Nazivnik aritmetičkog razlomka a / b je broj b koji pokazuje veličinu razlomaka jedinice od kojih je razlomak sastavljen. Nazivnik algebarskog razlomka A / B naziva se algebarski izraz B. Za izvođenje aritmetike s razlomcima, oni se moraju svesti na njihov najmanji zajednički nazivnik.

Trebat će vam

• Da biste radili s algebarskim razlomcima i pronašli najmanji zajednički nazivnik, trebate znati rastaviti polinome na faktore.

upute

Razmotrimo svođenje dva aritmetička razlomka n/m i s/t na najmanji zajednički nazivnik, gdje su n, m, s, t cijeli brojevi. Jasno je da se ova dva razlomka mogu svesti na bilo koji nazivnik djeljiv s m i t. Ali pokušavaju dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika. Jednak je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika m i t zadanih razlomaka. Najmanji višekratnik (LMK) broja je najmanji djeljiv sa svim danim brojevima u isto vrijeme. Oni. u našem slučaju treba pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva m i t. Označava se kao LCM (m, t). Zatim se razlomci množe s odgovarajućim: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Nađimo najmanji zajednički nazivnik triju razlomaka: 4/5, 7/8, 11/14. Prvo proširimo nazivnike 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Zatim izračunajte LCM (5, 8, 14) množenjem svi brojevi uključeni u barem jedno od proširenja. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Imajte na umu da ako se faktor pojavljuje u proširenju nekoliko brojeva (faktor 2 u proširenju nazivnika 8 i 14), tada uzimamo faktor na veći stupanj (2^3 u našem slučaju).

Dakle, primljena je opća. Jednako je 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Ovdje dobivamo brojeve kojima trebamo pomnožiti razlomke s odgovarajućim nazivnicima kako bismo ih doveli do najmanjeg zajedničkog nazivnika. Dobivamo 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Svođenje algebarskih razlomaka na najmanji zajednički nazivnik provodi se analogno aritmetičkim. Radi jasnoće, pogledajmo problem na primjeru. Neka su dana dva razlomka (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) i (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rastavimo oba nazivnika na faktore. Imajte na umu da je nazivnik prvog razlomka potpuni kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Za

Ali mnogi prirodni brojevi djeljivi su i drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cijelim (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a- je prirodni broj koji dijeli zadani broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj s kojim su oba dana podijeljena bez ostatka a I b.

Zajednički višekratnici nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, in u ovom slučaju ovo je 90. Ovaj broj se zove najmanjizajednički višekratnik (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razne primarni brojevi, A d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- najveće razlaganje (umnožak faktora najvećeg broja zadanih) prenijeti na faktore željenog umnoška, ​​a zatim dodati faktore iz razlaganja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se pojavljuju u njemu manje puta;

— rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Svaka dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjuju se faktorom 3 (broj 21), rezultirajući umnožak (84) bit će najmanji broj, koji je djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjuju se faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) koji je višekratnik svih zadanih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapiši sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Većina operacija s algebarskim razlomcima, poput zbrajanja i oduzimanja, zahtijeva prvo pretvaranje tih razlomaka u isti nazivnici. Takvi se nazivnici također često označavaju izrazom " zajednički nazivnik" U ovoj temi ćemo pogledati definiciju pojmova "zajednički nazivnik algebarskih razlomaka" i "najmanji zajednički nazivnik algebarskih razlomaka (LCD)", razmotriti algoritam za pronalaženje zajedničkog nazivnika točku po točku i riješiti nekoliko problema na tema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zajednički nazivnik algebarskih razlomaka

Ako govorimo o običnim razlomcima, onda je zajednički nazivnik broj koji je djeljiv s bilo kojim od nazivnika izvornih razlomaka. Za obični razlomci 1 2 I 5 9 broj 36 može biti zajednički nazivnik, jer je djeljiv sa 2 i 9 bez ostatka.

Zajednički nazivnik algebarskih razlomaka određuje se na sličan način, samo se umjesto brojeva koriste polinomi, budući da su oni brojnici i nazivnici algebarskog razlomka.

Definicija 1

Zajednički nazivnik algebarskog razlomka je polinom koji je djeljiv nazivnikom bilo kojeg razlomka.

Zbog osobitosti algebarskih razlomaka, o kojima će biti riječi u nastavku, često ćemo se baviti zajedničkim nazivnicima predstavljenim kao umnožak, a ne kao standardni polinom.

Primjer 1

Polinom zapisan kao produkt 3 x 2 (x + 1), odgovara polinomu standardnog oblika 3 x 3 + 3 x 2. Ovaj polinom može biti zajednički nazivnik algebarskih razlomaka 2 x, - 3 x y x 2 i y + 3 x + 1, zbog činjenice da je djeljiv s x, na x 2 i dalje x+1. Informacije o djeljivosti polinoma dostupne su u odgovarajućoj temi našeg resursa.

