Dano je 8 primjera faktoringa polinoma. Oni uključuju primjere rješavanja kvadratnih i bikvadratnih jednadžbi, primjere recipročnih polinoma i primjere pronalaženja cjelobrojnih korijena polinoma trećeg i četvrtog stupnja.

1. Primjeri s rješavanjem kvadratne jednadžbe

Primjer 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Riješenje

Izvadimo x 2 izvan zagrada:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Korijeni jednadžbe:
, .

.

Odgovor

Primjer 1.2

Faktor polinoma trećeg stupnja:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Riješenje

Izvadimo x iz zagrada:
.
Odlučimo se kvadratna jednadžba x 2 + 6 x + 9 = 0:
Njegov diskriminant: .
Budući da je diskriminant nula, korijeni jednadžbe su višestruki: ;
.

Odavde dobivamo faktorizaciju polinoma:
.

Odgovor

Primjer 1.3

Faktorirajte polinom petog stupnja:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Riješenje

Izvadimo x 3 izvan zagrada:
.
Rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 - 2 x + 10 = 0.
Njegov diskriminant: .
Budući da diskriminant manje od nule, tada su korijeni jednadžbe kompleksni: ;
, .

Faktorizacija polinoma ima oblik:
.

Ako nas zanima faktorizacija s realnim koeficijentima, tada je:
.

Odgovor

Primjeri rastavljanja polinoma na faktore pomoću formula

Primjeri s bikvadratnim polinomima

Primjer 2.1

Faktorirajte bikvadratni polinom:
x 4 + x 2 - 20.

Riješenje

Primijenimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Odgovor

Primjer 2.2

Faktorirajte polinom koji se svodi na bikvadratni:
x 8 + x 4 + 1.

Riješenje

Primijenimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Odgovor

Primjer 2.3 s rekurentnim polinomom

Faktorirajte recipročni polinom:
.

Riješenje

Recipročni polinom ima neparan stupanj. Stoga ima korijen x = - 1 . Podijelite polinom s x - (-1) = x + 1. Kao rezultat dobivamo:
.
Napravimo zamjenu:
, ;
;


;
.

Odgovor

Primjeri rastavljanja polinoma s cjelobrojnim korijenima

Primjer 3.1

Faktorirajte polinom:
.

Riješenje

Pretpostavimo da je jednadžba

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Dakle, pronašli smo tri korijena:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Budući da je izvorni polinom trećeg stupnja, on nema više od tri korijena. Budući da smo pronašli tri korijena, oni su jednostavni. Zatim
.

Odgovor

Primjer 3.2

Faktorirajte polinom:
.

Riješenje

Pretpostavimo da je jednadžba

ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 2 (član bez x). Odnosno, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
-2, -1, 1, 2 .
Zamjenjujemo ove vrijednosti jednu po jednu:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Ako pretpostavimo da ova jednadžba ima korijen cijelog broja, onda je ona djelitelj broja 2 (član bez x). Odnosno, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamijenimo x = -1 :
.

Dakle, pronašli smo još jedan korijen x 2 = -1 . Bilo bi moguće, kao i u prethodnom slučaju, polinom podijeliti s , ali ćemo članove grupirati:
.

Budući da je jednadžba x 2 + 2 = 0 nema pravih korijena, tada faktorizacija polinoma ima oblik.

Nađimo zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe. Koristeći formule (59.8) za korijene gornje jednadžbe, dobivamo

(prva jednakost je očita, druga se dobiva nakon jednostavnog izračuna, koji će čitatelj samostalno provesti; zgodno je koristiti formulu za množenje zbroja dvaju brojeva njihovom razlikom).

Dokazano je sljedeće

Vietin teorem. Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu c suprotnog predznaka, a njihov umnožak jednak je slobodnom članu.

U slučaju nereducirane kvadratne jednadžbe treba zamijeniti izraze formule (60.1) u formule (60.1) i uzeti oblik

Primjer 1. Sastavite kvadratnu jednadžbu koristeći njezine korijene:

Rješenje, a) Pronađite jednadžba ima oblik

Primjer 2. Naći zbroj kvadrata korijena jednadžbe bez rješavanja same jednadžbe.

Riješenje. Zbroj i umnožak korijena su poznati. Predstavimo zbroj kvadratnih korijena u obliku

i dobivamo

Iz Vietinih formula lako je dobiti formulu

izražavanje pravila za faktoriziranje kvadratnog trinoma.

Doista, napišimo formule (60.2) u obliku

Sada imamo

što smo trebali dobiti.

Gornje izvođenje Vietinih formula poznato je čitatelju iz tečaja algebre Srednja škola. Drugi zaključak može se dati pomoću Bezoutovog teorema i faktorizacije polinoma (odlomci 51, 52).

Neka su tada korijeni jednadžbe opće pravilo(52.2) trinom na lijevoj strani jednadžbe je faktoriziran:

Otvaranjem zagrada s desne strane te identične jednakosti dobivamo

a usporedba koeficijenata pri istim potencijama dat će nam formulu Vieta (60.1).

