Odjeljci stranice

Izbor urednika:

Oglašavanje

Dom - Namještaj

Rješavanje razlomljenih cjelobrojnih jednadžbi. Razlomačke racionalne jednadžbe. Algoritam rješenja

U ovom članku ću vam pokazati algoritmi za rješavanje sedam vrsta racionalnih jednadžbi, koji se promjenom varijabli može svesti na kvadratni. U većini slučajeva, transformacije koje dovode do zamjene vrlo su netrivijalne i vrlo je teško sami pogoditi o njima.

Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako napraviti promjenu varijable u njoj, a zatim prikazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorialu.

Imate priliku sami nastaviti rješavati jednadžbe, a zatim svoje rješenje provjeriti pomoću video lekcije.

Dakle, počnimo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Imajte na umu da se na lijevoj strani jednadžbe nalazi umnožak četiriju zagrada, a na desnoj strani broj.

1. Grupirajmo zagrade po dvije tako da zbroj slobodnih članova bude isti.

2. Umnožite ih.

3. Uvedimo promjenu varijable.

U našoj jednadžbi grupirat ćemo prvu zagradu s trećom, a drugu s četvrtom, jer (-1)+(-4)=(-7)+2:

U ovom trenutku zamjena varijabli postaje očita:

Dobili smo jednadžbu

Odgovor:

2 .

Jednadžba ovog tipa slična je prethodnoj s jednom razlikom: na desnoj strani jednadžbe nalazi se umnožak broja i . I to se rješava na potpuno drugačiji način:

1. Grupiramo zagrade po dvije tako da umnožak slobodnih članova bude isti.

2. Umnožite svaki par zagrada.

3. Oduzimamo x iz svakog faktora.

4. Podijelite obje strane jednadžbe s .

5. Uvodimo promjenu varijable.

U ovoj jednadžbi grupiramo prvu zagradu s četvrtom, a drugu s trećom, jer:

Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni član isti. Izdvojimo faktor iz svake zagrade:

Budući da x=0 nije korijen izvorne jednadžbe, obje strane jednadžbe dijelimo s . Dobivamo:

Dobivamo jednadžbu:

Odgovor:

3 .

Imajte na umu da su nazivnici oba razlomka kvadratni trinomi, za koji su vodeći koeficijent i slobodni član isti. Izvadimo x iz zagrade, kao u jednadžbi drugog tipa. Dobivamo:

Podijelite brojnik i nazivnik svakog razlomka s x:

Sada možemo uvesti zamjenu varijable:

Dobivamo jednadžbu za varijablu t:

4 .

Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe simetrični u odnosu na središnji. Ova se jednadžba zove povratna .

Da biste to riješili,

1. Podijelimo obje strane jednadžbe s (To možemo učiniti jer x=0 nije korijen jednadžbe.) Dobivamo:

2. Grupirajmo pojmove na ovaj način:

3. U svakoj grupi izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

4. Predstavimo zamjenu:

5. Izrazite kroz t izraz:

Odavde

Dobivamo jednadžbu za t:

Odgovor:

5. Homogene jednadžbe.

Jednadžbe koje imaju homogenu strukturu mogu se susresti pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijskih jednadžbi, pa ih treba znati prepoznati.

Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

U ovoj jednakosti A, B i C su brojevi, a kvadrat i kružić označavaju identične izraze. To jest, na lijevoj strani homogene jednadžbe nalazi se zbroj monoma istog stupnja (u u ovom slučaju stupanj monoma je 2), a nema slobodnog člana.

Riješiti homogena jednadžba, podijelite obje strane s

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti jesu li korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Idemo prvim putem. Dobivamo jednadžbu:

Sada uvodimo zamjenu varijabli:

Pojednostavimo izraz i dobijemo bi kvadratna jednadžba u odnosu na t:

Odgovor: ili

7 .

Ova jednadžba ima sljedeću strukturu:

Da biste je riješili, trebate odabrati cijeli kvadrat na lijevoj strani jednadžbe.

