Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U terminu " kvadratna jednadžba„Ključna riječ je „kvadrat“. To znači da jednadžba nužno mora sadržavati varijablu (taj isti x) na kvadrat i ne smije biti x-ova na treću (ili veću) potenciju.

Rješavanje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednadžba, a ne neka druga jednadžba.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednadžbe s

Premjestimo sve na lijeva strana i rasporedite članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, to je reducirano - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Oni su nepotpuni jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! Inače, to više neće biti kvadratna jednadžba, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela određena je metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Jer mi znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje samo izvaditi korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate se kako vaditi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijene matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo odustati od primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

Zapamtiti, Bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom vrlo je jednostavno, glavno je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen. Posebna pažnja koraknuti. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da nećemo moći izdvojiti korijen diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako pravilno zapisati takve odgovore.

Odgovor: bez korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se naziva reducirana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer .

Zbroj korijena jednadžbe je jednak, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sustav:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Dana je jednadžba, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznata, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - slobodan član.

Zašto? Jer ako jednadžba odmah postane linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj stolici jednadžba se naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Razlikujemo sljedeće vrste jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada pogledajmo rješenje za svaku od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Rastavimo lijevu stranu jednadžbe i pronađimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen iz diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijene:
• Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguće različite količine korijenje? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi apscisa (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Vrlo je jednostavno koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je produkt jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo u reducirane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Za dobivanje je dovoljno jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga i umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbroj korijena jednak razlike njihovih modula.

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: razlika im je jednaka – ne pristaje;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Sve što ostaje je zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, korijen s manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naš omiljeni Vieta teorem: zbroj mora biti jednak, a umnožak mora biti jednak.

Ali budući da mora biti ne, ali, mijenjamo predznake korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Sve pojmove trebate premjestiti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

U redu, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate dati jednadžbu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Sjajno. Tada je zbroj korijena jednak i umnošku.

Ovdje je odabir jednostavan kao guljenje krušaka: ipak je to prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodan član je negativan. Što je posebno u vezi ovoga? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku u njihovim modulima: ta je razlika jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što trebate učiniti prvo? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u danim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vietinog teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cijelih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira cijelog kvadrata

Ako su svi članovi koji sadrže nepoznanicu prikazani u obliku članova iz skraćenih formula množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon zamjene varijabli može prikazati u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

U opći pogled transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća te ni na što? Ovo je diskriminirajuća stvar! Upravo tako smo dobili formulu diskriminacije.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba- ovo je jednadžba oblika, gdje su - nepoznanica, - koeficijenti kvadratne jednadžbe, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika gdje) je jednak, a umnožak korijena je jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

2.5 Vietaova formula za polinome (jednadžbe) više stupnjeve

Formule koje je Viète izveo za kvadratne jednadžbe također su istinite za polinome viših stupnjeva.

Neka polinom

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ima n različitih korijena x 1, x 2..., x n.

U ovom slučaju ima faktorizaciju oblika:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Podijelimo obje strane ove jednakosti s 0 ≠ 0 i otvorimo zagrade u prvom dijelu. Dobijamo jednakost:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n

Ali dva su polinoma identički jednaka ako i samo ako su koeficijenti istih potencija jednaki. Iz toga slijedi da je jednakost

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Na primjer, za polinome trećeg stupnja

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Imamo identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Što se tiče kvadratnih jednadžbi, ova se formula naziva Vietinim formulama. Lijeve strane ovih formula su simetrični polinomi iz korijena x 1, x 2 ..., x n ove jednadžbe, a desne strane su izražene kroz koeficijent polinoma.

2.6 Jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne (bikvadratne)

Jednadžbe četvrtog stupnja svode se na kvadratne jednadžbe:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

nazivamo bikvadratnim, a a ≠ 0.

