“Veličina čovjeka leži u njegovoj sposobnosti razmišljanja.”
Blaise Pascal.

Ciljevi lekcije:

1) Edukativni– upoznati učenike s homogenim jednadžbama, razmotriti metode njihova rješavanja te poticati razvoj vještina rješavanja prethodno proučenih vrsta trigonometrijskih jednadžbi.

2) Razvojni– razvijati kreativnu aktivnost učenika, njihovu kognitivnu aktivnost, logičko mišljenje, pamćenje, sposobnost rada u problemskoj situaciji, postići sposobnost pravilnog, dosljednog, racionalnog izražavanja svojih misli, proširiti horizonte učenika i povećati razinu njihove matematičke kulture.

3) Edukativni– njegovati želju za samopoboljšanjem, marljivim radom, razvijati sposobnost kompetentnog i točnog izvođenja matematičkih bilješki, njegovati aktivnost, pomoći u poticanju interesa za matematiku.

Vrsta lekcije: kombinirani.

Oprema:

1. Bušene kartice za šest učenika.
2. Kartice za samostalne i individualni rad učenicima.
3. Stalci “Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi”, “Brojčana jedinična kružnica”.
4. Elektrificirane trigonometrijske tablice.
5. Prezentacija za lekciju (Prilog 1).

Tijekom nastave

1. Organizacijska faza (2 minute)

Međusobno pozdravljanje; provjera pripremljenosti učenika za nastavu ( radno mjesto, izgled); organizacija pažnje.

Učitelj govori učenicima temu lekcije, ciljeve (slajd 2) i objašnjava da će se tijekom sata koristiti materijali koji se nalaze na stolovima.

2. Ponavljanje teorijskog gradiva (15 minuta)

Zadaci s bušenim karticama(6 osoba) . Vrijeme rada s bušenim karticama – 10 min (Dodatak 2)

Rješavanjem zadataka učenici će naučiti gdje se koriste trigonometrijski proračuni. Dobivaju se sljedeći odgovori: triangulacija (tehnika koja omogućuje mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji), akustika, ultrazvuk, tomografija, geodezija, kriptografija.

(slajd 5)

Frontalno ispitivanje.

1. Koje se jednadžbe nazivaju trigonometrijskim?
2. Koje vrste trigonometrijskih jednadžbi poznajete?
3. Koje se jednadžbe nazivaju najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama?
4. Koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim trigonometrijskim?
5. Formulirajte definiciju arkusina od a.
6. Formulirajte definiciju ark kosinusa od a.
7. Formulirajte definiciju arktangensa od a.
8. Formulirajte definiciju ark kotangensa broja a.

Igra "Pogodi šifriranu riječ"

Blaise Pascal jednom je rekao da je matematika toliko ozbiljna znanost da ne treba propustiti priliku učiniti je malo zabavnijom. Zato predlažem igranje. Nakon rješavanja primjera odredi niz brojeva od kojih je sastavljena šifrirana riječ. Na latinskom ova riječ znači "sinus". (slajd 3)

2) luk tg (-√3)

4) tg (luk cos (1/2))

5) tg (luk ctg √3)

Odgovor: "Savijanje"

Igra "Apstraktni matematičar"»

Na ekranu se projiciraju zadaci za usmeni rad:

Provjerite jesu li jednadžbe točno riješene.(točan odgovor se pojavljuje na slajdu nakon odgovora učenika). (slajd 4)

Provjera domaće zadaće.

Nastavnik utvrđuje ispravnost i svjesnost izrade domaće zadaće kod svih učenika; identificira praznine u znanju; unapređuje znanja, vještine i sposobnosti učenika u području rješavanja jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

1 jednadžba. Učenik komentira rješenje jednadžbe čiji se redovi pojavljuju na slajdu redoslijedom komentara). (slajd 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2h= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.

2h= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 n, n ∈Z.

2 jednadžba. Riješenje h napisano učenicima na ploči.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Obnavljanje novih znanja (3 minute)

Učenici se, na zahtjev nastavnika, prisjećaju načina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Odabiru one jednadžbe koje već znaju riješiti, imenuju način rješavanja jednadžbe i dobiveni rezultat. . Odgovori se pojavljuju na slajdu. (slajd 7) .

Uvođenje nove varijable:

broj 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Neka je sinx = t, tada je:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Faktorizacija:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

sos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 ili 3 sinx – 1 = 0; ...

broj 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

broj 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Učitelj, nastavnik, profesor: Još uvijek ne znate kako riješiti posljednje dvije vrste jednadžbi. Obojica su ista vrsta. Ne mogu se svesti na jednadžbu za funkcije sinx ili cosx. Se zovu homogene trigonometrijske jednadžbe. Ali samo prvi - homogena jednadžba prvog stupnja, a druga je homogena jednadžba drugog stupnja. Danas ćemo se u lekciji upoznati s takvim jednadžbama i naučiti ih rješavati.

4. Objašnjenje novog gradiva (25 minuta)

Nastavnik učenicima daje definicije homogenih trigonometrijskih jednadžbi i uvodi metode njihova rješavanja.