Prednost ovog izvoda je što se može primijeniti i na jednadžbe više stupnjeve kako bi se dobili izrazi za koeficijente jednadžbe kroz njezine korijene (bez nalaženja samih korijena!). Na primjer, ako su korijeni zadane kubne jednadžbe

bit je da prema jednakosti (52.2) nalazimo

(u našem slučaju otvaranjem zagrada na desnoj strani jednakosti i skupljanjem koeficijenata na raznim stupnjevima dobivamo

Svijet je uronjen u ogroman broj brojeva. Uz njihovu pomoć nastaju svi izračuni.

Ljudi uče brojeve kako bi izbjegli da budu prevareni u kasnijem životu. Potrebno je puno vremena da se obrazujete i odredite vlastiti budžet.

Matematika je egzaktna znanost koja igra veliku ulogu u životu. U školi djeca uče brojeve, a potom i akcije na njima.

Operacije s brojevima potpuno su različite: množenje, proširenje, zbrajanje i druge. Osim jednostavnih formula, u proučavanju matematike koriste se i složenije radnje. Postoji ogroman broj formula koje se mogu koristiti za pronalaženje bilo koje vrijednosti.

U školi, čim se pojavi algebra, u život učenika dodaju se formule za pojednostavljenje. Postoje jednadžbe u kojima postoje dva nepoznata broja, ali nađite na jednostavan način neće raditi. Trinom je kombinacija tri monoma koristeći jednostavnu metodu oduzimanja i zbrajanja. Trinom se rješava pomoću Vietinog teorema i diskriminante.

Formula za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore

Dva su točna i jednostavna rješenja primjer:

• diskriminirajući;
• Vietin teorem.

Kvadratni trinom ima nepoznanicu na kvadrat i također broj bez kvadrata. Prva opcija za rješavanje problema koristi se Vietinom formulom. Ovo je jednostavna formula, ako će brojevi koji stoje ispred nepoznate biti minimalna vrijednost.

Za druge jednadžbe u kojima broj prethodi nepoznanici, jednadžba se mora riješiti pomoću diskriminante. Ovo je složenije rješenje, ali se diskriminant koristi puno češće nego Vietin teorem.

U početku, pronaći sve varijable jednadžbe potrebno je primjer podići na 0. Rješenje primjera može se provjeriti i saznati jesu li brojevi ispravno podešeni.

Diskriminirajući

1. Potrebno je jednadžbu izjednačiti s 0.

2. Svaki broj ispred x nazvat ćemo brojevima a, b, c. Budući da ispred prvog kvadrata x nema broja, on je jednak 1.

3. Sada rješenje jednadžbe počinje preko diskriminante:

4. Sada smo pronašli diskriminant i dva x. Razlika je u tome što će u jednom slučaju ispred b biti plus, au drugom minus:

5. Rješavanjem dvaju brojeva rezultati su bili -2 i -1. Zamijenite u izvornu jednadžbu:

6. U ovom primjeru ispalo je dvoje ispravne opcije. Ako oba rješenja odgovaraju, onda je svako od njih istinito.

Složenije jednadžbe također se rješavaju pomoću diskriminante. Ali ako je sama diskriminantna vrijednost manja od 0, tada je primjer netočan. Kod pretraživanja diskriminant je uvijek u korijenu, a negativna vrijednost ne može biti u korijenu.

Vietin teorem

Koristi se za rješavanje lakih problema gdje prvom x ne prethodi broj, odnosno a=1. Ako se opcija podudara, izračun se provodi pomoću Vietinog teorema.

Za rješavanje bilo kojeg trinoma potrebno je podići jednadžbu na 0. Prvi koraci diskriminante i Vietina teorema se ne razlikuju.

2. Sada počinju razlike između dvije metode. Vietin teorem ne koristi samo "suhi" izračun, već i logiku i intuiciju. Svaki broj ima svoje slovo a, b, c. Teorem koristi zbroj i umnožak dva broja.

Zapamtiti! Broj b uvijek ima suprotan predznak kada se zbraja, ali broj c ostaje nepromijenjen!

Zamjena vrijednosti podataka u primjeru , dobivamo:

3. Metodom logike zamjenjujemo najprikladnije brojeve. Razmotrimo sve mogućnosti rješenja:

1. Brojevi su 1 i 2. Kad ih zbrojimo, dobijemo 3, ali ako pomnožimo, ne dobijemo 4. Ne odgovara.
2. Vrijednost 2 i -2. Kada se pomnoži bit će -4, ali kada se zbroji ispada da je 0. Nije prikladno.
3. Brojevi 4 i -1. Budući da množenje uključuje negativnu vrijednost, to znači da će jedan od brojeva biti negativan. Pogodno za zbrajanje i množenje. Ispravna opcija.

4. Ostaje samo provjeriti postavljanjem brojeva i vidjeti je li odabrana opcija točna.

5. Zahvaljujući online provjeri saznali smo da -1 ne odgovara uvjetima primjera, te je stoga netočno rješenje.

Kada dodajete negativnu vrijednost u primjeru, morate staviti broj u zagradu.