Dovoljno je staviti x 2 = y u ovu jednadžbu, dakle,

ay² + by + c = 0

nađimo korijene dobivene kvadratne jednadžbe

y 1,2 =

Da biste odmah pronašli korijene x 1, x 2, x 3, x 4, zamijenite y s x i dobijete

x² =

x 1,2,3,4 = .

Ako jednadžba četvrtog stupnja ima x 1, tada također ima korijen x 2 = -x 1,

Ako ima x 3, tada je x 4 = - x 3. Zbroj korijena takve jednadžbe je nula.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Zamijenimo jednadžbu u formulu za korijene bikvadratne jednadžbe:

x 1,2,3,4 = ,

znajući da je x 1 = -x 2 i x 3 = -x 4, tada:

x 3,4 =

Odgovor: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Proučavanje bikvadratnih jednadžbi

Uzmimo bikvadratnu jednadžbu

ax 4 + bx 2 + c = 0,

gdje su a, b, c realni brojevi, a a > 0. Uvođenjem pomoćne nepoznanice y = x² ispitujemo korijene ove jednadžbe i rezultate unosimo u tablicu (vidi Prilog br. 1)

2.8 Cardano formula

Ako koristimo modernu simboliku, izvođenje Cardano formule može izgledati ovako:

x =

Ova formula određuje korijene opća jednadžba treći stupanj:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ova formula je vrlo glomazna i složena (sadrži nekoliko složenih radikala). Neće uvijek vrijediti, jer... vrlo teško ispuniti.

F ¢(xo) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Navedite ili odaberite najzanimljivija mjesta iz 2-3 teksta. Stoga smo ispitali opće odredbe za izradu i izvođenje izbornih predmeta, koje ćemo uzeti u obzir pri izradi izbornog predmeta iz algebre za 9. razred „Kvadratne jednadžbe i nejednadžbe s parametrom“. poglavlje II. Metodika izvođenja izbornog predmeta “Kvadratne jednadžbe i nejednadžbe s parametrom” 1.1. Su česti...

Rješenja iz numeričkih metoda proračuna. Za određivanje korijena jednadžbe nije potrebno poznavanje teorija Abelove, Galoisove, Liejeve itd. grupa i korištenje posebne matematičke terminologije: prstenovi, polja, ideali, izomorfizmi itd. Za rješavanje algebarske jednadžbe n-tog stupnja potrebna vam je samo sposobnost rješavanja kvadratnih jednadžbi i vađenja korijena iz kompleksnog broja. Korijeni se mogu odrediti prema...

S mjernim jedinicama fizikalnih veličina u MathCAD sustavu? 11. Detaljno opišite tekstualne, grafičke i matematičke blokove. Predavanje br.2. Problemi linearne algebre i rješavanje diferencijalnih jednadžbi u MathCAD okruženju Kod problema linearne algebre gotovo uvijek postoji potreba za izvođenjem raznih operacija s matricama. Operatorska ploča s matricama nalazi se na ploči Math. ...

Formulacija i dokaz Vietinog teorema za kvadratne jednadžbe. Vietin obrnuti teorem. Vietin teorem za kubne jednadžbe i jednadžbe proizvoljnog reda.

Kvadratne jednadžbe

Vietin teorem

Označimo s i korijene reducirane kvadratne jednadžbe
(1) .
Tada je zbroj korijena jednak koeficijentu od , uzet sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.

Napomena o višestrukim korijenima

Ako je diskriminant jednadžbe (1) nula, tada ova jednadžba ima jedan korijen. No, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednadžba (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.

Dokaz jedan

Nađimo korijene jednadžbe (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.

Nađi zbroj korijena:
.

Da biste pronašli proizvod, primijenite formulu:
.
Zatim

.

Teorem je dokazan.

Dokaz dva

Ako su brojevi korijeni kvadratne jednadžbe (1), tada
.
Otvaranje zagrada.

.
Dakle, jednadžba (1) će imati oblik:
.
Uspoređujući s (1) nalazimo:
;
.

Teorem je dokazan.