Definicija. Jednadžba oblika a sinx + b cosx =0, gdje je a ≠ 0, b ≠ 0, naziva se homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja.(slajd 8)

Primjer takve jednadžbe je jednadžba br. Napisat ćemo to opći oblik jednadžbu i analizirati je.

a sinx + b cosx = 0.

Ako je cosx = 0, onda je sinx = 0.

– Može li se dogoditi takva situacija?

- Ne. Dobili smo kontradikciju osnovnom trigonometrijskom identitetu.

To znači cosx ≠ 0. Izvršimo dijeljenje član po član s cosx:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a– najjednostavnija trigonometrijska jednadžba.

Zaključak: Homogena trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja rješavaju se dijeljenjem obje strane jednadžbe s cosx (sinx).

Na primjer: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Jer cosx ≠ 0, dakle

tgx = 3/2 ;

x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.

Definicija. Jednadžba oblika a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, gdje je a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 naziva se trigonometrijska jednadžba drugog stupnja. (slajd 8)

Primjer takve jednadžbe je jednadžba br. 4. Zapišimo opći oblik jednadžbe i analizirajmo ga.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Ako je cosx = 0, onda je sinx = 0.

Opet smo dobili kontradikciju s osnovnim trigonometrijskim identitetom.

To znači cosx ≠ 0. Izvršimo dijeljenje član po član s cos 2 x:

a tg 2 x + b tgx + c = 0 je jednadžba koja se svodi na kvadratnu.

Zaključak: Oh homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja rješavaju se dijeljenjem obje strane jednadžbe s cos 2 x (sin 2 x).

Na primjer: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Jer cos 2 x ≠ 0, tada

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Pozvati učenika da priđe ploči i samostalno ispuni jednadžbu).

Zamjena: tgx = y. 3y 2 – 4y + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 ili y 2 = 1/3

tgx = 1 ili tgx = 1/3

x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctan1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Faza provjere razumijevanja novog gradiva od strane učenika (1 min.)

Odaberite neparan:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(slajd 9)

6. Učvršćivanje novog gradiva (24 min).

Učenici zajedno s odgovorima rješavaju jednadžbe na ploči novi materijal. Zadaci su ispisani na slajdu u obliku tablice. Prilikom rješavanja jednadžbe otvara se odgovarajući dio slike na slajdu. Kao rezultat popunjavanja 4 jednadžbe, učenici dobivaju portret matematičara koji je imao značajan utjecaj na razvoj trigonometrije. (učenici će prepoznati portret Françoisa Viete, velikog matematičara koji je dao veliki doprinos trigonometriji, otkrio svojstvo korijena reducirane kvadratne jednadžbe i bavio se kriptografijom) . (slajd 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Jer cosx ≠ 0, dakle

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Jer cos 2 x ≠ 0, tada je tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Zamjena: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 ili y 2 = 3

tgx = 7 ili tgx = 3

x = arctan7 + πn, n ∈Z

x = arctan3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Jer cos 2 2x ≠ 0, zatim 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Zamjena: tg2x = y.

3u 2 – 6u + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 ili y 2 = 1

tg2x = 5 ili tg2x = 1

2h = arctan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z

2h = arctan1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Jer cos 2 x ≠0, tada je 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Zamjena: tg x = y.

5u 2 + 4u – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 ili y 2 = –1

tg x = 1/5 ili tg x = –1

x = arctan1/5 + πn, n ∈Z

x = arctan(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Dodatno (na kartici):

Riješite jednadžbu i, odabirom jedne opcije od četiri predložene, pogodite ime matematičara koji je izveo formule redukcije:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Mogući odgovori:

x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklid

x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya

x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler

Točan odgovor: Leonhard Euler.

7. Diferencirani samostalni rad (8 min.)

Veliki matematičar i filozof prije više od 2500 godina predložio je način razvijanja misaonih sposobnosti. “Razmišljanje počinje čuđenjem”, rekao je. Danas smo više puta vidjeli da su te riječi točne. Nakon što ste završili samostalan rad na 2 opcije, moći ćete pokazati kako ste savladali gradivo i saznati ime ovog matematičara. Za samostalan rad koristite brošure koje su na vašim stolovima. Možete sami odabrati jednu od tri predložene jednadžbe. Ali zapamtite da rješavanjem jednadžbe koja odgovara žuta boja, možete dobiti samo "3" rješavanjem jednadžbe koja odgovara zelenoj boji - "4", crvenoj boji - "5". (Dodatak 3)

Koji god stupanj težine učenici odabrali, nakon prava odluka Prva verzija jednadžbe proizvodi riječ "ARIST", druga - "HOTEL". Riječ na slajdu je: "ARIST-HOTEL." (slajd 11)

Radni listovi sa samostalnim radom daju se na provjeru. (Dodatak 4)

8. Snimanje domaće zadaće (1 min)

D/z: §7.17. Sastavite i riješite 2 homogene jednadžbe prvog stupnja i 1 homogenu jednadžbu drugog stupnja (koristeći Vietin teorem za sastavljanje). (slajd 12)

9. Rezime lekcije, ocjenjivanje (2 minute)

Učitelj još jednom skreće pozornost na one vrste jednadžbi i one teorijske činjenice koje su se prisjetili u lekciji, govoreći o potrebi njihovog učenja.

