Modul je jedna od onih stvari za koje se čini da su svi čuli, ali zapravo ih nitko zapravo ne razumije. Stoga će danas biti velika lekcija posvećena rješavanju jednadžbi s modulima.

Odmah ću reći: lekcija neće biti teška. I općenito, moduli su relativno jednostavna tema. “Da, naravno, nije komplicirano! Oduševljava me!” – reći će mnogi studenti, ali svi ti lomovi mozga nastaju zbog činjenice da većina ljudi nema znanje u glavi, nego nekakvo sranje. A cilj ove lekcije je pretvoriti gluposti u znanje. :)

Malo teorije

Pa, idemo. Počnimo s najvažnijom stvari: što je modul? Dopustite mi da vas podsjetim da je modul broja jednostavno isti broj, ali uzet bez znaka minus. To je, na primjer, $\left| -5 \desno|=5$. Ili $\lijevo| -129,5 \desno|=129,5 USD.

Je li tako jednostavno? Da, jednostavno. Kolika je onda apsolutna vrijednost pozitivnog broja? Ovdje je još jednostavnije: modul pozitivnog broja jednak je samom ovom broju: $\left| 5 \desno|=5$; $\lijevo| 129,5 \right|=129,5 $, itd.

Ispada zanimljiva stvar: različite brojeve može imati isti modul. Na primjer: $\lijevo| -5 \desno|=\lijevo| 5 \desno|=5$; $\lijevo| -129,5 \desno|=\lijevo| 129,5\desno|=129,5 USD. Lako je vidjeti kakvi su to brojevi čiji su moduli isti: ti su brojevi suprotni. Dakle, za sebe primjećujemo da su moduli suprotnih brojeva jednaki:

\[\lijevo| -a \desno|=\lijevo| a\desno|\]

Još važna činjenica: modul nikada nije negativan. Koji god broj uzmemo - bio on pozitivan ili negativan - njegov modul uvijek se pokaže pozitivnim (ili, u ekstremnim slučajevima, nula). Zbog toga se modul često naziva i apsolutna vrijednost broja.

Štoviše, ako spojimo definiciju modula za pozitivne i negativan broj, tada dobivamo globalnu definiciju modula za sve brojeve. Naime: modul broja jednak je samom broju ako je broj pozitivan (ili nula), odnosno jednak suprotnom broju ako je broj negativan. Ovo možete napisati kao formulu:

Postoji i modul nula, ali on je uvijek jednak nuli. Osim toga, nula je jedini broj koji nema suprotnost.

Stoga, ako razmotrimo funkciju $y=\left| x \right|$ i pokušajte nacrtati njegov graf, dobit ćete nešto poput ovoga:

Graf modula i primjer rješavanja jednadžbe

Iz ove slike je odmah jasno da je $\left| -m \desno|=\lijevo| m \right|$, a graf modula nikada ne pada ispod x-osi. Ali to nije sve: crvena linija označava ravnu liniju $y=a$, koja nam, za pozitivno $a$, daje dva korijena odjednom: $((x)_(1))$ i $((x) _(2)) $, ali o tome ćemo kasnije. :)

Uz čisto algebarsku definiciju postoji i geometrijska. Recimo da postoje dvije točke na brojevnom pravcu: $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$. U ovom slučaju, izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je jednostavno udaljenost između navedenih točaka. Ili, ako želite, duljina segmenta koji povezuje ove točke:

Ova definicija također implicira da je modul uvijek nenegativan. Ali dosta definicija i teorije - prijeđimo na stvarne jednadžbe. :)

Osnovna formula

U redu, riješili smo definiciju. Ali to ga nije učinilo lakšim. Kako riješiti jednadžbe koje sadrže upravo ovaj modul?

Mirno, samo mirno. Počnimo s najjednostavnijim stvarima. Razmotrite nešto poput ovoga:

\[\lijevo| x\desno|=3\]

Dakle, modul od $x$ je 3. Čemu bi mogao biti jednak $x$? Pa, sudeći po definiciji, sasvim smo zadovoljni s $x=3$. Stvarno:

\[\lijevo| 3\desno|=3\]

Postoje li drugi brojevi? Cap kao da nagovještava da postoji. Na primjer, $x=-3$ je također $\left| -3 \right|=3$, tj. tražena jednakost je zadovoljena.

Pa možda ako tražimo i razmišljamo, nađemo još brojki? Ali da se razumijemo: nema više brojeva. Jednadžba $\lijevo| x \right|=3$ ima samo dva korijena: $x=3$ i $x=-3$.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Neka umjesto varijable $x$ ispod znaka modula visi funkcija $f\lijevo(x \desno)$, a umjesto trojke desno stavimo proizvoljan broj$a$. Dobivamo jednadžbu:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\]

Pa kako to možemo riješiti? Da vas podsjetim: $f\left(x \right)$ je proizvoljna funkcija, $a$ je bilo koji broj. Oni. Bilo što! Na primjer:

\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\]

\[\lijevo| 10x-5 \desno|=-65\]

Obratimo pozornost na drugu jednadžbu. O njemu možete odmah reći: nema korijena. Zašto? Sve je točno: jer zahtijeva da modul bude jednak negativnom broju, što se nikada ne događa, jer već znamo da je modul uvijek pozitivan broj ili, u ekstremnim slučajevima, nula.

