Nastavljajući temu "Rješavanje jednadžbi", materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Pogledajmo sve detaljno: bit i zapis kvadratne jednadžbe, definiramo pridružene pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpune jednadžbe, upoznajmo se s formulom korijena i diskriminate, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, a naravno da ćemo vizualno riješiti praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često kvadratne jednadžbe nazivaju se i jednadžbe drugog stupnja, budući da je u biti kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer za ilustraciju dana definicija: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada koristite kratki oblik zapisi poput 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na temelju vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Navedimo primjere: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 u kojima je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.

Razmatranje konkretnog primjera omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na smanjenu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6. Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da je na a = 0 bitno se pretvara u Linearna jednadžba b x + c = 0.

U slučaju kada koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se tipovima kvadratnih jednadžbi daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbe – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, ova jednadžba odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pri c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 =0

Kao što je gore spomenuto, ova jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x 2 = 0, koju dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može objasniti svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedinstveni korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednadžbe a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu premještanjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotni i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• prijenos c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, završavamo s x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne; prema tome, rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a ovisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 = - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 = - c a. Nije teško razumjeti da je broj - - c a također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a.

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati metodom kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za gore navedene korijene kao x 1 I − x 1. Uzmimo da i jednadžba x 2 = - c a ima korijen x 2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , a za x 2- x 2 2 = - c a . Na temelju svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan točan član po član jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizlazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema korijena osim x = - c a i x = - - c a.

Sažmimo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Riješenje

Pomaknimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane dobivene jednadžbe s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Jednadžbu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x 2 = 36. Na desnoj strani - pozitivan broj, odavde to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvucimo korijen i zapišimo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korijena x = 6 ili x = − 6.

Odgovor: x = 6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristit ćemo se metodom faktorizacije. Faktorizirajmo polinom koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x = 0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riješenje

Izvadit ćemo ga x izvan zagrada dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– tzv. diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u biti znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različit od nule, dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Na kraju transformiramo izraz napisan s desne strane posljednje jednakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tako dolazimo do jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi ispitali smo u prethodnim odlomcima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c naveden je naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definirano kao njegova oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - na temelju njene vrijednosti i predznaka mogu zaključiti hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koji je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminantni zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulirajmo ponovno naše zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. I, kada otvorimo module i dovedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobijemo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju određivanje oba stvarna korijena kada je diskriminant veći od nule. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule će dati isti korijen, kao jedina odluka kvadratna jednadžba. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo upotrijebiti formulu za korijen kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom izdvajanja Korijen iz negativan broj, što će nas odvesti dalje od stvarnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah pomoću formule za korijen, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne složenih, već stvarnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe najprije odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračun vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminirajuću vrijednost;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, pronađite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - b 2 · a ;
• za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Dajmo rješenje primjera za različita značenja diskriminirajući.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobivamo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x = - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo dobiveni izraz izuzimanjem faktora iz znaka korijena i zatim smanjenjem razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Treba riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednadžbu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminanta je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći akcije s kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školski plan i program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tijekom rješavanja utvrdi da je diskriminant negativan, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili s koeficijentom oblika 2 · n, npr. 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra s drugim koeficijentom 2 · n imati oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, odnosno D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a · c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odredite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - n a;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe možemo prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 očito je prikladnije riješiti nego 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe provodi množenjem ili dijeljenjem njezinih obje strane s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivene dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno povezani primarni brojevi. Zatim obje strane jednadžbe obično podijelimo s najvećim zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegove koeficijente.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se riješite frakcijskih koeficijenata. U tom se slučaju množe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti zapisan u više u jednostavnom obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek rješavamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane s −1. Na primjer, od kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, nama već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na temelju ove formule imamo priliku specificirati druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent sa suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći brojne druge veze između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nepotpuna kvadratna jednadžba razlikuje se od klasičnih (potpunih) jednadžbi po tome što su joj faktori ili slobodni član jednaki nuli. Grafovi takvih funkcija su parabole. Ovisno o općem izgledu dijele se u 3 skupine. Principi rješenja za sve vrste jednadžbi su isti.

Nema ništa komplicirano u određivanju vrste nepotpunog polinoma. Najbolje je razmotriti glavne razlike koristeći vizualne primjere:

1. Ako je b = 0, tada je jednadžba ax 2 + c = 0.
2. Ako je c = 0, tada treba riješiti izraz ax 2 + bx = 0.
3. Ako je b = 0 i c = 0, tada se polinom pretvara u jednakost kao što je ax 2 = 0.