Učenici odgovaraju na pitanja:

1. Koje vrste trigonometrijskih jednadžbi poznajemo?
2. Kako se rješavaju ove jednadžbe?

Učitelj najviše bilježi uspješan rad na satu pojedinih učenika daje ocjene.

Nelinearne jednadžbe s dvije nepoznanice

Definicija 1. Neka A bude nešto skup parova brojeva (x; g) . Kažu da je skup A dan numerička funkcija z iz dvije varijable x i y , ako je zadano pravilo uz pomoć kojeg se svakom paru brojeva iz skupa A pridružuje određeni broj.

Određivanje numeričke funkcije z dviju varijabli x i y često je označiti Tako:

Gdje f (x , g) – bilo koja funkcija osim funkcije

f (x , g) = sjekira+po+c ,

gdje su a, b, c dani brojevi.

Definicija 3. Rješavanje jednadžbe (2) nazovi par brojeva ( x; g) , za koju je formula (2) prava jednakost.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Budući da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan, iz formule (4) slijedi da nepoznanice x i y zadovoljavaju sustav jednadžbi

čije je rješenje par brojeva (6; 3).

Odgovor: (6; 3)

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Stoga je rješenje jednadžbe (6). beskonačan broj parova brojeva ljubazan

(1 + g ; g) ,

gdje je y bilo koji broj.

linearni

Definicija 4. Rješavanje sustava jednadžbi

nazovi par brojeva ( x; g) , kada ih zamijenite u svaku od jednadžbi ovog sustava, dobiva se točna jednakost.

Sustavi dviju jednadžbi, od kojih je jedna linearna, imaju oblik

g(x , g)

Primjer 4. Riješite sustav jednadžbi

Riješenje . Izrazimo nepoznanicu y iz prve jednadžbe sustava (7) preko nepoznanice x i zamijenimo dobiveni izraz u drugu jednadžbu sustava:

Rješavanje jednadžbe

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Stoga,

g 1 = 8 - x 1 = 9 ,
g 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Sustavi dviju jednadžbi od kojih je jedna homogena

Sustavi dviju jednadžbi od kojih je jedna homogena imaju oblik

gdje su a, b, c dani brojevi i g(x , g) – funkcija dviju varijabli x i y.

Primjer 6. Riješite sustav jednadžbi

Riješenje . Riješimo homogenu jednadžbu

3x 2 + 2xy - g 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10g 2 = 0 ,

tretirajući ga kao kvadratnu jednadžbu s obzirom na nepoznatu x:

.

U slučaju x = - 5g, iz druge jednadžbe sustava (11) dobivamo jednadžbu

5g 2 = - 20 ,

koja nema korijena.

U slučaju

iz druge jednadžbe sustava (11) dobivamo jednadžbu

,

čiji su korijeni brojevi g 1 = 3 , g 2 = - 3 . Pronalaženjem za svaku od ovih vrijednosti y odgovarajuću vrijednost x, dobivamo dva rješenja sustava: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Odgovor: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Primjeri rješavanja sustava jednadžbi drugih vrsta

Primjer 8. Riješite sustav jednadžbi (MIPT)

Riješenje . Uvedimo nove nepoznanice u i v, koje se izražavaju kroz x i y prema formulama:

Kako bismo prepisali sustav (12) u terminima novih nepoznanica, prvo izrazimo nepoznanice x i y u terminima u i v. Iz sustava (13) slijedi da

Riješimo linearni sustav (14) tako da eliminiramo varijablu x iz druge jednadžbe tog sustava. U tu svrhu provodimo sljedeće transformacije na sustavu (14):

• Prvu jednadžbu sustava ostavit ćemo nepromijenjenu;
• od druge jednadžbe oduzmemo prvu jednadžbu i zamijenimo drugu jednadžbu sustava dobivenom razlikom.

Kao rezultat, sustav (14) se transformira u ekvivalentni sustav

iz kojih nalazimo

Pomoću formula (13) i (15) izvorni sustav (12) prepisujemo u obliku

Prva jednadžba sustava (16) je linearna, pa iz nje možemo izraziti nepoznanicu u kroz nepoznanicu v i taj izraz zamijeniti u drugu jednadžbu sustava.

Danas ćemo proučavati homogene trigonometrijske jednadžbe. Prvo, pogledajmo terminologiju: što je homogena trigonometrijska jednadžba. Ima sljedeće karakteristike:

1. mora sadržavati nekoliko pojmova;
2. svi pojmovi moraju imati isti stupanj;
3. sve funkcije uključene u homogeni trigonometrijski identitet moraju nužno imati isti argument.

