Obična diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju te varijable i njezine derivacije (ili diferencijale) različitih redova.

Red diferencijalne jednadžbe naziva se red najveće derivacije sadržane u njemu.

Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje povezuju nezavisne varijable, nepoznatu funkciju tih varijabli i njezine parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali samo ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe pa ćemo zbog kratkoće izostaviti riječ “običan”.

Primjeri diferencijalne jednadžbe:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Jednadžba (1) je četvrtog reda, jednadžba (2) je trećeg reda, jednadžbe (3) i (4) su drugog reda, jednadžba (5) je prvog reda.

Diferencijalna jednadžba n red ne mora nužno sadržavati eksplicitnu funkciju, sve njezine derivacije od prve do n-tog reda i nezavisna varijabla. Ne smije eksplicitno sadržavati izvedenice određenih redova, funkciju ili nezavisnu varijablu.

Na primjer, u jednadžbi (1) očito nema izvodnica trećeg i drugog reda, kao ni funkcije; u jednadžbi (2) - izvod drugog reda i funkcija; u jednadžbi (4) - nezavisna varijabla; u jednadžbi (5) – funkcije. Samo jednadžba (3) eksplicitno sadrži sve derivacije, funkciju i nezavisnu varijablu.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe poziva se svaka funkcija y = f(x), kada se zamijeni u jednadžbu pretvara se u identitet.

Postupak pronalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njezin integracija.

Primjer 1. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.

Riješenje. Zapišimo ovu jednadžbu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju iz njezine derivacije. Izvorna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivacija za, tj.

To je ono što je rješenje ove diferencijalne jednadžbe . Mijenjajući se u njemu C, dobit ćemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n red je njegovo rješenje, izraženo eksplicitno s obzirom na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.

Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je opće.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe zove se rješenje u kojem se proizvoljnim konstantama daju određene numeričke vrijednosti.

Primjer 2. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za .

Riješenje. Integrirajmo obje strane jednadžbe broj puta jednak redu diferencijalne jednadžbe.

,

.

Kao rezultat, dobili smo opće rješenje -

zadane diferencijalne jednadžbe trećeg reda.

Pronađimo sada određeno rješenje pod navedenim uvjetima. Da biste to učinili, zamijenite njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijete

.

Ako je uz diferencijalnu jednadžbu zadan početni uvjet u obliku , tada se takav problem naziva Cauchyjev problem . Zamijenite vrijednosti i u opće rješenje jednadžbe i pronađite vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim posebno rješenje jednadžbe za nađenu vrijednost C. Ovo je rješenje Cauchyjevog problema.

Primjer 3. Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz primjera 1 uz .

Riješenje. Zamijenimo vrijednosti iz početnog uvjeta u opće rješenje g = 3, x= 1. Dobivamo

Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za ovu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobre vještine integracije i izvoda, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.

Primjer 4. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Riješenje. Jednadžba je napisana u takvom obliku da možete odmah integrirati obje strane.

.

Primjenjujemo metodu integracije promjenom varijable (supstitucija). Neka bude onda.

Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - to radimo prema pravilima diferencijacije složene funkcije, jer x i postoji složena funkcija ("jabuka" - ekstrakt korijen ili, što je isto - dizanje na stepen "jedna polovina", a "mljeveno meso" je sam izraz ispod korijena):

Nalazimo integral:

Vraćajući se na varijablu x, dobivamo:

.

Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe prvog stupnja.

Za rješavanje diferencijalnih jednadžbi neće biti potrebne samo vještine iz prethodnih dijelova više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda ne mora postojati nezavisna varijabla, tj. varijabla x. Znanje o proporcijama iz škole koje nije zaboravljeno (ali kako tko) iz škole pomoći će riješiti ovaj problem. Ovo je sljedeći primjer.

Diferencijalne jednadžbe (DE). Ove dvije riječi obično užasnu prosječnu osobu. Čini se da su diferencijalne jednadžbe nešto pretjerano teško za svladavanje za mnoge učenike. Uuuuuu... diferencijalne jednadžbe, kako da sve ovo preživim?!

Ovo mišljenje i ovakav stav je u osnovi pogrešan, jer u stvari DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE - JEDNOSTAVNO JE, PA ČAK ZABAVNO. Što trebate znati i moći kako biste naučili rješavati diferencijalne jednadžbe? Da biste uspješno proučavali difuzije, morate biti dobri u integraciji i razlikovanju. Što se bolje proučavaju teme Derivacija funkcije jedne varijable I Neodređeni integral, to će biti lakše razumjeti diferencijalne jednadžbe. Reći ću više, ako imate više ili manje pristojne vještine integracije, onda je tema gotovo svladana! Što je više integrala različite vrste znate odlučiti – tim bolje. Zašto? Jer morat ćete puno toga integrirati. I razlikovati. Također visoko preporučeno naučiti pronaći derivat implicitno navedene funkcije.

U 95% slučajeva u testovi Postoje 3 vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda: jednadžbe sa separabilnim varijablama, koje ćemo pogledati u ovoj lekciji; homogene jednadžbe I linearne nehomogene jednadžbe. Za one koji počinju proučavati difuzore, savjetujem vam da čitate lekcije ovim redoslijedom. Postoje još rjeđi tipovi diferencijalnih jednadžbi: jednadžbe u totalnim diferencijalima, Bernoullijeve jednadžbe i neki drugi. Najvažniji od posljednje dvije vrste su jednadžbe u ukupnim diferencijalima, budući da uz ovu diferencijalnu jednadžbu smatram novi materijal– privatna integracija.

Prvo, sjetimo se uobičajenih jednadžbi. Sadrže varijable i brojeve. Najjednostavniji primjer: . Što znači riješiti običnu jednadžbu? Ovo znači pronaći skup brojeva, koji zadovoljavaju ovu jednadžbu. Lako je uočiti da dječja jednadžba ima jedan korijen: . Samo zabave radi, provjerimo i zamijenimo pronađeni korijen u našu jednadžbu:

– dobivena je točna jednakost, što znači da je rješenje točno pronađeno.

Difuzori su dizajnirani otprilike na isti način!

Diferencijalna jednadžba prva narudžba, sadrži:
1) nezavisna varijabla;
2) zavisna varijabla (funkcija);
3) prvi izvod funkcije: .

U nekim slučajevima, jednadžba prvog reda možda neće sadržavati "x" i/ili "y" - važno otići u kontrolnu sobu bio je prva derivacija, i nisu imali derivati ​​viših redova – , itd.

