Informacijski bum U biologiji - kolonije mikroba u Petrijevoj zdjelici Zečevi u Australiji Lančane reakcije - u kemiji U fizici - radioaktivni raspad, promjena atmosferski pritisak s promjenom nadmorske visine hlađenje tijela.U fizici - radioaktivni raspad, promjena atmosferskog tlaka s promjenom nadmorske visine, hlađenje tijela. Puštanje adrenalina u krv i njeno uništavanje.Također tvrde da se količina informacija udvostručuje svakih 10 godina.Također tvrde da se količina informacija udvostručuje svakih 10 godina.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Izraz 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… niz se povećava 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73;2 1,732; 2 1,73205; 2 1, ;… niz raste ograničeno, što znači da konvergira do jedne granice - vrijednosti 2 3

Može se definirati π 0

10 10 18 Svojstva funkcije y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Svojstva funkcije y = a x n \ n a >10 21

Količina informacija se udvostručuje svakih 10 godina Uzduž osi Ox - prema zakonu aritmetičke progresije: 1,2,3,4…. Uzduž osi Oy - prema zakonu geometrijska progresija: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Graf eksponencijalne funkcije, naziva se eksponent (od latinskog exponere - pokazati se)

U ovom ćemo članku otkriti što je to stupanj od. Ovdje ćemo dati definicije potencije broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta do iracionalnog. U materijalu ćete pronaći puno primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Potencija s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kub broja

Počnimo s . Gledajući unaprijed, recimo da je za a dana definicija potencije broja a s prirodnim eksponentom n, koju ćemo nazvati diplomska osnova, i n, koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stupanj s prirodnim eksponentom određuje kroz umnožak, pa da biste razumjeli materijal u nastavku morate imati razumijevanje množenja brojeva.

Definicija.

Potencija broja s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a, tj.
Konkretno, potencija broja a s eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Vrijedno je odmah spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja zapisa a n je: "a na potenciju n". U nekim su slučajevima prihvatljive i sljedeće opcije: "a na n-tu potenciju" i "n-ta potencija od a". Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je “osam na dvanaesti stepen”, ili “osam na dvanaesti stepen”, ili “dvanaesti stepen od osam”.

Druga potencija broja, kao i treća potencija broja, imaju svoja imena. Druga potencija broja zove se kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treća potencija broja zove se kubni brojevi, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet kockica" ili možete reći "kocka broja 5".

Vrijeme je za donošenje primjeri stupnjeva s prirodnim eksponentima. Počnimo sa stupnjem 5 7, ovdje je 5 baza stupnja, a 7 je eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru baza potencije 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli nedosljednosti, u zagrade ćemo staviti sve baze potencije koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stupnjeve s prirodnim eksponentima , njihove baze nisu prirodni brojevi pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće, na ovom ćemo mjestu pokazati razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je potencija od −2 s prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti potencije 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka za potenciju broja a s eksponentom n oblika a^n. Štoviše, ako je n prirodan broj s više vrijednosti, eksponent se uzima u zagradi. Na primjer, 4^9 je još jedna oznaka za potenciju 4 9 . Evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo primarno koristiti stupanjski zapis oblika a n .

Jedan od problema obrnut uzdizanju na potenciju s prirodnim eksponentom je problem pronalaženja baze potencije iz poznate vrijednosti potencije i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da mnogi racionalni brojevi svaki se sastoji od cijelih i razlomaka razlomački broj može se prikazati kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj smo definirali cjelobrojnim eksponentom u prethodnom paragrafu, stoga, da dovršimo definiciju stupnja s njim racionalni pokazatelj, trebate dati značenje potenciji broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo moć-na-potencijalo ostalo valjano, mora vrijediti jednakost . Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i kako smo odredili , onda je logično prihvatiti je pod uvjetom da za zadane m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da za sve vrijede svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku svojstva stupnja s racionalnim eksponentom).

Gornje obrazloženje omogućuje nam sljedeće zaključak: ako je zadano m, n i a izraz ima smisla, tada se potencija od a s razlomačkim eksponentom m/n naziva n-ti korijen od a na potenciju od m.

Ova nas izjava približava definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Sve što preostaje je opisati pri kojim m, n i a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima koja se postavljaju na m, n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način je nametnuti ograničenje na a uzimajući a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer za m≤0 stupanj 0 od m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen broja a na potenciju m, to jest .

