Tema „Multipli” se obrađuje u 5. razredu Srednja škola. Cilj mu je unaprijediti pismene i usmene vještine matematičkog računanja. U ovoj lekciji uvode se novi pojmovi - “višebrojevi” i “djelitelji”, uvježbava se tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja te sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je vrlo važna. Znanje o njemu može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv s A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Sam se smatra najmanjim. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Morate dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, morate prvi broj podijeliti s drugim. Ako je 125 djeljivo s 5 bez ostatka, tada je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Postoje posebni slučajevi kada se izračunava LOC.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) djeljiv s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ovih dva broja.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM produkt ta dva broja.

LCM(6, 7) = 42.

Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Dijele višekratnik broja bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni faktori. Njihov umnožak jednak je najvećem višestrukom broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili s 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se nazivaju kompozitni.

Drugi primjer uključuje određivanje je li 9 djelitelj od 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Djeljenik se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a sam višekratnik je djeljiv tim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojevima a I b, pomnožen njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.

Naime: nd (a, b) x nd (a, b) = a x b.

Zajednički višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Rastavljamo te brojeve na jednostavne faktore i pišemo ih kao produkt potencija:

168=2³x3¹x7¹

2⁴h3³h5¹h7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Kriteriji djeljivosti prirodnih brojeva.

Brojevi djeljivi s 2 bez ostatka nazivaju sečak .

Brojevi koji nisu ravnomjerno djeljivi s 2 nazivaju seneparan .

Ispitajte djeljivost s 2

Ako prirodan broj završava parnom znamenkom, onda je taj broj djeljiv s 2 bez ostatka, a ako broj završava neparnom znamenkom, tada taj broj nije djeljiv s 2 na parno mjesto.

Na primjer, brojevi 60 , 30 8 , 8 4 su djeljivi sa 2 bez ostatka, a brojevi su 51 , 8 5 , 16 7 nisu djeljivi sa 2 bez ostatka.

Ispitajte djeljivost s 3

Ako je zbroj znamenki broja djeljiv s 3, tada je broj djeljiv s 3; Ako zbroj znamenki broja nije djeljiv s 3, tada ni broj nije djeljiv s 3.

Na primjer, saznajmo je li broj 2772825 djeljiv s 3. Da bismo to učinili, izračunajmo zbroj znamenki ovog broja: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - djeljivo s 3. To znači da je broj 2772825 djeljiv s 3.

Test djeljivosti s 5

Ako zapis prirodnog broja završava znamenkom 0 ili 5, tada je taj broj bez ostatka djeljiv s 5. Ako zapis broja završava drugom znamenkom, tada broj nije djeljiv s 5 bez ostatka.

Na primjer, brojevi 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 su djeljivi sa 5 bez ostatka, a brojevi su 17 , 37 8 , 9 1 nemoj dijeliti.

Test djeljivosti s 9

Ako je zbroj znamenki broja djeljiv s 9, tada je broj djeljiv s 9; Ako zbroj znamenki broja nije djeljiv s 9, tada ni broj nije djeljiv s 9.

Na primjer, saznajmo je li broj 5402070 djeljiv s 9. Da bismo to učinili, izračunajmo zbroj znamenki ovog broja: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nije djeljivo s 9 To znači da broj 5402070 nije djeljiv s 9.

Test djeljivosti s 10

Ako prirodan broj završava znamenkom 0, tada je taj broj bez ostatka djeljiv s 10. Ako prirodni broj završava drugom znamenkom, tada nije ravnomjerno djeljiv s 10.

Na primjer, brojevi 40 , 17 0 , 1409 0 djeljivi su sa 10 bez ostatka, a brojevi 17 , 9 3 , 1430 7 - ne dijeli.

Pravilo za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD).

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:

2) od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižite one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;

3) pronaći umnožak preostalih faktora.

Primjer. Pronađimo GCD (48;36). Poslužimo se pravilom.

1. Rastavimo brojeve 48 i 36 na proste faktore.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Od faktora uključenih u proširenje broja 48 brišemo one koji nisu uključeni u proširenje broja 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Preostali faktori su 2, 2 i 3.

3. Pomnožimo preostale faktore i dobijemo 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:

1) rastavite ih na proste faktore;

2) zapišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;

3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;

4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.

Primjer. Pronađimo LOC (75;60). Poslužimo se pravilom.

1. Rastavimo brojeve 75 i 60 na proste faktore.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Zapišimo faktore koji su uključeni u proširenje broja 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja broja 60,tj. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Nađite umnožak dobivenih faktora

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U ovom dijelu definirat ćemo pojam, razmotriti teorem koji uspostavlja vezu između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja te dati primjere rješavanja zadataka.