Što znači ? Rješavanje diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje mnoge funkcije, koji zadovoljavaju ovu jednadžbu. Ovaj skup funkcija zove se opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Puna municija. Gdje početi rješavati bilo koju diferencijalnu jednadžbu prvog reda?

Prije svega, morate prepisati izvedenicu u nešto drugačijem obliku. Prisjetimo se glomaznog zapisa za izvod: . Vjerojatno se mnogima od vas ova oznaka za izvedenicu učinila smiješnom i nepotrebnom, ali tako vlada u difuzorima!

Dakle, u prvoj fazi prepisujemo derivat u obliku koji nam je potreban:

U drugoj fazi Stalno da vidimo je li moguće odvojene varijable?Što znači razdvojiti varijable? Grubo rečeno, s lijeve strane moramo otići samo "Grci", A na desnoj strani organizirati samo "X". Podjela varijabli provodi se “školskim” manipulacijama: stavljanjem iz zagrada, prijenosom pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, prijenosom faktora s dijela na dio prema pravilu proporcije itd.

Diferencijali i puni su množitelji i aktivni sudionici neprijateljstava. U primjeru koji razmatramo, varijable se lako odvajaju bacanjem faktora prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene. Na lijevoj strani su samo "Y", na desnoj strani - samo "X".

Sljedeća razina - integracija diferencijalne jednadžbe. Jednostavno je, stavljamo integrale na obje strane:

Naravno, moramo uzeti integrale. U u ovom slučaju oni su tablični:

Kao što se sjećamo, konstanta se dodjeljuje svakom antiderivatu. Ovdje postoje dva integrala, ali konstantu je dovoljno napisati jednom. Gotovo uvijek se dodjeljuje desnoj strani.

Strogo govoreći, nakon što se uzmu integrali, diferencijalna jednadžba se smatra riješenom. Jedino što naše “y” nije izraženo kroz “x”, odnosno prikazano je rješenje u implicitnom oblik. Rješenje diferencijalne jednadžbe u implicitnom obliku naziva se opći integral diferencijalne jednadžbe. To jest, ovo je opći integral.

Sada trebamo pokušati pronaći opće rješenje, odnosno pokušati eksplicitno prikazati funkciju.

Zapamtite prvu tehniku, vrlo je uobičajena i često se koristi u praktičnim zadacima. Kada se logaritam pojavi na desnoj strani nakon integracije, gotovo uvijek je preporučljivo napisati konstantu također ispod logaritma.

To je, umjesto unosi se obično pišu .

Ovdje je to ista punopravna konstanta kao . Zašto je to potrebno? A kako bi se lakše izrazila “igra”. Koristimo školsko svojstvo logaritama: . U ovom slučaju:

Sada se mogu koristiti logaritmi i moduli čista savjest uklonite s oba dijela:

Funkcija je predstavljena eksplicitno. Ovo je opće rješenje.

Puno značajki je opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Davanje konstante različita značenja, možete dobiti beskonačno mnogo privatna rješenja diferencijalna jednadžba. Bilo koja od funkcija , , itd. će zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu.

Ponekad se zove opće rješenje obitelj funkcija. U u ovom primjeru zajednička odluka je obitelj linearnih funkcija, točnije, obitelj izravne proporcionalnosti.

Mnoge diferencijalne jednadžbe prilično je lako testirati. To se radi vrlo jednostavno, uzimamo pronađeno rješenje i nalazimo derivat:

Zamjenjujemo naše rješenje i pronađenu derivaciju u izvornu jednadžbu:

– dobivena je točna jednakost, što znači da je rješenje točno pronađeno. Drugim riječima, opće rješenje zadovoljava jednadžbu.

Nakon temeljitog pregleda prvog primjera, prikladno je odgovoriti na nekoliko naivnih pitanja o diferencijalnim jednadžbama.

1)U ovom smo primjeru uspjeli razdvojiti varijable: . Može li se to uvijek učiniti? Ne, ne uvijek. A još češće se varijable ne mogu odvojiti. Na primjer, u homogene jednadžbe prvog reda, prvo ga morate zamijeniti. U drugim vrstama jednadžbi, npr. u linearnoj nehomogenoj jednadžbi prvog reda, potrebno koristiti razne tehnike i metode za pronalaženje općeg rješenja. Jednadžbe sa separabilnim varijablama, koje razmatramo u prvoj lekciji, najjednostavnija su vrsta diferencijalnih jednadžbi.

2) Je li uvijek moguće integrirati diferencijalnu jednadžbu? Ne, ne uvijek. Vrlo je lako smisliti "fancy" jednadžbu koja se ne može integrirati; osim toga, postoje integrali koji se ne mogu uzeti. Ali takve DE se mogu približno riješiti posebnim metodama. D'Alembert i Cauchy jamče. ...uf, lurkmore.ru Upravo sam puno čitao.

3) U ovom primjeru dobili smo rješenje u obliku općeg integrala . Je li uvijek moguće pronaći opće rješenje iz općeg integrala, odnosno eksplicitno izraziti y? Ne, ne uvijek. Na primjer: . Pa kako se ovdje može izraziti “grčki”?! U takvim slučajevima odgovor treba napisati kao opći integral. Osim toga, ponekad je moguće pronaći opće rješenje, ali ono je napisano toliko glomazno i ​​nespretno da je bolje ostaviti odgovor u obliku općeg integrala

Nećemo žuriti. Još jedan jednostavan daljinski upravljač i još jedno tipično rješenje.

Primjer 2

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet

Prema stanju, trebate pronaći privatno rješenje DE koja zadovoljava početni uvjet. Ova formulacija pitanja također se naziva Cauchyjev problem.

Prvo pronalazimo opće rješenje. U jednadžbi nema varijable "x", ali to ne bi trebalo zbuniti, glavna stvar je da ima prvu derivaciju.

Izvedenicu prepisujemo u u pravom obliku:

Očito, varijable se mogu razdvojiti, dječaci lijevo, djevojčice desno:

Integrirajmo jednadžbu:

Dobije se opći integral. Ovdje sam nacrtao konstantu sa zvjezdicom, činjenica je da će se vrlo brzo pretvoriti u drugu konstantu.

