Rekli smo da je algebarska krivulja drugog reda određena algebarskom jednadžbom drugog stupnja s obzirom na x I na. Općenito, ova se jednadžba piše na sljedeći način:

A x 2 + V xy+ C na 2 +D x+E g+ F = 0, (6)

i A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (odnosno, brojevi A, B, C se ne pretvaraju u nulu u isto vrijeme). Komponente A x 2, V xy, SA na 2 nazivaju se vodeći članovi jednadžbe, broj

nazvao diskriminirajući ova jednadžba. Jednadžba (6) naziva se opća jednadžba krivulja drugog reda.

Za prethodno razmatrane krivulje imamo:

Elipsa: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

krug x 2 + na 2 = A 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – A 2, d = 1>0;

Hiperbola: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

d = – .< 0.

Parabola: na 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

x 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Krivulje dane jednadžbom (6) nazivaju se središnji krivulje ako je d¹0. Ako je d> 0, onda je krivulja eliptični vrsta, ako d<0, то кривая hiperboličan tip. Krivulje za koje je d = 0 su krivulje parabolični tip.

Dokazano je da linija drugog reda u bilo koji Kartezijev koordinatni sustav zadan je algebarskom jednadžbom drugog reda. Samo u jednom sustavu jednadžba ima složen oblik (na primjer, (6)), au drugom ima jednostavniji oblik, na primjer, (5). Stoga je prikladno razmotriti koordinatni sustav u kojem je krivulja koja se proučava zapisana najjednostavnijom (na primjer, kanonskom) jednadžbom. Prijelaz iz jednog koordinatnog sustava, u kojem je krivulja dana jednadžbom oblika (6), u drugi, gdje je njezina jednadžba jednostavnijeg oblika, naziva se transformacija koordinata.

Razmotrimo glavne vrste transformacija koordinata.

ja Nosi transformaciju koordinatne osi (uz očuvanje pravca). Neka točka M u izvornom XOU koordinatnom sustavu ima koordinate ( x, nax¢, na¢). Iz crteža je vidljivo da su koordinate točke M u različitim sustavima povezane relacijama

(7) ili (8).

Formule (7) i (8) nazivaju se formulama transformacije koordinata.

II. Rotacijska transformacija koordinatne osi po kutu a. Ako u izvornom XOU koordinatnom sustavu točka M ima koordinate ( x, na), au novom koordinatnom sustavu HO¢U ima koordinate ( x¢, na¢). Zatim se veza između tih koordinata izražava formulama

, (9)

ili

Koristeći transformaciju koordinata, jednadžba (6) se može svesti na jednu od sljedećih kanonski jednadžbe.

1) – elipsa,

2) – hiperbola,

3) na 2 = 2px, x 2 = 2RU– parabola

4) A 2 x 2 – b 2 g 2 = 0 – par linija koje se sijeku (slika a)

5) g 2 – a 2 = 0 – par paralelnih linija (Sl. b)

6) x 2 –a 2 = 0 – par paralelnih linija (slika c)

7) g 2 = 0 – jednake ravne linije (OX os)

8)x 2 = 0 – jednake ravne linije (OA os)

9) a 2 x 2 + b 2 g 2 = 0 – točka (0, 0)

10) zamišljena elipsa

11)y 2 + a 2 = 0 – par zamišljenih linija

12) x 2 + a 2 = 0 par imaginarnih linija.

Svaka od ovih jednadžbi je jednadžba drugog reda. Pravci definirani jednadžbama 4 – 12 nazivaju se degenerirati krivulje drugog reda.

Razmotrimo primjere transformacije opće jednadžbe krivulje u kanonski oblik.

1) 9x 2 + 4na 2 – 54x + 8na+ 49 = 0 Þ (9 x 2 – 54x) + (4na 2 + 8na) + 49 = 0 Þ

9(x 2 – 6x+ 9) + 4(na 2 + 2na+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( x –3) 2 + 4(na+ 1) = 36, Þ

.

Stavimo x¢ = x – 3, na¢ = na+ 1, dobivamo kanonsku jednadžbu elipse . Jednakosti x¢ = x – 3, na¢ = na+ 1 odrediti transformaciju prijenosa koordinatnog sustava u točku (3, –1). Nakon što smo konstruirali stari i novi koordinatni sustav, nije teško prikazati ovu elipsu.