Da biste odabrali puni kvadrat, trebate dodati ili oduzeti dva puta umnožak. Tada dobivamo kvadrat zbroja ili razlike. Ovo je ključno za uspješnu zamjenu varijabli.

Počnimo pronalaženjem dvostrukog proizvoda. Ovo će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj jednadžbi, dvostruki umnožak je jednak

Sada shvatimo što nam je prikladnije imati - kvadrat zbroja ili razlike. Razmotrimo prvo zbroj izraza:

Sjajno! Ovaj izraz je točno jednak dvostrukom umnošku. Zatim, da biste dobili kvadrat zbroja u zagradama, trebate zbrojiti i oduzeti dvostruki umnožak:

Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima je barem jedna varijabla u nazivniku.

Na primjer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primjer Ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rješavaju razlomljene racionalne jednadžbe?

Glavna stvar koju treba zapamtiti o frakcijskim racionalnim jednadžbama je da morate pisati u njima. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite za dopuštenost. Inače se mogu pojaviti strani korijeni, a cijela će se odluka smatrati netočnom.

Algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe:

Zapišite i “riješite” ODZ.

Pomnožite svaki član u jednadžbi s zajednički nazivnik i reducirajte dobivene ulomke. Nazivnici će nestati.

Napiši jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješite dobivenu jednadžbu.

Pronađene korijene provjeriti ODZ-om.

Zapišite u svoj odgovor korijene koji su prošli test u koraku 7.

Nemojte pamtiti algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi i zapamtit će se sam.

Primjer . Riješite razlomkom racionalna jednadžba \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Riješenje:

Odgovor: \(3\).

Primjer . Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe \(=0\)

Riješenje:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapisujemo i “rješavamo” ODZ. Proširujemo \(x^2+7x+10\) u prema formuli: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Srećom, već smo pronašli \(x_1\) i \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očito, zajednički nazivnik razlomaka je \((x+2)(x+5)\). Njime množimo cijelu jednadžbu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Smanjenje razlomaka
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otvaranje zagrada
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Predstavljamo slični pojmovi
\(2x^2+9x-5=0\)		Pronalaženje korijena jednadžbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jedan od korijena ne odgovara ODZ-u, pa u odgovor upisujemo samo drugi korijen.

Odgovor: \(\frac(1)(2)\).

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

formiranje pojma frakcijske racionalne jednadžbe;
razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi;
razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli;
naučiti rješavati razlomačke racionalne jednadžbe pomoću algoritma;
provjera razine usvojenosti teme provođenjem testa.

Razvojni:

razvijanje sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem i logičkog razmišljanja;
razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija;
razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka i ne zaustavljanja na tome;
razvoj kritičkog mišljenja;
razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

poticanje kognitivnog interesa za predmet;
poticanje samostalnosti u donošenju odluka obrazovne zadatke;
njegovanje volje i ustrajnosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana razlomački racionalni izrazi nazivaju se razlomačke racionalne jednadžbe. Što mislite što ćemo danas učiti na satu? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.”

2. Obnavljanje znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji će nam trebati za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)
Kako se zove jednadžba broj 1? ( Linearno.) Riješenje linearne jednadžbe. (Prenesite sve s nepoznatim na lijeva strana jednadžbe, svi brojevi su s desne strane. Navedite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).
Kako se zove jednadžba broj 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Izdvajanje potpunog kvadrata pomoću formula koje koriste Vietin teorem i njegove korolare.)
Što je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)
Koja se svojstva koriste pri rješavanju jednadžbi? ( 1. Ako član jednadžbe premjestite iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.)
Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula..)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Riješite jednadžbu br. 2 u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Jednačinu br. 4 riješite u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu broj 7 pomoću jedne od sljedećih metoda.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Odgovor: 0;5;-2.			Odgovor: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada se učenici nisu susreli s konceptom stranog korijena; doista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, tada učitelj postavlja sugestivna pitanja.

