Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeljabinska regija

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz potporu Hotelskog kompleksa ITAKA+. Kada boravite u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete naići na problem pronalaska privremenog smještaja. , Na liniji hotelski kompleks“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, na bilo koji vremenski period, uz dnevno plaćanje.

Na moderna pozornica razvoj obrazovanja, jedna od njegovih glavnih zadaća je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za stvaralaštvo kod učenika se može razvijati samo ako se oni sustavno bave osnovama istraživačke djelatnosti. Temelj za iskorištavanje kreativnih snaga, sposobnosti i nadarenosti učenika jesu formirana cjelovita znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sustava temeljnih znanja i vještina za svaku temu školskog tečaja matematike nije od male važnosti. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već pažljivo osmišljenog sustava istih. U najširem smislu, sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih interaktivnih elemenata s cjelovitošću i stabilnom strukturom.

Razmotrimo tehniku ​​za podučavanje učenika kako napisati jednadžbu za tangentu na graf funkcije. U biti, svi problemi pronalaženja jednadžbe tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) pravaca odaberu one koje zadovoljavaju određeni zahtjev - tangiraju na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se odrediti na dva načina:

a) točka koja leži na ravnini xOy (središnja olovka pravaca);
b) kutni koeficijent (paralelni snop ravnih linija).

U tom smislu, proučavajući temu "Tangenta na graf funkcije" kako bismo izolirali elemente sustava, identificirali smo dvije vrste problema:

1) problemi o tangenti zadanoj točkom kroz koju ona prolazi;
2) problemi na tangenti zadanoj njezinim nagibom.

Obuka u rješavanju problema tangente provedena je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njena temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), pa stoga jednadžba tangente ima oblik

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(usporedi s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ova metodička tehnika, po našem mišljenju, omogućuje učenicima da brzo i jednostavno razumiju gdje su zapisane koordinate trenutne točke opću jednadžbu tangente, te gdje su dodirne točke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Apscisu tangente označimo slovom a.
2. Nađi f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Pronađene brojeve a, f(a), f "(a) zamijenite u opću jednadžbu tangente y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj se algoritam može sastaviti na temelju samostalnog prepoznavanja operacija od strane učenika i redoslijeda njihove provedbe.

Praksa je pokazala da vam sekvencijalno rješavanje svakog od ključnih problema pomoću algoritma omogućuje da razvijete vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referentne točke za radnje . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identificirana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi točkom koja leži na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi točkom koja ne leži na krivulji (zadatak 2).

Zadatak 1. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki M(3; – 2).

Riješenje. Točka M(3; – 2) je tangentna točka, jer

1. a = 3 – apscisa tangente.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednadžba tangente.

Zadatak 2. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koje prolaze točkom M(– 3; 6).

Riješenje. Točka M(– 3; 6) nije tangentna točka jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednadžba tangente.

Tangenta prolazi kroz točku M(– 3; 6), stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, tada je jednadžba tangente y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, tada jednadžba tangente ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci bit će sljedeći:

• tangenta je paralelna s nekim pravcem (zadatak 3);
• tangenta prelazi pod određenim kutom na zadani pravac (zadatak 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelnih s pravcem y = 9x + 1.

Riješenje.

1. a – apscisa tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uvjet paralelnosti). To znači da trebamo riješiti jednadžbu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednadžba tangensa;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednadžba tangensa.

Zadatak 4. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod kutom od 45° na ravnu liniju y = 0 (slika 4).

Riješenje. Iz uvjeta f "(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangente.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente sijeku pod pravim kutom i jedna od njih dodiruje parabolu u točki s apscisom 3 (slika 5).

Riješenje. Budući da je apscisa tangente dana, prvi dio rješenja se svodi na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa dodirne točke jedne od stranica pravi kut.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednadžba prve tangente.

Neka a – kut nagiba prve tangente. Budući da su tangente okomite, to je kut nagiba druge tangente. Iz jednadžbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Daljnje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) dodirna točka drugog pravca

1. – apscisa druge dodirne točke.
2.
3.
4.
– jednadžba druge tangente.