Potonji slučaj je više teoretska mogućnost i nikada se ne pojavljuje u zadacima provjere znanja, jer je jedina ispravna vrijednost varijable x u izrazu nula. U budućnosti će se razmatrati metode i primjeri rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi tipa 1) i 2).

Opći algoritam za pretraživanje varijabli i primjeri s rješenjima

Bez obzira na vrstu jednadžbe, algoritam rješenja se svodi na sljedeće korake:

1. Smanjite izraz na oblik prikladan za pronalaženje korijena.
2. Izvršite izračune.
3. Zapiši odgovor.

Najlakši način za rješavanje nepotpunih jednadžbi je njihovo rastavljanje na faktore lijeva strana i ostavljajući nulu s desne strane. Stoga se formula za nepotpunu kvadratnu jednadžbu za pronalaženje korijena svodi na izračunavanje vrijednosti x za svaki od faktora.

Možete samo naučiti kako to riješiti u praksi, pa razmislimo konkretan primjer pronalaženje korijena nepotpune jednadžbe:

Kao što se vidi, u u ovom slučaju b = 0. Faktorizirajmo lijevu stranu i dobijemo izraz:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Očito, umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Vrijednosti varijable x1 = 0,5 i (ili) x2 = -0,5 zadovoljavaju slične zahtjeve.

Kako bi se lako i brzo nosili sa zadatkom razgradnje kvadratni trinom na faktore, zapamtite sljedeću formulu:

Ako u izrazu nema slobodnog člana, problem je uvelike pojednostavljen. Bit će dovoljno samo pronaći i staviti u zagradu zajednički nazivnik. Radi jasnoće, razmotrite primjer kako riješiti nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax2 + bx = 0.

Izvadimo varijablu x iz zagrada i dobijemo sljedeći izraz:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Vođeni logikom dolazimo do zaključka da je x1 = 0, a x2 = -3.

Tradicionalna metoda rješavanja i nepotpune kvadratne jednadžbe

Što se događa ako primijenite formulu diskriminacije i pokušate pronaći korijene polinoma s koeficijentima jednakima nuli? Uzmimo primjer iz zbirke tipični zadaci za Jedinstveni državni ispit iz matematike 2017., riješit ćemo ga standardnim formulama i metodom faktorizacije.

7x 2 – 3x = 0.

Izračunajmo diskriminantnu vrijednost: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ispada da polinom ima dva korijena:

Sada riješimo jednadžbu rastavljanjem na faktore i usporedimo rezultate.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Kao što vidite, obje metode daju isti rezultat, ali je rješavanje jednadžbe drugom metodom bilo puno lakše i brže.

Vietin teorem

Ali što učiniti s Vietinim omiljenim teoremom? Može li se ova metoda koristiti kada je trinom nepotpun? Pokušajmo razumjeti aspekte dovođenja nepotpunih jednadžbi klasični izgled ax2 + bx + c = 0.

U stvari, moguće je primijeniti Vietin teorem u ovom slučaju. Potrebno je samo dovesti izraz u njegov opći oblik, zamjenjujući članove koji nedostaju nulom.

Na primjer, uz b = 0 i a = 1, da bi se eliminirala mogućnost zabune, zadatak treba napisati u obliku: ax2 + 0 + c = 0. Tada se omjer zbroja i umnoška korijena i faktori polinoma mogu se izraziti na sljedeći način:

Teorijski izračuni pomažu da se upoznate sa suštinom problema i uvijek zahtijevaju vještinu pri rješavanju specifične zadatke. Vratimo se ponovno priručniku standardnih zadataka za Jedinstveni državni ispit i pronađimo odgovarajući primjer:

Napišimo izraz u obliku pogodnom za primjenu Vietinog teorema:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Sljedeći korak je stvaranje sustava uvjeta:

Očito je da će korijeni kvadratnog polinoma biti x 1 = 4 i x 2 = -4.

Sada, vježbajmo dovođenje jednadžbe u njen opći oblik. Uzmimo sljedeći primjer: 1/4× x 2 – 1 = 0

Da bi se Vietin teorem primijenio na izraz, potrebno je riješiti se razlomka. Pomnožimo lijevu i desnu stranu s 4 i pogledajmo rezultat: x2– 4 = 0. Rezultirajuća jednakost spremna je za rješavanje Vietinim teoremom, ali puno je lakše i brže doći do odgovora jednostavnim pomicanjem c = 4 na desnu stranu jednadžbe: x2 = 4.

