U ovom ćemo članku otkriti što je to stupanj od. Ovdje ćemo dati definicije potencije broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta do iracionalnog. U materijalu ćete pronaći puno primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Potencija s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kub broja

Počnimo s . Gledajući unaprijed, recimo da je za a dana definicija potencije broja a s prirodnim eksponentom n, koju ćemo nazvati diplomska osnova, i n, koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stupanj s prirodnim eksponentom određuje kroz umnožak, pa da biste razumjeli materijal u nastavku morate imati razumijevanje množenja brojeva.

Definicija.

Potencija broja s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a, tj.
Konkretno, potencija broja a s eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Vrijedno je odmah spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja zapisa a n je: "a na potenciju n". U nekim su slučajevima prihvatljive i sljedeće opcije: "a na n-tu potenciju" i "n-ta potencija od a". Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je “osam na dvanaesti stepen”, ili “osam na dvanaesti stepen”, ili “dvanaesti stepen od osam”.

Druga potencija broja, kao i treća potencija broja, imaju svoja imena. Druga potencija broja zove se kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treća potencija broja zove se kubni brojevi, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet kockica" ili možete reći "kocka broja 5".

Vrijeme je za donošenje primjeri stupnjeva s prirodnim eksponentima. Počnimo sa stupnjem 5 7, ovdje je 5 baza stupnja, a 7 je eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru baza potencije 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli nedosljednosti, u zagrade ćemo staviti sve baze potencije koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stupnjeve s prirodnim eksponentima , njihove baze nisu prirodni brojevi pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće, na ovom ćemo mjestu pokazati razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je potencija od −2 s prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti potencije 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka za potenciju broja a s eksponentom n oblika a^n. Štoviše, ako je n prirodan broj s više vrijednosti, eksponent se uzima u zagradi. Na primjer, 4^9 je još jedna oznaka za potenciju 4 9 . Evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo primarno koristiti stupanjski zapis oblika a n .

Jedan od problema obrnut uzdizanju na potenciju s prirodnim eksponentom je problem pronalaženja baze potencije iz poznate vrijednosti potencije i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da mnogi racionalni brojevi svaki se sastoji od cijelih i razlomaka razlomački broj može se prikazati kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj smo definirali cjelobrojnim eksponentom u prethodnom paragrafu, stoga, da dovršimo definiciju stupnja s njim racionalni pokazatelj, trebate dati značenje potenciji broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo moć-na-potencijalo ostalo valjano, mora vrijediti jednakost . Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i kako smo odredili , onda je logično prihvatiti je pod uvjetom da za zadane m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da za sve vrijede svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku svojstva stupnja s racionalnim eksponentom).

Gornje obrazloženje omogućuje nam sljedeće zaključak: ako je zadano m, n i a izraz ima smisla, tada se potencija od a s razlomačkim eksponentom m/n naziva n-ti korijen od a na potenciju od m.

Ova nas izjava približava definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Sve što preostaje je opisati pri kojim m, n i a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima koja se postavljaju na m, n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način je nametnuti ograničenje na a uzimajući a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer za m≤0 stupanj 0 od m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen broja a na potenciju m, to jest .

Frakcijska snaga nule također se određuje uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule s razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kad nije određen stupanj, odnosno stupanj broja nula s razlomkom negativan pokazatelj nema smisla.

Treba primijetiti da kod ove definicije stupnja s razlomačkim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neka negativna a i neke m i n izraz ima smisla, a te smo slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla ili , a gornja definicija nas tjera da kažemo da potencije s razlomačkim eksponentom oblika nema smisla jer baza ne bi trebala biti negativna.

Drugi pristup određivanju stupnja s razlomačkim eksponentom m/n je odvojeno razmatranje parnih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: potencija broja a, čiji je eksponent , smatra se potencijom broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodivi razlomak (u nastavku ćemo objasniti važnost ovog uvjeta ). To jest, ako je m/n nesvodivi razlomak, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj prvo zamijeni s .

Za parni n i pozitivan m, izraz ima smisla za bilo koji nenegativan a (parni korijen negativnog broja nema smisla); za negativan m, broj a još uvijek mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja nulom). I za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stupnja je definiran za bilo koji realni broj), a za negativan m, broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nula).

Gornje razmišljanje dovodi nas do ove definicije stupnja s frakcijskim eksponentom.

Definicija.

Neka je m/n nesvodivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za svaki reducibilni razlomak, stupanj se zamjenjuje s . Potencija broja s neumanjivim razlomačkim eksponentom m/n je za



Objasnimo zašto se stupanj s reducibilnim razlomačkim eksponentom prvo zamijeni stupnjem s nesvodivim eksponentom. Kad bismo stupanj jednostavno definirali kao , a ne ogradili se od nesvodivosti razlomka m/n, tada bismo se suočili sa situacijama sličnim sljedećoj: budući da je 6/10 = 3/5, tada mora vrijediti jednakost , Ali , A .