Bilješka. Kutni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravaca k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Riješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscisa dodirnih točaka zajedničkih tangenti, odnosno rješavanje ključnog problema 1 u općem obliku, sastavljanje sustava jednadžbi i njegovo rješavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Budući da su tangente općenite, dakle

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

Glavni cilj razmatranih zadataka je pripremiti učenike za samostalno prepoznavanje vrste ključnog problema pri rješavanju više problema složeni zadaci, zahtijevajući određene istraživačke vještine (sposobnost analize, usporedbe, generalizacije, postavljanja hipoteza itd.). Takvi zadaci uključuju bilo koji zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) pronalaženja funkcije iz obitelji njezinih tangenti.

3. Za koliko b i c prave y = x i y = – 2x tangiraju na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Riješenje.

Neka je t apscisa dodirne točke pravca y = x s parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne točke pravca y = – 2x s parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednadžba tangente y = x imati oblik y = (2t + b)x + c – t 2 , a jednadžba tangente y = – 2x oblik y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastavimo i riješimo sustav jednadžbi

Odgovor:

Problemi koje treba samostalno riješiti

1. Napišite jednadžbe tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 – 4x + 3 u točkama presjeka grafa s pravcem y = x + 3.

Odgovor: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Za koje vrijednosti a tangenta povučena na graf funkcije y = x 2 – ax u točki grafa s apscisom x 0 = 1 prolazi točkom M(2; 3)?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p ravna crta y = px – 5 dodiruje krivulju y = 3x 2 – 4x – 2?

Odgovor: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Odredi sve zajedničke točke grafa funkcije y = 3x – x 3 i tangente povučene na taj graf kroz točku P(0; 16).

Odgovor: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Nađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i ravne linije

Odgovor:

6. Na krivulji y = x 2 – x + 1 pronađite točku u kojoj je tangenta na graf paralelna s pravcem y – 3x + 1 = 0.

Odgovor: M(2; 3).

7. Napiši jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x – | 4x |, koja ga dodiruje u dvije točke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x – 4.

8. Dokažite da pravac y = 2x – 1 ne siječe krivulju y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih točaka.

Odgovor:

9. Na paraboli y = x 2 uzete su dvije točke s apscisama x 1 = 1, x 2 = 3. Kroz te točke povučena je sekanta. U kojoj će točki parabole tangenta na nju biti paralelna sa sekantom? Napišite jednadžbe sekante i tangensa.

Odgovor: y = 4x – 3 – jednadžba sekante; y = 4x – 4 – jednadžba tangensa.

10. Nađi kut q između tangenti na graf funkcije y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, povučenih u točkama s apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45°.

11. U kojim točkama tangenta na graf funkcije s osi Ox zatvara kut od 135°?

Odgovor: A(0; – 1), B(4; 3).

12. U točki A(1; 8) na krivulju povuce se tangenta. Odredite duljinu tangente između koordinatnih osi.

Odgovor:

13. Napišite jednadžbu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y = x 2 – x + 1 i y = 2x 2 – x + 0,5.

Odgovor: y = – 3x i y = x.

14. Odredite udaljenost tangenti na graf funkcije paralelne s osi x.

Odgovor:

15. Odredite pod kojim kutovima parabola y = x 2 + 2x – 8 siječe x-os.

Odgovor: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Grafikon funkcije pronađite sve točke od kojih tangenta u svakoj od njih na ovaj graf siječe pozitivne poluosi koordinata, odsijecajući od njih jednake segmente.

Odgovor: A(– 3; 11).

17. Pravac y = 2x + 7 i parabola y = x 2 – 1 sijeku se u točkama M i N. Odredi točku K presjeka pravaca koji tangiraju na parabolu u točkama M i N.

Odgovor: K(1; – 9).

18. Za koje vrijednosti b je pravac y = 9x + b tangenta na graf funkcije y = x 3 – 3x + 15?

Odgovor: – 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k pravac y = kx – 10 ima samo jednu zajedničku točku s grafom funkcije y = 2x 2 + 3x – 2? Za pronađene vrijednosti k odredite koordinate točke.

Odgovor: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Za koje vrijednosti b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 u točki s apscisom x 0 = 2 prolazi točkom M(1; 8)?

Odgovor: b = – 3.

21. Parabola s vrhom na osi Ox dodiruje pravac koji prolazi točkama A(1; 2) i B(2; 4) u točki B. Nađite jednadžbu parabole.

Odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y = x 2 + kx + 1 dodiruje os Ox?

Odgovor: k = d 2.

23. Odredite kutove između pravca y = x + 2 i krivulje y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Odredite udaljenost tangenti na graf funkcije i generatora s pozitivnim smjerom osi Ox pod kutom od 45°.