Najmanji zajednički nazivnik (LCD)

Za dane algebarske razlomke broj zajedničkih nazivnika može biti beskonačan.

Primjer 2

Uzmimo kao primjer razlomke 1 2 x i x + 1 x 2 + 3. Njihov zajednički nazivnik je 2 x (x 2 + 3), kao i − 2 x (x 2 + 3), kao i x (x 2 + 3), kao i 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), kao i − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, i tako dalje.

Prilikom rješavanja zadataka možete si olakšati rad korištenjem zajedničkog nazivnika, koji ima najjednostavniji oblik u cijelom skupu nazivnika. Ovaj nazivnik često se naziva najmanji zajednički nazivnik.

Definicija 2

Najmanji zajednički nazivnik algebarskih razlomaka je zajednički nazivnik algebarskih razlomaka, koji ima najjednostavniji oblik.

Inače, izraz “najmanji zajednički nazivnik” nije općeprihvaćen, pa je bolje ograničiti se na termin “zajednički nazivnik”. I zato.

Ranije smo vašu pozornost usmjerili na frazu „nazivnik najviše jednostavan tip" Glavno značenje ove fraze je sljedeće: nazivnik najjednostavnijeg oblika mora bez ostatka dijeliti bilo koji drugi zajednički nazivnik podatka u uvjetu problema algebarskih razlomaka. U tom slučaju u umnošku, koji je zajednički nazivnik razlomaka, mogu se koristiti različiti numerički koeficijenti.

Primjer 3

Uzmimo razlomke 1 2 · x i x + 1 x 2 + 3 . Već smo ustanovili da će nam biti najlakše raditi sa zajedničkim nazivnikom oblika 2 · x · (x 2 + 3). Također, zajednički nazivnik za ova dva razlomka može biti x (x 2 + 3), koji ne sadrži numerički koeficijent. Pitanje je koji se od ta dva zajednička nazivnika smatra najmanjim zajedničkim nazivnikom razlomaka. Ne postoji definitivan odgovor, stoga je ispravnije jednostavno govoriti o zajedničkom nazivniku i raditi s onom opcijom koja će biti najprikladnija za rad. Dakle, možemo koristiti takve zajedničke nazivnike kao što su x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ili − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 koji imaju više složen izgled, ali može biti teže poduzeti nešto s njima.

Pronalaženje zajedničkog nazivnika algebarskih razlomaka: algoritam radnji

Pretpostavimo da imamo nekoliko algebarskih razlomaka za koje trebamo pronaći zajednički nazivnik. Za rješavanje ovog problema možemo koristiti sljedeći algoritam akcija. Prvo trebamo rastaviti nazivnike izvornih razlomaka. Zatim sastavljamo rad u koji uzastopno uključujemo:

• svi faktori iz nazivnika prvog razlomka zajedno s potencijama;
• svi faktori prisutni u nazivniku drugog razlomka, ali koji nisu u pisanom umnošku ili im je stupanj nedovoljan;
• svi faktori koji nedostaju iz nazivnika trećeg razlomka i tako dalje.

Rezultirajući umnožak bit će zajednički nazivnik algebarskih razlomaka.

Kao faktore umnoška možemo uzeti sve nazivnike razlomaka danih u postavci zadatka. Međutim, množitelj koji ćemo na kraju dobiti bit će daleko od NCD-a po značenju i njegova će uporaba biti neracionalna.

Primjer 4

Odredite zajednički nazivnik razlomaka 1 x 2 y, 5 x + 1 i y - 3 x 5 y.

Riješenje

U ovom slučaju ne trebamo faktorizirati nazivnike izvornih razlomaka. Stoga ćemo početi primjenjivati ​​algoritam sastavljanjem djela.

Iz nazivnika prvog razlomka uzimamo množitelj x 2 god, iz nazivnika drugog razlomka množitelj x+1. Dobivamo proizvod x 2 y (x + 1).

Nazivnik trećeg razlomka može nam dati množitelj x 5 g, međutim, proizvod koji smo ranije sastavili već ima faktore x 2 I g. Stoga dodajemo još x 5 − 2 = x 3. Dobivamo proizvod x 2 y (x + 1) x 3, koji se može svesti na formu x 5 y (x + 1). Ovo će biti naš NOZ algebarskih razlomaka.

Odgovor: x 5 · y · (x + 1) .