Kako se jednadžbe br. 2 i 4 razlikuju od jednadžbi br. 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi s varijablom.)
Što je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinita.)
Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Provjerite.)

Kod testiranja neki učenici primjećuju da moraju dijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji nam omogućuje da eliminiramo ovu pogrešku? Da, ova se metoda temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

Pomaknite sve na lijevu stranu.
Svedi razlomke na zajednički nazivnik.
Napravite sustav: razlomak je jednak nuli kada je brojnik jednak nuli, a nazivnik nije jednak nuli.
Riješite jednadžbu.
Provjerite nejednakost da biste isključili nepotrebne korijene.
Zapiši odgovor.

Rasprava: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: iz njegovih korijena isključite one koji zajednički nazivnik nestaju).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju kako će riješiti jednadžbu ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); broj 601(a,e,g). Nastavnik prati izvođenje zadatka, odgovara na sva postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samoprovjera: odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 – strani korijen. Odgovor: 3.

c) 2 – strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

Pročitati 25. odlomak iz udžbenika, analizirati primjere 1-3.
Naučite algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi.
Riješite u bilježnicama br.600 (a,d,e); br. 601(g,h).
Pokušajte riješiti br. 696(a) (po izboru).

6. Izrada kontrolnog zadatka na obrađenu temu.

Rad se izvodi na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje su od jednadžbi frakcijsko racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli ako je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe broj 6?

D) Riješite jednadžbu br.7.

Kriteriji ocjenjivanja zadatka:

“5” se daje ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
“2” dobiva učenik koji je riješio manje od 50% zadatka.
Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 nije obavezna.

7. Odraz.

Na listiće za samostalan rad upišite:

1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
2 – zanimljivo, ali nejasno;
3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
4 – nezanimljivo, nejasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti te jednadžbe različiti putevi, provjerili su svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate samostalnog rada saznat ćete na sljedećem satu, a kod kuće ćete imati priliku učvrstiti svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, što biste trebali zapamtiti? U čemu je "lukavstvo" razlomljenih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

"Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

formiranje pojma frakcijske racionalne jednadžbe; razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi; razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli; naučiti rješavati razlomačke racionalne jednadžbe pomoću algoritma; provjera razine usvojenosti teme provođenjem testa.

Razvojni:

razvijanje sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem i logičkog razmišljanja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka i ne zaustavljanja na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

poticanje kognitivnog interesa za predmet; poticanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; njegovanje volje i ustrajnosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

2. Obnavljanje znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji će nam trebati za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)

2. Kako se zove jednadžba br. 1? ( Linearno.) Metoda rješavanja linearnih jednadžbi. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. Navedite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).

3. Kako se zove jednadžba br. 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Izdvajanje potpunog kvadrata pomoću formula koje koriste Vietin teorem i njegove korolare.)

4. Što je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)

5. Koja se svojstva koriste pri rješavanju jednadžbi? ( 1. Ako član jednadžbe premjestite iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.)

6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula..)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Riješite jednadžbu br. 2 u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Jednačinu br. 4 riješite u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu broj 7 pomoću jedne od sljedećih metoda.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odgovor: 0;5;-2.			Odgovor: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

U jednadžbama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi s varijablom

Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinita

Provjerite

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve na lijevu stranu.

2. Svedi razlomke na zajednički nazivnik.

3. Napravite sustav: razlomak je jednak nuli kada je brojnik jednak nuli, a nazivnik nije jednak nuli.

4. Riješite jednadžbu.

5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.