Vietin obrnuti teorem

Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
Gdje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietinog obratnog teorema

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu
(1) .
Moramo dokazati da ako i , tada su i korijeni jednadžbe (1).

Zamijenimo (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove na lijevoj strani jednadžbe:
;
;
(4) .

Zamijenimo u (4):
;
.

Zamijenimo u (4):
;
.
Jednadžba vrijedi. Odnosno, broj je korijen jednadžbe (1).

Teorem je dokazan.

Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu

Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednadžbu
(5) ,
gdje su , i neki brojevi. Štoviše.

Podijelimo jednadžbu (5) sa:
.
Odnosno, dobili smo zadanu jednadžbu
,
Gdje ; .

Tada Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu ima sljedeći oblik.

Neka i označavaju korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbroj i umnožak korijena određuju formulama:
;
.

Vietin teorem za kubnu jednadžbu

Na sličan način možemo uspostaviti veze između korijena kubne jednadžbe. Razmotrimo kubnu jednadžbu
(6) ,
gdje su , , , neki brojevi. Štoviše.
Podijelimo ovu jednadžbu sa:
(7) ,
Gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednadžbe (6)). Zatim

.

Uspoređujući s jednadžbom (7) nalazimo:
;
;
.

Vietin teorem za jednadžbu n-tog stupnja

Na isti način možete pronaći veze između korijena , , ... , , za jednadžbu n-tog stupnja
.

Vietin teorem za jednadžbu n-tog stupnja ima sljedeći oblik:
;
;
;

.

Da bismo dobili ove formule, jednadžbu ćemo napisati na sljedeći način:
.
Zatim izjednačimo koeficijente za , , , ... i usporedimo slobodni član.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: udžbenik za 8. razred u općeobrazovnim ustanovama, Moskva, Obrazovanje, 2006.

U matematici postoje posebne tehnike kojima se mnoge kvadratne jednadžbe mogu riješiti vrlo brzo i bez ikakvih diskriminanata. Štoviše, uz odgovarajuću obuku, mnogi počnu usmeno rješavati kvadratne jednadžbe, doslovno "na prvi pogled".

Nažalost, u modernom tečaju školske matematike takve se tehnologije gotovo ne proučavaju. Ali morate znati! A danas ćemo se osvrnuti na jednu od tih tehnika - Vietin teorem. Prvo, uvedimo novu definiciju.

Kvadratna jednadžba oblika x 2 + bx + c = 0 naziva se reduciranom. Imajte na umu da je koeficijent za x 2 1. Nema drugih ograničenja za koeficijente.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je reducirana kvadratna jednadžba;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - također smanjeno;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ali to uopće nije zadano, jer je koeficijent x 2 jednak 2.

Naravno, svaka kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0 može se reducirati - samo podijelite sve koeficijente s brojem a. To uvijek možemo učiniti, budući da definicija kvadratne jednadžbe implicira da je a ≠ 0.

Istina, ove transformacije neće uvijek biti korisne za pronalaženje korijena. U nastavku ćemo se pobrinuti da to treba učiniti samo kada su u konačnoj jednadžbi dana kvadratom svi koeficijenti cijeli brojevi. Za sada pogledajmo najjednostavnije primjere:

Zadatak. Pretvorite kvadratnu jednadžbu u smanjenu jednadžbu:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Podijelimo svaku jednadžbu s koeficijentom varijable x 2. Dobivamo:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - sve podijeljeno s 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - podijeljeno s −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - podijeljeno s 1,5, svi koeficijenti postali su cijeli brojevi;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - podijeljeno s 2. U ovom slučaju pojavili su se razlomački koeficijenti.

Kao što vidite, gornje kvadratne jednadžbe mogu imati cjelobrojne koeficijente čak i ako je izvorna jednadžba sadržavala razlomke.