Algoritam rješenja

Izaberimo pojmove

A ako je s prvom točkom sve jasno, onda je vrijedno detaljnije razgovarati o drugoj. Što znači imati isti stupanj pojmova? Pogledajmo prvi problem:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Prvi član u ovoj jednadžbi je 3cosx 3\cos x. Imajte na umu da ovdje postoji samo jedna trigonometrijska funkcija - cosx\cos x - i nema drugih trigonometrijske funkcije nije prisutan ovdje, tako da je stupanj ovog izraza 1. Isto s drugim - 5sinx 5\sin x - ovdje je prisutan samo sinus, tj. stupanj ovog člana također je jednak jedan. Dakle, pred sobom imamo identitet koji se sastoji od dva elementa od kojih svaki sadrži trigonometrijsku funkciju i to samo jednu. Ovo je jednadžba prvog stupnja.

Prijeđimo na drugi izraz:

4grijeh2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Prvi član ove konstrukcije je 4grijeh2 x 4((\sin )^(2))x.

Sada možemo napisati sljedeće rješenje:

grijeh2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Drugim riječima, prvi član sadrži dvije trigonometrijske funkcije, tj. stupanj mu je dva. Pozabavimo se drugim elementom - grijeh2x\sin 2x. Prisjetimo se ove formule - formule dvostrukog kuta:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

I opet, u rezultirajućoj formuli imamo dvije trigonometrijske funkcije - sinus i kosinus. Dakle, vrijednost snage ovog konstrukcijskog člana također je jednaka dva.

Prijeđimo na treći element – ​​3. Iz kolegija matematike Srednja škola Sjećamo se da se svaki broj može pomnožiti s 1, pa ga zapisujemo:

˜ 3=3⋅1

A jedinica se može napisati koristeći osnovni trigonometrijski identitet u sljedećem obliku:

1=grijeh2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Prema tome, možemo prepisati 3 na sljedeći način:

3=3(grijeh2 x⋅ cos2 x)=3grijeh2 x+3 cos2 x

3=3\lijevo(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \desno)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Dakle, naš izraz 3 je podijeljen na dva elementa, od kojih je svaki homogen i ima drugi stupanj. Sinus u prvom članu pojavljuje se dva puta, kosinus u drugom također se pojavljuje dva puta. Stoga se 3 također može prikazati kao član s eksponentom potencije dva.

Ista stvar s trećim izrazom:

grijeh3 x+ grijeh2 xcosx=2 cos3 x

Idemo pogledati. Prvi pojam je grijeh3 x((\sin )^(3))x je trigonometrijska funkcija trećeg stupnja. Drugi element - grijeh2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

grijeh2 ((\sin )^(2)) je veza s vrijednošću snage dva pomnoženom s cosx\cos x je prvi član. Ukupno, treći član također ima vrijednost snage tri. Na kraju, s desne strane postoji još jedan link - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x je element trećeg stupnja. Dakle, pred sobom imamo homogenu trigonometrijsku jednadžbu trećeg stupnja.

Imamo zapisana tri identiteta različitih stupnjeva. Ponovno obratite pozornost na drugi izraz. U izvornom zapisu, jedan od članova ima svađu 2x 2x. Prisiljeni smo riješiti se ovog argumenta transformirajući ga pomoću formule sinusa dvostrukog kuta, jer sve funkcije uključene u naš identitet moraju nužno imati isti argument. A ovo je uvjet za homogene trigonometrijske jednadžbe.

Koristimo formulu glavnog trigonometrijskog identiteta i zapisujemo konačno rješenje

Sredili smo uvjete, idemo dalje na rješenje. Bez obzira na eksponent potencije, rješavanje jednadžbi ovog tipa uvijek se izvodi u dva koraka:

1) dokažite to

cosx≠0

\cos x\ne 0. Za to je dovoljno prisjetiti se formule glavnog trigonometrijskog identiteta (grijeh2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) i zamijenite u ovu formulu cosx=0\cos x=0. Dobit ćemo sljedeći izraz:

grijeh2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Zamjenom dobivenih vrijednosti, tj. umjesto cosx\cos x je nula, a umjesto toga sinx\sin x — 1 ili -1, u izvorni izraz, dobit ćemo netočnu numeričku jednakost. Ovo je opravdanje koje

cosx≠0

2) drugi korak logično proizlazi iz prvog. Jer

cosx≠0

\cos x\ne 0, obje naše strane strukture dijelimo s cosn x((\cos )^(n))x, gdje je n n je sam eksponent potencije homogene trigonometrijske jednadžbe. Što nam ovo daje:

\[\begin(niz)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(niz)\]

Zahvaljujući tome, naša glomazna početna konstrukcija svedena je na jednadžbu n n-stupnja u odnosu na tangentu, čije se rješenje može jednostavno napisati promjenom varijable. To je cijeli algoritam. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Rješavamo stvarne probleme

Zadatak br. 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Već smo saznali da se radi o homogenoj trigonometrijskoj jednadžbi s eksponentom potencije jednakim jedan. Stoga, prije svega, saznajmo to cosx≠0\cos x\ne 0. Pretpostavimo suprotno, to

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Zamijenimo dobivenu vrijednost u naš izraz, dobivamo:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Na temelju ovoga možemo reći da cosx≠0\cos x\ne 0. Podijelimo našu jednadžbu s cosx\cos x jer cijeli naš izraz ima vrijednost potencije jedan. Dobivamo:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