Sada pokušavamo transformirati opći integral u opće rješenje (eksplicitno izraziti "y"). Prisjetimo se dobrih starih stvari iz škole: . U ovom slučaju:

Konstanta u indikatoru izgleda nekako neukusno, pa se obično spušta na zemlju. U detalje, to se događa ovako. Koristeći svojstvo stupnjeva, prepisujemo funkciju na sljedeći način:

Ako je konstanta, onda je i neka konstanta koju označavamo slovom:

Upamtite "spuštanje" konstante, ovo je druga tehnika koja se često koristi pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

Dakle, opće rješenje je: . Ovo je lijepa obitelj eksponencijalnih funkcija.

U završnoj fazi potrebno je pronaći određeno rješenje koje zadovoljava zadani početni uvjet. Ovo je također jednostavno.

Što je zadatak? Treba pokupiti takav vrijednost konstante tako da je zadovoljen navedeni početni uvjet.

Može se formatirati na različite načine, ali ovo će vjerojatno biti najjasniji način. U općem rješenju umjesto "X" zamijenimo nulu, a umjesto "Y" zamijenimo dvojku:



To je,

Standardna verzija dizajna:

Pronađenu vrijednost konstante zamijenimo u opće rješenje:
– ovo je konkretno rješenje koje nam treba.

Provjerimo. Provjera privatnog rješenja uključuje dvije faze.

Najprije treba provjeriti zadovoljava li konkretno pronađeno rješenje početni uvjet? Umjesto "X" zamijenimo nulu i vidimo što se događa:
- da, zaista, dobivena je dvojka, što znači da je početni uvjet ispunjen.

Druga faza je već poznata. Uzimamo rezultirajuće partikularno rješenje i nalazimo izvod:

Zamjenjujemo u izvornu jednadžbu:

– dobije se točna jednakost.

Zaključak: određeno rješenje je ispravno pronađeno.

Prijeđimo na smislenije primjere.

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Riješenje: Prepisujemo derivat u obliku koji nam je potreban:

Procjenjujemo da li je moguće razdvojiti varijable? Limenka. Drugi član pomičemo na desnu stranu s promjenom predznaka:

A množitelje prenosimo prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene, integrirajmo oba dijela:

Moram vas upozoriti, bliži se sudnji dan. Ako nisi dobro učio neodređeni integrali, riješili ste nekoliko primjera, onda nemate kamo - sada ćete ih morati savladati.

Integral lijeve strane lako je pronaći, integralom kotangensa bavimo se standardnom tehnikom koju smo gledali u lekciji Integracija trigonometrijske funkcije prošle godine:

Na desnoj strani imamo logaritam, prema mojoj prvoj tehničkoj preporuci, u ovom slučaju ispod logaritma treba napisati i konstantu.

Sada pokušavamo pojednostaviti opći integral. Budući da imamo samo logaritme, sasvim je moguće (i potrebno) riješiti ih se. Logaritme “pakiramo” što je više moguće. Pakiranje se provodi pomoću tri svojstva:

Molimo prepišite ove tri formule u svoju radna bilježnica, pri rješavanju difuzora koriste se vrlo često.

Opisat ću rješenje vrlo detaljno:

Pakiranje je završeno, uklonite logaritme:

Može li se izraziti "igra"? Limenka. Potrebno je kvadratirati oba dijela. Ali ne morate to učiniti.

Treći tehnički savjet: Ako je za dobivanje općeg rješenja potrebno podići na stupanj ili se ukorijeniti, tada U većini slučajeva trebate se suzdržati od ovih radnji i ostaviti odgovor u obliku općeg integrala. Činjenica je da će opće rješenje izgledati pretenciozno i ​​strašno - s velikim korijenima, znakovima.

Stoga odgovor zapisujemo u obliku općeg integrala. Na dobar način Smatra se da predstavlja opći integral u obliku , odnosno na desnoj strani, ako je moguće, ostaviti samo konstantu. Nije potrebno, ali je uvijek korisno ugoditi profesoru ;-)

Odgovor: opći integral:

Bilješka:Opći integral svake jednadžbe može se napisati na više načina. Dakle, ako se vaš rezultat ne poklapa s prethodno poznatim odgovorom, to ne znači da ste jednadžbu netočno riješili.

Opći integral je također prilično lako provjeriti, glavna stvar je biti u mogućnosti pronaći izvedenice implicitno navedene funkcije. Razlikujmo odgovor:

Oba člana množimo sa:

I podijelite sa:

Izvorna diferencijalna jednadžba je točno dobivena, što znači da je opći integral točno nađen.

Primjer 4

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za neovisna odluka. Dopustite mi da vas podsjetim da se Cauchyjev problem sastoji od dvije faze:
1) Pronalaženje općeg rješenja.
2) Pronalaženje određenog rješenja.

Provjera se također provodi u dvije faze (vidi i Primjer 2), potrebno je:
1) Provjerite zadovoljava li određeno pronađeno rješenje početni uvjet.
2) Provjerite da određeno rješenje općenito zadovoljava diferencijalnu jednadžbu.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 5

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe , zadovoljavajući početni uvjet. Izvršite provjeru.

Riješenje: Prvo, pronađimo opće rješenje. Ova jednadžba već sadrži gotove diferencijale, što znači da je rješenje pojednostavljeno. Odvajamo varijable:

Integrirajmo jednadžbu:

Integral s lijeve strane je tablični, integral s desne strane je uzet metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak:

Opći integral je dobiven, može li se uspješno izraziti opće rješenje? Limenka. Vješamo logaritme:

(Nadam se da svi razumiju transformaciju, takve stvari bi se već trebale znati)

Dakle, opće rješenje je:

Pronađimo određeno rješenje koje odgovara zadanom početnom stanju. U općem rješenju, umjesto "X" zamijenimo nulu, a umjesto "Y" zamijenimo logaritam dva:

Poznatiji dizajn:

Nađenu vrijednost konstante zamijenimo u opće rješenje.

Odgovor: privatno rješenje:

Provjera: Prvo provjerimo je li ispunjen početni uvjet:
- sve je dobro.

Sada provjerimo zadovoljava li pronađeno partikularno rješenje uopće diferencijalnu jednadžbu. Pronalaženje derivata:

Pogledajmo izvornu jednadžbu: – prikazuje se u diferencijalima. Postoje dva načina provjere. Iz pronađene derivacije moguće je izraziti diferencijal:

Zamijenimo pronađeno partikularno rješenje i dobiveni diferencijal u izvornu jednadžbu :

Koristimo osnovni logaritamski identitet:

Dobivena je točna jednakost, što znači da je određeno rješenje točno pronađeno.