Sada ćemo formulirati glavni teorem, za koji je zapravo uveden koncept reducirane kvadratne jednadžbe:

Vietin teorem. Razmotrimo reduciranu kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + bx + c = 0. Pretpostavimo da ova jednadžba ima realne korijene x 1 i x 2. U ovom slučaju vrijede sljedeće tvrdnje:

1. x 1 + x 2 = −b. Drugim riječima, zbroj korijena dane kvadratne jednadžbe jednak je koeficijentu varijable x, uzetom sa suprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 = c. Umnožak korijena kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom koeficijentu.

Primjeri. Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo samo gornje kvadratne jednadžbe koje ne zahtijevaju dodatne transformacije:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korijeni: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; korijeni: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korijeni: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietin teorem daje nam dodatne informacije o korijenima kvadratne jednadžbe. Na prvi pogled to se može činiti teškim, ali čak i uz minimalnu obuku naučit ćete "vidjeti" korijene i doslovno ih pogoditi u nekoliko sekundi.

Zadatak. Riješite kvadratnu jednadžbu:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Pokušajmo ispisati koeficijente koristeći Vietin teorem i "pogoditi" korijene:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je reducirana kvadratna jednadžba.
   Po Vietinom teoremu imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Lako je vidjeti da su korijeni brojeva 2 i 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - također smanjeno.
   Po Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Odatle korijeni: 3 i 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ova jednadžba nije reducirana. Ali to ćemo sada ispraviti tako da obje strane jednadžbe podijelimo s koeficijentom a = 3. Dobivamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rješavamo pomoću Vietinog teorema: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korijeni: −10 i −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - opet koeficijent za x 2 nije jednak 1, tj. jednadžba nije dana. Sve podijelimo s brojem a = −7. Dobivamo: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Po Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Iz ovih jednadžbi lako je pogoditi korijene: 5 i 6.

Iz gornjeg razmišljanja jasno je kako Vietin teorem pojednostavljuje rješenje kvadratnih jednadžbi. Nema kompliciranih izračuna, nema aritmetičkih korijena ili razlomaka. A nismo čak ni trebali diskriminant (vidi lekciju "Rješavanje kvadratnih jednadžbi").

Naravno, u svim našim razmišljanjima polazili smo od dvije važne pretpostavke, koje se, općenito govoreći, ne ispunjavaju uvijek u stvarnim problemima:

1. Kvadratna jednadžba je reducirana, tj. koeficijent za x 2 je 1;
2. Jednadžba ima dva različita korijena. S algebarske točke gledišta, u ovom slučaju diskriminant je D > 0 - zapravo, u početku pretpostavljamo da je ova nejednakost točna.

Međutim, u tipičnim matematičkim problemima ti su uvjeti ispunjeni. Ako izračun rezultira "lošom" kvadratnom jednadžbom (koeficijent x 2 razlikuje se od 1), to se može lako ispraviti - pogledajte primjere na samom početku lekcije. O korijenima uglavnom šutim: kakav je to problem koji nema odgovor? Naravno da će biti korijena.

Tako, opća shema rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema izgleda ovako:

1. Svesti kvadratnu jednadžbu na zadanu, ako to već nije učinjeno u postavci zadatka;
2. Ako su koeficijenti u gornjoj kvadratnoj jednadžbi razlomci, rješavamo pomoću diskriminante. Možete se čak vratiti na izvornu jednadžbu kako biste radili s više "praktičnih" brojeva;
3. U slučaju cjelobrojnih koeficijenata, jednadžbu rješavamo pomoću Vietinog teorema;
4. Ako ne možete pogoditi korijene u roku od nekoliko sekundi, zaboravite na Vietin teorem i riješite pomoću diskriminante.

Zadatak. Riješite jednadžbu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Dakle, pred sobom imamo jednadžbu koja nije reducirana, jer koeficijent a = 5. Podijelimo sve s 5, dobivamo: x 2 − 7x + 10 = 0.

Svi koeficijenti kvadratne jednadžbe su cijeli brojevi - pokušajmo to riješiti pomoću Vietinog teorema. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 = 10.V u ovom slučaju korijene je lako pogoditi - oni su 2 i 5. Nema potrebe računati pomoću diskriminante.