Ali s prvom jednadžbom sve je zabavnije. Postoje dvije opcije: ili ispod znaka modula stoji pozitivan izraz, a zatim $\lijevo| 2x+1 \right|=2x+1$, ili je ovaj izraz još uvijek negativan, a zatim $\left| 2x+1 \desno|=-\lijevo(2x+1 \desno)=-2x-1$. U prvom slučaju, naša jednadžba će se prepisati na sljedeći način:

\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\desna strelica 2x+1=5\]

I odjednom se ispostavilo da je submodularni izraz $2x+1$ stvarno pozitivan - jednak je broju 5. To je možemo sigurno riješiti ovu jednadžbu - dobiveni korijen bit će dio odgovora:

Oni posebno nepovjerljivi mogu pokušati zamijeniti pronađeni korijen u izvornu jednadžbu i uvjeriti se da ispod modula doista stoji pozitivan broj.

Sada pogledajmo slučaj negativnog submodularnog izraza:

\[\lijevo\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Desna strelica 2x+1=-5\]

Ups! Opet, sve je jasno: pretpostavili smo da je $2x+1 \lt 0$, a kao rezultat smo dobili da je $2x+1=-5$ - doista, ovo je izraz manje od nule. Rješavamo dobivenu jednadžbu, a već znamo sigurno da će nam pronađeni korijen odgovarati:

Ukupno smo opet dobili dva odgovora: $x=2$ i $x=3$. Da, pokazalo se da je količina izračuna malo veća nego u vrlo jednostavnoj jednadžbi $\left| x \right|=3$, ali ništa se bitno nije promijenilo. Pa možda i postoji univerzalni algoritam?

Da, takav algoritam postoji. A sada ćemo to analizirati.

Uklanjanje znaka modula

Neka nam je dana jednadžba $\left| f\left(x \right) \right|=a$, a $a\ge 0$ (inače, kao što već znamo, nema korijena). Tada se možete riješiti znaka modula koristeći sljedeće pravilo:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\Desna strelica f\lijevo(x \desno)=\pm a\]

Dakle, naša jednadžba s modulom se dijeli na dvije, ali bez modula. To je sve što je tehnologija! Pokušajmo riješiti nekoliko jednadžbi. Počnimo s ovim

\[\lijevo| 5x+4 \desno|=10\desna strelica 5x+4=\pm 10\]

Razmotrimo posebno kada je desno plus deset, a posebno kada je minus. Imamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\desna strelica 5x=-14\desna strelica x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

To je sve! Dobili smo dva korijena: $x=1,2$ i $x=-2,8$. Cijelo rješenje trajalo je doslovno dva retka.

Ok, nema sumnje, pogledajmo nešto malo ozbiljnije:

\[\lijevo| 7-5x\desno|=13\]

Opet otvaramo modul s plusom i minusom:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\desna strelica -5x=-20\desna strelica x=4. \\\end(align)\]

Ponovno nekoliko redaka - i odgovor je spreman! Kao što sam rekao, nema ništa komplicirano u vezi s modulima. Samo trebate zapamtiti nekoliko pravila. Stoga idemo dalje i počinjemo s doista složenijim zadacima.

Slučaj varijable s desne strane

Sada razmotrite ovu jednadžbu:

\[\lijevo| 3x-2 \desno|=2x\]

Ova se jednadžba bitno razlikuje od svih prethodnih. Kako? A činjenica da je desno od znaka jednakosti izraz $2x$ - a ne možemo unaprijed znati je li pozitivan ili negativan.

Što učiniti u ovom slučaju? Prvo, to moramo shvatiti jednom zauvijek ako se desna strana jednadžbe pokaže negativnom, tada jednadžba neće imati korijena- već znamo da modul ne može biti jednak negativnom broju.

I drugo, ako je desni dio još uvijek pozitivan (ili jednak nuli), tada možete djelovati na potpuno isti način kao i prije: jednostavno otvorite modul odvojeno sa znakom plus i odvojeno sa znakom minus.

Dakle, formuliramo pravilo za proizvoljne funkcije $f\left(x \right)$ i $g\left(x \right)$:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\Desna strelica \lijevo\( \begin(align)& f\lijevo(x \desno)=\pm g\lijevo(x \desno ), \\& g\lijevo(x \desno)\ge 0. \\\end(align) \desno.\]

U odnosu na našu jednadžbu dobivamo:

\[\lijevo| 3x-2 \right|=2x\desna strelica \lijevo\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Pa, izborit ćemo se nekako sa zahtjevom $2x\ge 0$. Na kraju, možemo glupo zamijeniti korijene koje smo dobili iz prve jednadžbe i provjeriti vrijedi li nejednakost ili ne.

Dakle, riješimo samu jednadžbu:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\desna strelica 3x=0\desna strelica x=0. \\\end(align)\]

Pa, koji od ova dva korijena zadovoljava zahtjev $2x\ge 0$? Da oboje! Stoga će odgovor biti dva broja: $x=(4)/(3)\;$ i $x=0$. To je resenje. :)

Sumnjam da se nekima od učenika već počelo dosađivati? Pa, pogledajmo još složeniju jednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]

Iako izgleda zlo, zapravo je to još uvijek ista jednadžba oblika “modul jednako funkcija”:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\]

I rješava se na potpuno isti način:

\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \lijevo\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \lijevo(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \desno.\]