Ovo nije tablična vrijednost, pa će odgovor uključivati arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\lijevo(-\frac(3)(5) \desno)+\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )n,n\in Z

Jer arctg arctg arctg je čudna funkcija, možemo izbaciti “minus” iz argumenta i staviti ga ispred arctg. Dobijamo konačan odgovor:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Zadatak br. 2

4grijeh2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Kao što se sjećate, prije nego što ga počnete rješavati, morate izvršiti neke transformacije. Izvodimo transformacije:

4grijeh2 x+2sinxcosx−3 (grijeh2 x+ cos2 x)=0 4grijeh2 x+2sinxcosx−3 grijeh2 x−3 cos2 x=0grijeh2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \desno)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\kraj (uskladiti)

Dobili smo strukturu koja se sastoji od tri elementa. U prvom terminu vidimo grijeh2 ((\sin )^(2)), tj. njegova vrijednost snage je dva. U drugom terminu vidimo sinx\sin x i cosx\cos x - opet postoje dvije funkcije, one se množe, pa je ukupni stupanj opet dva. U trećoj vezi vidimo cos2 x((\cos )^(2))x - slično prvoj vrijednosti.

Dokažimo to cosx=0\cos x=0 nije rješenje ove konstrukcije. Da bismo to učinili, pretpostavimo suprotno:

\[\begin(niz)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \lijevo(\pm 1 \desno)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\kraj(niz)\]

To smo dokazali cosx=0\cos x=0 ne može biti rješenje. Prijeđimo na drugi korak - podijelimo cijeli izraz s cos2 x((\cos )^(2))x. Zašto na kvadrat? Budući da je eksponent potencije ove homogene jednadžbe jednak dva:

grijeh2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Je li moguće riješiti ovaj izraz pomoću diskriminante? Naravno, možete. Ali predlažem da zapamtite teorem, obratno od teoreme Vieta, i dobivamo da ovaj polinom predstavljamo u obliku dva jednostavna polinoma, naime:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )k,k\in Z \\\end(align)

Mnogi studenti pitaju isplati li se pisati zasebne koeficijente za svaku skupinu rješenja identiteta ili se ne truditi pisati svugdje iste. Osobno smatram da je bolje i pouzdanije koristiti drugačija slova, tako da ako uđete na ozbiljno tehničko sveučilište s dodatnim testovima iz matematike, ispitivači vam neće zamjeriti odgovor.

Zadatak br. 3

grijeh3 x+ grijeh2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Već znamo da se radi o homogenoj trigonometrijskoj jednadžbi trećeg stupnja, nisu potrebne posebne formule, a od nas se traži samo pomicanje člana 2cos3 x 2((\cos )^(3))x ulijevo. Prepišimo:

grijeh3 x+ grijeh2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Vidimo da svaki element sadrži tri trigonometrijske funkcije, tako da ova jednadžba ima vrijednost snage tri. Idemo to riješiti. Prije svega, to moramo dokazati cosx=0\cos x=0 nije korijen:

\[\begin(niz)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(niz)\]

Zamijenimo ove brojeve u našu originalnu konstrukciju:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)

Stoga, cosx=0\cos x=0 nije rješenje. To smo dokazali cosx≠0\cos x\ne 0. Sad kad smo to dokazali, podijelimo našu izvornu jednadžbu s cos3 x((\cos )^(3))x. Zašto u kocki? Zato što smo upravo dokazali da naša izvorna jednadžba ima treću potenciju:

grijeh3 xcos3 x+grijeh2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\kraj (poravnaj)

Uvedimo novu varijablu:

tgx=t

Prepišimo konstrukciju:

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Prije nas kubna jednadžba. Kako to riješiti? U početku, dok sam tek sastavljao ovaj video vodič, planirao sam prvo govoriti o rastavljanju polinoma na faktore i drugim tehnikama. Ali u u ovom slučaju sve je puno jednostavnije. Pogledajte naš zadani identitet, s izrazom s najvišim stupnjem koji vrijedi 1. Osim toga, svi koeficijenti su cijeli brojevi. To znači da možemo koristiti korolar iz Bezoutovog teorema, koji kaže da su svi korijeni djelitelji broja -2, tj. slobodnog člana.

Postavlja se pitanje: s čime je -2 podijeljeno? Budući da je 2 prost broj, nema mnogo opcija. To mogu biti sljedeći brojevi: 1; 2; -1; -2. Negativni korijeni odmah nestaju. Zašto? Budući da su oba veća od 0 u apsolutnoj vrijednosti, dakle t3 ((t)^(3)) bit će veći po modulu od t2 ((t)^(2)). A budući da je kocka neparna funkcija, stoga će broj u kocki biti negativan, i t2 ((t)^(2)) - pozitivan, i cijela ova konstrukcija, sa t=−1 t=-1 i t=−2 t=-2, neće biti veći od 0. Oduzmite -2 od njega i dobit ćete broj koji je sigurno manji od 0. Ostaju samo 1 i 2. Zamijenimo svaki od ovih brojeva:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

Dobili smo točnu numeričku jednakost. Stoga, t=1 t=1 je korijen.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\do 8+4-2=0\do 10\ne 0

t=2 t=2 nije korijen.