Odgovor:

30. Odredi geometrijsko mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b koje tangente na pravac y = 4x – 1.

Odgovor: pravac y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i počeci analize: 3600 zadataka za školsku djecu i one koji upisuju sveučilišta. – M., Droplja, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar četiri za mlade učitelje. Tema: Primjene izvedenica. – M., “Matematika”, br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina temeljenih na teoriji postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskovsko državno sveučilište, 1968.

Na sadašnjem stupnju razvoja obrazovanja jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za stvaralaštvo kod učenika se može razvijati samo ako se oni sustavno bave osnovama istraživačke djelatnosti. Temelj za iskorištavanje kreativnih snaga, sposobnosti i nadarenosti učenika jesu formirana cjelovita znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sustava temeljnih znanja i vještina za svaku temu školski tečaj matematika nije od male važnosti. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već pažljivo osmišljenog sustava istih. U najširem smislu, sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju cjelovitost i stabilnu strukturu.

Razmotrimo tehniku ​​za podučavanje učenika kako napisati jednadžbu za tangentu na graf funkcije. U biti, svi problemi pronalaženja jednadžbe tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) pravaca odaberu one koje zadovoljavaju određeni zahtjev - tangiraju na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se odrediti na dva načina:

a) točka koja leži na ravnini xOy (središnja olovka pravaca);
b) kutni koeficijent (paralelni snop ravnih linija).

U tom smislu, proučavajući temu "Tangenta na graf funkcije" kako bismo izolirali elemente sustava, identificirali smo dvije vrste problema:

1) problemi o tangenti zadanoj točkom kroz koju ona prolazi;
2) problemi na tangenti zadanoj njezinim nagibom.

Obuka u rješavanju problema tangente provedena je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njena temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), pa stoga jednadžba tangente ima oblik

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(usporedi s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ova metodička tehnika, po našem mišljenju, omogućuje učenicima da brzo i jednostavno razumiju gdje su zapisane koordinate trenutne točke opću jednadžbu tangente, te gdje su dodirne točke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Apscisu tangente označimo slovom a.
2. Nađi f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Pronađene brojeve a, f(a), f "(a) zamijenite u opću jednadžbu tangente y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj se algoritam može sastaviti na temelju samostalnog prepoznavanja operacija od strane učenika i redoslijeda njihove provedbe.

Praksa je pokazala da vam sekvencijalno rješavanje svakog od ključnih problema pomoću algoritma omogućuje da razvijete vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referentne točke za radnje . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identificirana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi točkom koja leži na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi točkom koja ne leži na krivulji (zadatak 2).

Zadatak 1. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki M(3; – 2).

Riješenje. Točka M(3; – 2) je tangentna točka, jer

1. a = 3 – apscisa tangente.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednadžba tangente.

Zadatak 2. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koje prolaze točkom M(– 3; 6).

Riješenje. Točka M(– 3; 6) nije tangenta jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednadžba tangente.

Tangenta prolazi kroz točku M(– 3; 6), stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, tada je jednadžba tangente y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, tada jednadžba tangente ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci bit će sljedeći:

• tangenta je paralelna s nekim pravcem (zadatak 3);
• tangenta prelazi pod određenim kutom na zadani pravac (zadatak 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelnih s pravcem y = 9x + 1.

1. a – apscisa tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uvjet paralelnosti). To znači da trebamo riješiti jednadžbu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednadžba tangensa;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednadžba tangensa.

Zadatak 4. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod kutom od 45° na ravnu liniju y = 0 (slika 4).

Riješenje. Iz uvjeta f "(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangente.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente sijeku pod pravim kutom i jedna od njih dodiruje parabolu u točki s apscisom 3 (slika 5).

Riješenje. Budući da je apscisa tangente dana, prvi dio rješenja se svodi na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa dodirne točke jedne od stranica pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednadžba prve tangente.

Neka je a kut nagiba prve tangente. Budući da su tangente okomite, to je kut nagiba druge tangente. Iz jednadžbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Daljnje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) dodirna točka drugog pravca

1. – apscisa druge dodirne točke.
2.
3.
4.
– jednadžba druge tangente.