Frakcijska snaga nule također se određuje uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule s razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kada stupanj nije određen, odnosno stupanj broja nula s razlomačkim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba primijetiti da kod ove definicije stupnja s razlomačkim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neka negativna a i neke m i n izraz ima smisla, a te smo slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla ili , a gornja definicija nas tjera da kažemo da potencije s razlomačkim eksponentom oblika nema smisla jer baza ne bi trebala biti negativna.

Drugi pristup određivanju stupnja s razlomačkim eksponentom m/n je odvojeno razmatranje parnih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: potencija broja a, čiji je eksponent , smatra se potencijom broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodivi razlomak (u nastavku ćemo objasniti važnost ovog uvjeta ). To jest, ako je m/n nesvodivi razlomak, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj prvo zamijeni s .

Za parni n i pozitivan m, izraz ima smisla za bilo koji nenegativan a (parni korijen negativnog broja nema smisla); za negativan m, broj a još uvijek mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja nulom). I za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stupnja je definiran za bilo koji realni broj), a za negativan m, broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nula).

Gornje razmišljanje dovodi nas do ove definicije stupnja s frakcijskim eksponentom.

Definicija.

Neka je m/n nesvodivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za svaki reducibilni razlomak, stupanj se zamjenjuje s . Potencija broja s neumanjivim razlomačkim eksponentom m/n je za



Objasnimo zašto se stupanj s reducibilnim razlomačkim eksponentom prvo zamijeni stupnjem s nesvodivim eksponentom. Kad bismo stupanj jednostavno definirali kao , a ne ogradili se od nesvodivosti razlomka m/n, tada bismo se suočili sa situacijama sličnim sljedećoj: budući da je 6/10 = 3/5, tada mora vrijediti jednakost , Ali , A .

Nakon što se utvrdi snaga broja, logično je govoriti o svojstva stupnja. U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva potencije broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stupnjeva, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva koriste pri rješavanju primjera.

Navigacija po stranici.

Svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima

Prema definiciji potencije s prirodnim eksponentom, potencija a n je umnožak n faktora od kojih je svaki jednak a. Na temelju ove definicije, a također i pomoću svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim eksponentom:

1. glavno svojstvo stupnja a m ·a n =a m+n, njegova generalizacija;
2. svojstvo kvocijentnih potencija s identičnim bazama a m:a n =a m−n ;
3. svojstvo snage proizvoda (a·b) n =a n ·b n , njegovo proširenje;
4. svojstvo kvocijenta u prirodni stupanj(a:b) n =a n:b n ;
5. dizanje stupnja na potenciju (a m) n =a m·n, njegova generalizacija (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. usporedba stupnja s nulom:
   • ako je a>0, tada je a n>0 za bilo koji prirodni broj n;
   • ako je a=0, tada je a n =0;
   • ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako je a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ako su a i b pozitivni brojevi i a
8. ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je 0 0 nejednakosti a m >a n vrijedi.

Odmah napomenimo da su sve napisane jednakosti identičan prema navedenim uvjetima, desni i lijevi dio mogu se zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m ·a n =a m+n sa pojednostavljivanje izrazačesto se koristi u obliku a m+n =a m ·a n .

Sada pogledajmo svaki od njih u detalje.

Pođimo od svojstva umnoška dviju potencija s istim bazama, koje se zove glavno svojstvo stupnja: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n vrijedi jednakost a m ·a n =a m+n.

Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Po definiciji potencije s prirodnim eksponentom, umnožak potencija s istim bazama oblika a m ·a n može se napisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, dobiveni izraz može se napisati kao , a taj umnožak je potencija broja a s prirodnim eksponentom m+n, odnosno a m+n. Ovo dovršava dokaz.

Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, koristeći osnovno svojstvo stupnjeva možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Provjerimo njegovu valjanost izračunavanjem vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5 . Izvođenjem potenciranja imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, budući da su dobivene jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 ·2 3 =2 5 točna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.

Osnovno svojstvo stupnja, temeljeno na svojstvima množenja, može se generalizirati na umnožak tri ili više potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, …, n k vrijedi jednakost: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Na primjer, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Možemo prijeći na sljedeće svojstvo potencija s prirodnim eksponentom – svojstvo kvocijentskih potencija s istim bazama: za bilo koji realni broj a različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m>n, vrijedi jednakost a m:a n =a m−n.

Prije iznošenja dokaza ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a≠0 je potreban da bi se izbjeglo dijeljenje s nulom jer je 0 n =0, a kada smo se upoznali s dijeljenjem složili smo se da ne možemo dijeliti s nulom. Uvjet m>n je uveden kako ne bismo išli dalje od prirodnih eksponenata. Zaista, za m>n eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se događa za m−n) ili negativan broj (što se događa za m

Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam da zapišemo jednakost a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobivene jednakosti a m−n ·a n =a m i slijedi da je a m−n kvocijent potencija a m i a n . Time je dokazano svojstvo kvocijentskih potencija s identičnim bazama.

Navedimo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, jednakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odgovara razmatranom svojstvu stupnja.

Sada razmotrimo svojstvo snage proizvoda: prirodna potencija n umnoška bilo koja dva realna broja a i b jednaka je umnošku potencija a n i b n , odnosno (a·b) n =a n ·b n .

Doista, po definiciji stupnja s prirodnim eksponentom imamo . Na temelju svojstava množenja, posljednji proizvod može se prepisati kao , koji je jednak a n · b n .

Evo primjera: .

Ovo se svojstvo proteže na snagu umnoška tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stupnja n umnoška k faktora zapisano je kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Radi jasnoće, pokazat ćemo ovo svojstvo primjerom. Za umnožak tri faktora na potenciju broja 7 imamo .

Sljedeće svojstvo je svojstvo kvocijenta u naravi: kvocijent realnih brojeva a i b, b≠0 na prirodnu potenciju n jednak je kvocijentu potencija a n i b n, odnosno (a:b) n =a n:b n.

Dokaz se može izvesti korištenjem prethodnog svojstva. Tako (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a iz jednakosti (a:b) n ·b n =a n slijedi da je (a:b) n kvocijent a n podijeljen s b n .

Zapišimo ovo svojstvo koristeći određene brojeve kao primjer: .

Sada to izgovorimo svojstvo podizanja potencije na potenciju: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n potencija a m na potenciju n jednaka je potenci broja a s eksponentom m·n, odnosno (a m) n =a m·n.

Na primjer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dokaz svojstva potencije na stupanj je sljedeći lanac jednakosti: .

Svojstvo koje se razmatra može se proširiti na stupanj na stupanj na stupanj, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s vrijedi jednakost . Radi veće jasnoće, ovdje je primjer s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ostaje se zadržati na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom.

Počnimo s dokazivanjem svojstva usporedbe nule i potencije s prirodnim eksponentom.

Prvo, dokažimo da je a n >0 za bilo koje a>0.

Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što proizlazi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja sugeriraju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A potencija broja a s prirodnim eksponentom n, po definiciji, umnožak je n faktora od kojih je svaki jednak a. Ovi nam argumenti omogućuju da ustvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Zbog dokazanog svojstva 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 i .

Sasvim je očito da je za svaki prirodni broj n s a=0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0.

Prijeđimo na negativne baze stupnja.

Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2·m, gdje je m prirodan broj. Zatim . Jer svaki od umnožaka oblika a·a je jednak umnošku modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će proizvod također biti pozitivan a stupanj a 2·m. Navedimo primjere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada . Svi umnošci a·a su pozitivni brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva također je pozitivan, a njegovim množenjem s preostalim negativnim brojem a dobiva se negativan broj. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Prijeđimo na svojstvo usporedbe potencija s istim prirodnim eksponentima koje ima sljedeću formulaciju: od dviju potencija s istim prirodnim eksponentima n je manji od onog čija je baza manja, a veći je onaj čija je baza veća . Dokažimo to.

Nejednakost a n svojstva nejednakosti istinita je i dokaziva nejednakost oblika a n .

Ostaje još dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija s prirodnim eksponentima. Idemo to formulirati. Od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim pozitivnim bazama manjim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent manji; a od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim bazama većim od jedan veći je onaj čiji je eksponent veći. Prijeđimo na dokaz ovog svojstva.

Dokažimo to za m>n i 0 0 zbog početnog uvjeta m>n, što znači da je pri 0

Ostalo je dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da za m>n i a>1 a m >a n vrijedi. Razlika a m −a n nakon iznošenja n iz zagrade poprima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj umnožak je pozitivan, budući da je za a>1 stupanj a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 je pozitivan broj, budući da je m−n>0 zbog početnog uvjeta, a za a>1 stupanj a m−n je veće od jedan. Prema tome, a m −a n >0 i a m >a n , što je i trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustrira nejednakost 3 7 >3 2.

Svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima

Budući da su prirodni brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s cijelim pozitivnim eksponentom u potpunosti podudaraju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.

Stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, definirali smo na način da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentom, izražena jednakostima, ostanu važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze potencija različite od nule.