DIO II. POGLAVLJE 6
NIZOVI BROJEVA

Pojam stupnja s iracionalnim eksponentom

Neka je a neki pozitivan broj, a a iracionalan broj.
Koje značenje treba dati izrazu a*?
Kako bi prezentacija bila jasnija, vodit ćemo je privatno
primjer. Naime, stavimo a - 2 i a = 1, 624121121112. . . .
Evo, i - beskrajno decimal, sastavljen prema ovom
zakon: počevši od četvrte decimale, za sliku a
Koriste se samo brojevi 1 i 2, a broj brojeva je 1,
napisano u nizu ispred broja 2, cijelo vrijeme povećavajući za
jedan. Razlomak a je neperiodičan, jer je inače broj znamenki 1,
snimljeni u nizu na njegovoj slici bili bi ograničeni.
Prema tome, a je iracionalan broj.
Dakle, kakvo značenje treba dati izrazu
21,v2Š1Š1Š11Š11Š. . . R
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, kreirajmo niz vrijednosti
a s manjkom i viškom s točnošću (0,1)*. Dobivamo
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Kreirajmo odgovarajuće nizove potencija broja 2:
2M. 2M*; 21*624; 21’62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
Niz (3) raste kako se niz povećava
(1) (Teorem 2 § 6).
Niz (4) je opadajući jer je niz opadajući
(2).
Svaki član niza (3) manji je od svakog člana niza
(4), pa je stoga niz (3) ograničen
odozgo, a niz (4) je omeđen odozdo.
Na temelju teorema monotonog ograničenog niza
svaki od nizova (3) i (4) ima limit. Ako

384 Pojam stupnja c iracionalni pokazatelj. .

sada se ispostavlja da razlika između nizova (4) i (3) konvergira
na nulu, tada će slijediti da oba ova niza,
imaju zajedničku granicu.
Razlika prvih članova nizova (3) i (4)
21-7 - 21’* = 2|, u (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Razlika drugog člana
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Razlika n-tih članova
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Na temelju teorema 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
Dakle, nizovi (3) i (4) imaju zajedničku granicu. Ovaj
granica je jedini pravi broj koji je veći
svi članovi niza (3) i manje od svih članova niza
(4), preporučljivo je uzeti u obzir točnu vrijednost 2*.
Iz rečenog proizlazi da je općenito preporučljivo prihvatiti
sljedeća definicija:
Definicija. Ako je a^> 1, tada je potencija a s iracionalnom
eksponent a je realan broj
koji je veći od svih potencija ovog broja čiji su eksponenti
racionalne aproksimacije a s nedostatkom, a manje od svih stupnjeva
ovaj broj, čiji su eksponenti racionalne aproksimacije i sa
višak.
Ako a<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
je realan broj koji je veći od svih potencija
ovaj broj, čiji su eksponenti racionalne aproksimacije i
s viškom, a manjim od svih potencija ovog broja, čiji pokazatelji
- racionalne aproksimacije a s nedostatkom.
.Ako je a- 1, onda je njegov stupanj s iracionalnim eksponentom a
je 1.
Koristeći pojam granice, ova se definicija može formulirati
Tako:
Potencija pozitivnog broja s iracionalnim eksponentom
a naziva se granica kojoj niz teži
racionalne potencije ovog broja, pod uvjetom da niz
eksponenti ovih potencija teže a, tj.
aa = lim aČ
b — *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Stupanj s racionalnim eksponentom, njegova svojstva.

Izraz a n definiran za sve a i n, osim za slučaj a=0 za n≤0. Prisjetimo se svojstava takvih moći.

Za bilo koje brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Imajte na umu i sljedeće svojstvo:

Ako je m>n, tada je a m >a n za a>1 i a m<а n при 0<а<1.

U ovom odjeljku generalizirat ćemo koncept potencije broja, dajući značenje izrazima tipa 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 itd. Prirodno je dati definiciju na način da potencije s racionalnim eksponentima imaju ista svojstva (ili barem dio njih) kao i potencije s cjelobrojnim eksponentom. Zatim, posebno, n-tu potenciju brojamora biti jednak a m . Doista, ako imovina

(a p) q = a pq

izvršava se, zatim

Posljednja jednakost znači (po definiciji n-tog korijena) da brojmora biti n-ti korijen od a m.

Definicija.

Potencija broja a>0 s racionalnim eksponentom r=, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj (n > 1), je broj

Dakle, po definiciji

(1)

Potencija 0 je definirana samo za pozitivne eksponente; po definiciji 0 r = 0 za bilo koje r>0.

Stupanj s iracionalnim eksponentom.