Druga metoda provjere je zrcalna i poznatija: iz jednadžbe Izrazimo derivaciju, da bismo to učinili podijelimo sve dijelove s:

I u transformirani DE supstituiramo dobiveno parcijalno rješenje i pronađenu derivaciju. Kao rezultat pojednostavljenja trebala bi se također dobiti ispravna jednakost.

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednadžbu. Odgovor predstavite u obliku općeg integrala.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Koje poteškoće čekaju pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi sa separabilnim varijablama?

1) Nije uvijek očito (osobito čajniku) da se varijable mogu odvojiti. Razmotrimo uvjetni primjer: . Ovdje trebate izvaditi faktore iz zagrada: i odvojiti korijene: . Jasno je što dalje.

2) Poteškoće sa samom integracijom. Integrali često nisu najjednostavniji, a ako postoje nedostaci u vještinama pronalaženja neodređeni integral, onda će biti teško s mnogo difuzora. Osim toga, logika "budući da je diferencijalna jednadžba jednostavna, onda neka integrali budu kompliciraniji" popularna je među sastavljačima zbirki i priručnika za obuku.

3) Transformacije s konstantom. Kao što su svi primijetili, možete učiniti gotovo sve s konstantom u diferencijalnim jednadžbama. A takve transformacije nisu uvijek razumljive početniku. Pogledajmo još jedan uvjetni primjer: . Preporučljivo je sve članove pomnožiti s 2: . Rezultirajuća konstanta je također neka vrsta konstante, koja se može označiti sa: . Da, a budući da je na desnoj strani logaritam, preporučljivo je prepisati konstantu u obliku druge konstante: .

Problem je što se često ne zamaraju indeksima i koriste isto slovo. Kao rezultat toga, zapis rješenja ima sljedeći oblik:

Što je ovo dovraga? Ima i grešaka. Formalno, da. Ali neformalno - greške nema, podrazumijeva se da se preračunavanjem konstante ipak dobije neka druga konstanta.

Ili ovaj primjer, pretpostavimo da je tijekom rješavanja jednadžbe dobiven opći integral. Ovaj odgovor izgleda ružno, pa je preporučljivo promijeniti predznake svih faktora: . Formalno, po snimci, opet je greška, trebalo je napisati. Ali neformalno se podrazumijeva da je to još uvijek neka druga konstanta (štoviše, može poprimiti bilo koju vrijednost), tako da promjena predznaka konstante nema smisla i možete koristiti isto slovo.

Pokušat ću izbjeći nepažljiv pristup, i dalje konstantama dodjeljivati ​​različite indekse prilikom njihove pretvorbe.

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednadžbu. Izvršite provjeru.

Riješenje: Ova jednadžba dopušta razdvajanje varijabli. Odvajamo varijable:

Integrirajmo:

Konstantu ovdje nije potrebno definirati kao logaritam, budući da iz ovoga neće proizaći ništa korisno.

Odgovor: opći integral:

Provjerite: Diferencirajte odgovor (implicitna funkcija):

Rješavamo se razlomaka množenjem oba člana sa:

Dobivena je izvorna diferencijalna jednadžba, što znači da je opći integral točno nađen.

Primjer 8

Pronađite određeno rješenje DE.
,

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Jedina primjedba je da ovdje dobivate opći integral, i, točnije rečeno, morate se potruditi pronaći ne posebno rješenje, već parcijalni integral. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kao što je već navedeno, u difuzijama sa separabilnim varijablama često se pojavljuju ne najjednostavniji integrali. A evo još par takvih primjera koje možete riješiti sami. Preporučujem svima da riješe primjere br. 9-10, bez obzira na razinu pripremljenosti, to će im omogućiti da obnove svoje vještine u pronalaženju integrala ili popune rupe u znanju.

Primjer 9

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Primjer 10

Riješite diferencijalnu jednadžbu

Ne zaboravite da postoji više od jednog načina za pisanje općeg integrala, a vaši odgovori mogu izgledati drugačije. izgled moji odgovori. Kratko rješenje i odgovori na kraju lekcije.

Sretna promocija!

Primjer 4:Riješenje: Pronađimo opće rješenje. Odvajamo varijable:


Integrirajmo:



Opći integral je dobiven, pokušavamo ga pojednostaviti. Spakirajmo logaritme i riješimo ih se:

I. Obične diferencijalne jednadžbe

1.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu x, tražena funkcija g i njegove derivacije ili diferencijale.

Simbolično, diferencijalna jednadžba se piše na sljedeći način:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencijalna jednadžba se naziva običnom ako tražena funkcija ovisi o jednoj nezavisnoj varijabli.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcija koja ovu jednadžbu pretvara u identitet.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije uključene u ovu jednadžbu

Primjeri.

1. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu prvog reda

Rješenje ove jednadžbe je funkcija y = 5 ln x. Doista, zamjena y" u jednadžbu, dobivamo identitet.

A to znači da je funkcija y = 5 ln x– rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

2. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu drugog reda y" - 5y" +6y = 0. Funkcija je rješenje ove jednadžbe.

Stvarno,.

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu dobivamo: , – identitet.

A to znači da je funkcija rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

Integriranje diferencijalnih jednadžbi je proces pronalaženja rješenja diferencijalnih jednadžbi.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe naziva funkcija oblika , koji uključuje onoliko nezavisnih proizvoljnih konstanti koliko je redoslijeda jednadžbe.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za različite numeričke vrijednosti proizvoljnih konstanti. Vrijednosti proizvoljnih konstanti nalaze se na određenim početnim vrijednostima argumenta i funkcije.

Graf određenog rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se integralna krivulja.

Primjeri

1. Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda

xdx + ydy = 0, Ako g= 4 at x = 3.

Riješenje. Integrirajući obje strane jednadžbe, dobivamo

Komentar. Proizvoljna konstanta C dobivena kao rezultat integracije može se prikazati u bilo kojem obliku pogodnom za daljnje transformacije. U ovom slučaju, uzimajući u obzir kanoničku jednadžbu kruga, pogodno je prikazati proizvoljnu konstantu C u obliku .

- opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Partikularno rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete g = 4 at x = 3 nalazi se iz općeg zamjenom početnih uvjeta u opće rješenje: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Zamjenom C=5 u opće rješenje dobivamo x 2 + y 2 = 5 2 .