Ukratko, treba reći da najbolji način rješavanje nepotpunih jednadžbi je faktorizacija, najjednostavniji je i brza metoda. Ako se u procesu traženja korijena pojave poteškoće, možete se obratiti tradicionalna metoda pronalaženje korijena kroz diskriminantu.

Hajdemo raditi s kvadratne jednadžbe. Ovo su vrlo popularne jednadžbe! U samom opći pogled kvadratna jednadžba izgleda ovako:

Na primjer:

Ovdje A =1; b = 3; c = -4

Ovdje A =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje A =-3; b = 6; c = -18

Pa razumiješ...

Kako riješiti kvadratne jednadžbe? Ako pred sobom imate kvadratnu jednadžbu u ovom obliku, onda je sve jednostavno. Prisjetimo se Čarobna riječ diskriminirajući . Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz "rješavamo pomoću diskriminatora" ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer od diskriminanta ne treba očekivati ​​trikove! Korištenje je jednostavno i bez problema. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena je onaj diskriminirajući. Kao što vidite, za pronalaženje X koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Ovo je formula koju izračunavamo. Zamijenimo s vlastitim znakovima! Na primjer, za prvu jednadžbu A =1; b = 3; c= -4. Ovdje zapisujemo:

Primjer je gotovo riješen:

To je sve.

Koji su slučajevi mogući pri korištenju ove formule? Postoje samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se iz njega može izvući korijen. Da li se korijen dobro ili loše vadi, drugo je pitanje. Bitno je ono što se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali to igra ulogu u nejednakostima, gdje ćemo to pitanje detaljnije proučiti.

3. Diskriminant je negativan. Ne može se izvaditi kvadratni korijen negativnog broja. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Sve je vrlo jednostavno. I što, mislite da je nemoguće pogriješiti? Pa da, kako...
Najčešće pogreške su zabune s vrijednostima predznaka a, b i c. Ili bolje rečeno, ne s njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje pomaže detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, učiniti!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa, ne budi lijen. Trebat će vam oko 30 sekundi da napišete dodatni red. I broj pogrešaka naglo će se smanjiti. Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili izaberite. Što je bolje, brzo ili točno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena više neće biti potrebno sve tako pažljivo zapisivati. Sve će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike, koji su opisani u nastavku. Ovaj opaki primjer s hrpom minusa može se lako i bez grešaka riješiti!

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant koji smo zapamtili. Ili su naučili, što je također dobro. Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znaš li kako? pozorno zamijenite ih u korijensku formulu i pozorno računati rezultat. Razumijete da je ovdje ključna riječ pažljivo?

Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Ovaj nepotpune kvadratne jednadžbe . Također se mogu riješiti pomoću diskriminante. Samo trebate ispravno razumjeti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.

Jeste li skužili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Nema ga uopće! Pa da, tako je. U matematici to znači c = 0 ! To je sve. Umjesto toga zamijenite nulu u formulu c, i uspjet ćemo. Isto s drugim primjerom. Samo što mi ovdje nemamo nulu S, A b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakve diskriminacije. Razmotrimo prvo nepotpuna jednadžba. Što možete učiniti na lijevoj strani? Možete uzeti X iz zagrada! Izvadimo ga.

I što iz ovoga? I činjenica da je umnožak jednak nuli ako i samo ako je bilo koji faktor jednak nuli! Ne vjeruješ mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x = 0, ili x = 4

Svi. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su prikladna. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja diskriminante.

Druga se jednadžba također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 u desnu stranu. Dobivamo:

Ostaje samo izvući korijen iz 9, i to je to. Ispostavit će se:

Također dva korijena . x = +3 i x = -3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavan prijenos brojeve udesno i zatim izvlačenje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X-a, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema se što izbaciti iz zagrade...

Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Iste one koje su zbog nepažnje... Za koje kasnije bude bolno i uvredljivo...