2) 3na 2 +4x– 12na+8 = 0. Transformacija:

(3na 2 – 12na)+ 4 x+8 = 0

3(na 2 – 4na+4) – 12 + 4 x +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(x –1) = 0

(na – 2) 2 = – (x – 1) .

Stavimo x¢ = x – 1, na¢ = na– 2, dobivamo jednadžbu parabole na¢ 2 = – x¢. Izabrana zamjena odgovara prijenosu koordinatnog sustava u točku O¢(1,2).

U ovom ćemo članku razmotriti opću jednadžbu pravca na ravnini. Navedimo primjere konstruiranja opće jednadžbe pravca ako su poznate dvije točke tog pravca ili ako je poznata jedna točka i vektor normale tog pravca. Predstavimo metode za transformaciju jednadžbe u općem obliku u kanonske i parametarske oblike.

Neka je zadan proizvoljan Kartezijev pravokutni koordinatni sustav Oxy. Razmotrimo prvi stupanj ili linearnu jednadžbu:

Gdje A, B, C− neke konstante, te barem jedan od elemenata A I B različit od nule.

Pokazat ćemo da linearna jednadžba na ravnini definira ravnu liniju. Dokažimo sljedeći teorem.

Teorem 1. U proizvoljnom Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini, svaka ravna crta može se odrediti linearnom jednadžbom. Obrnuto, svaka linearna jednadžba (1) u proizvoljnom kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini definira ravnu liniju.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da pravac L određena je linearnom jednadžbom za bilo koji Kartezijev pravokutni koordinatni sustav, budući da će tada biti određena linearnom jednadžbom za bilo koji izbor Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava.

Neka je na ravnini dana pravac L. Odaberimo koordinatni sustav tako da os Vol poklapao s ravnom linijom L, i os Joj bio okomit na njega. Zatim jednadžba pravca Lće imati sljedeći oblik:

Sve točke na liniji Lće zadovoljiti linearnu jednadžbu (2), a sve točke izvan ove crte neće zadovoljiti jednadžbu (2). Prvi dio teorema je dokazan.

Neka je zadan kartezijev pravokutni koordinatni sustav i neka je zadana linearna jednadžba (1), gdje je barem jedan od elemenata A I B različit od nule. Nađimo geometrijsko mjesto točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1). Budući da je barem jedan od koeficijenata A I B različita od nule, onda jednadžba (1) ima barem jedno rješenje M(x 0 ,g 0). (Na primjer, kada A≠0, točka M 0 (−C/A, 0) pripada zadanom geometrijskom mjestu točaka). Zamjenom ovih koordinata u (1) dobivamo identitet

Oduzmimo identitet (3) od (1):

Očito, jednadžba (4) je ekvivalentna jednadžbi (1). Stoga je dovoljno dokazati da (4) definira neki pravac.

Budući da se radi o kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu, iz jednakosti (4) slijedi da je vektor s komponentama ( x−x 0 , y−y 0 ) okomit na vektor n s koordinatama ( A,B}.

Razmotrimo neku ravnu liniju L, prolazeći kroz točku M 0 (x 0 , g 0) i okomito na vektor n(Sl. 1). Neka točka M(x,y) pripada pravcu L. Zatim vektor s koordinatama x−x 0 , y−y 0 okomito n i jednadžba (4) je zadovoljena (skalarni produkt vektora n a jednak nuli). Obrnuto, ako točka M(x,y) ne leži na pravcu L, zatim vektor s koordinatama x−x 0 , y−y 0 nije ortogonalna na vektor n a jednadžba (4) nije zadovoljena. Teorem je dokazan.

Dokaz. Kako pravci (5) i (6) definiraju isti pravac, onda normalni vektori n 1 ={A 1 ,B 1) i n 2 ={A 2 ,B 2) kolinearni. Budući da vektori n 1 ≠0, n 2 ≠0, onda postoji takav broj λ , Što n 2 =n 1 λ . Odavde imamo: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dokažimo to C 2 =C 1 λ . Očito je da pravci koji se podudaraju imaju zajedničku točku M 0 (x 0 , g 0). Množenje jednadžbe (5) sa λ i oduzimanjem jednadžbe (6) od nje dobivamo:

Kako su prve dvije jednakosti iz izraza (7) zadovoljene, onda C 1 λ −C 2 =0. Oni. C 2 =C 1 λ . Opaska je dokazana.