Kasnije ćemo se baviti nejednakošću - nekako je previše zla (zapravo je jednostavna, ali je nećemo riješiti). Za sada je bolje pozabaviti se rezultirajućim jednadžbama. Razmotrimo prvi slučaj - to je kada se modul proširuje znakom plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Pa, nije pametno da trebate skupiti sve s lijeve strane, donijeti slične i vidjeti što će se dogoditi. I evo što se događa:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Uzimamo zajednički faktor $((x)^(2))$ iz zagrada i dobivamo vrlo jednostavnu jednadžbu:

\[((x)^(2))\lijevo(2x-3 \desno)=0\desna strelica \lijevo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \desno.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Ovdje smo iskoristili važno svojstvo umnoška, ​​radi kojeg smo rastavili izvorni polinom na faktore: umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Pozabavimo se sada drugom jednadžbom na potpuno isti način, koja se dobiva proširenjem modula s predznakom minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\lijevo(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\lijevo(-3x+2 \desno)=0. \\\end(align)\]

Opet ista stvar: umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Imamo:

\[\lijevo[ \početak(poravnaj)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\kraj(poravnaj) \desno.\]

Pa, imamo tri korijena: $x=0$, $x=1,5$ i $x=(2)/(3)\;$. Pa, što će od ovog skupa ući u konačni odgovor? Da biste to učinili, zapamtite da imamo dodatno ograničenje u obliku nejednakosti:

Kako uzeti u obzir ovaj zahtjev? Zamijenimo pronađene korijene i provjerimo vrijedi li nejednakost za ove $x$ ili ne. Imamo:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\desna strelica x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Dakle, korijen $x=1,5$ nam ne odgovara. A kao odgovor bit će samo dva korijena:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kao što vidite, ni u ovom slučaju nije bilo ništa komplicirano - jednadžbe s modulima uvijek se rješavaju pomoću algoritma. Samo trebate dobro razumjeti polinome i nejednakosti. Stoga prelazimo na složenije zadatke - već neće biti jedan, već dva modula.

Jednadžbe s dva modula

Do sada smo proučavali samo najviše jednostavne jednadžbe— bio je jedan modul i još nešto. To “još nešto” poslali smo u drugi dio nejednadžbe, dalje od modula, da bi se na kraju sve svelo na jednadžbu oblika $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)$ ili još jednostavnije $\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a$.

Ali Dječji vrtić završio - vrijeme je da razmislite o nečem ozbiljnijem. Počnimo s ovakvim jednadžbama:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\]

Ovo je jednadžba oblika "modul jednako modulu". Temeljno važna točka je odsustvo drugih pojmova i čimbenika: samo jedan modul lijevo, još jedan modul desno - i ništa više.

Netko će sad pomisliti da je takve jednadžbe teže riješiti od onoga što smo do sada proučavali. Ali ne: te je jednadžbe još lakše riješiti. Evo formule:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\Desna strelica f\lijevo(x \desno)=\pm g\lijevo(x \desno)\]

Svi! Submodularne izraze jednostavno izjednačavamo stavljanjem znaka plus ili minus ispred jednog od njih. A onda rješavamo dobivene dvije jednadžbe - i korijeni su spremni! Bez dodatnih ograničenja, bez nejednakosti itd. Sve je vrlo jednostavno.

Pokušajmo riješiti ovaj problem:

\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\]

Osnovno Watsone! Proširivanje modula:

\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\desna strelica 2x+3=\pm \lijevo(2x-7 \desno)\]

Razmotrimo svaki slučaj zasebno:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\lijevo(2x-7 \desno)\desna strelica 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Prva jednadžba nema korijena. Jer kada je $3=-7$? Na kojim vrijednostima $x$? “Što je dovraga $x$? Jeste li napušeni? Tu uopće nema $x$", kažete. I bit ćeš u pravu. Dobili smo jednakost koja ne ovisi o varijabli $x$, a pritom je jednakost sama po sebi netočna. Zato i nema korijena. :)

S drugom jednadžbom sve je malo zanimljivije, ali i vrlo, vrlo jednostavno:

Kao što vidite, sve je riješeno doslovno u par redaka - nismo ništa drugo ni očekivali od linearne jednadžbe. :)

Kao rezultat, konačni odgovor je: $x=1$.

Pa kako? teško? Naravno da ne. Pokušajmo nešto drugo:

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]

Opet imamo jednadžbu oblika $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|$. Stoga ga odmah prepisujemo, otkrivajući znak modula:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \lijevo(x-1 \desno)\]

Možda će netko sad pitati: “Hej, kakve gluposti? Zašto se "plus-minus" pojavljuje na desnom izrazu, a ne na lijevom?" Smiri se, sad ću sve objasniti. Zaista, na dobar način, trebali smo prepisati našu jednadžbu na sljedeći način:

Zatim trebate otvoriti zagrade, pomaknuti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti (budući da će jednadžba, očito, biti kvadratna u oba slučaja), a zatim pronaći korijene. Ali morate priznati: kada se "plus-minus" pojavljuje ispred tri člana (pogotovo kada je jedan od tih članova kvadratni izraz), to nekako izgleda kompliciranije od situacije kada se "plus-minus" pojavljuje ispred samo dva člana.