Prvi termin. Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu i dovedete je u standardni oblik. Što to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c. Ispravno konstruirajte primjer. Prvo X na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

I opet, nemojte žuriti! Minus ispred X na kvadrat može vas jako uzrujati. Lako se zaboravi... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada biste trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijenje! Prema Vietinom teoremu. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj koji smo koristili za zapis formule korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je jednostavna. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti besplatan član, tj. u našem slučaju -2. Napomena, ne 2, već -2! Besplatan član s tvojim znakom . Ako ne ide, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku. Ako radi, morate dodati korijenje. Posljednja i konačna provjera. Koeficijent bi trebao biti b S suprotan poznato. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je točno!
Šteta je što je ovo tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! svi manje grešaka htjeti.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima razlomke, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u prethodnom odjeljku. Kada radite s razlomcima, pogreške se stalno pojavljuju iz nekog razloga...

Usput, obećao sam pojednostaviti zao primjer s hrpom minusa. Molim! Evo ga.

Kako se ne bi zbunili minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobivamo:

To je sve! Rješavanje je zadovoljstvo!

Dakle, rezimiramo temu.

Praktičan savjet:

1. Kvadratnu jednadžbu prije rješavanja dovodimo u standardni oblik i gradimo Pravo.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću Vietinog teorema. Učini to!

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Nastavljamo svladavati jednadžbe. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Zadnji pogled lijevo - frakcijske jednadžbe. Ili se zovu i puno uglednije - frakcijski racionalne jednadžbe . To je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, nego razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Dopustite mi da vas podsjetim da ako su nazivnici samo brojevima, to su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcijske jednadžbe? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga jednadžba najčešće prelazi u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo što nam je činiti... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netočan izraz, kao što je 7=2. Ali to se rijetko događa. Spomenut ću ovo u nastavku.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Jako jednostavno. Primjenom istih identičnih transformacija.

Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s istim izrazom. Tako da su svi nazivnici svedeni! Sve će odmah postati lakše. Dopustite mi da objasnim na primjeru. Trebamo riješiti jednadžbu:

Kako je učio u mlađi razredi? Sve pomaknemo na jednu stranu, dovedemo pod zajednički nazivnik itd. Zaboravite kako užasan san! To je ono što trebate učiniti kada zbrajate ili oduzimate razlomke. Ili radite s nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo obje strane s izrazom koji će nam dati priliku svesti sve nazivnike (tj., u biti, zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?

S lijeve strane, smanjenje nazivnika zahtijeva množenje sa x+2. A s desne strane potrebno je množenje s 2. To znači da se jednadžba mora pomnožiti s 2(x+2). Pomnožiti:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno opisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu (x + 2)! Dakle, u cijelosti pišem:

Na lijevoj strani se skroz skuplja (x+2), a desno 2. Što se i tražilo! Nakon redukcije dobivamo linearni jednadžba:

I svatko može riješiti ovu jednadžbu! x = 2.

Riješimo još jedan primjer, malo kompliciraniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1, možemo napisati:

I opet se rješavamo onoga što nam se baš ne sviđa - razlomaka.

Vidimo da za smanjenje nazivnika s X, trebamo pomnožiti razlomak s (x – 2). A nekolicina nam nije smetnja. Pa, ajmo množiti. svi lijeva strana i svi desna strana:

Opet zagrade (x – 2) Ne otkrivam. Zagradu radim kao cjelinu kao da je jedan broj! To se uvijek mora učiniti, inače se ništa neće smanjiti.

Uz osjećaj dubokog zadovoljstva smanjujemo (x – 2) i dobijemo jednadžbu bez razlomaka, s ravnalom!

Sada otvorimo zagrade:

Donosimo slične, pomaknemo sve na lijevu stranu i dobijemo:

Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus naprijed nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti množenjem ili dijeljenjem s -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je ovu jednadžbu najbolje podijeliti s -2! Jednim potezom minus će nestati, a kvote će postati atraktivnije! Podijelite s -2. S lijeve strane - pojam po pojam, a s desne - jednostavno podijelimo nulu s -2, nulu i dobijemo:

Rješavamo preko diskriminante i provjeravamo pomoću Vietinog teorema. Dobivamo x = 1 i x = 3. Dva korijena.

Kao što vidite, u prvom slučaju jednadžba je nakon transformacije postala linearna, ali ovdje postaje kvadratna. Događa se da se nakon uklanjanja razlomaka svi X-ovi smanjuju. Nešto ostaje, kao 5=5. To znači da x može biti bilo što. Što god bilo, svejedno će se smanjiti. I pokazalo se da je čista istina 5=5. No, nakon što se riješimo razlomaka, može se pokazati da je potpuno neistinito, poput 2=7. A ovo znači to nema rješenja! Svaki X se pokaže neistinitim.

