Definicija. Najveći prirodni broj, kojim se brojevi a i b dijele bez ostatka, naziva se najveći zajednički djelitelj (GCD) ove brojke.

Pronađimo najveću zajednički djelitelj brojevi 24 i 35.
Djelitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji broja 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj – broj 1. Takvi se brojevi nazivaju međusobno prosti.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju međusobno prosti, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (NOD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) mogu se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja zadanih brojeva.

Rastavljajući brojeve 48 i 36 na faktore, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora koji su uključeni u proširenje prvog od ovih brojeva, križamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Pronaći najveći zajednički djelitelj

2) od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižite one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi s jednim od njih, onda je ovaj broj djeljiv najveći zajednički djelitelj zadani brojevi.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su njime djeljivi svi ostali brojevi: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) Prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni brojevi koji su višekratnici i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavimo 75 i 60 na proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i pribrojimo im faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja drugog broja (tj. kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

Do pronaći najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) rastavite ih na proste faktore;
2) zapišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, tada je taj broj najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI. st. pr. Kr.) i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih svojih djelitelja (bez samog broja) nazivali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali znanstvenici još uvijek ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Zanimanje drevnih matematičara za proste brojeve proizlazi iz činjenice da je svaki broj ili prost ili se može prikazati kao umnožak primarni brojevi, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva pojavljuju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima - manje. Ali što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi manje uobičajeni. Postavlja se pitanje postoji li posljednji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi “Elementi”, koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja stoji još veći prost broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složeni broj, zatim precrtao kroz jedan sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojevi koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze nakon 3 (brojevi koji su bili višekratnici 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su prekriženi. na kraju su samo prosti brojevi ostali neprekrižani.

Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOC je jedan od glavnih, posebno se često koristi u Tema se proučava u srednjoj školi, a nije osobito teško razumjeti gradivo; osoba koja poznaje potencije i tablicu množenja neće imati poteškoća u prepoznavanju potrebnih brojeva i otkrivanju proizlaziti.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može potpuno podijeliti na dva broja istovremeno (a i b). Najčešće se taj broj dobiva množenjem izvornih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv s oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je prihvaćena oznaka kratko ime, sabrano od prvih slova.

Načini dobivanja broja

Metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna za pronalaženje LCM-a; puno je prikladnija za jednostavne jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Uobičajeno je dijeliti na faktore; što je veći broj, to će faktora biti više.

Primjer #1

Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste proste, jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je vrlo jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer br. 2

Druga verzija zadatka je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, pronalaženje LOC-a je obavezno. Za rješavanje problema pretpostavljaju se sljedeće radnje:

Rastavljanje prvog i drugog broja na proste faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad s već dobivenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora sudjelovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja uzet je iz izvornih brojeva. NOC je ukupni broj, dakle, faktori iz brojeva moraju se ponavljati u njemu, svaki pojedini, čak i oni koji su prisutni u jednom primjerku. Oba početna broja sadrže brojeve 2, 3 i 5, u različitim potencijama, a 7 je prisutan samo u jednom padežu.

Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj potenciji predstavljenoj u jednadžbi. Ostaje još samo pomnožiti i dobiti odgovor, ako je točno ispunjen, zadatak se sastoji od dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, tada odgovor definitivno neće biti točan, jer 300 * 1260 = 378 000.

Ispitivanje:

6300 / 300 = 21 - točno;

6300 / 1260 = 5 - točno.

Točnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a s oba izvorna broja; ako je broj u oba slučaja cijeli broj, tada je odgovor točan.

Što NOC znači u matematici?

Kao što znate, u matematici ne postoji niti jedna beskorisna funkcija, ova nije iznimka. Najčešća svrha ovog broja je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Što se obično uči u razredima 5-6 Srednja škola. Također je dodatno zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti prisutni u problemu. Takav izraz može pronaći višekratnike ne samo dvaju brojeva, već i mnogih više- tri, pet i tako dalje. Što je više brojeva, to je više radnji u zadatku, ali se složenost ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, trebate pronaći njihov zajednički LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje rastavljanje na faktore, bez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Za sastavljanje izraza potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su navedeni 2, 5, 3 - za sve te brojeve potrebno je odrediti maksimalni stupanj.