Ali ništa nas ne sprječava da prepišemo izvornu jednadžbu na sljedeći način:

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\]

Što se dogodilo? Ništa posebno: samo su zamijenili lijevu i desnu stranu. Sitnica koja će nam u konačnici barem malo olakšati život. :)

Općenito, rješavamo ovu jednadžbu, razmatrajući opcije s plusom i minusom:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\lijevo(x-1 \desno)\Desna strelica ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Prva jednadžba ima korijene $x=3$ i $x=1$. Drugi je općenito točan kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\lijevo(x-1 \desno))^(2))\]

Stoga ima samo jedan korijen: $x=1$. Ali ovaj smo korijen već dobili ranije. Dakle, samo dva broja će ući u konačni odgovor:

\[((x)_(1))=3;\kvad ((x)_(2))=1.\]

Misija izvršena! Možete uzeti pitu s police i pojesti je. Ima ih 2, tvoja je srednja. :)

Važna nota. Prisutnost identičnih korijena različite opcije proširenje modula znači da su izvorni polinomi faktorizirani, a među tim faktorima sigurno će biti zajednički. Stvarno:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\& \lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| \lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x-2 \desno) \desno|. \\\end(align)\]

Jedno od svojstava modula: $\left| a\cdot b \desno|=\lijevo| a \right|\cdot \lijevo| b \right|$ (tj. modul umnoška jednak je umnošku modula), tako da se izvorna jednadžba može prepisati na sljedeći način:

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|\]

Kao što vidite, stvarno imamo zajednički faktor. Sada, ako sakupite sve module s jedne strane, možete izbaciti ovaj faktor iz zagrade:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|; \\& \lijevo| x-1 \desno|-\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|=0; \\& \lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo(1-\lijevo| x-2 \desno| \desno)=0. \\\end(align)\]

Pa, zapamtite da je umnožak jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli:

\[\lijevo[ \begin(align)& \lijevo| x-1 \desno|=0, \\& \lijevo| x-2 \desno|=1. \\\end(align) \desno.\]

Tako je izvorna jednadžba s dva modula svedena na dvije najjednostavnije jednadžbe o kojima smo govorili na samom početku lekcije. Takve se jednadžbe mogu riješiti doslovno u par redaka. :)

Ova se primjedba može činiti nepotrebno složenom i neprimjenjivom u praksi. Međutim, u stvarnosti možete naići na mnogo više složeni zadaci, od onih koje danas analiziramo. U njima se moduli mogu kombinirati s polinomima, aritmetičkim korijenima, logaritmima itd. I u takvim situacijama, mogućnost snižavanja ukupnog stupnja jednadžbe izbacivanjem nečega iz zagrada može biti vrlo, vrlo korisna. :)

Sada bih želio pogledati još jednu jednadžbu, koja se na prvi pogled može činiti ludom. Mnogi studenti zapnu na tome, čak i oni koji misle da dobro razumiju module.

Međutim, ovu je jednadžbu još lakše riješiti od one koju smo ranije pogledali. A ako razumijete zašto, dobit ćete još jedan trik za brzo rješavanje jednadžbi s modulima.

Dakle, jednadžba je:

\[\lijevo| x-((x)^(3)) \desno|+\lijevo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]

Ne, ovo nije tipfeler: to je plus između modula. I trebamo pronaći na kojem je $x$ zbroj dvaju modula jednak nuli. :)

U čemu je uopće problem? Ali problem je u tome što je svaki modul pozitivan broj ili, u ekstremnim slučajevima, nula. Što se događa ako zbrojite dva pozitivna broja? Očito opet pozitivan broj:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Zadnji redak bi vam mogao dati ideju: jedini put kada je zbroj modula nula je ako je svaki modul nula:

\[\lijevo| x-((x)^(3)) \desno|+\lijevo| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \lijevo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0. \\\end(align) \desno.\]

A kada je modul jednak nuli? Samo u jednom slučaju - kada je submodularni izraz jednak nuli:

\[((x)^(2))+x-2=0\desna strelica \lijevo(x+2 \desno)\lijevo(x-1 \desno)=0\desna strelica \lijevo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \desno.\]

Dakle, imamo tri točke u kojima se prvi modul vraća na nulu: 0, 1 i −1; kao i dvije točke u kojima se drugi modul vraća na nulu: −2 i 1. Međutim, potrebno je da se oba modula vraćaju na nulu u isto vrijeme, pa među pronađenim brojevima trebamo odabrati one koji su uključeni u oba skupa. Očito, postoji samo jedan takav broj: $x=1$ - to će biti konačan odgovor.

Metoda cijepanja

Pa, već smo obradili hrpu problema i naučili puno tehnika. Mislite li da je to sve? Ali ne! Sada ćemo pogledati konačnu tehniku ​​– a ujedno i najvažniju. Govorit ćemo o jednadžbama cijepanja s modulom. O čemu ćemo uopće razgovarati? Vratimo se malo unatrag i pogledajmo jednu jednostavnu jednadžbu. Na primjer ovo:

\[\lijevo| 3x-5 \desno|=5-3x\]

U principu već znamo kako riješiti takvu jednadžbu, jer se radi o standardnoj konstrukciji oblika $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)$. Ali pokušajmo ovu jednadžbu pogledati iz malo drugačijeg kuta. Točnije, razmotrite izraz pod znakom modula. Podsjećam vas da modul bilo kojeg broja može biti jednak samom broju ili može biti suprotan ovom broju:

\[\lijevo| a \right|=\lijevo\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Zapravo, u toj dvosmislenosti je cijeli problem: budući da se broj ispod modula mijenja (ovisi o varijabli), nije nam jasno je li pozitivan ili negativan.