Primijetite da jednadžba (4) definira jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0 (x 0 , g 0) i ima normalni vektor n={A,B). Dakle, ako su poznati normalni vektor pravca i točka koja pripada tom pravcu, tada se opća jednadžba pravca može konstruirati pomoću jednadžbe (4).

Primjer 1. Kroz točku prolazi pravac M=(4,−1) i ima vektor normale n=(3, 5). Konstruirajte opću jednadžbu pravca.

Riješenje. Imamo: x 0 =4, g 0 =−1, A=3, B=5. Da bismo konstruirali opću jednadžbu ravne linije, zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu (4):

Odgovor:

Vektor je paralelan s pravcem L i, prema tome, okomito na vektor normale pravca L. Konstruirajmo vektor normalne linije L, uzimajući u obzir da je skalarni produkt vektora n i jednak nuli. Možemo napisati npr. n={1,−3}.

Za konstruiranje opće jednadžbe pravca koristimo formulu (4). Zamijenimo koordinate točke u (4) M 1 (možemo uzeti i koordinate točke M 2) i normalni vektor n:

Zamjena koordinata točaka M 1 i M 2 u (9) možemo osigurati da ravna crta dana jednadžbom (9) prolazi kroz te točke.

Odgovor:

Oduzmi (10) od (1):

Dobili smo kanoničku jednadžbu pravca. Vektor q={−B, A) je vektor smjera pravca (12).

Vidi obrnuto pretvaranje.

Primjer 3. Pravac na ravnini predstavljen je sljedećom općom jednadžbom:

Pomaknimo drugi član udesno i podijelimo obje strane jednadžbe s 2·5.

Krivulja drugog reda— geometrijski položaj točaka na ravnini, pravokutne koordinate

koji zadovoljavaju jednadžbu oblika:

u kojoj je barem jedan od koeficijenata a 11, a 12, a 22 nije jednak nuli.

Invarijante krivulja drugog reda.

Oblik krivulje ovisi o 4 invarijante date u nastavku:

Invarijante u odnosu na rotaciju i pomak koordinatnog sustava:

Invarijantan u odnosu na rotaciju koordinatnog sustava ( polupromjenjiv):

Za proučavanje krivulja drugog reda, razmotrite proizvod KAO.

Općenito jednadžba krivulje drugog reda izgleda ovako:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Ako A*C > 0 eliptični tip. Bilo koji eliptični

jednadžba je jednadžba ili obične elipse, ili degenerirane elipse (točke), ili zamišljene

elipsa (u ovom slučaju jednadžba ne definira jednu geometrijsku sliku na ravnini);

Ako A*C< 0 , tada jednadžba ima oblik jednadžbe hiperbolički tip. Svaka hiperbolika

jednadžba izražava ili jednostavnu hiperbolu ili degeneriranu hiperbolu (dvije crte koje se sijeku);

Ako A*C = 0, tada linija drugog reda neće biti središnja. Jednadžbe ovog tipa nazivaju se

jednadžbe parabolični tip i izrazi na ravnini ili prostu parabolu, ili 2 paralelne

(ili se podudaraju) ravne linije, ili ne izražavaju jednu geometrijsku sliku na ravnini;

Ako A*C ≠ 0, krivulja drugog reda bit će

Opća jednadžba krivulje drugog reda na ravnini ima oblik:

Sjekira 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ej + F = 0, (39)

Gdje A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R. Definira sve moguće konusne presjeke proizvoljno smještene na ravnini.

Iz koeficijenata jednadžbe (39) sastavljamo dvije determinante:

Nazvana diskriminanta jednadžbe(39), i - diskriminant vodećih članova jednadžbe. Pri 0, jednadžba (39) određuje: > 0 - elipsa;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Od opće jednadžbe (39) možemo prijeći na kanoničku jednadžbu ako eliminiramo linearne i križne članove prelaskom na novi koordinatni sustav koji se podudara s osima simetrije figure. Zamijenimo u (39) x na x + a I g na g + b, Gdje a, b neke konstante. Zapišimo dobivene koeficijente za x I g i izjednačite ih s 0

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)g = 0. (41)

Kao rezultat, jednadžba (39) će imati oblik:

A(x) 2 + 2B(x)(g) + C(g) 2 + F = 0, (42)

gdje su koeficijenti A, B, C nisu se promijenile, ali F= / . Rješenjem sustava jednadžbi (41) odredit ćemo koordinate središta simetrije figure:

Ako B= 0, tada a = -D/A, b = -E/C a zgodno je eliminirati linearne članove u (39) metodom redukcije na potpuni kvadrat:

Sjekira 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

U jednadžbi (42) zarotiramo koordinate za kut a (38). Zapišimo dobiveni koeficijent za križni član xg i postavite ga na 0

xy = 0. (44)

Uvjet (44) određuje potrebni kut zakretanja koordinatnih osi dok se ne poklope s osima simetrije figure i poprima oblik:

Jednadžba (42) ima oblik:

A+X2+ C + Y 2 + F = 0 (46)

iz koje je lako prijeći na kanoničku jednadžbu krivulje:

Izgledi A + , C+ , pod uvjetom (45), mogu se prikazati kao korijeni pomoćne kvadratne jednadžbe:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Kao rezultat, određeni su položaj i smjer osi simetrije figure, njezine polu-osi:

a može se konstruirati geometrijski.

U slučaju = 0 imamo parabolu. Ako je njegova os simetrije paralelna s osi Oh, tada se jednadžba svodi na:

ako ne, onda pogledajte:

gdje izrazi u zagradama, jednaki 0, definiraju pravce novih koordinatnih osi: , .

Rješavanje uobičajenih problema

Primjer 15. Navedite jednadžbu 2 x 2 + 3g 2 - 4x + 6g- 7 = 0 u kanonski oblik i konstruirajte krivulju.

Riješenje. B= 0, = -72 0, = 6 > 0 elipsa.

Izvršimo redukciju na potpuni kvadrat:

2(x - 1) 2 + 3(g + 1) 2 - 12 = 0.

Koordinate središta simetrije (1; -1), linearna transformacija x = x - 1, Y = g+ 1 dovodi jednadžbu u kanonski oblik.

Primjer 16. Navedite jednadžbu 2 xy = a 2 u kanonski oblik i konstruirajte krivulju.

Riješenje. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Središte koordinatnog sustava je u središtu simetrije krivulje, jer u jednadžbi nema linearnih članova. Zarotirajmo osi za kut a. Prema formuli (45) imamo tan2a = B/(A - C) = , tj. a = 45°. Koeficijenti kanoničke jednadžbe (46) A + , C+ određeni su jednadžbom (48): t 2 = 1 ili t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, tj.
x 2 - Y 2 = a 2 ili . Dakle, jednadžba 2 xy = A 2 opisuje hiperbolu sa središtem simetrije u (0; 0). Osi simetrije nalaze se duž simetrala koordinatnih kutova, koordinatne osi služe kao asimptote, poluosi hiperbole su jednake A.y - 9 =0;

9x 2 + g 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4x + g - 2 = 0;

3x 2 - 6x - g + 2 = 0;

- x 2 + 4g 2 - 8x - 9g + 16 = 0;

4x 2 + 8x - g - 5 = 0;

9x 2 - g 2 + 18x + 2g - 1 = 0;

9x 2 - 4g 2 + 36x + 16g - 16 = 0.

Postavimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i razmotrimo opću jednadžbu drugog stupnja

u kojem
.

Skup svih točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (8.4.1) naziva se iskrivljena (crta) druga narudžba.

Za bilo koju krivulju drugog reda postoji pravokutni koordinatni sustav, nazvan kanonički, u kojem jednadžba te krivulje ima jedan od sljedećih oblika:

1)
(elipsa);

2)
(zamišljena elipsa);

3)
(par zamišljenih linija koje se sijeku);

4)
(hiperbola);

5)
(par linija koje se sijeku);

6)
(parabola);

7)
(par paralelnih linija);

8)
(par zamišljenih paralelnih pravaca);

9)
(par linija koje se podudaraju).

Jednadžbe 1)–9) nazivaju se kanonske jednadžbe krivulja drugog reda.

Rješavanje problema svođenja jednadžbe krivulje drugog reda na kanonski oblik uključuje pronalaženje kanonske jednadžbe krivulje i kanonskog koordinatnog sustava. Redukcija na kanonski oblik omogućuje izračunavanje parametara krivulje i određivanje njezine lokacije u odnosu na izvorni koordinatni sustav. Prijelaz iz izvornog pravokutnog koordinatnog sustava
kanonskom
provodi se rotiranjem osi izvornog koordinatnog sustava oko točke OKO na određeni kut  i naknadnu paralelnu translaciju koordinatnog sustava.