Ovo je posebno rješenje diferencijalne jednadžbe dobiveno iz općeg rješenja pod zadanim početnim uvjetima.

2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe

Rješenje ove jednadžbe je bilo koja funkcija oblika , gdje je C proizvoljna konstanta. Doista, zamjenom u jednadžbe dobivamo: , .

Posljedično, ova diferencijalna jednadžba ima beskonačan broj rješenja, jer za različite vrijednosti konstante C jednakost određuje različita rješenja jednadžbe.

Na primjer, izravnom zamjenom možete provjeriti da funkcije su rješenja jednadžbe.

Zadatak u kojem trebate pronaći određeno rješenje jednadžbe y" = f(x,y) zadovoljavajući početni uvjet y(x 0) = y 0, naziva se Cauchyjev problem.

Rješavanje jednadžbe y" = f(x,y), koji zadovoljava početni uvjet, y(x 0) = y 0, naziva se rješenje Cauchyjevog problema.

Rješenje Cauchyjevog problema ima jednostavno geometrijsko značenje. Doista, prema ovim definicijama, riješiti Cauchyjev problem y" = f(x,y) s obzirom na to y(x 0) = y 0, znači pronaći integralnu krivulju jednadžbe y" = f(x,y) koja prolazi kroz ovu točku M 0 (x 0,y 0).

II. Diferencijalne jednadžbe prvog reda

2.1. Osnovni koncepti

Diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika F(x,y,y") = 0.

Diferencijalna jednadžba prvog reda uključuje prvu derivaciju i ne uključuje derivacije višeg reda.

Jednadžba y" = f(x,y) naziva se jednadžba prvog reda riješena s obzirom na derivaciju.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija oblika , koja sadrži jednu proizvoljnu konstantu.

Primjer. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu prvog reda.

Rješenje ove jednadžbe je funkcija.

Doista, zamjenjujući ovu jednadžbu njezinom vrijednošću, dobivamo

to je 3x=3x

Stoga je funkcija opće rješenje jednadžbe za bilo koju konstantu C.

Pronađite određeno rješenje ove jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(1)=1 Zamjena početnih uvjeta x = 1, y = 1 u opće rješenje jednadžbe, dobivamo odakle C=0.

Dakle, dobivamo posebno rješenje iz općeg zamjenom dobivene vrijednosti u ovu jednadžbu C=0– privatno rješenje.

2.2. Diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama

Diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama je jednadžba oblika: y"=f(x)g(y) ili preko diferencijala, gdje f(x) I g (y)– određene funkcije.

Za one g, za koje , jednadžba y"=f(x)g(y) je ekvivalentan jednadžbi, u kojoj varijabla g prisutna je samo s lijeve strane, a varijabla x samo s desne strane. Kažu, "u jednadžbi y"=f(x)g(y Razdvojimo varijable."

Jednadžba oblika naziva se jednadžba odvojene varijable.

Integriranje obje strane jednadžbe Po x, dobivamo G(y) = F(x) + C je opće rješenje jednadžbe, gdje je G(y) I F(x)– neki antiderivati, odnosno, funkcija i f(x), C proizvoljna konstanta.

Algoritam za rješavanje diferencijalne jednadžbe prvog reda sa separabilnim varijablama

Primjer 1

Riješite jednadžbu y" = xy

Riješenje. Derivacija funkcije y" zamijenite ga sa

razdvojimo varijable

Integrirajmo obje strane jednakosti:

Primjer 2

2yy" = 1- 3x 2, Ako y 0 = 3 na x 0 = 1

Ovo je jednadžba odvojene varijable. Zamislimo to u diferencijalima. Da bismo to učinili, prepisujemo ovu jednadžbu u obliku Odavde

Integrirajući obje strane posljednje jednakosti, nalazimo

Zamjena početnih vrijednosti x 0 = 1, y 0 = 3 pronaći ćemo S 9=1-1+C, tj. C = 9.

Stoga će traženi parcijalni integral biti ili

Primjer 3

Napišite jednadžbu za krivulju koja prolazi točkom M(2;-3) a ima tangentu s kutnim koeficijentom

Riješenje. Prema stanju

Ovo je jednadžba s odvojivim varijablama. Dijeljenjem varijabli dobivamo:

Integrirajući obje strane jednadžbe, dobivamo:

Koristeći početne uvjete, x = 2 I y = - 3 pronaći ćemo C:

Stoga tražena jednadžba ima oblik

2.3. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika y" = f(x)y + g(x)

Gdje f(x) I g(x)- neke specificirane funkcije.

Ako g(x)=0 tada se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogenom i ima oblik: y" = f(x)y

Ako tada jednadžba y" = f(x)y + g(x) naziva se heterogenim.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y daje se formulom: gdje je S– proizvoljna konstanta.

Konkretno, ako C =0, onda je rješenje y = 0 Ako je linearna homogena jednadžba izgleda kao y" = ky Gdje k je neka konstanta, tada njeno opće rješenje ima oblik: .

Opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y + g(x) daje se formulom ,

oni. jednak je zbroju općeg rješenja odgovarajuće linearne homogene jednadžbe i partikularnog rješenja te jednadžbe.

Za linearnu nehomogenu jednadžbu oblika y" = kx + b,

Gdje k I b- neki brojevi i određeno rješenje bit će stalna funkcija. Stoga opće rješenje ima oblik .

Primjer. Riješite jednadžbu y" + 2y +3 = 0

Riješenje. Predstavimo jednadžbu u obliku y" = -2y - 3 Gdje k = -2, b = -3 Opće rješenje dano je formulom.

Prema tome, gdje je C proizvoljna konstanta.

2.4. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda Bernoullijevom metodom

Pronalaženje općeg rješenja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda y" = f(x)y + g(x) svodi na rješavanje dviju diferencijalnih jednadžbi s odvojenim varijablama pomoću supstitucije y=uv, Gdje u I v- nepoznate funkcije iz x. Ova metoda rješenja naziva se Bernoullijeva metoda.

Algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

y" = f(x)y + g(x)

1. Unesite zamjenu y=uv.

2. Izdiferenciraj ovu jednakost y" = u"v + uv"

3. Zamjena g I y" u ovu jednadžbu: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ili u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupirajte članove jednadžbe tako da u izvadite iz zagrade:

5. Iz zagrade, izjednačujući je s nulom, pronađite funkciju

Ovo je odvojiva jednadžba:

Podijelimo varijable i dobijemo:

Gdje . .