6. Zapišite odgovor.

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju kako će riješiti jednadžbu ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika “Algebra 8”, 2007.: br. 000 (b, c, i); br. 000(a, d, g). Nastavnik prati izvođenje zadatka, odgovara na sva postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samoprovjera: odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 – strani korijen. Odgovor: 3.

c) 2 – strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

2. Naučiti algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.

3. Riješite u bilježnicama br.000 (a,d,e); br. 000 (g, h).

4. Pokušajte riješiti br. 000(a) (nije obavezno).

6. Izrada kontrolnog zadatka na obrađenu temu.

Rad se izvodi na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje su od jednadžbi frakcijsko racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli ako je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe broj 6?

D) Riješite jednadžbu br.7.

Kriteriji ocjenjivanja zadatka:

“5” se daje ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” se daje učeniku koji je završio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 nije obavezna.

7. Odraz.

Na listiće za samostalan rad upišite:

1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 – zanimljivo, ali nejasno; 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 – nezanimljivo, nejasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se na satu upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili rješavati te jednadžbe na razne načine te provjerili svoje znanje uz pomoć samostalnog obrazovnog rada. Rezultate samostalnog rada saznat ćete na sljedećem satu, a kod kuće ćete imati priliku učvrstiti svoje znanje.

Hvala svima, lekcija je gotova.

T. Kosjakova,
Škola br. 80, Krasnodar

Rješavanje kvadratnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Svrha lekcije: razviti sposobnost rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre.

Vrsta lekcije: uvođenje novog gradiva.

1. (usmeno) Riješite jednadžbe:

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Riješenje.

Pronađimo nevažeće vrijednosti a:

Odgovor. Ako Ako a = – 19 , onda nema korijena.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Riješenje.

Pronađimo nevažeće vrijednosti parametra a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovor. Ako a = 5 a № 5 , To x=10– a .

Primjer 3. Na kojim vrijednostima parametara b jednadžba Ima:

a) dva korijena; b) jedini korijen?

Riješenje.

1) Pronađite nevažeće vrijednosti parametra b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ili b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ili b = – 2.

2) Riješite jednadžbu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

Isključivanje nevažećih vrijednosti parametara b , nalazimo da jednadžba ima dva korijena if b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ali ovo je nevažeća vrijednost parametra b ; Ako b 2 –1=0 , tj. b=1 ili.

Odgovor: a) ako b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , zatim dva korijena; b) ako b=1 ili b=–1 , zatim jedini korijen.

Samostalni rad

opcija 1

Riješite jednadžbe:

opcija 2

Riješite jednadžbe:

Odgovori

U 1. i ako a=3 , tada nema korijena; Ako b) ako ako a № 2 , onda nema korijena.

U 2. Ako a=2 , tada nema korijena; Ako a=0 , tada nema korijena; Ako
b) ako a=– 1 , tada jednadžba postaje besmislena; ako nema korijena;
Ako

Domaća zadaća.

Riješite jednadžbe:

Odgovori: a) Ako a № –2 , To x= a ; Ako a=–2 , onda nema rješenja; b) ako a № –2 , To x=2; Ako a=–2 , onda nema rješenja; c) ako a=–2 , To x– bilo koji broj osim 3 ; Ako a № –2 , To x=2; d) ako a=–8 , tada nema korijena; Ako a=2 , tada nema korijena; Ako

Lekcija 5

Tema lekcije:"Rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre."

Ciljevi lekcije:

osposobljavanje za rješavanje jednadžbi s nestandardnim uvjetima;
svjesno usvajanje algebarskih pojmova i veza među njima od strane učenika.

Vrsta lekcije: sistematizacija i generalizacija.

Provjera domaće zadaće.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

a) u odnosu na x; b) u odnosu na y.

Riješenje.

a) Pronađite nevažeće vrijednosti g: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– nevažeća vrijednost parametra g.

Ako g№ 0 , To x=y–2; Ako y=0, tada jednadžba postaje besmislena.

b) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nevažeća vrijednost parametra x; y(2+x–y)=0, y=0 ili y=2+x;

y=0 ne zadovoljava uvjet y(y–x)№ 0 .

Odgovor: a) ako y=0, tada jednadžba postaje besmislena; Ako g№ 0 , To x=y–2; b) ako x=0 x№ 0 , To y=2+x .