Ali što ako u početku zahtijevate da taj broj bude pozitivan? Na primjer, zahtijevamo da $3x-5 \gt 0$ - u ovom slučaju zajamčeno ćemo dobiti pozitivan broj ispod predznaka modula, a možemo se u potpunosti riješiti upravo tog modula:

Tako će se naša jednadžba pretvoriti u linearnu, koja se lako može riješiti:

Istina, sve ove misli imaju smisla samo pod uvjetom $3x-5 \gt 0$ - sami smo uveli ovaj zahtjev kako bismo nedvosmisleno otkrili modul. Stoga, zamijenimo pronađeno $x=\frac(5)(3)$ u ovaj uvjet i provjerimo:

Ispada da za navedenu vrijednost $x$ naš zahtjev nije ispunjen, jer ispostavilo se da je izraz jednak nuli, a potrebno nam je da bude striktno veći od nule. Tužno. :(

Ali u redu je! Uostalom, postoji još jedna opcija $3x-5 \lt 0$. Štoviše: postoji i slučaj $3x-5=0$ - to također treba uzeti u obzir, inače će rješenje biti nepotpuno. Dakle, razmotrite slučaj $3x-5 \lt 0$:

Očito, modul će se otvoriti sa znakom minus. Ali tada dolazi do čudne situacije: i s lijeve i s desne strane u izvornoj jednadžbi stršit će isti izraz:

Zanima me pri koliko $x$ će izraz $5-3x$ biti jednak izrazu $5-3x$? I kapetan Očiglednost bi se ugušio u slini od takvih jednadžbi, ali znamo: ova jednadžba je identitet, t.j. vrijedi za bilo koju vrijednost varijable!

To znači da će nam odgovarati bilo koji $x$. Međutim, imamo ograničenje:

Drugim riječima, odgovor neće biti jedan broj, već cijeli interval:

Na kraju, ostaje još jedan slučaj za razmatranje: $3x-5=0$. Ovdje je sve jednostavno: pod modulom će biti nula, a modul nule također je jednak nuli (ovo izravno proizlazi iz definicije):

Ali onda je izvorna jednadžba $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bit će prepisano na sljedeći način:

Već smo dobili ovaj korijen gore kada smo razmatrali slučaj $3x-5 \gt 0$. Štoviše, ovaj korijen je rješenje jednadžbe $3x-5=0$ - ovo je ograničenje koje smo sami uveli za resetiranje modula. :)

Tako ćemo se osim intervalom zadovoljiti i brojem koji se nalazi na samom kraju ovog intervala:

Ukupni konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Nije baš uobičajeno vidjeti takvo sranje u odgovoru na prilično jednostavnu (u suštini linearnu) jednadžbu s modulom, Pa, naviknite se na to: poteškoća modula je u tome što odgovori u takvim jednadžbama mogu biti potpuno nepredvidivi.

Nešto drugo je puno važnije: upravo smo analizirali univerzalni algoritam za rješavanje jednadžbe s modulom! A ovaj se algoritam sastoji od sljedećih koraka:

1. Izjednačite svaki modul u jednadžbi s nulom. Dobivamo nekoliko jednadžbi;
2. Riješite sve ove jednadžbe i označite korijene na brojevnoj crti. Kao rezultat toga, ravna linija će biti podijeljena u nekoliko intervala, u svakom od kojih su svi moduli jedinstveno otkriveni;
3. Riješite izvornu jednadžbu za svaki interval i kombinirajte svoje odgovore.

To je sve! Ostaje samo jedno pitanje: što učiniti s korijenima dobivenim u koraku 1? Recimo da imamo dva korijena: $x=1$ i $x=5$. Podijelit će brojevnu liniju na 3 dijela:

Dakle, koji su intervali? Jasno je da ih ima tri:

1. Krajnji lijevi: $x \lt 1$ — sama jedinica nije uključena u interval;
2. Centralno: $1\le x \lt 5$ - ovdje je jedan uključen u interval, ali pet nije uključen;
3. Krajnje desno: $x\ge 5$ - pet je uključeno samo ovdje!

Mislim da već razumijete obrazac. Svaki interval uključuje lijevi kraj, ali ne uključuje desni.

Na prvi pogled takav unos može izgledati nezgodno, nelogično i općenito pomalo ludo. Ali vjerujte mi: nakon malo vježbe, vidjet ćete da je ovaj pristup najpouzdaniji i ne ometa nedvosmisleno otvaranje modula. Bolje je koristiti takvu shemu nego razmišljati svaki put: dati lijevi / desni kraj trenutnom intervalu ili ga "baciti" u sljedeći.

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutna vrijednost broja. Mi ćemo dati razne definicije modul broja, uvesti notaciju i grafički ilustrirati. U isto vrijeme, razmotrimo razni primjeri nalaženje modula broja po definiciji. Nakon toga ćemo navesti i obrazložiti glavna svojstva modula. Na kraju članka ćemo govoriti o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul brojeva - definicija, zapis i primjeri

Prvo predstavljamo oznaka modula broja. Modul broja a zapisat ćemo kao , odnosno lijevo i desno od broja stavit ćemo okomite crtice koje će tvoriti znak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modul −7 može se napisati kao ; modul 4.125 je napisan kao , a modul ima notaciju oblika .

Sljedeća definicija modula odnosi se na , a time i na , i na cijele brojeve, i na racionalne, i na iracionalne brojeve, kao sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.

Definicija.

Modul broja a– ovo je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotni broj a ako je a negativan broj, ili 0 ako je a=0.

Izražena definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ovaj unos znači da ako je a>0, ako je a=0 i ako je a<0 .

Zapis se može prikazati u kompaktnijem obliku . Ova oznaka znači da ako je (a veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Tu je i unos . Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0, jer se nula smatra brojem koji je suprotan sebi.