Iracionalan brojmože se prikazati u oblikugranica niza racionalnih brojeva: .

Neka . Zatim postoje potencije s racionalnim eksponentom. Može se dokazati da je niz ovih potencija konvergentan. Granica ovog niza zove se stupanj s bazom i iracionalnim eksponentom: .

Nacrtajmo nekoliko točaka na grafu funkcije y = 2 x prethodno izračunavši vrijednost 2 pomoću kalkulatora x na segmentu [—2; 3] s korakom od 1/4 (Sl. 1, a), a zatim s korakom od 1/8 (Sl. 1, b). Nastavljajući mentalno iste konstrukcije s koracima od 1/16, 1/32, itd., vidimo da se rezultirajuće točke mogu povezati glatkom krivuljom, koja se prirodno može smatrati grafom neke funkcije, definirane i rastuće duž cijelog brojevnog pravca i uzimajući vrijednostiu racionalnim točkama(Slika 1, c). Sagradivši dovoljno veliki broj točke grafa funkcije, možete se uvjeriti da ova funkcija ima slična svojstva (razlika je u tome što funkcija smanjuje se na R).

Ova zapažanja sugeriraju da se brojevi 2 mogu definirati na ovaj načinα i za svaki iracionalni α, da su funkcije dane formulama y=2 x i bit će neprekidna, a funkcija y=2 x povećava, a funkcijaopada duž cijelog brojevnog pravca.

Opišimo općenito kako se određuje broj a α za iracionalno α za a>1. Želimo osigurati da je funkcija y = a x se povećavao. Tada za svaki racionalni r 1 i r 2 tako da je r 1<αmora zadovoljiti nejednakosti a r 1<а α <а r 1 .

Odabir vrijednosti r 1 i r 2 približavajući se x, može se primijetiti da odgovarajuće vrijednosti a r 1 i a r 2 malo će se razlikovati. Može se dokazati da postoji, i to samo jedan, broj y koji je veći od svih a r 1 za sve racionalne r 1 i najmanje a r 2 za sve racionalne r 2 . Ovaj broj y po definiciji je a α .

Na primjer, pomoću kalkulatora izračunajte vrijednost 2 x u točkama x n i x` n, gdje su x n i x` n - decimalne aproksimacije brojevaustanovit ćemo da što je bliže x n i x`n k , manje se 2 razlikuju x n i 2 x` n .

Od tad

i stoga,

Slično, uzimajući u obzir sljedeće decimalne aproksimacijeprema manjku i višku dolazimo do odnosa

;

;

;

;

.

Značenje izračunato na kalkulatoru je:

.

Slično se određuje i broj a α za 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 za bilo koje α i 0α =0 za α>0.

Eksponencijalna funkcija.

Na a > 0, a = 1, definirana funkcija y = a x, različito od konstante. Ova funkcija se zove eksponencijalna funkcija s bazoma.

g=a x na a> 1:

Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazom 0< a < 1 и a> 1 prikazani su na slici.

Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije g=a x na 0< a < 1:

• Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac.
• Raspon funkcije – interval (0; + ) .
• Funkcija raste strogo monotono na cijelom brojevnom pravcu, tj. ako x 1 < x 2, dakle a x 1 >a x 2 .
• Na x= 0 vrijednost funkcije je 1.
• Ako x> 0, zatim 0< a < 1 i ako x < 0, то a x > 1.
DO opća svojstva eksponencijalna funkcija kao na 0< a < 1, так и при a > 1 uključuje:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, za svakoga x 1 I x 2.
• a − x= ( a x) − 1 = 1 ax za bilo koga x.
• na x= a

Stupanj s racionalnim eksponentom, njegova svojstva.

Izraz a n definiran za sve a i n, osim za slučaj a=0 za n≤0. Prisjetimo se svojstava takvih moći.

Za bilo koje brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Imajte na umu i sljedeće svojstvo:

Ako je m>n, tada je a m >a n za a>1 i a m<а n при 0<а<1.

U ovom odjeljku generalizirat ćemo koncept potencije broja, dajući značenje izrazima tipa 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 itd. Prirodno je dati definiciju na način da potencije s racionalnim eksponentima imaju ista svojstva (ili barem dio njih) kao i potencije s cjelobrojnim eksponentom. Zatim, posebno, n-tu potenciju brojamora biti jednak a m . Doista, ako imovina

(a p) q = a pq

izvršava se, zatim

Posljednja jednakost znači (po definiciji n-tog korijena) da brojmora biti n-ti korijen od a m.

Definicija.

Potencija broja a>0 s racionalnim eksponentom r=, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj (n > 1), je broj

Dakle, po definiciji

(1)

Potencija 0 je definirana samo za pozitivne eksponente; po definiciji 0 r = 0 za bilo koje r>0.

Stupanj s iracionalnim eksponentom.