Invarijante krivulje drugog reda(8.4.1) su takve funkcije koeficijenata njegove jednadžbe, čije se vrijednosti ne mijenjaju pri prelasku iz jednog pravokutnog koordinatnog sustava u drugi istog sustava.

Za krivulju drugog reda (8.4.1), zbroj koeficijenata za kvadrat koordinata

,

determinanta sastavljena od koeficijenata vodećih članova

i determinanta trećeg reda

su invarijante.

Vrijednosti invarijanti s, ,  mogu se koristiti za određivanje tipa i sastavljanje kanoničke jednadžbe krivulje drugog reda (tablica 8.1).

Tablica 8.1

Klasifikacija krivulja drugog reda na temelju invarijanti

Pogledajmo pobliže elipsu, hiperbolu i parabolu.

Elipsa(Sl. 8.1) je geometrijsko mjesto točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka
ovaj avion, tzv žarišta elipse, je konstantna vrijednost (veća od udaljenosti između žarišta). U ovom slučaju nije isključena slučajnost žarišta elipse. Ako se žarišta podudaraju, tada je elipsa krug.

Poluzbroj udaljenosti od točke elipse do njezinih žarišta označava se s A, polovica udaljenosti između fokusa – S. Ako je pravokutni koordinatni sustav na ravnini odabran tako da se žarišta elipse nalaze na osi OKOx simetrično oko ishodišta, tada je u ovom koordinatnom sustavu elipsa dana jednadžbom

, (8.4.2)

nazvao kanonska jednadžba elipse, Gdje
.

Riža. 8.1

Kod navedenog izbora pravokutnog koordinatnog sustava elipsa je simetrična u odnosu na koordinatne osi i ishodište. Osi simetrije elipse nazivaju se sjekire, a centar simetrije je središte elipse. U isto vrijeme, osi elipse često se nazivaju brojevima 2 a i 2 b, i brojevi a I b – velik I sporedna os odnosno.

Točke sjecišta elipse s njezinim osima nazivaju se vrhovi elipse. Vrhovi elipse imaju koordinate ( A, 0), (–A, 0), (0, b), (0, –b).

Ekscentricitet elipse pozvani broj

. (8.4.3)

Od 0  c < a, ekscentricitet elipse 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Ovo pokazuje da ekscentricitet karakterizira oblik elipse: što je  bliže nuli, to elipsa više nalikuje krugu; kako se  povećava, elipsa postaje izduženija.

Neka
– proizvoljna točka elipse,
I
– udaljenost od točke M prije trikova F 1 i F 2 respektivno. Brojke r 1 i r 2 se nazivaju žarišni polumjeri točke M elipsa a izračunavaju se pomoću formula

Ravnateljice različit od kruga elipsa s kanonskom jednadžbom (8.4.2) nazivaju se dva pravca

.

Direktrise elipse nalaze se izvan elipse (sl. 8.1).

Omjer žarišnog radijusa bodovaMelipsa u daljinu  ove elipse (fokus i direktrisa se smatraju odgovarajućim ako se nalaze na istoj strani središta elipse).

Hiperbola(Sl. 8.2) je geometrijsko mjesto točaka u ravnini za koje je modul razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka I ovaj avion, tzv trikovi hiperbola, je konstantna vrijednost (nije jednaka nuli i manja je od udaljenosti između žarišta).

Neka je udaljenost između žarišta 2 S, a navedeni modul razlike udaljenosti jednak je 2 A. Izaberimo pravokutni koordinatni sustav na isti način kao i za elipsu. U ovom koordinatnom sustavu hiperbola je dana jednadžbom

, (8.4.4)

nazvao kanonska jednadžba hiperbole, Gdje
.

Riža. 8.2

Kod ovakvog izbora pravokutnog koordinatnog sustava koordinatne osi su osi simetrije hiperbole, a ishodište njezino središte simetrije. Osi simetrije hiperbole nazivaju se sjekire, a centar simetrije je središte hiperbole. Pravokutnik sa stranicama 2 a i 2 b, smješten kao što je prikazano na sl. 8.2, tzv osnovni pravokutnik hiperbole. Brojevi 2 a i 2 b su osi hiperbole, a brojevi a I b- nju osovinske osovine. Oblikuju se ravne linije koje su nastavci dijagonala glavnog pravokutnika asimptote hiperbole

.