Pažnja: svi faktori moraju biti dovedeni do točke potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponirani na razinu jednoznamenkastih brojeva.

Ispitivanje:

1) 3000 / 250 = 12 - točno;

2) 3000 / 600 = 5 - točno;

3) 3000 / 1500 = 2 - točno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na razini genija, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici su mnoge stvari povezane, mnoge stvari se mogu riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda može se koristiti u slučaju jednostavnih dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Sastavlja se tablica u koju se okomito upisuje množitelj, vodoravno množitelj, a umnožak se označava u ćelijama stupca koje se sijeku. Tablicu možete odraziti linijom, uzeti broj i zapisati rezultate množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 točaka, drugi i sljedeći brojevi prolaze kroz isti proces izračunavanja. Sve se događa dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

S obzirom na brojeve 30, 35, 42, trebate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Višekratnici od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Višekratnici od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Višekratnici od 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Primjetno je da su svi brojevi prilično različiti, jedini zajednički broj im je 210, pa će to biti NOO. Među procesima uključenim u ovaj izračun postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se izračunava prema sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali prilično značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji se dijeli sa svim danim početnim vrijednostima, a GCD uključuje izračunavanje najveća vrijednost kojima se dijele izvorni brojevi.

Drugi broj: b=

Razdjelnik tisućica Bez razdjelnika razmaka "´

Proizlaziti:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Najveći prirodni broj koji se bez ostatka može podijeliti brojevima a i b naziva se najveći zajednički djelitelj(GCD) ovih brojeva. Označava se s gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik LCM dva cijela broja a i b je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s a i b bez ostatka. Označava se kao LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Cijeli brojevi a i b se nazivaju međusobno prosti, ako nemaju zajedničkih djelitelja osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka su dana dva pozitivna broja a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. naći takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vrijeme. Opišimo algoritam.

1) U ovom članku riječ broj podrazumijevat će se kao cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

Gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak dijeljenja a 1 osoba a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Hajdemo to pretvarati λ dijeli a 1 i a 2 zatim λ dijeli m 1 a 2 i λ dijeli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Tvrdnja 2. članka “Djeljivost brojeva. Test djeljivosti”). Slijedi da svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3. Obrnuto vrijedi i ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3 zatim m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 je također djeljiv sa λ . Stoga zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1, onda možemo reći da je rješenje problema nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveo na jednostavniji problem pronalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 uključeno a 3. Zatim

,

Gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak od dijeljenja a 2 uključeno a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim razmišljanjem dolazimo do zaključka da zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 se poklapa sa zajedničkim djeliteljima brojeva a 2 i a 3, a također i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... su brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim na nekom koraku n, ostatak dijeljenja a n na a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2 =0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevima a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1. Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj brojeva a n i a n+1 je broj a n+1, jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (zapamtite to a n+2 =0). Stoga a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj brojeva a n i a n+1 , budući da je najveći djelitelj a n+1 je sam a n+1. Ako a n+1 može se predstaviti kao umnožak cijelih brojeva, tada su ti brojevi također uobičajeni djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se zove najveći zajednički djelitelj brojevima a 1 i a 2 .

Brojke a 1 i a 2 mogu biti pozitivni ili negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj tih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj brojeva nule je nedefiniran.

Gornji algoritam se zove Euklidski algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju cijelih brojeva.

Primjer nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva

Odredi najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Imajte na umu da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Zatim se pozivaju ti brojevi međusobno prosti brojevi, bez zajedničkog djelitelja.

Teorema 1. Ako a 1 i a 2 međusobno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uvjeta teorema proizlazi da je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 i stoga a n i a n+1 je 1. To jest a n+1 =1.

Pomnožimo sve te jednakosti s λ , Zatim

.

Neka zajednički djelitelj a 1 λ I a 2 da δ . Zatim δ uključen je kao množitelj u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Unaprijediti δ uključen je kao množitelj u a 2 λ I m 2 a 3 λ , i stoga je faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovako razmišljajući, uvjereni smo da δ uključen je kao množitelj u a n−1 λ I m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, tada δ uključen je kao množitelj u λ . Stoga broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teorema 1.

Posljedica 1. Neka a I c Prosti brojevi su relativni b. Zatim njihov proizvod ak je prost broj u odnosu na b.