Bilješka. Kutni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravaca k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Riješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscisa dodirnih točaka zajedničkih tangenti, odnosno rješavanje ključnog problema 1 u općem obliku, sastavljanje sustava jednadžbi i njegovo rješavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Budući da su tangente općenite, dakle

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

Glavni cilj razmatranih zadataka je pripremiti studente za samostalno prepoznavanje vrste ključnog problema pri rješavanju složenijih problema koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, usporedbe, generalizacije, postavljanja hipoteza i sl.). Takvi zadaci uključuju bilo koji zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) pronalaženja funkcije iz obitelji njezinih tangenti.

3. Za koliko b i c prave y = x i y = – 2x tangiraju na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa dodirne točke pravca y = x s parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne točke pravca y = – 2x s parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednadžba tangente y = x imati oblik y = (2t + b)x + c – t 2 , a jednadžba tangente y = – 2x oblik y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastavimo i riješimo sustav jednadžbi

Odgovor:

U članku se detaljno objašnjavaju definicije, geometrijsko značenje izvedenice sa grafički simboli. Razmatrat će se jednadžba tangente na primjerima, naći će se jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kut nagiba pravca y = k x + b naziva se kut α, koji se mjeri od pozitivnog smjera osi x do pravca y = k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer x označen zelenom strelicom i zelenim lukom, a kut nagiba crvenim lukom. Plava linija odnosi se na ravnu liniju.

Definicija 2

Nagib pravca y = k x + b naziva se numerički koeficijent k.

Kutni koeficijent jednak je tangenti ravne crte, drugim riječima k = t g α.

• Kut nagiba ravne crte jednak je 0 samo ako je paralelna s x i nagib je jednak nuli, jer je tangens nule jednak 0. To znači da će oblik jednadžbe biti y = b.
• Ako je kut nagiba pravca y = k x + b oštar, tada su zadovoljeni uvjeti 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается pozitivan broj, jer vrijednost tangensa zadovoljava uvjet t g α > 0, te dolazi do porasta na grafu.
• Ako je α = π 2, tada je položaj pravca okomit na x. Jednakost je specificirana s x = c pri čemu je vrijednost c realan broj.
• Ako je kut nagiba ravne linije y = k x + b tup, tada odgovara uvjetima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sekanta je pravac koji prolazi kroz 2 točke funkcije f (x). Drugim riječima, sekans je ravna crta koja prolazi kroz bilo koje dvije točke na grafu dane funkcije.

Slika pokazuje da je A B sekanta, a f (x) je crna krivulja, α je crveni luk, koji označava kut nagiba sekante.

Kad je kutni koeficijent pravca jednak tangensu kuta nagiba, jasno je da se tangens pravokutnog trokuta A B C može pronaći omjerom suprotne stranice prema susjednoj.

Definicija 4

Dobivamo formulu za pronalaženje sekansa oblika:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, gdje su apscise točaka A i B vrijednosti x A, x B i f (x A), f (x B) su funkcije vrijednosti u tim točkama.

Očito, kutni koeficijent sekante određuje se pomoću jednakosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B , a jednadžba se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanta vizualno dijeli graf na 3 dijela: lijevo od točke A, od A do B, desno od B. Donja slika pokazuje da postoje tri sekante koje se smatraju koincidentnima, odnosno postavljaju se pomoću slična jednadžba.

Po definiciji je jasno da pravac i njegov sekans u u ovom slučaju podudarati se.

Sekans može više puta presijecati graf dane funkcije. Ako za sekantu postoji jednadžba oblika y = 0, tada je broj točaka sjecišta sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u točki x 0 ; f (x 0) je pravac koji prolazi kroz zadanu točku x 0; f (x 0), uz prisustvo segmenta koji ima mnogo x vrijednosti blizu x 0.

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada je jasno da se pravac definiran funkcijom y = x + 1 smatra tangentom na y = 2 x u točki s koordinatama (1; 2). Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafikone s vrijednostima blizu (1; 2). Funkcija y = 2 x prikazana je crnom bojom, plava linija je tangenta, a crvena točka je sjecište.

Očito se y = 2 x spaja s pravcem y = x + 1.

Da bismo odredili tangentu, trebali bismo razmotriti ponašanje tangente A B dok se točka B beskonačno približava točki A. Radi jasnoće predstavljamo crtež.

Sekanta A B, označena plavom crtom, teži položaju same tangente, a kut nagiba sekante α počet će težiti kutu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y = f (x) u točki A smatra se graničnim položajem sekante A B dok B teži A, odnosno B → A.