Dajmo primjeri nalaženja modula broja korištenjem navedene definicije. Na primjer, nađimo module brojeva 15 i . Počnimo s pronalaženjem. Kako je broj 15 pozitivan, njegov modul je po definiciji jednak samom ovom broju, tj. Što je modul broja? Budući da je negativan broj, njegov modul je jednak broju suprotnom broju, odnosno broju . Tako, .

Da zaključimo ovu točku, predstavljamo jedan zaključak koji je vrlo zgodan za korištenje u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizlazi da modul broja jednak je broju pod znakom modula bez uzimanja u obzir njegovog znaka, a iz gore razmotrenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Navedena tvrdnja objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutna vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao udaljenost. Dajmo određivanje modula broja preko udaljenosti.

Definicija.

Modul broja a– to je udaljenost od ishodišta na koordinatnoj liniji do točke koja odgovara broju a.

Ova je definicija u skladu s definicijom modula broja danom u prvom odlomku. Razjasnimo ovu točku. Udaljenost od ishodišta do točke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je tom broju. Nula odgovara ishodištu, stoga je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom 0 jednaka nuli (ne morate izdvojiti niti jedan jedinični segment niti jedan segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta kako bi doći iz točke O u točku s koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do točke s negativnom koordinatom jednaka je broju nasuprot koordinati te točke, jer je jednaka udaljenosti od ishodišta do točke čija je koordinata suprotni broj.

Na primjer, modul broja 9 jednak je 9, budući da je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom 9 jednaka devet. Navedimo još jedan primjer. Točka s koordinatom −3.25 nalazi se na udaljenosti 3.25 od točke O, dakle .

Navedena definicija modula broja poseban je slučaj definicije modula razlike dvaju brojeva.

Definicija.

Modul razlike dvaju brojeva a i b jednaka je udaljenosti između točaka koordinatnog pravca s koordinatama a i b.

Odnosno, ako su zadane točke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od točke A do točke B jednaka modulu razlike brojeva a i b. Ako točku O (ishodište) uzmemo kao točku B, tada ćemo dobiti definiciju modula broja danu na početku ovog paragrafa.

Određivanje modula broja pomoću aritmetičkog kvadratnog korijena

Povremeno se javlja određivanje modula pomoću aritmetičkog kvadratnog korijena.

Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na temelju ove definicije. Imamo. Slično, izračunavamo modul od dvije trećine: .

Definicija modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen također je u skladu s definicijom danom u prvom stavku ovog članka. Pokažimo to. Neka je a pozitivan broj, a neka je −a negativan broj. Zatim I , ako je a=0 , tada .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo predstaviti glavne i najčešće korištene od njih. Pri opravdavanju ovih svojstava oslanjat ćemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočitijim svojstvom modula - Modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a. Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti negativnim brojem.

Prijeđimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja je nula ako i samo ako je taj broj nula. Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara ishodištu; nijedna druga točka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, budući da je svaki realni broj pridružen jednoj točki na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, svaki broj osim nule odgovara točki različitoj od ishodišta. A udaljenost od ishodišta do bilo koje točke osim točke O nije nula, jer je udaljenost između dviju točaka nula ako i samo ako se te točke podudaraju. Gornje razmišljanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Samo naprijed. Suprotni brojevi imaju jednake module, tj. za svaki broj a. Doista, dvije točke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.

Sljedeće svojstvo modula je: Modul umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku modula tih brojeva, to je, . Po definiciji, modul umnoška brojeva a i b jednak je ili a·b ako je , ili −(a·b) ako je . Iz pravila množenja realnih brojeva slijedi da je umnožak modula brojeva a i b jednak ili a·b, , ili −(a·b) ako je , što dokazuje predmetno svojstvo.

Modul kvocijenta broja a podijeljenog s b jednak je kvocijentu modula broja podijeljenog s modulom b, to je, . Opravdajmo ovo svojstvo modula. Kako je kvocijent jednak umnošku, onda. Na temelju prethodnog svojstva imamo . Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi na temelju definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula zapisano je kao nejednakost: , a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa više od nejednakost trokuta. Da bismo to pojasnili, uzmimo točke A(a), B(b), C(c) na koordinatnoj liniji i razmotrimo degenerirani trokut ABC čiji vrhovi leže na istoj liniji. Prema definiciji, modul razlike jednak je duljini segmenta AB, - duljini segmenta AC i - duljini segmenta CB. Budući da duljina niti jedne stranice trokuta ne prelazi zbroj duljina druge dvije stranice, nejednakost je istinita , dakle, nejednakost je također istinita.

Upravo dokazana nejednakost mnogo je češća u obliku . Napisana nejednakost obično se smatra zasebnim svojstvom modula s formulacijom: “ Modul zbroja dvaju brojeva nije veći od zbroja modula tih brojeva" Ali nejednakost slijedi izravno iz nejednakosti ako stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0.

Modul kompleksnog broja

Dajmo definicija modula kompleksnog broja. Neka nam je dano složeni broj, zapisano u algebarskom obliku, gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju realne i imaginarne dijelove zadanog kompleksnog broja z, a je imaginarna jedinica.

Jedna od najtežih tema za učenike je rješavanje jednadžbi koje imaju varijablu pod znakom modula. Hajdemo prvo shvatiti s čime je to povezano? Zašto, na primjer, većina djece razbija kvadratne jednadžbe poput oraha, ali ima toliko problema s tako nimalo složenim pojmom kao što je modul?