Realizirano glavno rješenje frakcijske jednadžbe ? Jednostavno je i logično. Mijenjamo izvorni izraz tako da sve što nam se ne sviđa nestane. Ili smeta. U ovom slučaju to su razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složenih primjera s logaritmima, sinusima i ostalim užasima. Mi Stalno Riješimo se svega ovoga.

Međutim, moramo promijeniti izvorni izraz u smjeru koji nam je potreban prema pravilima, da... Majstorstvo koje je priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike. Dakle, mi to svladavamo.

Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na jedinstvenom državnom ispitu! Ali prvo, da vidimo padate li u to ili ne?

Pogledajmo jednostavan primjer:

Stvar je već poznata, množimo obje strane (x – 2), dobivamo:

Podsjećam, sa zagradama (x – 2) Radimo kao s jednim, integralnim izrazom!

Evo, nisam više pisao jedno u nazivnicima, to je nedostojno... I nisam povlačio zagrade u nazivnicima, osim x – 2 nema ništa, ne morate crtati. Da skratimo:

Otvorite zagrade, pomaknite sve ulijevo i dajte slične:

Rješavamo, provjeravamo, dobivamo dva korijena. x = 2 I x = 3. Sjajno.

Pretpostavimo da zadatak kaže da se zapiše korijen ili njihov zbroj ako postoji više od jednog korijena. Što ćemo napisati?

Ako odlučite da je odgovor 5, vi upali u zasjedu. I zadatak vam neće biti priznat. Uzalud su se trudili... Točan odgovor je 3.

Što je bilo?! I pokušajte napraviti provjeru. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u izvornik primjer. A ako na x = 3 sve će divno srasti, dobijemo 9 = 9, pa kad x = 2 Bit će to dijeljenje s nulom! Ono što apsolutno ne možete učiniti. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani strani ili dodatni korijen. Jednostavno ga odbacujemo. Konačni korijen je jedan. x = 3.

Kako to?! – čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednadžba može pomnožiti s izrazom! Ovo je identična transformacija!

Da, identično. Pod malim uvjetom - izraz kojim množimo (dijelimo) - različit od nule. A x – 2 na x = 2 jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.

I što ja sad mogu?! Ne množite izrazom? Trebam li svaki put provjeriti? Opet nejasno!

Mirno! Nemojte paničariti!

U ovoj teškoj situaciji spasit će nas tri čarobna slova. Znam što misliš. Pravo! Ovaj ODZ . Područje prihvatljivih vrijednosti.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Diskriminantom se rješavaju samo potpune kvadratne jednadžbe, dok se za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednadžbe nazivaju potpunima? Ovaj jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, gdje koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili kompletnu kvadratnu jednadžbu, moramo izračunati diskriminantu D.

D = b 2 – 4ac.

Ovisno o vrijednosti diskriminante, zapisat ćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminant nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednadžbu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi pomoću dijagrama na slici 1.

Pomoću ovih formula možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo trebaš paziti da jednadžba je napisana kao polinom standardnog oblika

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, kada pišete jednadžbu x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno zaključiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada je

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A ovo nije istina. (Pogledajte rješenje za primjer 2 gore).

Dakle, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednadžba mora napisati kao polinom standardnog oblika (prvi treba biti monom s najvećim eksponentom, tj. A x 2 , zatim s manje – bx a zatim slobodan član S.

Kod rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Upoznajmo se s ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), tada možete riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih u dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako je koeficijent pri x 2 jednak je jedan i jednadžba poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva se jednadžba može dati za rješenje ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom A, stoji na x 2 .

Slika 3 prikazuje dijagram za rješavanje reduciranog kvadrata
jednadžbe. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednadžbu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih u dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočimo da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi s 3 i izvođenjem dijeljenja dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednadžbu pomoću formula za reduciranu kvadratnu jednadžbu
jednadžbe slika 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednadžbe pomoću različitih formula dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito svladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Kvadratna jednadžba - jednostavno za riješiti! *U daljnjem tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednadžbe. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam vidjeti koliko impresija na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo što se dogodilo, pogledajte:

Što to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ova informacija, što ovo ljeto ima s tim, i što će se dogoditi među Školska godina— bit će dvostruko više zahtjeva. To ne čudi, jer oni dečki i djevojke koji su davno završili školu i pripremaju se za Jedinstveni državni ispit traže te informacije, a školarci također nastoje osvježiti svoje pamćenje.