6. Zamijenite dobivenu vrijednost v u jednadžbu (iz koraka 4):

i pronađite funkciju. Ovo je jednadžba s razdvojivim varijablama:

7. Opće rješenje napišite u obliku: , tj. .

Primjer 1

Pronađite određeno rješenje jednadžbe y" = -2y +3 = 0 Ako y =1 na x = 0

Riješenje. Riješimo to pomoću supstitucije y=uv,.y" = u"v + uv"

Zamjena g I y" u ovu jednadžbu, dobivamo

Grupiranjem drugog i trećeg člana na lijevoj strani jednadžbe uklanjamo zajednički faktor u izvan zagrada

Izraz u zagradama izjednačujemo s nulom i nakon rješavanja dobivene jednadžbe nalazimo funkciju v = v(x)

Dobivamo jednadžbu s odvojenim varijablama. Integrirajmo obje strane ove jednadžbe: Pronađite funkciju v:

Zamijenimo dobivenu vrijednost v u jednadžbu dobivamo:

Ovo je jednadžba odvojene varijable. Integrirajmo obje strane jednadžbe: Pronađimo funkciju u = u(x,c) Pronađimo opće rješenje: Nađimo određeno rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete y = 1 na x = 0:

III. Diferencijalne jednadžbe višeg reda

3.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba drugog reda je jednadžba koja sadrži derivacije najviše drugog reda. U općem slučaju, diferencijalna jednadžba drugog reda piše se kao: F(x,y,y",y") = 0

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je funkcija oblika , koja uključuje dvije proizvoljne konstante C 1 I C 2.

Posebno rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za određene vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 I C 2.

3.2. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva jednadžba oblika y" + py" +qy = 0, Gdje str I q- konstantne vrijednosti.

Algoritam za rješavanje homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima

1. Napišite diferencijalnu jednadžbu u obliku: y" + py" +qy = 0.

2. Napravite njegovu karakterističnu jednadžbu, označavajući y" kroz r 2, y" kroz r, g u 1: r 2 + pr + q = 0

Sadržaj članka

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE. Puno fizikalni zakoni, kojima podliježu određene pojave, zapisuju se u obliku matematičke jednadžbe koja izražava određeni odnos između nekih veličina. Često govorimo o o odnosu između veličina koje se mijenjaju tijekom vremena, na primjer, učinkovitost motora, mjerena putem udaljenosti koju automobil može prijeći s jednom litrom goriva, ovisi o brzini automobila. Odgovarajuća jednadžba sadrži jednu ili više funkcija i njihove derivacije i naziva se diferencijalna jednadžba. (Stopa promjene udaljenosti tijekom vremena određena je brzinom; prema tome, brzina je derivacija udaljenosti; slično tome, ubrzanje je derivacija brzine, jer ubrzanje određuje stopu promjene brzine s vremenom.) Velika važnost, koje diferencijalne jednadžbe imaju za matematiku, a posebno za njezine primjene, objašnjavaju se činjenicom da se proučavanje mnogih fizikalnih i tehničkih problema svodi na rješavanje takvih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe također igraju značajnu ulogu u drugim znanostima, kao što su biologija, ekonomija i elektrotehnika; zapravo se javljaju gdje god postoji potreba za kvantitativnim (numeričkim) opisom pojava (budući da svijet mijenja se tijekom vremena i uvjeti se mijenjaju s jednog mjesta na drugo).

Primjeri.

Sljedeći primjeri pružaju bolje razumijevanje načina na koji se različiti problemi formuliraju u jeziku diferencijalnih jednadžbi.

1) Zakon raspada nekih radioaktivnih tvari je da je brzina raspada proporcionalna raspoloživoj količini te tvari. Ako x– količina tvari u određenom trenutku t, onda se ovaj zakon može napisati na sljedeći način:

Gdje dx/dt je stopa raspadanja, i k– neka pozitivna konstanta koja karakterizira određenu tvar. (Znak minus na desnoj strani to označava x smanjuje se tijekom vremena; znak plus, uvijek impliciran kada znak nije eksplicitno naveden, značio bi to x povećava se tijekom vremena.)

2) Spremnik na početku sadrži 10 kg soli otopljene u 100 m 3 vode. Ako čista voda ulijeva u spremnik brzinom od 1 m 3 u minuti i ravnomjerno se miješa s otopinom, a dobivena otopina istječe iz spremnika istom brzinom, koliko će onda soli biti u spremniku u bilo kojem sljedećem trenutku? Ako x– količina soli (u kg) u posudi odjednom t, zatim u bilo koje vrijeme t 1 m 3 otopine u posudi sadrži x/100 kg soli; stoga se količina soli brzinom smanjuje x/100 kg/min, odn

3) Neka na tijelu budu mase m ovješena o kraj opruge, povratna sila djeluje proporcionalno količini napetosti u opruzi. Neka x– iznos odstupanja tijela od ravnotežnog položaja. Zatim, prema drugom Newtonovom zakonu, koji kaže da je ubrzanje (druga derivacija od x po vremenu, naznačeno d 2 x/dt 2) proporcionalno sili:

Desna strana ima predznak minus jer povratna sila smanjuje istezanje opruge.

4) Zakon o hlađenju tijela kaže da se količina topline u tijelu smanjuje proporcionalno razlici u tjelesnoj temperaturi i okoliš. Ako se šalica kave zagrijana na temperaturu od 90°C nalazi u prostoriji gdje je temperatura 20°C, tada

Gdje T– temperatura kave u određeno vrijeme t.

5) Ministar vanjskih poslova države Blefuscu tvrdi da program naoružanja koji je prihvatio Liliput prisiljava njegovu zemlju da što više poveća vojne izdatke. Ministar vanjskih poslova Liliputa daje slične izjave. Rezultirajuća situacija (u najjednostavnijoj interpretaciji) može se točno opisati s dvije diferencijalne jednadžbe. Neka x I g- troškovi naoružanja Lilliputa i Blefuscua. Uz pretpostavku da Liliput povećava svoje izdatke za naoružanje po stopi proporcionalnoj stopi povećanja izdataka za naoružanje Blefuscua i obrnuto, dobivamo:

gdje su članovi sjekira i - po opišite vojne izdatke svake zemlje, k I l su pozitivne konstante. (Ovaj problem prvi je ovako formulirao 1939. L. Richardson.)