Zadatak. Riješite jednadžbu: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Pogledajmo: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ova jednadžba nije reducirana, podijelimo obje strane s koeficijentom a = −5. Dobivamo: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - jednadžba s razlomačkim koeficijentima.

Bolje se vratiti na izvornu jednadžbu i računati kroz diskriminantu: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Zadatak. Riješite jednadžbu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Najprije sve podijelimo s koeficijentom a = 2. Dobivamo jednadžbu x 2 + 5x − 300 = 0.

Ovo je reducirana jednadžba, prema Vietinom teoremu imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Teško je pogoditi korijene kvadratne jednadžbe u ovom slučaju - osobno sam ozbiljno zapeo pri rješavanju ovog problema.

Morat ćete tražiti korijene kroz diskriminantu: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Ako se ne sjećate korijena diskriminante, samo ću primijetiti da je 1225: 25 = 49. Prema tome, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Sada kada je poznat korijen diskriminante, rješavanje jednadžbe nije teško. Dobivamo: x 1 = 15; x 2 = −20.

Vietin teorem (točnije, teorem inverzan Vietinom teoremu) omogućuje smanjenje vremena za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Samo ga trebate znati koristiti. Kako naučiti rješavati kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem? Nije teško ako malo razmislite.

Sada ćemo govoriti samo o rješavanju reducirane kvadratne jednadžbe pomoću Vietinog teorema. Reducirana kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj je a, odnosno koeficijent od x², jednak jedan. Također je moguće riješiti kvadratne jednadžbe koje nisu zadane pomoću Vietinog teorema, ali barem jedan od korijena nije cijeli broj. Teže ih je pogoditi.

Inverzni teorem Vietinom teoremu kaže: ako su brojevi x1 i x2 takvi da

tada su x1 i x2 korijeni kvadratne jednadžbe

Kod rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću Vietinog teorema moguće su samo 4 opcije. Ako se sjećate rezoniranja, vrlo brzo možete naučiti pronaći cijele korijene.

I. Ako je q pozitivan broj,

to znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka (budući da samo množenje brojeva s istim predznakom daje pozitivan broj).

ja Ako je -p pozitivan broj, (odnosno, str<0), то оба корня x1 и x2 — pozitivni brojevi(pošto smo zbrajali brojeve istog predznaka i dobili pozitivan broj).

I.b. Ako je -p negativan broj, (odnosno p>0), tada su oba korijena negativni brojevi (zbrajali smo brojeve istog predznaka i dobili negativan broj).

II. Ako je q negativan broj,

to znači da korijeni x1 i x2 imaju različite predznake (pri množenju brojeva negativan broj se dobiva samo kada su predznaci faktora različiti). U ovom slučaju x1+x2 više nije zbroj, već razlika (uostalom, kada se zbrajaju brojevi s različite znakove oduzimamo manji od većeg). Dakle, x1+x2 pokazuje koliko se razlikuju korijeni x1 i x2, odnosno koliko je jedan korijen veći od drugog (u apsolutnoj vrijednosti).

II.a. Ako je -p pozitivan broj, (odnosno str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Ako je -p negativan broj, (p>0), tada je veći (modulo) korijen negativan broj.

Razmotrimo rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema na primjerima.

Riješite zadanu kvadratnu jednadžbu pomoću Vietinog teorema:

Ovdje je q=12>0, pa su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka. Njihov zbroj je -p=7>0, pa su oba korijena pozitivni brojevi. Odabiremo cijele brojeve čiji je umnožak jednak 12. To su 1 i 12, 2 i 6, 3 i 4. Zbroj je 7 za par 3 i 4. To znači da su 3 i 4 korijeni jednadžbe.

U u ovom primjeru q=16>0, što znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka. Njihov zbroj je -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ovdje je q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tada je veći broj pozitivan. Dakle, korijeni su 5 i -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.