Stvarno. Iz teorema 1 ak I b imaju iste zajedničke djelitelje kao c I b. Ali brojke c I b relativno jednostavno, tj. imaju jedan jedini zajednički djelitelj 1. Zatim ak I b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Prema tome ak I b međusobno jednostavni.

Posljedica 2. Neka a I b međusobno prosti brojevi i neka b dijeli ak. Zatim b dijeli i k.

Stvarno. Iz uvjeta odobrenja ak I b imaju zajednički djelitelj b. Na temelju teorema 1, b mora biti zajednički djelitelj b I k. Stoga b dijeli k.

Korolar 1 može se generalizirati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Zatim a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, umnožak ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom nizu prost u omjeru svakog broja u drugom nizu. Zatim proizvod

Trebate pronaći brojeve koji su djeljivi sa svakim od ovih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, tada ima oblik sa 1 gdje s neki broj. Ako q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

Gdje s 1 je neki cijeli broj. Zatim

je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 su relativno prosti, onda najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da svaki višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε I a 3 i natrag. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε I a 3 da ε 1 . Zatim, višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i a 4 . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 da ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m podudaraju se s višekratnicima određenog broja ε n, koji se naziva najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva.

U posebnom slučaju kada brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m su relativno prosti, onda najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2, kao što je gore prikazano, ima oblik (3). Dalje, budući da a 3 prosti broj u odnosu na brojeve a 1 , a 2 zatim a 3 prosti broj a 1 · a 2 (Korolar 1). Označava najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a 1 · a 2 · a 3. Rezonirajući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom umnošku a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Izjava 2. Svaki broj koji je djeljiv sa svakim od međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv s oba dana bez ostatka.

Metoda 1. LCM možete pronaći redom za svaki od zadanih brojeva, ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve koji se dobiju njihovim množenjem s 1, 2, 3, 4 itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Množimo broj 6, redom, sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9 množimo redom sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 bit će jednak 18.

Ova metoda je prikladna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvoznamenkaste ili troznamenkaste brojeve, a također i kada postoje tri ili čak više početnih brojeva.

Metoda 2. LCM možete pronaći rastavljanjem izvornih brojeva na proste faktore.
Nakon rastavljanja potrebno je iz dobivenog niza prostih faktora prekrižiti iste brojeve. Preostali brojevi prvog broja bit će množitelj za drugi, a preostali brojevi drugog bit će množitelj za prvi.

Primjer za brojeve 75 i 60.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavimo 75 i 60 na jednostavne faktore:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 pojavljuju se u oba retka. Mentalno ih "precrtavamo".
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Kod rastavljanja broja 75 ostaje nam broj 5, a kod rastavljanja broja 60 ostaje nam 2 * 2.
To znači da da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo preostale brojeve iz proširenja 75 (ovo je 5) pomnožiti sa 60, a brojeve preostale iz proširenja 60 (ovo je 2) * 2) sa 75. Odnosno, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "naprijed".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer. Odredite LCM za brojeve 12, 16, 24
U ovom će slučaju naše radnje biti nešto složenije. Ali prvo, kao i uvijek, faktorizirajmo sve brojeve
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (to je broj 12) i redom prolazimo kroz njegove faktore, križajući ih ako u barem jednom od ostalih redova brojeva naiđemo na isti faktor koji još nije prekriženo.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim nizovima brojeva. Prekrižimo ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim činiteljima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali postoji u prostim činiteljima broja 24. Broj 3 precrtavamo iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuju nikakve radnje. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom rastavljanja broja 12 sve smo brojeve “precrtali”. To znači da je nalaz LOC-a završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzmite preostale faktore broja 16 (sljedeći u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC

Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda vam omogućuje da to učinite brže. Međutim, obje metode pronalaženja LCM su točne.

Ali mnogi prirodni brojevi djeljivi su i drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cijelim (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a- je prirodni broj koji dijeli zadani broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj s kojim su oba dana podijeljena bez ostatka a I b.

Zajednički višekratnici nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjizajednički višekratnik (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- najveće razlaganje (umnožak faktora najvećeg broja zadanih) prenijeti na faktore željenog umnoška, ​​a zatim dodati faktore iz razlaganja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se pojavljuju u njemu manje puta;

— rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Svaka dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjuju se faktorom 3 (broj 21), dobiveni umnožak (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjuju se faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) koji je višekratnik svih zadanih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapiši sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.