Prema korolaru i istom Bezoutovom teoremu, svaki polinom čiji je korijen x0 ((x)_(0)), predstavite ga u obliku:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

U našem slučaju, u ulozi x x je varijabla t t, i u ulozi x0 ((x)_(0)) je korijen jednak 1. Dobivamo:

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Kako pronaći polinom P (t) P\lijevo(t\desno)? Očito, trebate učiniti sljedeće:

P(t)= t3 +t2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Zamijenimo:

t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Dakle, naš izvorni polinom je podijeljen bez ostatka. Dakle, našu izvornu jednakost možemo prepisati kao:

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Umnožak je nula kada je barem jedan faktor jednak nuli. Već smo razmotrili prvi množitelj. Pogledajmo drugu:

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Iskusni studenti su to vjerojatno već shvatili ovaj dizajn nema korijena, ali ipak izračunajmo diskriminantu.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Diskriminant je manji od 0, stoga izraz nema korijena. Ukupno je ogromna konstrukcija svedena na uobičajenu jednakost:

\[\begin(niz)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\tekst( )k,k\in Z \\\end(niz)\]

Na kraju bih želio dodati nekoliko komentara na posljednji zadatak:

1. hoće li uvjet uvijek biti zadovoljen? cosx≠0\cos x\ne 0, i isplati li se uopće provoditi ovu provjeru? Naravno, ne uvijek. U slučajevima kada cosx=0\cos x=0 je rješenje naše jednakosti; trebali bismo ga izvaditi iz zagrada, a onda će punopravna homogena jednadžba ostati u zagradi.
2. Što je dijeljenje polinoma polinomom. Doista, većina škola to ne proučava, a kada učenici prvi put vide takav dizajn, dožive blagi šok. Ali, u stvari, to je jednostavno i lijepa dobrodošlica, što uvelike olakšava rješavanje jednadžbi više stupnjeve. Naravno, tome će biti posvećen poseban video tutorial koji ću objaviti u skoroj budućnosti.

Ključne točke

Homogene trigonometrijske jednadžbe omiljena su tema na svim vrstama testovi. Mogu se riješiti vrlo jednostavno - samo jednom vježbajte. Da bi bilo jasno o čemu govorimo, uvedimo novu definiciju.

Homogena trigonometrijska jednadžba je ona u kojoj se svaki član različit od nule sastoji od istog broja trigonometrijskih faktora. To mogu biti sinusi, kosinusi ili njihova kombinacija - metoda rješenja uvijek je ista.

Stupanj homogene trigonometrijske jednadžbe je broj trigonometrijskih faktora uključenih u članove različite od nule. Primjeri:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - identitet 1. stupnja;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. stupanj;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. stupanj;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - i ova jednadžba nije homogena, jer postoji jedinica s desne strane - član različit od nule u kojem nema trigonometrijskih faktora;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 također je nehomogena jednadžba. Element grijeh2x\sin 2x je drugog stupnja (budući da se može prikazati

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x je prvi, a član 3 je općenito nula, jer u njemu nema sinusa ili kosinusa.

Opća shema rješenja

Shema rješenja uvijek je ista:

Hajdemo to pretvarati cosx=0\cos x=0. Zatim sinx=±1\sin x=\pm 1 - to slijedi iz glavnog identiteta. Zamijenimo sinx\sin x i cosx\cos x u izvorni izraz, a ako je rezultat besmislica (na primjer, izraz 5=0 5=0), idite na drugu točku;

Sve dijelimo na potenciju kosinusa: cosx, cos2x, cos3x... - ovisi o potenciji jednadžbe. Dobivamo uobičajenu jednakost s tangentama, koja se može sigurno riješiti nakon zamjene tgx=t.

tgx=tPronađeni korijeni bit će odgovor na izvorni izraz.

U ovom ćemo članku razmotriti metodu rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

Homogene trigonometrijske jednadžbe imaju istu strukturu kao i homogene jednadžbe bilo kojeg drugog tipa. Dopustite mi da vas podsjetim na metodu rješavanja homogenih jednadžbi drugog stupnja:

Razmotrimo homogene jednadžbe oblika

Posebnosti homogenih jednadžbi:

a) svi monomi imaju isti stupanj,

b) slobodni član je nula,

c) jednadžba sadrži potencije s dvije različite baze.

Homogene jednadžbe rješavaju se sličnim algoritmom.

Da bismo riješili ovu vrstu jednadžbe, obje strane jednadžbe dijelimo s (može se podijeliti s ili s)

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti jesu li korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Ako jest, onda zapišemo ovaj korijen da ga kasnije ne zaboravimo, a zatim podijelimo izraz s ovim.

Općenito, prva stvar koju treba učiniti kada rješavate bilo koju jednadžbu koja ima nulu na desnoj strani je pokušati proširiti lijeva strana faktoring jednadžbi bilo kojim na pristupačan način. I onda izjednačite svaki faktor s nulom. U ovom slučaju sigurno nećemo izgubiti korijene.