Sada prijeđimo na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u točki.

Prijeđimo na razmatranje sekante A B za funkciju f (x), gdje su A i B s koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), a ∆ x je označen kao prirast argumenta . Sada će funkcija poprimiti oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Radi jasnoće, dajmo primjer crteža.

Razmotrimo rezultat pravokutni trokut A B C. Za rješavanje koristimo definiciju tangente, odnosno dobivamo relaciju ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente slijedi da je lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Prema pravilu derivacije u točki imamo da se derivacija f (x) u točki x 0 naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, gdje je ∆ x → 0. , tada ga označavamo kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Slijedi da je f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

To jest, nalazimo da f ' (x) može postojati u točki x 0, i kao tangenta na dani graf funkcije u točki dodirivanja jednaka x 0, f 0 (x 0), gdje je vrijednost nagib tangente u točki jednak je izvodnici u točki x 0 . Tada dobivamo da je k x = f " (x 0) .

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki je da daje koncept postojanja tangente na graf u istoj točki.

Da bismo napisali jednadžbu bilo koje ravne crte na ravnini, potrebno je imati kutni koeficijent s točkom kroz koju ona prolazi. Njegova oznaka je x 0 na sjecištu.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f (x) u točki x 0, f 0 (x 0) ima oblik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Misli se na to konačna vrijednost izvod f "(x 0) možete odrediti položaj tangente, odnosno okomito pod uvjetom lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ili uopće odsutnost uz uvjet lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Položaj tangente ovisi o vrijednosti njezinog kutnog koeficijenta k x = f "(x 0). Kada je paralelna s osi o x, dobivamo da je k k = 0, kada je paralelna s o y - k x = ∞, a oblik tangente tangentna jednadžba x = x 0 raste s k x > 0, opada s k x< 0 .

Primjer 2

Sastavite jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u točki s koordinatama (1; 3) i odredite nagibni kut.

Riješenje

Po uvjetu imamo da je funkcija definirana za sve realne brojeve. Nalazimo da je točka s koordinatama navedenim uvjetom (1; 3) dodirna točka, tada je x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Potrebno je pronaći derivaciju u točki s vrijednošću -1. Shvaćamo to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f' (x) u točki dodirivanja je nagib tangente, koja je jednaka tangenti nagiba.

Tada je k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odgovor: jednadžba tangente poprima oblik

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće, dajemo primjer u grafičkoj ilustraciji.

Za graf izvorne funkcije koristi se crna boja, Plava boja– slika tangente, crvena točka – dodirna točka. Slika s desne strane prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Odrediti postojanje tangente na graf zadane funkcije
y = 3 · x - 1 5 + 1 u točki s koordinatama (1 ; 1) . Napišite jednadžbu i odredite nagibni kut.

Riješenje

Po uvjetu imamo da se domenom definiranja dane funkcije smatra skup svih realnih brojeva.

Prijeđimo na pronalaženje izvoda

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1, tada je f' (x) nedefiniran, ali su granice napisane kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , što znači da postojanje vertikalne tangente u točki (1; 1).

Odgovor: jednadžba će imati oblik x = 1, gdje će kut nagiba biti jednak π 2.

Radi jasnoće, prikažimo to grafički.

Primjer 4

Pronađite točke na grafu funkcije y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, gdje je

1. Nema tangente;
2. Tangenta je paralelna s x;
3. Tangenta je paralelna s pravcem y = 8 5 x + 4.

Riješenje

Potrebno je obratiti pozornost na opseg definicije. Po uvjetu imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširujemo modul i rješavamo sustav s intervalima x ∈ - ∞ ; 2 i [-2; + ∞) . Shvaćamo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Potrebno je razlikovati funkciju. Imamo to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Kada je x = − 2, tada derivacija ne postoji jer jednostrane granice u toj točki nisu jednake:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunamo vrijednost funkcije u točki x = - 2, gdje to dobijemo

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, odnosno tangenta u točki ( - 2; - 2) neće postojati.
2. Tangenta je paralelna s x kada je nagib nula. Zatim k x = t g α x = f "(x 0). To jest, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada je derivat funkcije pretvori u nulu. To jest, vrijednosti f ' (x) bit će dodirne točke, gdje je tangenta paralelna s x.

Kada je x ∈ - ∞ ; - 2, zatim - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, a za x ∈ (- 2; + ∞) dobivamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 smatraju se traženim točkama grafa funkcije.