Dakle, za sve realne brojeve a i b različite od nule, kao i za sve cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće: svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b−n ;
7. ako su m i n cijeli brojevi i m>n, tada je 0 1 vrijedi nejednakost a m >a n.

Kada je a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo napisana svojstva vrijede i za slučajeve kada je a=0 i kada su brojevi m i n prirodni brojevi.

Dokazivanje svakog od ovih svojstava nije teško, za to je dovoljno koristiti definicije stupnjeva s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva operacija s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo stepena na stepen vrijedi i za pozitivne cijele brojeve i za nepozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, morate pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, tada vrijede jednakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Učinimo to.

Za pozitivne p i q jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom paragrafu. Ako je p=0, tada imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0·q. Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p·0. Ako su i p=0 i q=0, tada je (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0·0 =a 0 =1, odakle je (a 0) 0 =a 0·0.

Sada dokazujemo da je (a −p) q =a (−p)·q . Prema definiciji potencije s negativnim cijelim eksponentom, dakle . Po svojstvu kvocijenata na potencije imamo . Kako je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada je . Posljednji izraz, po definiciji, je potencija oblika a −(p·q), koja se, zbog pravila množenja, može napisati kao (−p)·q.

Također .

I .

Koristeći isti princip, možete dokazati sva druga svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom, napisanim u obliku jednakosti.

U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n koja vrijedi za bilo koji negativni cijeli broj −n i sve pozitivne a i b za koje je zadovoljen uvjet a . Budući da prema uvjetu a 0 . Umnožak a n · b n također je pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je dobiveni razlomak pozitivan kao kvocijent pozitivnih brojeva b n −a n i a n ·b n . Dakle, odakle a −n >b −n , što je i trebalo dokazati.

Posljednje svojstvo potencija s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao slično svojstvo potencija s prirodnim eksponentima.

Svojstva potencija s racionalnim eksponentima

Definirali smo stupanj s razlomačkim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, potencije s razlomačkim eksponentima imaju ista svojstva kao potencije s cjelobrojnim eksponentima. Naime:

Dokaz svojstava stupnjeva s razlomljenim eksponentom temelji se na definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, te na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Pružimo dokaze.

Prema definiciji potencije s razlomačkim eksponentom i , tada . Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da napišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo , iz čega, po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom, imamo , a pokazatelj stečenog stupnja može se transformirati na sljedeći način: . Ovo dovršava dokaz.

Drugo svojstvo potencija s razlomačkim eksponentima dokazuje se na potpuno sličan način:

Preostale jednakosti se dokazuju koristeći slične principe:

Prijeđimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b, a b p . Zapišimo racionalni broj p kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uvjeti str<0 и p>0 u ovom slučaju uvjeti m<0 и m>0 prema tome. Za m>0 i a

Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, odnosno i a p >b p .

Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da za racionalne brojeve p i q vrijedi p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q . Racionalne brojeve p i q uvijek možemo svesti na zajednički nazivnik, čak i ako dobijemo obične razlomke i , gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n prirodni broj. U tom slučaju će uvjet p>q odgovarati uvjetu m 1 >m 2, što slijedi iz. Zatim, svojstvom usporedbe potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima na 0 1 – nejednakost a m 1 >a m 2 . Ove nejednakosti u svojstvima korijena mogu se prepisati u skladu s tim kao I . A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje nam da prijeđemo na nejednakosti i, prema tome. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0 0 – nejednakost a p >a q .

Svojstva potencija s iracionalnim eksponentima

Iz načina definiranja stupnja s iracionalnim eksponentom možemo zaključiti da on ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva potencija s iracionalnim eksponentima:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p·q ;
6. za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 nejednakosti a p b p ;
7. za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q .

Iz ovoga možemo zaključiti da potencije s bilo kojim realnim eksponentom p i q za a>0 imaju ista svojstva.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Stupanj s racionalnim eksponentom, njegova svojstva.

Izraz a n definiran za sve a i n, osim za slučaj a=0 za n≤0. Prisjetimo se svojstava takvih moći.

Za bilo koje brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Imajte na umu i sljedeće svojstvo:

Ako je m>n, tada je a m >a n za a>1 i a m<а n при 0<а<1.

U ovom odjeljku generalizirat ćemo koncept potencije broja, dajući značenje izrazima tipa 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 itd. Prirodno je dati definiciju na način da potencije s racionalnim eksponentima imaju ista svojstva (ili barem dio njih) kao i potencije s cjelobrojnim eksponentom. Zatim, posebno, n-tu potenciju brojamora biti jednak a m . Doista, ako imovina

(a p) q = a pq

izvršava se, zatim

Posljednja jednakost znači (po definiciji n-tog korijena) da brojmora biti n-ti korijen od a m.