Unatoč činjenici da postoji mnogo stranica koje vam govore kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam također dati doprinos i objaviti materijal. Prvo, želim da posjetitelji dođu na moju stranicu na temelju ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema "KU", dat ću poveznicu na ovaj članak; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Započnimo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

gdje su koeficijenti a,bi sa proizvoljni brojevi, gdje je a≠0.

U školski tečaj materijal je dan u sljedećem obliku - jednadžbe su konvencionalno podijeljene u tri klase:

1. Imaju dva korijena.

2. *Imati samo jedan korijen.

3. Nemaju korijenje. Ovdje vrijedi posebno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminantu. Ispod ove "užasne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

Primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

Po ovom prilikom, kada je diskriminant nula, školski tečaj kaže da je rezultat jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je točno, tako je, ali...

Ova ideja je donekle netočna. Zapravo, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, dobili ste dva jednaka korijena, a da budemo matematički precizni, onda odgovor treba pisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali to je tako - mala digresija. U školi možete to napisati i reći da je jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne može izvaditi, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je iznimno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednadžbe).

Ovo je funkcija obrasca:

gdje su x i y varijable

a, b, c – zadani brojevi, pri čemu je a ≠ 0

Graf je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe s "y" jednakim nuli, nalazimo točke sjecišta parabole s osi x. Ove točke mogu biti dvije (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminacija je negativna). Pojedinosti o kvadratna funkcija Možete pogledatičlanak Inne Feldman.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1: Riješite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12

*Moglo se odmah lijevu i desnu stranu jednadžbe podijeliti s 2, odnosno pojednostaviti. Izračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučiti x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Utvrdili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dopušteno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odlučiti x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanta je negativna, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada je dobivena negativna diskriminacija. Znate li nešto o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto su i gdje nastali te koja je njihova konkretna uloga i potreba u matematici, to je tema za veliki zaseban članak.

Pojam kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne zbrajanje.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu iz minus jedan:

Sada razmotrite jednadžbu:

Dobivamo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Mogu se lako riješiti bez ikakvih diskriminatora.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednadžba postaje:

Preobrazimo se:

Primjer:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednadžba postaje:

Transformirajmo i faktorizirajmo:

*Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućuju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

Ax 2 + bx+ c=0 jednakost vrijedi

a + b+ c = 0, Da

- ako za koeficijente jednadžbe Ax 2 + bx+ c=0 jednakost vrijedi

a+ c =b, Da

Ova svojstva pomažu u donošenju odluke određeni tip jednadžbe

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbroj kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost vrijedi a+ c =b, Sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su joj korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su joj korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” jednako je (a 2 – 1), i koeficijent “c” je brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su mu korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su joj korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Primjer. Razmotrite jednadžbu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietin teorem.

Vietin teorem je dobio ime po poznatom francuskom matematičaru Francoisu Vieti. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbroj i umnožak korijena proizvoljnog KU u smislu njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. To su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazani teorem, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Vietin teorem, osim toga. Pogodan je po tome što se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način (kroz diskriminant) mogu provjeriti dobiveni korijeni. Preporučujem da to radite uvijek.

NAČIN TRANSPORTA

Ovom se metodom koeficijent "a" množi slobodnim izrazom, kao da mu se "baca", zbog čega se naziva metoda "transfera". Ova se metoda koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Koristeći Vietin teorem u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti s 2 (budući da su dva "bačena" iz x 2), dobivamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Koje je obrazloženje? Pogledaj što se događa.

Diskriminanti jednadžbi (1) i (2) su jednaki:

Ako pogledate korijene jednadžbi, dobit ćete samo različite nazivnike, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:

Drugi (modificirani) ima korijenje koje je 2 puta veće.

Stoga rezultat dijelimo s 2.

*Ako ponovno bacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti s 3, itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

trg ur-ie i Jedinstveni državni ispit.

Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE BITI SPOSOBNI ODLUČIVATI brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Nešto vrijedno pažnje!

1. Oblik pisanja jednadžbe može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (kako se ne biste zbunili prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i da se može označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i dr.