Po mom mišljenju, sve te poteškoće povezane su s nedostatkom jasno formuliranih pravila za rješavanje jednadžbi s modulom. Dakle, odlučujući kvadratna jednadžba, učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim formule za korijene kvadratne jednadžbe. Što učiniti ako se u jednadžbi pronađe modul? Pokušat ćemo jasno opisati potreban akcijski plan za slučaj kada jednadžba sadrži nepoznanicu pod znakom modula. Navest ćemo nekoliko primjera za svaki slučaj.

Ali prvo se prisjetimo definicija modula. Dakle, po modulu broja a sam ovaj broj naziva se if a nenegativan i -a, ako broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:

|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako je a< 0

Govoreći o geometrijskom značenju modula, treba imati na umu da svaki realni broj odgovara određenoj točki na osi brojeva - njegovoj Koordinirati. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove točke do ishodišta numeričke osi. Udaljenost je uvijek određena kao pozitivan broj. Dakle, modul svakog negativnog broja je pozitivan broj. Usput, čak iu ovoj fazi mnogi se učenici počinju zbunjivati. Modul može sadržavati bilo koji broj, ali je rezultat korištenja modula uvijek pozitivan broj.

Prijeđimo sada izravno na rješavanje jednadžbi.

1. Promotrimo jednadžbu oblika |x| = c, gdje je c realan broj. Ova se jednadžba može riješiti korištenjem definicije modula.

Sve realne brojeve dijelimo u tri skupine: one koji su veći od nule, one koji su manji od nule, a treća skupina je broj 0. Rješenje zapisujemo u obliku dijagrama:

(±c, ako je c > 0

Ako je |x| = c, tada je x = (0, ako je c = 0

(bez korijena ako sa< 0

1) |x| = 5, jer 5 > 0, tada je x = ±5;

2) |x| = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tada je x = 0.

2. Jednadžba oblika |f(x)| = b, gdje je b > 0. Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je riješiti se modula. To radimo na sljedeći način: f(x) = b ili f(x) = -b. Sada trebate zasebno riješiti svaku od dobivenih jednadžbi. Ako je u izvornoj jednadžbi b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, jer 4 > 0, dakle

x + 2 = 4 ili x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, jer 11 > 0, dakle

x 2 – 5 = 11 ili x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 bez korijena

3) |x 2 – 5x| = -8, jer -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Jednadžba oblika |f(x)| = g(x). Prema značenju modula, takva jednadžba će imati rješenja ako je njena desna strana veća ili jednaka nuli, tj. g(x) ≥ 0. Tada ćemo imati:

f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ova će jednadžba imati korijene ako je 5x – 10 ≥ 0. Tu počinje rješavanje takvih jednadžbi.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Rješenje:

2x – 1 = 5x – 10 ili 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Kombiniramo O.D.Z. i rješenje, dobivamo:

Korijen x = 11/7 ne odgovara O.D.Z., manji je od 2, ali x = 3 zadovoljava ovaj uvjet.

Odgovor: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Riješimo ovu nejednadžbu metodom intervala:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rješenje:

x – 1 = 1 – x 2 ili x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1

3. Kombiniramo otopinu i O.D.Z.:

Prikladni su samo korijeni x = 1 i x = 0.

Odgovor: x = 0, x = 1.

4. Jednadžba oblika |f(x)| = |g(x)|. Takva jednadžba je ekvivalentna sljedećim dvjema jednadžbama f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ova jednadžba je ekvivalentna sljedećim dvjema:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ili x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1

Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Jednadžbe riješene metodom supstitucije (zamjena varijable). Ovu metodu rješenja najlakše je objasniti u konkretan primjer. Dakle, neka nam je dana kvadratna jednadžba s modulom:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, tako da se jednadžba može prepisati na sljedeći način:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada ćemo imati:

t 2 – 6t + 5 = 0. Rješavanjem ove jednadžbe nalazimo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se na zamjenu:

|x| = 1 ili |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Pogledajmo još jedan primjer:

x 2 + |x| – 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, dakle

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Izvršimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada je:

t 2 + t – 2 = 0. Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo t = -2 ili t = 1. Vratimo se na zamjenu:

|x| = -2 ili |x| = 1

Nema korijena x = ± 1

Odgovor: x = -1, x = 1.

6. Druga vrsta jednadžbi su jednadžbe s "kompleksnim" modulom. Takve jednadžbe uključuju jednadžbe koje imaju "module unutar modula". Jednadžbe ove vrste mogu se riješiti korištenjem svojstava modula.

1) |3 – |x|| = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednadžbama drugog tipa. Jer 4 > 0, tada dobivamo dvije jednadžbe:

3 – |x| = 4 ili 3 – |x| = -4.

Sada izrazimo modul x u svakoj jednadžbi, zatim |x| = -1 ili |x| = 7.

Rješavamo svaku od dobivenih jednadžbi. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -1< 0, а во втором x = ±7.

Odgovori x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ovu jednadžbu rješavamo na sličan način:

3 + |x + 1| = 5 ili 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Bez korijena.

Odgovor: x = -3, x = 1.

Postoji i univerzalna metoda za rješavanje jednadžbi s modulom. Ovo je metoda intervala. Ali pogledat ćemo to kasnije.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Apsolutna vrijednost broja a je udaljenost od ishodišta do točke A(a).

Da bismo razumjeli ovu definiciju, zamijenimo varijablu a bilo koji broj, na primjer 3 i pokušajte ga ponovno pročitati:

Apsolutna vrijednost broja 3 je udaljenost od ishodišta do točke A(3 ).