Definicija.

Potencija broja a>0 s racionalnim eksponentom r=, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj (n > 1), je broj

Dakle, po definiciji

(1)

Potencija 0 je definirana samo za pozitivne eksponente; po definiciji 0 r = 0 za bilo koje r>0.

stupanj c iracionalni pokazatelj.

Iracionalan brojmože se prikazati u oblikugranica niza racionalnih brojeva: .

Neka . Zatim postoje potencije s racionalnim eksponentom. Može se dokazati da je niz ovih potencija konvergentan. Granica ovog niza zove se stupanj s bazom i iracionalnim eksponentom: .

Fiksiramo pozitivan broj a i pridružemo ga svakom broju. Tako dobivamo numeričku funkciju f(x) = a x , definirana na skupu Q racionalnih brojeva i koja posjeduje prethodno navedena svojstva. Kada je a=1 funkcija f(x) = a x je konstantan, od 1 x =1 za svaki racionalni x.

Nacrtajmo nekoliko točaka na grafu funkcije y = 2 x prethodno izračunavši vrijednost 2 pomoću kalkulatora x na segmentu [—2; 3] s korakom od 1/4 (Sl. 1, a), a zatim s korakom od 1/8 (Sl. 1, b). Nastavljajući mentalno iste konstrukcije s koracima od 1/16, 1/32, itd., vidimo da se rezultirajuće točke mogu povezati glatkom krivuljom, koja se prirodno može smatrati grafom neke funkcije, definirane i rastuće duž cijelog brojevnog pravca i uzimajući vrijednostiu racionalnim točkama(Slika 1, c). Sagradivši dovoljno veliki broj točke grafa funkcije, možete se uvjeriti da ova funkcija ima slična svojstva (razlika je u tome što funkcija smanjuje se na R).

Ova zapažanja sugeriraju da se brojevi 2 mogu definirati na ovaj načinα i za svaki iracionalni α, da su funkcije dane formulama y=2 x i bit će neprekidna, a funkcija y=2 x povećava, a funkcijaopada duž cijelog brojevnog pravca.

Opišimo općenito kako se određuje broj a α za iracionalno α za a>1. Želimo osigurati da je funkcija y = a x se povećavao. Tada za svaki racionalni r 1 i r 2 tako da je r 1<αmora zadovoljiti nejednakosti a r 1<а α <а r 1 .

Odabir vrijednosti r 1 i r 2 približavajući se x, može se primijetiti da odgovarajuće vrijednosti a r 1 i a r 2 malo će se razlikovati. Može se dokazati da postoji, i to samo jedan, broj y koji je veći od svih a r 1 za sve racionalne r 1 i najmanje a r 2 za sve racionalne r 2 . Ovaj broj y po definiciji je a α .

Na primjer, pomoću kalkulatora izračunajte vrijednost 2 x u točkama x n i x` n, gdje su x n i x` n - decimalne aproksimacije brojevaustanovit ćemo da što je bliže x n i x`n k , manje se 2 razlikuju x n i 2 x` n .

Od tad

i stoga,

Slično, uzimajući u obzir sljedeće decimalne aproksimacijeprema manjku i višku dolazimo do odnosa

;

;

;

;

.

Značenje izračunato na kalkulatoru je:

.

Slično se određuje i broj a α za 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 za bilo koje α i 0α =0 za α>0.

Eksponencijalna funkcija.

Na a > 0, a = 1, definirana funkcija y = a x, različito od konstante. Ova funkcija se zove eksponencijalna funkcija s bazoma.

g= a x na a> 1:

Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazom 0< a < 1 и a> 1 prikazani su na slici.

Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije g= a x na 0< a < 1:

• Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac.
• Raspon funkcije – interval (0; + ) .
• Funkcija raste strogo monotono na cijelom brojevnom pravcu, tj. ako x 1 < x 2, dakle a x 1 >a x 2 .
• Na x= 0 vrijednost funkcije je 1.
• Ako x> 0, zatim 0< a < 1 i ako x < 0, то a x > 1.
DO opća svojstva eksponencijalna funkcija kao na 0< a < 1, так и при a > 1 uključuje:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, za svakoga x 1 I x 2.
• a − x= ( a x) − 1 = 1 ax za bilo koga x.
• na x= a