Sada pogledajmo primjere problema u kojima nazivnici algebarskih razlomaka sadrže cjelobrojne numeričke faktore. U takvim slučajevima također slijedimo algoritam, prethodno rastavljajući cjelobrojne numeričke faktore na proste faktore.

Primjer 5

Nađite zajednički nazivnik razlomaka 1 12 x i 1 90 x 2.

Riješenje

Podijelimo li brojeve u nazivnicima razlomaka na proste faktore, dobit ćemo 1 2 2 3 x i 1 2 3 2 5 x 2. Sada možemo prijeći na sastavljanje zajedničkog nazivnika. Da bismo to učinili, iz nazivnika prvog razlomka uzimamo proizvod 2 2 3 x i tome dodajte faktore 3, 5 i x od nazivnika drugog razlomka. Dobivamo 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ovo je naš zajednički nazivnik.

Odgovor: 180 x 2.

Ako pažljivo pogledate rezultate dvaju analiziranih primjera, primijetit ćete da zajednički nazivnici razlomaka sadrže sve faktore prisutne u proširenjima nazivnika, a ako je određeni faktor prisutan u više nazivnika, tada se uzima s najvećim dostupnim eksponentom. A ako nazivnici imaju cjelobrojne koeficijente, tada zajednički nazivnik sadrži numerički faktor jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojčanih koeficijenata.

Primjer 6

Nazivnici obaju algebarskih razlomaka 1 12 x i 1 90 x 2 imaju faktor x. U drugom slučaju faktor x je na kvadrat. Da bismo stvorili zajednički nazivnik, moramo uzeti ovaj faktor u najvećoj mjeri, tj. x 2. Ne postoje drugi množitelji s varijablama. Cjelobrojni numerički koeficijenti izvornih razlomaka 12 I 90 , a njihov najmanji zajednički višekratnik je 180 . Ispada da željeni zajednički nazivnik ima oblik 180 x 2.

Sada možemo napisati još jedan algoritam za pronalaženje zajedničkog faktora algebarskih razlomaka. Za ovo mi:

• rastaviti na faktore nazivnike svih razlomaka;
• sastavljamo umnožak svih faktora slova (ako postoji faktor u više proširenja, uzimamo opciju s najvećim eksponentom);
• dobivenom umnošku dodamo LCM numeričkih koeficijenata proširenja.

Zadani algoritmi su ekvivalentni, pa se svaki od njih može koristiti za rješavanje problema. Važno je obratiti pažnju na detalje.

Postoje slučajevi kada zajednički faktori u nazivnicima razlomaka mogu biti nevidljivi iza numeričkih koeficijenata. Ovdje je preporučljivo prvo staviti numeričke koeficijente na višim potencijama varijabli izvan zagrada u svakom od faktora prisutnih u nazivniku.

Primjer 7

Koji zajednički nazivnik imaju razlomci 3 5 - x i 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Riješenje

U prvom slučaju minus jedan mora biti izdvojen iz zagrade. Dobivamo 3 - x - 5 . Brojnik i nazivnik množimo s - 1 kako bismo se riješili minusa u nazivniku: - 3 x - 5.

U drugom slučaju, dva smo stavili izvan zagrada. To nam omogućuje da dobijemo razlomak 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Očito je da je zajednički nazivnik ovih algebarskih razlomaka - 3 x - 5 i 5 - x · y 2 2 · x - 5 2 (x − 5).

Odgovor:2 (x − 5).

Podaci u uvjetu frakcijskog problema mogu imati frakcijske koeficijente. U tim slučajevima prvo se morate riješiti frakcijskih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika s određenim brojem.

Primjer 8

Pojednostaviti algebarski razlomci 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 i - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , zatim odredi njihov zajednički nazivnik.

Riješenje

Riješimo se razlomačkih koeficijenata tako da brojnik i nazivnik u prvom slučaju pomnožimo s 14, u drugom slučaju s 3. Dobivamo:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Nakon transformacija postaje jasno da je zajednički nazivnik 2 (x 2 + 2).

Odgovor: 2 (x 2 + 2).

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Višekratnik je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim brojem u grupi bez ostavljanja ostatka. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, trebate pronaći proste faktore zadanih brojeva. LCM se također može izračunati korištenjem brojnih drugih metoda koje se primjenjuju na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Serije višekratnika

Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja od kojih je svaki manji od 10. Ako su navedeni veći brojevi, upotrijebite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa možete koristiti ovu metodu.

1. Višekratnik je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Višekratnike možete pronaći u tablici množenja.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapiši niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to pod višekratnicima prvog broja kako biste usporedili dva skupa brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji je prisutan u oba skupa višekratnika. Možda ćete morati napisati duge nizove višekratnika da biste ih pronašli ukupni broj. Najmanji broj koji je prisutan u oba skupa višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika brojeva 5 i 8 je broj 40. Stoga je 40 najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8.