Postaje jasno da modul nije ništa više od obične udaljenosti. Pokušajmo vidjeti udaljenost od ishodišta do točke A( 3 )

Udaljenost od ishodišta do točke A( 3 ) jednako je 3 (tri jedinice ili tri koraka).

Modul broja označen je s dvije okomite crte, na primjer:

Modul broja 3 označava se na sljedeći način: |3|

Modul broja 4 označava se na sljedeći način: |4|

Modul broja 5 označava se na sljedeći način: |5|

Tražili smo modul broja 3 i saznali da je jednak 3. Pa ga zapisujemo:

Čita se kao: "Modul broja tri je tri"

Pokušajmo sada pronaći modul broja -3. Opet se vraćamo na definiciju i u nju mijenjamo broj -3. Samo umjesto točke A koristiti novu točku B. Točka A već smo koristili u prvom primjeru.

Modul broja - 3 je udaljenost od ishodišta do točke B(—3 ).

Udaljenost od jedne točke do druge ne može biti negativna. Stoga, modul bilo kojeg negativnog broja, budući da je udaljenost, također neće biti negativan. Modul broja -3 bit će broj 3. Udaljenost od ishodišta do točke B(-3) također je jednaka tri jedinice:

Čita se kao: "Modul od minus tri je tri."

Modul broja 0 jednak je 0 jer se točka s koordinatom 0 poklapa s ishodištem, tj. udaljenost od ishodišta do točke O(0) jednako nuli:

"Modul nule je nula"

Izvodimo zaključke:

• Modul broja ne može biti negativan;
• Za pozitivan broj i nulu, modul je jednak samom broju, a za negativan broj – suprotan broj;
• Nasuprotni brojevi imaju jednake module.

Suprotni brojevi

Nazivaju se brojevi koji se razlikuju samo predznakom suprotan. Na primjer, brojevi −2 i 2 su suprotni. Razlikuju se samo u znakovima. Broj −2 ima znak minus, a 2 ima znak plus, ali ga ne vidimo, jer se plus, kao što smo ranije rekli, tradicionalno ne piše.

Još primjera suprotnih brojeva:

Nasuprotni brojevi imaju jednake module. Na primjer, pronađimo module za −2 i 2

Slika pokazuje da je udaljenost od ishodišta do točaka A(−2) I B(2) jednako jednaka dva koraka.

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite nam se nova grupa VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

A se izračunava u skladu sa sljedećim pravilima:

Radi sažetosti koriste se oznake |a|. Dakle, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100, itd.

Svaka veličina x odgovara prilično točnoj vrijednosti | x|. A to znači identitet na= |x| postavlja na poput nekih funkcija argumenta x.

Raspored ovaj funkcije predstavljen u nastavku.

Za x > 0 |x| = x, i za x< 0 |x|= -x; s tim u vezi, linija y = | x| na x> 0 u kombinaciji s ravnom linijom y = x(simetrala prvog koordinatnog kuta), a kada x< 0 - с прямой y = -x(simetrala drugog koordinatnog kuta).

Odvojeni jednadžbe uključite nepoznanice ispod znaka modul.

Proizvoljni primjeri takvih jednadžbi - | x— 1| = 2, |6 — 2x| =3x+ 1 itd.

Rješavanje jednadžbi koji sadrži nepoznanicu pod znakom modula temelji se na činjenici da ako je apsolutna vrijednost nepoznatog broja x jednaka pozitivan broj a, onda je sam ovaj broj x jednak ili a ili -a.

Na primjer:, ako | x| = 10, tada ili x=10, ili x = -10.

Razmotrimo rješavanje pojedinačnih jednadžbi.

Analizirajmo rješenje jednadžbe | x- 1| = 2.

Proširimo modul onda razlika x- 1 može biti jednako + 2 ili - 2. Ako je x - 1 = 2, tada x= 3; ako x- 1 = - 2, dakle x= - 1. Izvršavamo zamjenu i nalazimo da obje ove vrijednosti zadovoljavaju jednadžbu.

Odgovor. Gornja jednadžba ima dva korijena: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Analizirajmo rješenje jednadžbe | 6 — 2x| = 3x+ 1.

Nakon proširenje modula dobivamo: ili 6 - 2 x= 3x+ 1, odnosno 6 - 2 x= - (3x+ 1).

U prvom slučaju x= 1, au drugom x= - 7.

Ispitivanje. Na x= 1 |6 — 2x| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; proizlazi iz suda, x = 1 - korijen dano jednadžbe.

Na x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; budući da je 20 ≠ -20, dakle x= - 7 nije korijen ove jednadžbe.

Odgovor. U jednadžba ima samo jedan korijen: x = 1.

Jednadžbe ovog tipa mogu se riješiti i grafički.

Pa odlučimo Na primjer, grafički jednadžba | X- 1| = 2.

Prvo ćemo konstruirati funkcijska grafika na = |x- 1|. Prvo nacrtajmo graf funkcije na=X- 1:

Taj dio toga grafička umjetnost, koji se nalazi iznad osi x Nećemo ga mijenjati. Za nju x- 1 > 0 i stoga | x-1|=x-1.

Dio grafikona koji se nalazi ispod osi x, dočarajmo simetrično u odnosu na ovu os. Jer za ovaj dio x - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Dobivena crta(puna linija) i volja graf funkcije y = | x—1|.

Ova linija će se presijecati s ravno na= 2 u dvije točke: M 1 s apscisom -1 i M 2 s apscisom 3. I, prema tome, jednadžba | x- 1| =2 bit će dva korijena: x 1 = - 1, x 2 = 3.