Razmotrimo grafička slika rješenja.

Crna linija je graf funkcije, crvene točke su dodirne točke.

1. Kada su pravci paralelni, kutni koeficijenti su jednaki. Zatim je potrebno tražiti točke na grafu funkcije u kojima će nagib biti jednak vrijednosti 8 5. Da biste to učinili, trebate riješiti jednadžbu oblika y "(x) = 8 5. Tada, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobivamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2 ; + ∞), tada je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prva jednadžba nema korijena jer je diskriminant manje od nule. Zapišimo to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Druga jednadžba, dakle, ima dva stvarna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Prijeđimo na pronalaženje vrijednosti funkcije. Shvaćamo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi s vrijednostima - 1; 4 15, 5; 8 3 su točke u kojima su tangente paralelne s pravcem y = 8 5 x + 4.

Odgovor: crna linija – graf funkcije, crvena linija – graf od y = 8 5 x + 4, plava linija – tangente u točkama - 1; 4 15, 5; 8 3.

Može postojati beskonačan broj tangenti za dane funkcije.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih dostupnih tangenti funkcije y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 koje se nalaze okomito na ravnu liniju y = - 2 x + 1 2.

Riješenje

Za sastavljanje jednadžbe tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate tangentne točke, na temelju uvjeta okomitosti pravaca. Definicija je sljedeća: umnožak kutnih koeficijenata koji su okomiti na ravne crte jednak je - 1, odnosno zapisan kao k x · k ⊥ = - 1. Iz uvjeta imamo da se kutni koeficijent nalazi okomito na pravac i da je jednak k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Sada morate pronaći koordinate dodirnih točaka. Morate pronaći x, a zatim njegovu vrijednost za zadanu funkciju. Primijetimo da iz geometrijskog značenja derivacije u točki
x 0 dobivamo da je k x = y "(x 0). Iz ove jednakosti nalazimo vrijednosti x za dodirne točke.

Shvaćamo to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ovaj trigonometrijska jednadžba koristit će se za izračunavanje ordinata tangentnih točaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

pronađeno je x dodirnih točaka. Sada morate prijeći na traženje vrijednosti y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Iz ovoga dobivamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 su dodirne točke.

Odgovor: potrebne jednadžbe bit će zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz, razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da se funkcija nalazi na intervalu [ - 10 ; 10 ], gdje je crna crta graf funkcije, plave linije su tangente, koje se nalaze okomito na zadanu liniju oblika y = - 2 x + 1 2. Crvene točke su dodirne točke.

Kanonske jednadžbe krivulja 2. reda nisu funkcije s jednom vrijednošću. Tangentne jednadžbe za njih sastavljaju se prema poznatim shemama.

Tangenta na kružnicu

Za definiranje kruga sa središtem u točki x c e n t e r ; y c e n t e r i radijusa R, primijenite formulu x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Ova se jednakost može napisati kao unija dviju funkcija:

y = R 2 - x - x centar 2 + y centar y = - R 2 - x - x centar 2 + y centar

Prva funkcija nalazi se na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u točki x 0; y 0 , koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafa funkcije oblika y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ili y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r na označenoj točki.

Kada je u točkama x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente mogu se dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R, a u točkama x c e n t e r + R; y c e n t e r i
x c e n t e r - R; y c e n t e r će biti paralelan s o y, tada dobivamo jednadžbe oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipsu

Kad elipsa ima središte u x c e n t e r ; y c e n t e r s poluosima a i b, tada se može specificirati pomoću jednadžbe x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsa i krug mogu se označiti kombinacijom dviju funkcija, odnosno gornje i donje poluelipse. Onda to shvaćamo

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, tada su paralelne oko x ili oko y. U nastavku, radi jasnoće, razmotrite sliku.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u točkama s vrijednostima x jednakim x = 2.