Točke presjeka hiperbole s osi Vol se zovu vrhovi hiperbole. Vrhovi hiperbole imaju koordinate ( A, 0), (–A, 0).

Ekscentričnost hiperbole pozvani broj

. (8.4.5)

Jer S > a, ekscentricitet hiperbole  > 1. Prepišimo jednakost (8.4.5) u obliku

.

To pokazuje da ekscentričnost karakterizira oblik glavnog pravokutnika, a time i oblik same hiperbole: što je manji , to je glavni pravokutnik više produžen, a nakon njega sama hiperbola duž osi Vol.

Neka
– proizvoljna točka hiperbole,
I
– udaljenost od točke M prije trikova F 1 i F 2 respektivno. Brojke r 1 i r 2 se nazivaju žarišni polumjeri točke M hiperbole a izračunavaju se pomoću formula

Ravnateljice hiperbole s kanonskom jednadžbom (8.4.4) nazivaju se dva pravca

.

Direktrise hiperbole sijeku glavni pravokutnik i prolaze između središta i odgovarajućeg vrha hiperbole (sl. 8.2).

OKO omjer žarišnog radijusa bodovaM hiperbole na udaljenost od ove točke do one koja odgovara fokusu direktrisa je jednaka ekscentričnosti ove hiperbole (fokus i direktrisa se smatraju odgovarajućim ako se nalaze s iste strane središta hiperbole).

Parabola(Sl. 8.3) je geometrijsko mjesto točaka u ravnini za koje je udaljenost do neke fiksne točke F (fokus parabole) ove ravnine jednaka je udaljenosti do neke fiksne ravne linije ( direktrise parabole), koji se također nalazi u ravnini koja se razmatra.

Izaberimo početak OKO pravokutni koordinatni sustav u sredini segmenta [ F D], što je okomica izvan fokusa F na direktrisu (pretpostavlja se da fokus ne pripada direktrisi), te osi Vol I Joj Usmjerimo ga kao što je prikazano na sl. 8.3. Neka je duljina segmenta [ F D] je jednako str. Zatim u odabranom koordinatnom sustavu
I jednadžba kanonske parabole izgleda kao

. (8.4.6)

Veličina str nazvao parametar parabole.

Parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Točka presjeka parabole s njezinom osi naziva se vrh parabole. Ako je parabola dana svojom kanonskom jednadžbom (8.4.6), tada je os parabole os Vol. Očito je da je vrh parabole ishodište.

Primjer 1. Točka A= (2, –1) pripada elipsi, točka F= (1, 0) je njegov fokus, odgovarajući F direktrisa je dana jednadžbom
. Napiši jednadžbu za ovu elipsu.

Riješenje. Koordinatni sustav ćemo smatrati pravokutnim. Zatim udaljenost od točke A ravnateljici
u skladu s relacijom (8.1.8), u kojoj


, jednako

.

Udaljenost od točke A fokusirati se F jednaki

,

što nam omogućuje da odredimo ekscentricitet elipse

.

Neka M = (x, g) je proizvoljna točka elipse. Zatim udaljenost
od točke M ravnateljici
prema formuli (8.1.8) jednako

i udaljenost od točke M fokusirati se F jednaki

.

Budući da je za bilo koju točku elipse relacija je konstantna veličina jednaka ekscentričnosti elipse, stoga imamo

,

Primjer 2. Krivulja je dana jednadžbom

u pravokutnom koordinatnom sustavu. Nađite kanonski koordinatni sustav i kanoničku jednadžbu te krivulje. Odredite vrstu krivulje.

Riješenje. Kvadratni oblik
ima matricu

.

Njegov karakteristični polinom

ima korijene  1 = 4 i  2 = 9. Dakle, u ortonormiranoj bazi svojstvenih vektora matrice A razmatrani kvadratni oblik ima kanonski oblik

.

Prijeđimo na konstruiranje matrice ortogonalne transformacije varijabli, dovodeći razmatrani kvadratni oblik u naznačeni kanonski oblik. Da bismo to učinili, konstruirat ćemo temeljne sustave rješenja homogenih sustava jednadžbi
i ortonormizirati ih.

Na
ovaj sustav izgleda

Njegovo opće rješenje je
. Ovdje postoji jedna slobodna varijabla. Stoga se temeljni sustav rješenja sastoji od jednog vektora, npr. vektora
. Normalizirajući ga, dobivamo vektor

.