Nakon što je zadatak napisan jezikom diferencijalnih jednadžbi, treba ih pokušati riješiti, tj. pronaći veličine čije su brzine promjene uključene u jednadžbe. Ponekad se rješenja nalaze u obliku eksplicitnih formula, ali češće se mogu prikazati samo u približnom obliku ili se o njima mogu dobiti kvalitativne informacije. Često može biti teško utvrditi postoji li rješenje, a kamoli ga pronaći. Važan odjeljak teorije diferencijalnih jednadžbi sastoji se od takozvanih "teorema postojanja", u kojima se dokazuje postojanje rješenja za jednu ili drugu vrstu diferencijalne jednadžbe.

Izvorna matematička formulacija fizičkog problema obično sadrži pojednostavljujuće pretpostavke; kriterij njihove razumnosti može biti stupanj usklađenosti matematičkog rješenja s dostupnim opažanjima.

Rješenja diferencijalnih jednadžbi.

Diferencijalna jednadžba, na primjer dy/dx = x/g, nije zadovoljen brojem, već funkcijom, u ovom konkretnom slučaju takvom da njezin graf u bilo kojoj točki, na primjer u točki s koordinatama (2,3), ima tangentu s nagib, jednak omjeru koordinata (u našem primjeru 2/3). To je lako provjeriti ako gradite veliki broj točke i od svake odvojite kratki segment s odgovarajućim nagibom. Rješenje će biti funkcija čiji graf dodiruje svaku svoju točku s odgovarajućim segmentom. Ako ima dovoljno točaka i odsječaka, tada možemo približno ocrtati tijek krivulja rješenja (na slici 1 prikazane su tri takve krivulje). Postoji točno jedna krivulja rješenja koja prolazi kroz svaku točku s g Broj 0. Svako pojedinačno rješenje naziva se parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe; ako je moguće pronaći formulu koja sadrži sva pojedinačna rješenja (uz moguću iznimku nekoliko posebnih), tada kažu da je dobiveno opće rješenje. Pojedinačno rješenje predstavlja jednu funkciju, dok opće rješenje predstavlja cijelu njihovu familiju. Rješavanje diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje njenog posebnog ili općeg rješenja. U primjeru koji razmatramo, opće rješenje ima oblik g 2 – x 2 = c, Gdje c– bilo koji broj; određeno rješenje koje prolazi kroz točku (1,1) ima oblik g = x a ispada kada c= 0; određeno rješenje koje prolazi točkom (2,1) ima oblik g 2 – x 2 = 3. Uvjet koji zahtijeva da krivulja rješenja prolazi, na primjer, kroz točku (2,1), naziva se početni uvjet (budući da određuje početnu točku na krivulji rješenja).

Može se pokazati da u primjeru (1) opće rješenje ima oblik x = ce –kt, Gdje c– konstanta koja se može odrediti, na primjer, označavanjem količine tvari na t= 0. Jednadžba iz primjera (2) – poseban slučaj jednadžba iz primjera (1), odgovarajuća k= 1/100. Početno stanje x= 10 at t= 0 daje određeno rješenje x = 10e –t/100 . Jednadžba iz primjera (4) ima opće rješenje T = 70 + ce –kt i privatno rješenje 70 + 130 – kt; za određivanje vrijednosti k, potrebni su dodatni podaci.

Diferencijalna jednadžba dy/dx = x/g naziva se jednadžba prvog reda, budući da sadrži prvu derivaciju (redom diferencijalne jednadžbe obično se smatra red najveće derivacije koja je u njoj uključena). Za većinu (iako ne sve) diferencijalnih jednadžbi prve vrste koje se pojavljuju u praksi, samo jedna krivulja rješenja prolazi kroz svaku točku.

Postoji nekoliko važnih tipova diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti u obliku formula koje sadrže samo elementarne funkcije - potencije, eksponente, logaritme, sinuse i kosinuse itd. Takve jednadžbe uključuju sljedeće.

Jednadžbe sa separabilnim varijablama.

Jednadžbe oblika dy/dx = f(x)/g(g) može se riješiti zapisivanjem u diferencijale g(g)dy = f(x)dx i integrirajući oba dijela. U najgorem slučaju rješenje se može prikazati u obliku integrala poznatih funkcija. Na primjer, u slučaju jednadžbe dy/dx = x/g imamo f(x) = x, g(g) = g. Upisivanjem u obrazac ydy = xdx i integrirajući, dobivamo g 2 = x 2 + c. Jednadžbe sa separabilnim varijablama uključuju jednadžbe iz primjera (1), (2), (4) (mogu se riješiti na gore opisani način).

Jednadžbe u totalnim diferencijalima.

Ako diferencijalna jednadžba ima oblik dy/dx = M(x,g)/N(x,g), Gdje M I N su dvije zadane funkcije, onda se može predstaviti kao M(x,g)dx – N(x,g)dy= 0. Ako lijeva strana je diferencijal neke funkcije F(x,g), tada se diferencijalna jednadžba može napisati kao dF(x,g) = 0, što je ekvivalentno jednadžbi F(x,g) = konst. Dakle, krivulje rješenja jednadžbe su "linije konstantnih razina" funkcije ili geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavaju jednadžbe F(x,g) = c. Jednadžba ydy = xdx(Sl. 1) - sa separabilnim varijablama, i isto - u ukupnim diferencijalima: da bismo bili sigurni u potonje, pišemo to u obliku ydy – xdx= 0, tj. d(g 2 – x 2) = 0. Funkcija F(x,g) u ovom slučaju je jednako (1/2)( g 2 – x 2); Neke od njegovih linija konstantne razine prikazane su na sl. 1.

Linearne jednadžbe.

Linearne jednadžbe su jednadžbe “prvog stupnja” - nepoznata funkcija i njezine derivacije pojavljuju se u takvim jednadžbama samo do prvog stupnja. Dakle, linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik dy/dx + str(x) = q(x), Gdje str(x) I q(x) – funkcije koje ovise samo o x. Njegovo rješenje se uvijek može napisati pomoću integrala poznatih funkcija. Mnoge druge vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda rješavaju se posebnim tehnikama.

Jednadžbe višeg reda.