Riješenje

Potrebno je pronaći tangente koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Zamjenimo u postojeću jednadžbu elipse i nađemo da

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Zatim 2; 5 3 2 + 5 i 2; - 5 3 2 + 5 su tangente koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Prijeđimo na pronalaženje i rješavanje jednadžbe elipse s obzirom na y. Shvaćamo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očito je da je gornja poluelipsa određena pomoću funkcije oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, a donja poluelipsa y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Primijenimo standardni algoritam za izradu jednadžbe za tangentu na graf funkcije u točki. Zapišimo da je jednadžba za prvu tangentu u točki 2; 5 3 2 + 5 će izgledati ovako

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Nalazimo da je jednadžba druge tangente s vrijednošću u točki
2 ; - 5 3 2 + 5 ima oblik

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički se tangente označavaju na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kad hiperbola ima središte u x c e n t e r ; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α; y c e n t e r i x c e n t e r - α; y c e n t e r , nejednakost x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ako je s vrhovima x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r; y c e n t e r - b , tada se specificira pomoću nejednadžbe x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola se može prikazati kao dvije kombinirane funkcije oblika

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ili y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne s y, a u drugom su paralelne s x.

Iz toga slijedi da je za pronalaženje jednadžbe tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada točka dodirivanja. Da bi se to utvrdilo, potrebno je zamijeniti u jednadžbe i provjeriti identičnost.

Primjer 7

Napišite jednadžbu za tangentu na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u točki 7; - 3 3 - 3 .

Riješenje

Potrebno je transformirati zapis rješenja za pronalaženje hiperbole pomoću 2 funkcije. Shvaćamo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 i y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je identificirati kojoj funkciji pripada određena točka s koordinatama 7; - 3 3 - 3 .

Očito, za provjeru prve funkcije potrebno je y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tada točka ne pripada grafu, jer jednakost ne vrijedi.

Za drugu funkciju vrijedi y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, što znači da točka pripada zadanom grafu. Odavde biste trebali pronaći padinu.

Shvaćamo to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odgovor: jednadžba tangente može se prikazati kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Jasno je prikazano ovako:

Tangenta na parabolu

Da biste stvorili jednadžbu za tangentu na parabolu y = a x 2 + b x + c u točki x 0, y (x 0), morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba poprimiti oblik y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0).Takva tangenta u vrhu je paralelna s x.

Parabolu x = a y 2 + b y + c trebate definirati kao uniju dviju funkcija. Stoga trebamo riješiti jednadžbu za y. Shvaćamo to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafički prikazano kao:

Da biste saznali pripada li točka x 0, y (x 0) funkciji, lagano nastavite prema standardnom algoritmu. Takva će tangenta biti paralelna s o y u odnosu na parabolu.

Primjer 8

Napiši jednadžbu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 kada imamo kut tangente od 150°.

Riješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvaćamo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u točki x 0 ove funkcije i jednaka je tangensu kuta nagiba.

Dobivamo:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Odavde određujemo vrijednost x za dodirne točke.

Prva funkcija bit će zapisana kao

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očito nema pravih korijena, jer smo dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta s kutom od 150°.

Druga funkcija bit će zapisana kao

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da su dodirne točke 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odgovor: jednadžba tangente poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Prikažimo to grafički ovako:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tangenta je pravac , koji dodiruje graf funkcije u jednoj točki i čije su sve točke najmanje udaljene od grafa funkcije. Dakle, tangenta prolazi tangentno na graf funkcije pod određenim kutom, a više tangenti pod različitim kutovima ne mogu prolaziti kroz točku dodirivanja. Tangentne jednadžbe i normalne jednadžbe na graf funkcije konstruiraju se pomoću derivacije.

Jednadžba tangente izvedena je iz jednadžbe pravca .

Izvedimo jednadžbu tangente, a potom i jednadžbu normale na graf funkcije.

g = kx + b .

U njemu k- kutni koeficijent.

Odavde dobivamo sljedeći unos:

g - g 0 = k(x - x 0 ) .

Izvedena vrijednost f "(x 0 ) funkcije g = f(x) u točki x0 jednak nagibu k= tg φ tangenta na graf funkcije povučena kroz točku M0 (x 0 , g 0 ) , Gdje g0 = f(x 0 ) . Ovo je geometrijsko značenje izvedenice .

Dakle, možemo zamijeniti k na f "(x 0 ) i dobiti sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

g - g 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U zadacima sastavljanja jednadžbe tangente na graf funkcije (a na njih ćemo uskoro prijeći), potrebno je jednadžbu dobivenu gornjom formulom svesti na jednadžba pravca u općem obliku. Da biste to učinili, morate prenijeti sva slova i brojeve na lijeva strana jednadžbu i ostavite nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalan - ovo je ravna crta koja prolazi točkom dodirivanja na graf funkcije okomito na tangentu. Normalna jednadžba :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(g - g 0 ) = 0

Za zagrijavanje se od vas traži da sami riješite prvi primjer, a zatim pogledate rješenje. Postoji svaki razlog za nadu da ovaj zadatak neće biti “hladan tuš” za naše čitatelje.