   Rastavljanje na proste faktore

   1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja od kojih je svaki veći od 10. Ako su dati manji brojevi, upotrijebite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da možete koristiti ovu metodu.

   2. Rastavi prvi broj na proste faktore. To jest, morate pronaći takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, rezultirati danim brojem. Nakon što pronađete proste faktore, zapišite ih kao jednakosti.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) I 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Tako, jednostavni faktori brojevi 20 su brojevi 2, 2 i 5. Napiši ih kao izraz: .

   3. Rastavite drugi broj na proste faktore. Učinite to na isti način kao što ste faktorizirali prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dati zadani broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) I 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti faktori broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapiši ih kao izraz: .

   4. Zapiši faktore zajedničke obama brojevima. Napiši takve faktore kao operaciju množenja. Dok pišete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju rastavljanje brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, oba broja imaju zajednički faktor 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\times ) i prekrižite 2 u oba izraza.
      • Ono što je zajedničko obama brojevima je još jedan faktor 2, pa zapiši 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) a drugo 2 precrtajte u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu prekriženi u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) Oba dvojca (2) su prekrižena jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije prekrižen, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) obje dvije (2) također su prekrižene. Faktori 7 i 3 nisu prekriženi, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Izračunaj najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u napisanoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84 je 420.

   Pronalaženje zajedničkih faktora

   1. Nacrtajte mrežu kao za igru ​​tic-tac-toe. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne crte koje se sijeku (pod pravim kutom) s druge dvije paralelne crte. To će vam dati tri retka i tri stupca (mreža izgleda dosta poput ikone #). Napišite prvi broj u prvi redak i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi red i treći stupac.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30. Napišite broj 18 u prvi red i drugi stupac, a broj 30 napišite u prvi red i treći stupac.

   2. Pronađite zajednički djelitelj oba broja. Zapišite to u prvi red i prvi stupac. Bolje je tražiti primarne faktore, ali to nije uvjet.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa im je zajednički faktor 2. Dakle, napišite 2 u prvi red i prvi stupac.

   3. Svaki broj podijelite prvim djeliteljem. Svaki kvocijent napiši pod odgovarajućim brojem. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa ispod 18 napiši 9.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa zapišite 15 ispod 30.

   4. Pronađite zajednički djelitelj obama količnicima. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, upišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

   5. Podijelite svaki kvocijent s drugim djeliteljem. Svaki rezultat dijeljenja upiši ispod odgovarajućeg kvocijenta.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa ispod 9 napiši 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa ispod 15 napiši 5.

   6. Ako je potrebno, dodajte dodatne ćelije u mrežu. Ponavljajte opisane korake dok količnici ne dobiju zajednički djelitelj.

   7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i zadnjem retku rešetke. Zatim zapišite odabrane brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u zadnjem redu, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

   8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30 je 90.

   Euklidov algoritam

   1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj s kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji preostane kada se dva broja podijele.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je djelitelj
        2 je kvocijent
        3 je ostatak.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djeliteljem od $a$, a $a$ se zove višekratnik od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i $a$ i $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva $a$ i $b$ i označava se sljedećom oznakom:

$GCD\(a;b)\ ili \D\(a;b)$

Za pronalazak najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja potrebno je:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Odredite NNO brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$GCD=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Nađite NOD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Rastavimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje tih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pronađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$GCD=3\cdot 3=9$

Gcd dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, korištenjem skupa djelitelja brojeva.

Primjer 3

Odredite NNO brojeva $48$ i $60$.

Riješenje:

Pronađimo skup djelitelja broja $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$

Pronađimo sada skup djelitelja broja $60$:$\ \lijevo\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\) $

Pronađimo presjek ovih skupova: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u dati skup broj će biti 12$. To znači da je najveći zajednički djelitelj brojeva $48$ i $60$ 12$.

Definicija NPL-a

Definicija 3

Zajednički višekratnici prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Zajednički višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi s izvornim brojevima bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazivat ćemo najmanji zajednički višekratnik i označavat ćemo ga LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastavite brojeve na proste faktore
2. Napiši faktore koji su dio prvog broja i dodaj im faktore koji su dio drugog, a nisu dio prvog broja.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Rastavite brojeve na proste faktore

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im množitelje koji su dio drugog, a ne dio prvog

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik

NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često je vrlo naporan zadatak. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Izjave na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vtočkice b$, onda je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koje razmatramo dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
2. Ako je $a\vtočkica b$ , tada je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$ prirodan broj, tada je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$ je djelitelj broja $D(a;b)$