U matematici će ih uvijek biti jednostavni zadaci i složeno. Sama znanost uključuje razne probleme, teoreme i formule. Ako ispravno razumijete i primijenite znanje, tada će sve poteškoće s izračunima biti trivijalne.

Matematika ne zahtijeva stalno učenje napamet. Morate naučiti razumjeti rješenje i naučiti nekoliko formula. Postupno, prema logičnim zaključcima, moguće je riješiti slične probleme i jednadžbe. Takva se znanost na prvi pogled može činiti vrlo teškom, ali ako se uroni u svijet brojeva i problema, pogled će se dramatično promijeniti u bolja strana.

Tehničke specijalnosti uvijek ostati najtraženiji na svijetu. Sada, u svijetu moderne tehnologije, matematika je postala neizostavan atribut svakog polja. Uvijek se moramo sjećati korisna svojstva matematika.

Proširivanje trinoma pomoću zagrade

Osim uobičajenih metoda rješavanja, postoji još jedna - rastavljanje u zagrade. Koristi se pomoću Vieta formule.

1. Izjednačite jednadžbu s 0.

sjekira 2 +bx+c= 0

2. Korijeni jednadžbe ostaju isti, ali umjesto nule sada koriste formule za proširenje u zagrade.

sjekira 2 + bx + c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Rješenje x=-1, x=3

Rastavljanje kvadratnih trinoma na faktore jedna je od školskih zadaća s kojom se svi prije ili kasnije susreću. Kako to učiniti? Koja je formula za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore? Shvatimo to korak po korak koristeći primjere.

Opća formula

Kvadratni trinomi faktoriziraju se rješavanjem kvadratne jednadžbe. Ovo je jednostavan problem koji se može riješiti na nekoliko metoda - pronalaženjem diskriminante, korištenjem Vietinog teorema, postoji i grafičko rješenje. Prve dvije metode uče se u srednjoj školi.

Opća formula izgleda ovako:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritam za izvršavanje zadatka

Kako biste rastavili kvadratne trinome na faktore, morate znati Vitin teorem, imati pri ruci program za rješavanje, biti u mogućnosti pronaći rješenje grafički ili tražiti korijene jednadžbe drugog stupnja koristeći diskriminantnu formulu. Ako je dan kvadratni trinom i treba ga faktorizirati, algoritam je sljedeći:

1) Izjednačite izvorni izraz s nulom da dobijete jednadžbu.

2) Donesite slični pojmovi(ako postoji takva potreba).

3) Pronađite korijene bilo kojeg na poznati način. Grafičku metodu najbolje je koristiti ako se unaprijed zna da su korijeni cijeli i mali brojevi. Mora se zapamtiti da je broj korijena jednak maksimalnom stupnju jednadžbe, odnosno da kvadratna jednadžba ima dva korijena.

4) Zamijenite vrijednost x u izraz (1).

5) Zapiši faktorizaciju kvadratnih trinoma.

Primjeri

Praksa vam omogućuje da konačno shvatite kako se ovaj zadatak izvodi. Primjeri ilustriraju faktorizaciju kvadratnog trinoma:

potrebno je proširiti izraz:

Pribjegnimo našem algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) slični termini su smanjeni

3) koristeći Vietinu formulu, teško je pronaći korijene za ovaj primjer, pa je bolje koristiti izraz za diskriminant:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zamijenimo korijene koje smo pronašli u osnovnu formulu za rastavljanje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada će odgovor biti ovakav:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Provjerimo da li rješenja koja je pronašao diskriminant odgovaraju Vietinim formulama:

14,845 . 2,155=32

Za ove korijene primjenjuje se Vietin teorem, oni su točno pronađeni, što znači da je faktorizacija koju smo dobili također točna.

Slično, proširujemo 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

U prethodnom slučaju rješenja su bili necijeli, već realni brojevi, koje je lako pronaći ako pred sobom imate kalkulator. Sada pogledajmo složeniji primjer u kojem će korijeni biti složeni: faktor x 2 + 4x + 9. Vietinom formulom ne mogu se pronaći korijeni, a diskriminant je negativan. Korijeni će biti na složenoj ravnini.

D=-20

Na temelju toga dobivamo korijene koji nas zanimaju -4+2i*5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 budući da je (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Željenu dekompoziciju dobivamo zamjenom korijena u opću formulu.

Još jedan primjer: morate faktorizirati izraz 23x 2 -14x+7.

Imamo jednadžbu 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

To znači da su korijeni 14+21.166i i 14-21.166i. Odgovor će biti:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Navedimo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminante.

Recimo da trebamo proširiti kvadratnu jednadžbu x 2 -32x+255. Očito, također se može riješiti pomoću diskriminante, ali to je brže u ovom slučaju pokupiti korijenje.

x 1 =15

x 2 =17

Sredstva x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).