Mnoge diferencijalne jednadžbe s kojima se fizičari susreću su jednadžbe drugog reda (tj. jednadžbe koje sadrže druge derivacije). Takva je, na primjer, jednadžba jednostavnog harmonijskog gibanja iz primjera (3), doktor medicine 2 x/dt 2 = –kx. Općenito govoreći, možemo očekivati ​​da jednadžba drugog reda ima parcijalna rješenja koja zadovoljavaju dva uvjeta; na primjer, može se zahtijevati da krivulja rješenja prolazi kroz danu točku u danom smjeru. U slučajevima kada diferencijalna jednadžba sadrži određeni parametar (broj čija vrijednost ovisi o okolnostima), rješenja traženog tipa postoje samo za određene vrijednosti tog parametra. Na primjer, razmotrite jednadžbu doktor medicine 2 x/dt 2 = –kx i to ćemo zahtijevati g(0) = g(1) = 0. Funkcija gê 0 je očito rješenje, ali ako je višekratnik cijelog broja str, tj. k = m 2 n 2 str 2, gdje n je cijeli broj, ali u stvarnosti samo u ovom slučaju postoje druga rješenja, naime: g= grijeh npx. Vrijednosti parametara za koje jednadžba ima posebna rješenja nazivaju se karakteristične ili svojstvene vrijednosti; igraju važnu ulogu u mnogim zadacima.

Jednadžba jednostavnog harmonijskog gibanja primjer je važne klase jednadžbi, naime linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima. Više opći primjer(također drugog reda) – jednadžba

Gdje a I b– zadane konstante, f(x) je dana funkcija. Takve se jednadžbe mogu riješiti različiti putevi, na primjer, koristeći integralnu Laplaceovu transformaciju. Isto se može reći i za linearne jednadžbe viših redova s ​​konstantnim koeficijentima. Oni također igraju važnu ulogu linearne jednadžbe s promjenjivim koeficijentima.

Nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Jednadžbe koje sadrže nepoznate funkcije i njihove derivacije na potencije veće od prve ili na neki složeniji način nazivamo nelinearnim. U posljednjih godina privlače sve više pažnje. Činjenica je da su fizikalne jednadžbe obično linearne samo do prve aproksimacije; Daljnja i preciznija istraživanja, u pravilu, zahtijevaju korištenje nelinearnih jednadžbi. Osim toga, mnogi problemi su nelinearne prirode. Budući da su rješenja nelinearnih jednadžbi često vrlo složena i teško ih je prikazati jednostavnim formulama, značajan dio moderna teorija posvećena je kvalitativnoj analizi njihova ponašanja, tj. razvoj metoda koje omogućuju da se, bez rješavanja jednadžbe, kaže nešto značajno o prirodi rješenja kao cjeline: na primjer, da su sva ograničena, da imaju periodičnu prirodu, ili da na određeni način ovise o koeficijenti.

Približna rješenja diferencijalnih jednadžbi mogu se naći numerički, ali za to je potrebno dosta vremena. Pojavom brzih računala to se vrijeme uvelike smanjilo, što je otvorilo nove mogućnosti za numeričko rješavanje mnogih problema koji su prije bili nerješivi za takvo rješenje.

Teoremi egzistencije.

Teorem postojanja je teorem koji tvrdi da, pod određenim uvjetima, dana diferencijalna jednadžba ima rješenje. Postoje diferencijalne jednadžbe koje nemaju rješenja ili ih imaju više od očekivanog. Svrha teorema postojanja je uvjeriti nas da data jednadžba zapravo ima rješenje, a najčešće da nas uvjeri da ima točno jedno rješenje tražene vrste. Na primjer, jednadžba s kojom smo se već susreli dy/dx = –2g ima točno jedno rješenje koje prolazi kroz svaku točku ravnine ( x,g), a budući da smo već pronašli jedno takvo rješenje, time smo u potpunosti riješili ovu jednadžbu. S druge strane, jednadžba ( dy/dx) 2 = 1 – g 2 ima mnogo rješenja. Među njima su ravni g = 1, g= –1 i krivulje g= grijeh( x + c). Rješenje se može sastojati od nekoliko segmenata ovih ravnih linija i krivulja, koje prelaze jedna u drugu na dodirnim točkama (slika 2).

Parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Obična diferencijalna jednadžba je izjava o izvodu nepoznate funkcije jedne varijable. Parcijalna diferencijalna jednadžba sadrži funkciju dviju ili više varijabli i derivacije te funkcije u odnosu na najmanje dvije različite varijable.

U fizici, primjeri takvih jednadžbi su Laplaceova jednadžba

X, g) unutar kruga ako su vrijednosti u navedeni u svakoj točki granične kružnice. Budući da su problemi s više od jedne varijable u fizici pravilo, a ne iznimka, lako je zamisliti koliko je golem predmet teorije parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

The online kalkulator omogućuje online rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Dovoljno je unijeti svoju jednadžbu u odgovarajuće polje, označavajući derivaciju funkcije apostrofom i kliknuti na gumb "riješi jednadžbu", a sustav, implementiran na temelju popularne web stranice WolframAlpha, dat će detaljne rješavanje diferencijalne jednadžbe potpuno besplatno. Također možete definirati Cauchyjev problem tako da iz cijelog skupa moguća rješenja odaberite kvocijent koji odgovara zadanim početnim uvjetima. U posebno polje upisuje se Cauchyjev problem.

Diferencijalna jednadžba

Prema zadanim postavkama, funkcija u jednadžbi g je funkcija varijable x. Međutim, možete odrediti vlastitu oznaku za varijablu; ako napišete, na primjer, y(t) u jednadžbi, kalkulator će automatski prepoznati da g postoji funkcija iz varijable t. Uz pomoć kalkulatora možete rješavati diferencijalne jednadžbe bilo koje složenosti i vrste: homogene i nehomogene, linearne ili nelinearne, prvog reda ili drugog i višeg reda, jednadžbe sa separabilnim ili nerazdvojivim varijablama itd. Rješenje dif. jednadžba je dana u analitičkom obliku, ima Detaljan opis. Diferencijalne jednadžbe vrlo su česte u fizici i matematici. Bez njihovog izračuna nemoguće je riješiti mnoge probleme (osobito u matematičkoj fizici).

Jedna od faza rješavanja diferencijalnih jednadžbi je integriranje funkcija. Postoje standardne metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Jednadžbe je potrebno svesti na oblik sa separabilnim varijablama y i x te zasebno integrirati razdvojene funkcije. Da biste to učinili, ponekad je potrebno izvršiti određenu zamjenu.