Primjer 0. Napravite jednadžbu tangente i jednadžbu normale za graf funkcije u točki M (1, 1) .

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale za graf funkcije , ako je apscisa tangenta .

Nađimo izvod funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unosu danom u teoretskoj pomoći da bismo dobili jednadžbu tangente. Dobivamo

U ovom smo primjeru imali sreće: pokazalo se da je nagib jednak nuli, pa smo jednadžbu zasebno reducirali na Opća pojava nije bilo potrebno. Sada možemo napraviti normalnu jednadžbu:

Na slici ispod: graf funkcije u bordo boji, tangenta Zelena boja, narančasta normalna.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali nagib neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednadžbe u opći oblik.

Primjer 2.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

Nađimo izvod funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagib tangente:

Sve dobivene podatke zamijenimo u "praznu formulu" i dobijemo jednadžbu tangente:

Jednadžbu dovodimo u njezin opći oblik (s lijeve strane skupljamo sva slova i brojeve osim nule, a s desne ostavljamo nulu):

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Primjer 3. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa točka dodirivanja.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

Nađimo izvod funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagib tangente:

.

Nalazimo jednadžbu tangente:

Prije nego što jednadžbu dovedete u njezin opći oblik, morate je malo "pročešljati": pomnožite član po član s 4. To činimo i dovodimo jednadžbu u njezin opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Primjer 4. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa točka dodirivanja.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

.

Nađimo izvod funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagib tangente:

.

Dobivamo jednadžbu tangente:

Jednadžbu dovodimo u opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Česta pogreška pri pisanju jednadžbi tangente i normale je ne primijetiti da je funkcija navedena u primjeru složena i izračunati njezinu derivaciju kao derivaciju jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri već su iz složene funkcije(odgovarajuća lekcija otvorit će se u novom prozoru).

Primjer 5. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa točka dodirivanja.

Riješenje. Nađimo ordinatu tangente:

Pažnja! Ova funkcija- složeno, jer argument tangente (2 x) sama je funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju složene funkcije.

Primjer 1. S obzirom na funkciju f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) u točki grafa s apscisom x 0 = 1.

Riješenje. Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo je:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Zatim f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Jednadžba tangente ima oblik:

g = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

g = 10(x – 1) + 2,

g = 10x – 8.

Odgovor. g = 10x – 8.

Primjer 2. S obzirom na funkciju f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), paralelno s pravcem g = 2x – 11.

Riješenje. Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo je:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Budući da tangenta na graf funkcije f(x) na točki apscise x 0 je paralelan s pravcem g = 2x– 11, tada je njegov nagib jednak 2, tj. x 0) = 2. Nađimo ovu apscisu iz uvjeta da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo kada x 0 = 0 i pri x 0 = 2. Budući da je u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim ravno g = 2x + b dodiruje graf funkcije bilo u točki (0; 5) ili u točki (2; 5).

U prvom slučaju vrijedi numerička jednakost 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju vrijedi brojčana jednakost 5 = 2×2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente g = 2x+ 5 i g = 2x+ 1 na graf funkcije f(x), paralelno s pravcem g = 2x – 11.

Odgovor. g = 2x + 5, g = 2x + 1.

Primjer 3. S obzirom na funkciju f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), prolazeći kroz točku A (2; –5).

Riješenje. Jer f(2) –5, zatim točka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa tangentne točke.

Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo je:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Zatim f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Jednadžba tangente ima oblik:

g = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

g = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od točke A pripada tangenti, tada je numerička jednakost istinita

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz točku A možete povući dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako x 0 = 0, tada jednadžba tangente ima oblik g = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada jednadžba tangente ima oblik g = 2x – 9.

Odgovor. g = –6x + 7, g = 2x – 9.

Primjer 4. Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 – 3. Napišimo jednadžbu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.

Riješenje. Neka x 1 - apscisa dodirne točke tražene linije s grafom funkcije f(x), A x 2 - apscisa dodirne točke iste linije s grafom funkcije g(x).

Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo je:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Zatim f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Jednadžba tangente ima oblik:

g = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

g = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Nađimo izvod funkcije g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.