Iracionalan brojmože se prikazati u oblikugranica niza racionalnih brojeva: .

Neka . Zatim postoje potencije s racionalnim eksponentom. Može se dokazati da je niz ovih potencija konvergentan. Granica ovog niza zove se stupanj s bazom i iracionalnim eksponentom: .

Nacrtajmo nekoliko točaka na grafu funkcije y = 2 x prethodno izračunavši vrijednost 2 pomoću kalkulatora x na segmentu [—2; 3] s korakom od 1/4 (Sl. 1, a), a zatim s korakom od 1/8 (Sl. 1, b). Nastavljajući mentalno iste konstrukcije s koracima od 1/16, 1/32, itd., vidimo da se rezultirajuće točke mogu povezati glatkom krivuljom, koja se prirodno može smatrati grafom neke funkcije, definirane i rastuće duž cijelog brojevnog pravca i uzimajući vrijednostiu racionalnim točkama(Slika 1, c). Nakon što je konstruiran dovoljno velik broj točaka na grafu funkcije, možete se uvjeriti da ova funkcija ima slična svojstva (razlika je u tome što funkcija smanjuje se na R).

Ova zapažanja sugeriraju da se brojevi 2 mogu definirati na ovaj načinα i za svaki iracionalni α, da su funkcije dane formulama y=2 x i bit će neprekidna, a funkcija y=2 x povećava, a funkcijaopada duž cijelog brojevnog pravca.

Opišimo općenito kako se određuje broj a α za iracionalno α za a>1. Želimo osigurati da je funkcija y = a x se povećavao. Tada za svaki racionalni r 1 i r 2 tako da je r 1<αmora zadovoljiti nejednakosti a r 1<а α <а r 1 .

Odabir vrijednosti r 1 i r 2 približavajući se x, može se primijetiti da odgovarajuće vrijednosti a r 1 i a r 2 malo će se razlikovati. Može se dokazati da postoji, i to samo jedan, broj y koji je veći od svih a r 1 za sve racionalne r 1 i najmanje a r 2 za sve racionalne r 2 . Ovaj broj y po definiciji je a α .

Na primjer, pomoću kalkulatora izračunajte vrijednost 2 x u točkama x n i x` n, gdje su x n i x` n - decimalne aproksimacije brojevaustanovit ćemo da što je bliže x n i x`n k , manje se 2 razlikuju x n i 2 x` n .

Od tad

i stoga,

Slično, uzimajući u obzir sljedeće decimalne aproksimacijeprema manjku i višku dolazimo do odnosa

;

;

;

;

.

Značenje izračunato na kalkulatoru je:

.

Slično se određuje i broj a α za 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 za bilo koje α i 0α =0 za α>0.

Eksponencijalna funkcija.

Na a > 0, a = 1, definirana funkcija y = a x, različito od konstante. Ova funkcija se zove eksponencijalna funkcija s bazoma.

g=a x na a> 1:

Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazom 0< a < 1 и a> 1 prikazani su na slici.

Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije g=a x na 0< a < 1:

• Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac.
• Raspon funkcije – interval (0; + ) .
• Funkcija raste strogo monotono na cijelom brojevnom pravcu, tj. ako x 1 < x 2, dakle a x 1 >a x 2 .
• Na x= 0 vrijednost funkcije je 1.
• Ako x> 0, zatim 0< a < 1 i ako x < 0, то a x > 1.
Na opća svojstva eksponencijalne funkcije kao na 0< a < 1, так и при a > 1 uključuje:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, za svakoga x 1 I x 2.
• a − x= ( a x) − 1 = 1 ax za bilo koga x.
• na x= a

Informacijski bum U biologiji - kolonije mikroba u Petrijevoj zdjelici Zečevi u Australiji Lančane reakcije - u kemiji U fizici - radioaktivni raspad, promjena atmosferski pritisak s promjenom nadmorske visine hlađenje tijela.U fizici - radioaktivni raspad, promjena atmosferskog tlaka s promjenom nadmorske visine, hlađenje tijela. Puštanje adrenalina u krv i njeno uništavanje.Također tvrde da se količina informacija udvostručuje svakih 10 godina.Također tvrde da se količina informacija udvostručuje svakih 10 godina.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Izraz 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… niz se povećava 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73;2 1,732; 2 1,73205; 2 1, ;… niz raste ograničeno, što znači da konvergira do jedne granice - vrijednosti 2 3

Može se definirati π 0

10 10 18 Svojstva funkcije y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Svojstva funkcije y = a x n \ n a >10 21

Količina informacija se udvostručuje svakih 10 godina Uzduž osi Ox - prema zakonu aritmetičke progresije: 1,2,3,4…. Uzduž osi Oy - prema zakonu geometrijska progresija: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Graf eksponencijalne funkcije, naziva se eksponent (od latinskog exponere - pokazati se)