih podataka označen žuta boja , plavom bojom označen je blok međuizračunavanja, blok rješenja označen je zelenom bojom.
2. Za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjem.

Mnogi učenici rade iste pogreške kada rade s razlomcima. A sve zato što zaboravljaju osnovna pravila aritmetika. Danas ćemo ponoviti ova pravila na specifične zadatke koje dajem na svojim predavanjima.

Evo zadatka koji nudim svima koji se pripremaju za Jedinstveni državni ispit iz matematike:

Zadatak. Pliskavica dnevno pojede 150 grama hrane. No odrasla je i počela jesti 20% više. Koliko grama hrane sada pojede svinja?

Ne ispravno rješenje. Ovo je problem postotka koji se svodi na jednadžbu:

Mnogi (jako mnogi) smanjuju broj 100 u brojniku i nazivniku razlomka:

Ovo je pogreška koju je moj učenik napravio upravo na dan pisanja ovog članka. Brojevi koji su skraćeni označeni su crvenom bojom.

Nepotrebno je reći da je odgovor bio pogrešan. Prosudite sami: svinja je pojela 150 grama, ali je počela jesti 3150 grama. Povećanje nije 20%, već 21 puta, tj. za 2000%.

Kako biste izbjegli takve nesporazume, zapamtite osnovno pravilo:

Samo se množitelji mogu smanjiti. Termini se ne smanjuju!

Dakle, ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Crvenom bojom označeni su brojevi koji su skraćeno u brojniku i nazivniku. Kao što vidite, brojnik je proizvod, nazivnik je običan broj. Dakle, smanjenje je potpuno legalno.

Rad s proporcijama

Još problematično područje — proporcije. Pogotovo kada je varijabla s obje strane. Na primjer:

Zadatak. Riješite jednadžbu:

Pogrešno rješenje - neke ljude doslovno žulja da sve skrate za m:

Reducirane varijable prikazane su crvenom bojom. Izraz 1/4 = 1/5 ispada potpuna besmislica, ti brojevi nikad nisu jednaki.

A sada - prava odluka. U suštini to je obično Linearna jednadžba . Može se riješiti pomicanjem svih elemenata na jednu stranu ili osnovnim svojstvom proporcije:

Mnogi će čitatelji prigovoriti: "Gdje je greška u prvom rješenju?" Pa, idemo saznati. Prisjetimo se pravila za rad s jednadžbama:

Svaka jednadžba se može podijeliti i pomnožiti bilo kojim brojem, različit od nule.

Jeste li promašili trik? Možete dijeliti samo brojevima različit od nule. Konkretno, možete dijeliti s varijablom m samo ako je m != 0. Ali što ako je ipak m = 0? Zamijenimo i provjerimo:

Dobili smo točnu numeričku jednakost, tj. m = 0 je korijen jednadžbe. Za preostali m != 0 dobivamo izraz oblika 1/4 = 1/5, što je naravno netočno. Dakle, ne postoje korijeni različiti od nule.

Zaključci: sve zajedno

Dakle, riješiti frakcijske racionalne jednadžbe zapamti tri pravila:

1. Samo se množitelji mogu smanjiti. Dodaci nisu mogući. Stoga nauči rastavljati brojnik i nazivnik na faktore;
2. Glavno svojstvo razmjera: umnožak krajnjih elemenata jednak je umnošku srednjih;
3. Jednadžbe se mogu množiti i dijeliti samo brojevima k koji nisu nula. Slučaj k = 0 mora se posebno provjeriti.

Zapamtite ova pravila i nemojte griješiti.