Dakle, pažljivo podijelite lijevu stranu jednadžbe na izraz po član. Dobivamo:

Skratimo brojnik i nazivnik drugog i trećeg razlomka:

Predstavimo zamjenu:

Dobivamo kvadratna jednadžba:

Riješimo kvadratnu jednadžbu, pronađimo vrijednosti , a zatim se vratimo na početnu nepoznanicu.

Prilikom rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi treba zapamtiti nekoliko važnih stvari:

1. Dummy izraz može se pretvoriti u kvadrat sinusa i kosinusa pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta:

2. Sinus i kosinus dvostrukog argumenta monomi su drugog stupnja - sinus dvostrukog argumenta može se lako pretvoriti u umnožak sinusa i kosinusa, a kosinus dvostrukog argumenta u kvadrat sinusa ili kosinusa:

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

1 . Riješimo jednadžbu:

Ovaj klasični primjer homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja: stupanj svakog monoma jednak je jedinici, slobodni član jednak je nuli.

Prije nego što obje strane jednadžbe podijelite s, morate provjeriti da korijeni jednadžbe nisu korijeni izvorne jednadžbe. Provjeravamo: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Podijelimo obje strane jednadžbe s .

Dobivamo:

, Gdje

, Gdje

Odgovor: , Gdje

2. Riješimo jednadžbu:

Ovo je primjer homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja. Sjećamo se da ako možemo faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, onda je to preporučljivo učiniti. U ovu jednadžbu možemo staviti . Učinimo to:

Rješenje prve jednadžbe: , gdje je

Druga jednadžba je homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja. Da biste to riješili, obje strane jednadžbe podijelite s . Dobivamo:

Odgovor: , gdje ,

3. Riješimo jednadžbu:

Da bi ova jednadžba "postala" homogena, pretvaramo je u produkt i predstavljamo broj 3 kao zbroj kvadrata sinusa i kosinusa:

Pomaknimo sve pojmove ulijevo, otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove. Dobivamo:

Faktorizirajmo lijevu stranu i postavimo svaki faktor na nulu:

Odgovor: , gdje ,

4 . Riješimo jednadžbu:

Vidimo što možemo izvući iz zagrade. Učinimo to:

Izjednačimo svaki faktor s nulom:

Rješenje prve jednadžbe:

Druga populacijska jednadžba je klasična homogena jednadžba drugog stupnja. Korijeni jednadžbe nisu korijeni izvorne jednadžbe, pa obje strane jednadžbe dijelimo s:

Rješenje prve jednadžbe:

Rješenje druge jednadžbe.

Tema lekcije: "Homogene trigonometrijske jednadžbe"

(10. razred)

Cilj: uvesti pojam homogene trigonometrijske jednadžbe I. i II. stupnja; formulirati i razraditi algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi I. i II. stupnja; naučiti studente rješavati homogene trigonometrijske jednadžbe I. i II. stupnja; razviti sposobnost prepoznavanja obrazaca i generalizacije; poticati interes za predmet, razvijati osjećaj solidarnosti i zdravog natjecanja.

Vrsta lekcije: lekcija u formiranju novih znanja.

Oblik: Rad u skupinama.

Oprema: računalo, multimedijska instalacija

Tijekom nastave

Organiziranje vremena

Pozdravljanje učenika, mobilizacija pažnje.

Na satu bodovni sustav ocjenjivanja znanja (nastavnik objašnjava sustav ocjenjivanja znanja, popunjavanje ocjenjivačkog lista od strane neovisnog stručnjaka kojeg nastavnik izabere iz reda učenika). Lekcija je popraćena prezentacijom. .

Obnavljanje temeljnih znanja.

Domaće zadaće provjeravaju i ocjenjuju neovisni stručnjak i konzultanti prije nastave i popunjava bodovni list.

Učitelj rezimira domaću zadaću.

Učitelj, nastavnik, profesor: Nastavljamo proučavati temu "Trigonometrijske jednadžbe". Danas ćemo vas u lekciji upoznati s drugom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje te ćemo stoga ponoviti naučeno. Kod rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi one se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Provjeravaju se individualne zadaće izrađene u grupama. Obrana prezentacije “Rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi”

(Rad skupine ocjenjuje neovisni stručnjak)

Motivacija za učenje.

Učitelj, nastavnik, profesor: Čeka nas posao riješiti križaljku. Nakon što ju riješimo, saznat ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo danas u nastavi učiti rješavati.

Pitanja se projiciraju na ploču. Učenici pogađaju, a nezavisni stručnjak upisuje bodove učenika koji su odgovorili na bodovni list.

Nakon rješavanja križaljke, djeca će pročitati riječ "homogen".

Asimilacija novih znanja.

Učitelj, nastavnik, profesor: Tema lekcije je “Homogene trigonometrijske jednadžbe”.

Zapišimo temu lekcije u bilježnicu. Homogene trigonometrijske jednadžbe su prvog i drugog stupnja.

Zapišimo definiciju homogene jednadžbe prvog stupnja. Prikazujem primjer rješavanja ove vrste jednadžbe; vi kreirate algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja.