Primjer 2. Za koje su cjelobrojne vrijednosti parametra a korijeni jednadžbe pripadaju intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ako a № 0 ili a № – 1 , To

Odgovor: 5 .

Primjer 3. Pronađite relativno x cjelobrojna rješenja jednadžbe

Odgovor. Ako y=0, onda jednadžba nema smisla; Ako y=–1, To x– bilo koji cijeli broj osim nule; Ako y№ 0, y№ – 1, onda nema rješenja.

Primjer 4. Riješite jednadžbu s parametrima a I b .

Ako a№ –b , To

Odgovor. Ako a= 0 ili b= 0 , tada jednadžba postaje besmislena; Ako a№ 0, b№ 0, a=–b , To x– bilo koji broj osim nule; Ako a№ 0, b№ 0, a№ –b, Da x=–a, x=–b .

Primjer 5. Dokažite da za bilo koju vrijednost parametra n osim nule, jednadžba ima jedan korijen jednak – n .

Riješenje.

tj. x=–n, što je i trebalo dokazati.

Domaća zadaća.

1. Pronađite cjelobrojna rješenja jednadžbe

2. Na kojim vrijednostima parametara c jednadžba Ima:
a) dva korijena; b) jedini korijen?

3. Pronađite sve cjelobrojne korijene jednadžbe Ako a OKO N .

4. Riješite jednadžbu 3xy – 5x + 5y = 7: a) relativno g; b) relativno x .

1. Jednadžba je zadovoljena svakim cijelim brojem jednakim vrijednostima x i y osim nule.
2. a) Kada
b) kod ili
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ako tada nema korijena; Ako
b) ako tada nema korijena; Ako

Test

opcija 1

1. Odredite vrstu jednadžbe 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 kad) c=–3; b) c=2; V) c=4 .

2. Riješite jednadžbe: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Riješite jednadžbu 3x–xy–2y=1:

a) relativno x ;
b) relativno g .

nx 2 – 26x + n = 0, znajući da parametar n prihvaća samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti b vrijedi jednadžba Ima:

a) dva korijena;
b) jedini korijen?

opcija 2

1. Odredite vrstu jednadžbe 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 kad) c=–4 ; b) c=7; V) c=1 .

2. Riješite jednadžbe: a) y 2 +cy=0; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Riješite jednadžbu 6x–xy+2y=5:

a) relativno x ;
b) relativno g .

4. Pronađite cjelobrojne korijene jednadžbe nx 2 –22x+2n=0 , znajući da parametar n prihvaća samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti parametra a vrijedi jednadžba Ima:

a) dva korijena;
b) jedini korijen?

Odgovori

U 1. 1. a) Linearna jednadžba;
b) nepotpuna kvadratna jednadžba; c) kvadratna jednadžba.
2. a) Ako b=0, To x=0; Ako b№ 0, To x=0, x=b;
b) Ako cO (9;+Ґ ), tada nema korijena;
c) ako a=–4 , tada jednadžba postaje besmislena; Ako a№ –4 , To x=– a .
3. a) Ako y=3, tada nema korijena; Ako);
b) a=–3, a=1.

Dodatni zadaci

Riješite jednadžbe:

Književnost

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrima od samog početka. – Tutor, broj 2/1991., str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Potrebni uvjeti u problemima s parametrima. – Kvant, broj 11/1991., str. 44–49 (prikaz, ostalo).
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Rješavanje problema koji sadrži parametre. Dio 2. – M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pet stotina četrnaest problema s parametrima. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Problemi s parametrima. – M., Obrazovanje, 1986.

Čitati:

Zašto često sanjate svinje? Tumačenje snova češljati kosu Vidjeti nove zavjese u snu Radne obveze sudskog izvršitelja Informacije o tome gdje izvršiti privremenu registraciju za državljane Ruske Federacije u mjestu boravka