Na
konstruirajmo i vektor

.

Vektori I već su ortogonalni, jer se odnose na različite svojstvene vrijednosti simetrične matrice A. Oni čine kanonsku ortonormiranu bazu danog kvadratnog oblika. Tražena ortogonalna matrica (matrica rotacije) konstruirana je iz stupaca njihovih koordinata

.

Provjerimo je li matrica ispravno pronađena R prema formuli
, Gdje
– matrica kvadratnog oblika u bazi
:

Matrica R pronađeno ispravno.

Transformirajmo varijable

te napišite jednadžbu ove krivulje u novom pravokutnom koordinatnom sustavu sa starim središtem i vektorima smjera
:

Gdje
.

Dobili smo kanonsku jednadžbu elipse

.

Zbog činjenice da je rezultirajuća transformacija pravokutnih koordinata određena formulama

,

,

kanonski koordinatni sustav
ima početak
i vektore smjera
.

Primjer 3. Koristeći invarijantnu teoriju, odredite vrstu i izradite kanoničku jednadžbu krivulje

Riješenje. Jer

,

u skladu s tablicom. 8.1 zaključujemo da se radi o hiperboli.

Kako je s = 0, karakteristični polinom matrice je kvadratnog oblika

Njegovi korijeni
I
omogućuju nam da napišemo kanoničku jednadžbu krivulje

Gdje S nalazi se iz uvjeta

,

.

Tražena kanonička jednadžba krivulje

.

U zadacima ovog odjeljka koordinatex, gpretpostavlja se da su pravokutni.

8.4.1. Za elipse
I
pronaći:

a) osovinske osovine;

b) trikovi;

c) ekscentričnost;

d) jednadžbe direktrisa.

8.4.2. Napišite jednadžbe za elipsu, znajući njezin fokus
, odgovarajući ravnateljici x= 8 i ekscentricitet . Pronađite drugi fokus i drugu direktrisu elipse.

8.4.3. Napišite jednadžbu za elipsu čiji fokusi imaju koordinate (1, 0) i (0, 1), a čija je velika os dva.

8.4.4. S obzirom na hiperbolu
. Pronaći:

a) poluosovine a I b;

b) trikovi;

c) ekscentričnost;

d) jednadžbe asimptota;

e) jednadžbe direktrisa.

8.4.5. S obzirom na hiperbolu
. Pronaći:

a) poluosovine A I b;

b) trikovi;

c) ekscentričnost;

d) jednadžbe asimptota;

e) jednadžbe direktrisa.

8.4.6. Točka
pripada hiperboli čiji fokus
, a odgovarajuća direktrisa dana je jednadžbom
. Napiši jednadžbu za ovu hiperbolu.

8.4.7. Napišite jednadžbu za parabolu s obzirom na njezin fokus
i ravnateljica
.

8.4.8. S obzirom na vrh parabole
i direktrisna jednadžba
. Napiši jednadžbu za tu parabolu.

8.4.9. Napišite jednadžbu za parabolu čiji je fokus u

a direktrisa je dana jednadžbom
.

8.4.10. Napišite jednadžbu drugog reda za krivulju, znajući njezin ekscentricitet
, usredotočenost
i pripadajuća ravnateljica
.

8.4.11. Odredite vrstu krivulje drugog reda, sastavite njezinu kanoničku jednadžbu i pronađite kanonski koordinatni sustav:

G)
;

8.4.12.

je elipsa. Odredite duljine poluosi i ekscentricitet te elipse, koordinate središta i žarišta, izradite jednadžbe za osi i direktrise.

8.4.13. Dokažite da je krivulja drugog reda dana jednadžbom

je hiperbola. Odredite duljine poluosi i ekscentricitet te hiperbole, koordinate središta i žarišta, izradite jednadžbe za osi, direktrise i asimptote.

8.4.14. Dokažite da je krivulja drugog reda dana jednadžbom

,

je parabola. Odredite parametar te parabole, koordinate vrhova i fokusa, napišite jednadžbe osi i direktrise.

8.4.15. Svedite svaku od sljedećih jednadžbi na kanonski oblik. Na crtežu nacrtajte odgovarajuću krivulju drugog reda u odnosu na izvorni pravokutni koordinatni sustav:

8.4.16. Koristeći invarijantnu teoriju, odredite vrstu i izradite kanoničku jednadžbu krivulje.