Jednadžba oblika A sinx + b cosx = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja.

Razmotrimo rješenje jednadžbe kada su koeficijenti A I V razlikuju se od 0.

Primjer: sinx + cosx = 0

R dijeljenjem obje strane člana jednadžbe s cosx, dobivamo

Pažnja! Možete podijeliti s 0 samo ako se ovaj izraz nigdje ne pretvori u 0. Analizirajmo. Ako je kosinus jednak 0, onda će sinus također biti jednak 0, s obzirom da su koeficijenti različiti od 0, ali znamo da sinus i kosinus idu na nulu u različitim točkama. Stoga se ova operacija može izvesti pri rješavanju ove vrste jednadžbi.

Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja: dijeljenje obje strane jednadžbe s cosx, cosx 0

Jednadžba oblika A grijeh mx +b cos mx = 0 također se naziva homogena trigonometrijska jednadžba prvog stupnja i također riješiti dijeljenje obiju strana jednadžbe s kosinusom mx.

Jednadžba oblika a grijeh 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja.

Primjer : grijeh 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Koeficijent a je različit od 0 i stoga, kao i prethodna jednadžba, cosx nije jednak 0, pa stoga možete koristiti metodu dijeljenja obje strane jednadžbe s cos 2 x.

Dobivamo tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Rješavamo uvođenjem nove varijable neka je tgx = a, tada dobivamo jednadžbu

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Povratak na zamjenu

Odgovor:

Ako je koeficijent a = 0, tada će jednadžba imati oblik 2sinx cosx – 3cos2x = 0, rješavamo je tako da zajednički faktor cosx izbacimo iz zagrada. Ako je koeficijent c = 0, tada jednadžba ima oblik sin2x +2sinx cosx = 0, rješavamo je tako da zajednički faktor sinx izbacimo iz zagrada. Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja:

Pogledajte sadrži li jednadžba asin2 x član.

Ako je član asin2 x sadržan u jednadžbi (tj. a 0), tada se jednadžba rješava dijeljenjem obje strane jednadžbe s cos2x i zatim uvođenjem nove varijable.

Ako izraz asin2 x nije sadržan u jednadžbi (tj. a = 0), tada se jednadžba rješava faktorizacijom: cosx se izbacuje iz zagrada. Homogene jednadžbe oblika a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 rješavamo na isti način.

Algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi napisan je u udžbeniku na 102. stranici.

Minute tjelesnog odgoja

Formiranje vještina rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi

Otvaranje zadataka stranica 53

1. i 2. skupina odlučuju br. 361-v

3. i 4. skupina odlučuju br. 363-v

Rješenje prikazati na ploči, objasniti, nadopuniti. Neovisni stručnjak procjenjuje.

Rješavanje primjera iz zadataka br. 361-v
sinx – 3cosx = 0
podijelimo obje strane jednadžbe s cosx 0, dobijemo

broj 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
podijelimo obje strane jednadžbe s cos2x, dobivamo tg2x + tanx – 2 = 0

riješiti uvođenjem nove varijable
neka je tgx = a, tada dobivamo jednadžbu
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
natrag na zamjenu

Samostalni rad.

Riješite jednadžbe.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Na kraju samostalnog rada mijenjaju poslove i međusobno se provjeravaju. Točni odgovori projicirani su na ploču.

Onda ga iznajmljuju neovisni stručnjak.

Učini sam rješenje

Sažimanje lekcije.

Koju smo vrstu trigonometrijskih jednadžbi učili u razredu?

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi prvog i drugog stupnja.

Domaća zadaća: § 20.3 pročitati. Br. 361(d), 363(b), dodatna težina br. 380(a).

Križaljka.

Ako unesete točne riječi, dobit ćete naziv jedne od vrsta trigonometrijskih jednadžbi.

Vrijednost varijable koja čini jednadžbu istinitom? (Korijen)

Mjerna jedinica za kutove? (Radijan)

Numerički faktor u proizvodu? (Koeficijent)

Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (Trigonometrija)

Koji je matematički model potreban za uvođenje trigonometrijskih funkcija? (Krug)

Koja je trigonometrijska funkcija parna? (Kosinus)

Kako se zove istinska jednakost? (Identitet)

Jednakost s varijablom? (jednadžba)

Jednadžbe koje imaju iste korijene? (ekvivalent)

Skup korijena jednadžbe ? (Riješenje)

Evaluacijski rad

№
n\n

Prezime, ime nastavnika

Domaća zadaća

Prezentacija

Kognitivna aktivnost
studiranje

Rješavanje jednadžbi

Neovisna
Posao

Domaća zadaća – 12 bodova (za zadaću su dodijeljene 3 jednadžbe 4 x 3 = 12)

Prezentacija – 1 bod

Aktivnost učenika – 1 odgovor – 1 bod (maksimalno 4 boda)

Rješavanje jednadžbi 1 bod

Samostalan rad – 4 boda

Ocjena grupe:

“5” – 22 boda ili više
“4” – 18 – 21 bod
“3” – 12 – 17 bodova