Zajednički višekratnici – definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo zajednički višekratnici cijelih brojeva osim nule.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih zadanih brojeva. Zapravo, to je svaki cijeli broj koji se može podijeliti s bilo kojim od zadanih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gornjoj definiciji, zajednički višekratnici broja 12 su 3 i 2. Također, broj 12 bit će zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 su zajednički višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istovremeno će zajednički višekratnik brojeva 2 i 3 biti brojevi 12, 6, − 24, 72, 468, − 100.010.004 i čitav niz drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem u paru, a ne djeljivi drugim, tada takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16, − 27, 5009, 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva osim nule.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti s obzirom na suprotni brojevi, onda ispada da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva, baš kao i broj - k. To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Je li moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik može se pronaći za bilo koji cijeli broj.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dano k cijeli brojevi a 1 , a 2 , … , a k. Broj koji dobijemo množenjem brojeva a 1 · a 2 · … · a k prema svojstvu djeljivosti podijelit će se na svaki od faktora koji su bili uključeni u izvorni proizvod. To znači da umnožak brojeva a 1 , a 2 , … , a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ti cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajedničkih višekratnika. Zapravo, njihov je broj beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k. Tada će umnožak brojeva k · z, gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z. S obzirom da je broj brojeva beskonačan, broj zajedničkih višekratnika je beskonačan.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) – definicija, zapis i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanjeg broja dati skup brojeva, koje smo pogledali u odjeljku "Usporedba cijelih brojeva". Uzimajući u obzir ovaj koncept, formuliramo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koja ima najveći praktični značaj među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj zadanih brojeva. Najčešće korištena kratica za koncept u referentnoj literaturi je NOC. Kratki zapis za najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k imat će oblik LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 7 je 42. Oni. LCM(6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiri broja 2, 12, 15 i 3 je 60. Kratka notacija izgledat će kao LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Najmanji zajednički višekratnik nije očit za sve skupine zadanih brojeva. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC i GCD

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova utvrđuje se teoremom.

Teorem 1

Najmanji zajednički višekratnik dva prirodna broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenog najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, to jest, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Dokazi 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M, koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv s a, postoji i neki cijeli broj z , pod kojim je jednakost istinita M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M djeljiv sa b, pa onda a · k podjeljeno sa b.

Ako uvedemo novi zapis za gcd (a, b) as d, tada možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d. U ovom slučaju obje jednakosti će biti relativno prosti brojevi.

To smo već gore utvrdili a · k podjeljeno sa b. Sada se ovaj uvjet može napisati na sljedeći način:
a 1 d k podjeljeno sa b 1 d, što je ekvivalentno stanju a 1 k podjeljeno sa b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema svojstvu međusobno prostih brojeva, ako a 1 I b 1– međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljiv sa b 1 usprkos činjenici da a 1 k podjeljeno sa b 1, To b 1 mora se dijeliti k.

U ovom slučaju bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od b 1 = b: d, To k = b: d t.

Sada umjesto k zamijenimo u jednakost M = a k izraz forme b: d t. To nam omogućuje postizanje jednakosti M = a b: d t. Na t = 1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednak a b: d, pod uvjetom da su brojevi a i b pozitivan.

Tako smo dokazali da je LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućuje vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dvaju ili više zadanih brojeva.

Definicija 3

Teorem ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva jednaki su zajedničkim višekratnicima ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva pozitivni brojevi a i b jednaki su svom umnošku.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) · t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Budući da su a i b relativno prosti, tada je gcd (a, b) = 1, dakle, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da bi se našao najmanji zajednički višekratnik više brojeva, potrebno je redom pronaći LCM dva broja.

Teorem 2

Hajdemo to pretvarati a 1 , a 2 , … , a k su neki pozitivni cijeli brojevi. Kako bi se izračunao LCM m k ove brojeve moramo izračunati uzastopno m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1, a k) .

Dokazi 2

Prvi korolar iz prvog teorema koji se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam dokazati valjanost drugog teorema. Obrazloženje se temelji na sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 I a 2 podudaraju s višekratnicima svog LCM-a, zapravo se podudaraju s višekratnicima broja m 2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 I a 3 m 2 I a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1 , a 2 , … , a k podudaraju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 I a k, dakle, podudaraju se s višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k je m k.

Ovako smo dokazali teorem.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Mrežni kalkulator omogućuje vam brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika za dva ili bilo koji drugi broj brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM

Pronađite GCD i LOC

Pronađen GCD i LOC: 6433

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• Ako unesete netočne znakove, polje za unos bit će označeno crvenom bojom
• kliknite gumb "Pronađi GCD i LOC".

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmakom, točkom ili zarezom
• Duljina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško

Što su GCD i NOC?

Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj označava se skraćenicom GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj, koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik označava se skraćenicom NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete se poslužiti nekim svojstvima djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Test djeljivosti broja s 2
Da bi se utvrdilo je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku tog broja: ako je jednaka 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Riješenje: Gledamo posljednju znamenku: 8 - to znači da je broj djeljiv s dva.

2. Test djeljivosti broja s 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s tri. Dakle, da biste utvrdili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako je zbroj znamenki vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 3.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.

3. Test djeljivosti broja s 5
Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 5.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.

4. Test djeljivosti broja s 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći gcd dva broja

Najviše na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva je pronalaženje svih mogućih djelitelja tih brojeva i odabir najvećeg od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Rastavljamo oba broja na faktore: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Nalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo umnožak ovih faktora: 1 2 2 = 4 - to je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dva broja. Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima odabrati broj koji će biti zajednički za oba broja, a ujedno i najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Nađi umnožak brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se pronaći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. U tu svrhu, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju se na proste faktore, zatim se pronalazi umnožak zajedničkih faktora glavni faktori ove brojke. Također možete upotrijebiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: NOT(a, b, c) = NOT(NOT(a, b), c).

Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo rastavimo brojeve na faktore: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov umnožak će dati GCD: 1·2·2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo pronađimo LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku koji smo započeli u odjeljku “LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri.” U ovoj temi, pogledat ćemo načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, a pogledat ćemo i pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a

Već smo utvrdili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada naučimo kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj pomoću formule LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primjer 1

Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Riješenje

Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi NNO brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite brojeve 68 i 34.

Riješenje

GCD u u ovom slučaju Ovo nije teško, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik pomoću formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom smo primjeru koristili pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika cijelih pozitivnih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv s drugim, LCM tih brojeva bit će jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore

Sada pogledajmo metodu pronalaženja LCM-a, koja se temelji na rastavljanju brojeva na proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sastavljamo umnožak svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• isključujemo sve proste faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
• umnožak dobiven nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora bit će jednak LCM zadanih brojeva.

Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora koji sudjeluju u rastavljanju ta dva broja. U ovom slučaju, gcd dvaju brojeva jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ta dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorizirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite umnožak svih faktora dva izvorna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako isključimo faktore koji su zajednički brojevima 3 i 5, dobit ćemo umnožak sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , rastavljajući oba broja na proste faktore.

Riješenje

Pronađimo sve proste faktore brojeva danih u uvjetu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobivamo dva niza brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Umnožak svih faktora koji su sudjelovali u rastavljanju ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pronađimo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo ga iz ukupnog proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispada da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odgovor: LOC(441, 700) = 44 100.

Dajmo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo iz ukupnog broja isključili faktore zajedničke za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Rastavimo oba broja na proste faktore:
• umnošku prostih faktora prvog broja dodati faktore drugog broja koji nedostaju;
• dobivamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se brojevima 75 i 210 za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Rastavimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Umnošku faktora 3, 5 i 5 brojevima 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobivamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Riješenje

Rastavimo brojeve iz uvjeta na jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo umnošku faktore 2, 2, 3 i 7 brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3 brojevi 648. Dobivamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Pronalaženje LCM tri ili više brojeva

Bez obzira s koliko brojeva imamo posla, algoritam naših radnji uvijek će biti isti: uzastopno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorem.

Teorem 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi se brojevi nalaze sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Sada pogledajmo kako se teorem može primijeniti za rješavanje specifičnih problema.

Primjer 7

Trebate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiriju brojeva 140, 9, 54 i 250 .

Riješenje

Uvodimo oznake: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam za izračunavanje GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobivamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Dakle, m 2 = 1,260.

Izračunajmo sada koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tijekom izračuna dobivamo m 3 = 3 780.

Samo trebamo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Slijedimo isti algoritam. Dobivamo m 4 = 94 500.

LCM četiri broja iz uvjeta primjera je 94500.

Odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, izračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići na drugi način.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam radnji:

• sve brojeve rastavljamo na proste faktore;
• umnošku faktora prvog broja pribrajamo faktore koji nedostaju iz umnoška drugog broja;
• proizvodu dobivenom u prethodnoj fazi dodamo nedostajuće faktore trećeg broja itd.;
• dobiveni umnožak bit će najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Morate pronaći LCM pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Riješenje

Rastavimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. primarni brojevi, koji je broj 7, ne može se rastaviti na proste faktore. Takvi brojevi koincidiraju s njihovim rastavljanjem na proste faktore.

Sada uzmimo umnožak prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i pribrojimo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rastavili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u umnošku prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo zbrajati množitelje koji nedostaju. Prijeđimo na broj 48, od čijeg umnoška prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim zbrajamo prosti faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 iz petog. Dobivamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik izvornih pet brojeva.

Odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativni brojevi, ovi brojevi moraju prvo biti zamijenjeni brojevima sa suprotnog predznaka, a zatim izvršite izračune pomoću gornjih algoritama.

Primjer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takvi postupci su dopušteni zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .

Riješenje

Zamijenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, pomoću algoritma, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidskog algoritma.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

Odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter