ja Izrazi u kojima se uz slova mogu koristiti brojevi, aritmetički simboli i zagrade nazivaju se algebarski izrazi.

Primjeri algebarskih izraza:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Budući da se slovo u algebarskom izrazu može zamijeniti različitim brojevima, slovo se naziva varijabla, a sam algebarski izraz izraz s varijablom.

II. Ako se u algebarskom izrazu slova (varijable) zamijene njihovim vrijednostima i izvrše navedene radnje, tada se rezultirajući broj naziva vrijednost algebarskog izraza.

Primjeri. Pronađite značenje izraza:

1) a + 2b -c s a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| kod x = -8; y = -5; z = 6.

Riješenje.

1) a + 2b -c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Umjesto varijabli, zamijenimo njihove vrijednosti. Dobivamo:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| kod x = -8; y = -5; z = 6. Zamijenite navedene vrijednosti. Zapamtite da modul negativan broj jednak je svom suprotnom broju i modulu pozitivan broj jednak samom ovom broju. Dobivamo:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Vrijednosti slova (varijable) za koje algebarski izraz ima smisla nazivaju se dopuštene vrijednosti slova (varijable).

Primjeri. Za koje vrijednosti varijable izraz nema smisla?

Riješenje. Znamo da ne možete dijeliti s nulom, stoga svaki od ovih izraza neće imati smisla s obzirom na vrijednost slova (varijable) koja pretvara nazivnik razlomka u nulu!

U primjeru 1) ova vrijednost je a = 0. Doista, ako zamijenite 0 umjesto a, tada ćete morati podijeliti broj 6 s 0, ali to se ne može učiniti. Odgovor: izraz 1) nema smisla kada je a = 0.

U primjeru 2) nazivnik x je 4 = 0 na x = 4, stoga se ova vrijednost x = 4 ne može uzeti. Odgovor: izraz 2) nema smisla kada je x = 4.

U primjeru 3) nazivnik je x + 2 = 0 kada je x = -2. Odgovor: izraz 3) nema smisla kada je x = -2.

U primjeru 4) nazivnik je 5 -|x| = 0 za |x| = 5. A budući da je |5| = 5 i |-5| = 5, onda ne možete uzeti x = 5 i x = -5. Odgovor: izraz 4) nema smisla pri x = -5 i pri x = 5.
IV. Kaže se da su dva izraza identički jednaka ako su, za bilo koje dopuštene vrijednosti varijabli, odgovarajuće vrijednosti tih izraza jednake.

Primjer: 5 (a – b) i 5a – 5b su također jednaki, budući da će jednakost 5 (a – b) = 5a – 5b biti istinita za sve vrijednosti a i b. Jednakost 5 (a – b) = 5a – 5b je identitet.

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve dopuštene vrijednosti varijabli koje su u njoj uključene. Primjeri vama već poznatih identiteta su npr. svojstva zbrajanja i množenja te svojstvo distributivnosti.

Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim izrazom naziva se transformacija identiteta ili jednostavno transformacija izraza. Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.

Primjeri.

a) pretvoriti izraz u identično jednak koristeći svojstvo distribucije množenja:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Riješenje. Prisjetimo se distributivnog svojstva (zakona) množenja:

(a+b)c=ac+bc(distribucijski zakon množenja u odnosu na zbrajanje: da biste pomnožili zbroj dvaju brojeva s trećim brojem, možete pomnožiti svaki član s tim brojem i zbrojiti dobivene rezultate).
(a-b) c=a c-b c(distribucijski zakon množenja u odnosu na oduzimanje: da biste pomnožili razliku dvaju brojeva s trećim brojem, možete pomnožiti umanjenik i oduzeti s tim brojem zasebno i oduzeti drugi od prvog rezultata).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformirati izraz u identično jednak, koristeći komutativna i asocijativna svojstva (zakone) zbrajanja:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Riješenje. Primijenimo zakone (svojstva) sabiranja:

a+b=b+a(komutativno: preslagivanje članova ne mijenja zbroj).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativno: da biste zbroju dva člana dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Pretvorite izraz u identično jednak koristeći komutativna i asocijativna svojstva (zakone) množenja:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riješenje. Primijenimo zakone (svojstva) množenja:

a·b=b·a(komutativno: preslagivanje faktora ne mijenja umnožak).
(a b) c=a (b c)(kombinativno: da biste pomnožili umnožak dva broja s trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj s umnoškom drugog i trećeg).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Ako je algebarski izraz zadan u obliku reduciranog razlomka, tada se pomoću pravila za reduciranje razlomka može pojednostaviti, tj. zamijenite ga identično jednakim jednostavnijim izrazom.

Primjeri. Pojednostavite pomoću redukcije razlomaka.

Riješenje. Skratiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik istim brojem (izrazom), osim nule. Razlomak 10) smanjit će se za 3b; razlomak 11) smanjit će se za A a razlomak 12) smanjit će se za 7n. Dobivamo:

Algebarski izrazi koriste se za stvaranje formula.

Formula je algebarski izraz napisan kao jednakost i izražava odnos između dvije ili više varijabli. Primjer: poznata formula puta s=v t(s - prijeđeni put, v - brzina, t - vrijeme). Prisjetite se koje još formule znate.

Stranica 1 od 1 1

Izraz je najširi matematički pojam. Od njih se, u biti, u ovoj znanosti sve sastoji, i na njima se izvode sve operacije. Drugo je pitanje da se, ovisno o specifičnoj vrsti, koriste u potpunosti razne metode i tehnike. Dakle, rad s trigonometrijom, razlomcima ili logaritmima je tri razne akcije. Izraz koji nema smisla može biti jedan od dva tipa: numerički ili algebarski. Ali što ovaj koncept znači, kako izgleda njegov primjer i druge točke, raspravljat ćemo dalje.

Numerički izrazi

Ako se izraz sastoji od brojeva, zagrada, pluseva i minusa i drugih simbola aritmetičkih operacija, može se sigurno nazvati numeričkim. Što je sasvim logično: samo morate još jednom pogledati njegovu prvoimenovanu komponentu.

Numerički izraz može biti bilo što: glavno je da ne sadrži slova. I pod "bilo što" u u ovom slučaju sve se razumije: od jednostavnog broja koji stoji sam, do golemog popisa njih i znakova aritmetičkih operacija koje zahtijevaju naknadno izračunavanje konačnog rezultata. Razlomak je također brojčani izraz, ako nema a, b, c, d itd., onda je to sasvim drugi tip, o čemu će biti riječi malo kasnije.

Uvjeti za izraz koji nema smisla

Kada zadatak počinje riječju "izračunaj", možemo govoriti o transformaciji. Stvar je u tome što ta radnja nije uvijek uputna: nije da ima prevelike potrebe za njom ako u prvi plan izbija izraz koji nema smisla. Primjeri su beskrajno nevjerojatni: ponekad, da bismo shvatili da nas je obuzelo, moramo dugo i zamorno otvarati zagrade i brojati-broj-broj...

Najvažnije je zapamtiti da nema smisla u izrazima čiji se konačni rezultat svodi na radnju koja je zabranjena u matematici. Da budem potpuno iskren, tada sama transformacija postaje besmislena, ali da biste je saznali morate je prvo izvesti. Kakav paradoks!

Najpoznatije, ali ništa manje važno zabranjeno matematička operacija- ovo je dijeljenje s nulom.

Stoga, na primjer, evo izraza koji nema smisla:

(17+11):(5+4-10+1).

Ako jednostavnim izračunima drugu zagradu svedemo na jednu znamenku, tada će ona biti nula.

Po istom principu, "počasna titula" se daje ovom izrazu:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebarski izrazi

Ovo je isti numerički izraz ako mu se dodaju zabranjena slova. Tada postaje punopravna algebarska. Također može doći u svim veličinama i oblicima. Algebarski izraz je širi pojam koji uključuje prethodni. No, imalo je smisla započeti razgovor ne s njim, nego s brojem, kako bi bilo jasnije i lakše razumjeti. Uostalom, pitanje ima li algebarski izraz smisla nije vrlo komplicirano pitanje, ali ono koje ima više pojašnjenja.

Zašto je to?

Doslovni izraz ili izraz s varijablama su sinonimi. Prvi pojam je lako objasniti: ipak sadrži slova! Drugi također nije misterij stoljeća: umjesto slova možete zamijeniti različite brojeve, uslijed čega će se promijeniti značenje izraza. Nije teško pogoditi da su slova u ovom slučaju varijable. Po analogiji, brojevi su konstante.

I tu se vraćamo na glavnu temu: besmisleno?

Primjeri algebarskih izraza koji nemaju smisla

Uvjet za besmislenost algebarskog izraza isti je kao i za brojčani, uz samo jednu iznimku, točnije, dodatak. Prilikom pretvorbe i izračuna konačnog rezultata morate uzeti u obzir varijable, pa se pitanje ne postavlja kao “koji izraz nema smisla?”, već “pri kojoj vrijednosti varijable ovaj izraz neće imati smisla?” i "postoji li vrijednost varijable pri kojoj izraz više neće imati smisla?"

Na primjer, (18-3):(a+11-9).

Gornji izraz nema smisla kada je a jednako -2.

Ali o (a+3):(12-4-8) možemo sa sigurnošću reći da je ovo izraz koji nema smisla ni za jedno a.

Na isti način, što god b zamijenili u izraz (b - 11): (12+1), i dalje će imati smisla.

Tipični problemi na temu "Izraz koji nema smisla"

U 7. razredu se ova tema, između ostalog, proučava u matematici, a zadaci o njoj često se nalaze i neposredno nakon odgovarajuće lekcije, i kao "trik" pitanje na modulima i ispitima.

Evo zašto to vrijedi razmotriti tipični zadaci i metode za njihovo rješavanje.

Primjer 1.

Ima li izraz smisla:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Potrebno je izvršiti sve izračune u zagradama i dovesti izraz u oblik:

Krajnji rezultat sadrži stoga je izraz besmislen.

Primjer 2.

Koji izrazi nemaju smisla?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Treba izračunati konačna vrijednost za svaki od izraza.

Odgovor: 1; 2.

Primjer 3.

Pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za sljedeće izraze:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Raspon dopuštenih vrijednosti (APV) su svi ti brojevi, kada ih zamijenite varijabilni izrazće imati smisla.

Odnosno, zadatak zvuči ovako: pronaći vrijednosti na kojima neće biti dijeljenja s nulom.

1) b ê (-∞;-17) & (-17; + ∞), ili b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b ê (-∞;25) & (25; + ∞), ili b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Primjer 4.

Pri kojim vrijednostima donji izraz neće imati smisla?

Druga zagrada jednaka je nuli kada je igra jednaka -3.

Odgovor: y=-3

Primjer 4.

Koji od izraza nemaju smisla samo pri x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 i 3, budući da u prvom slučaju, ako zamijenite x = -14, tada će druga zagrada biti jednaka -28, a ne nula, kako zvuči u definiciji besmislenog izraza.

Primjer 5.

Smisli i zapiši izraz koji nema smisla.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebarski izrazi s dvije varijable

Unatoč činjenici da svi izrazi koji nemaju smisla imaju istu bit, postoje različite razine njihove složenosti. Dakle, možemo reći da su numerički primjeri jednostavni, jer su lakši od algebarskih. Broj varijabli u potonjem doprinosi težini rješavanja. Ali ne bi trebali izgledati isto: glavna stvar je zapamtiti opći princip rješenja i primijeniti ga, bez obzira je li primjer sličan standardnom problemu ili ima neke nepoznate dodatke.

Na primjer, može se postaviti pitanje kako riješiti takav zadatak.

Pronađite i zapišite par brojeva koji nisu valjani za izraz:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Mogući odgovori:

No zapravo samo izgleda zastrašujuće i glomazno, jer zapravo sadrži ono što je odavno poznato: kvadriranje i kubiranje brojeva, neke aritmetičke operacije poput dijeljenja, množenja, oduzimanja i zbrajanja. Usput, radi praktičnosti, problem možete svesti na frakcijski oblik.

Brojnik dobivenog razlomka nije sretan: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). To je činjenica. Ali postoji još jedan razlog za sreću: ne morate ga ni dotaknuti da biste riješili zadatak! Prema ranije razmotrenoj definiciji, ne možete dijeliti s nulom, a što će točno biti podijeljeno s njom potpuno je nevažno. Stoga ovaj izraz ostavljamo nepromijenjenim i u nazivnik zamjenjujemo parove brojeva iz ovih opcija. Već se treća točka savršeno uklapa, pretvarajući malu zagradu u nulu. Ali zaustavljanje tamo je loša preporuka, jer bi nešto drugo moglo biti prikladno. Zaista: peta točka također se dobro uklapa i odgovara uvjetima.

Zapisujemo odgovor: 3 i 5.

Konačno

Kao što vidite, ova je tema vrlo zanimljiva i nije osobito komplicirana. Neće biti teško to shvatiti. Ali nikad ne škodi vježbati nekoliko primjera!

Izraz je najširi matematički pojam. Od njih se, u biti, u ovoj znanosti sve sastoji, i na njima se izvode sve operacije. Drugo je pitanje što se, ovisno o vrsti, koriste potpuno različite metode i tehnike. Dakle, rad s trigonometrijom, razlomcima ili logaritmima tri su različite radnje. Izraz koji nema smisla može biti jedan od dva tipa: numerički ili algebarski. Ali što ovaj koncept znači, kako izgleda njegov primjer i druge točke, raspravljat ćemo dalje.

Numerički izrazi

Ako se izraz sastoji od brojeva, zagrada, pluseva i minusa i drugih simbola aritmetičkih operacija, može se sigurno nazvati numeričkim. Što je sasvim logično: samo morate još jednom pogledati njegovu prvoimenovanu komponentu.

Numerički izraz može biti bilo što: glavno je da ne sadrži slova. A pod "bilo što" u ovom slučaju mislimo na sve: od jednostavnog broja koji stoji sam, do ogromnog popisa njih i znakova aritmetičkih operacija koje zahtijevaju naknadno izračunavanje konačnog rezultata. Razlomak je također brojevni izraz ako ne sadrži niti jedno a, b, c, d itd., jer je tada sasvim druga vrsta, o čemu će biti riječi nešto kasnije.

Uvjeti za izraz koji nema smisla

Kada zadatak počinje riječju "izračunaj", možemo govoriti o transformaciji. Stvar je u tome što ta radnja nije uvijek uputna: nije da ima prevelike potrebe za njom ako u prvi plan izbija izraz koji nema smisla. Primjeri su beskrajno nevjerojatni: ponekad, da bismo shvatili da nas je obuzelo, moramo dugo i zamorno otvarati zagrade i brojati-broj-broj...

Najvažnije je zapamtiti da nema smisla u izrazima čiji se konačni rezultat svodi na radnju koja je zabranjena u matematici. Da budem potpuno iskren, tada sama transformacija postaje besmislena, ali da biste je saznali morate je prvo izvesti. Kakav paradoks!

Najpoznatija, ali ništa manje važna zabranjena matematička operacija je dijeljenje s nulom.

Stoga, na primjer, evo izraza koji nema smisla:

(17+11):(5+4-10+1).

Ako jednostavnim izračunima drugu zagradu svedemo na jednu znamenku, tada će ona biti nula.

Po istom principu, "počasna titula" se daje ovom izrazu:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebarski izrazi

Ovo je isti numerički izraz ako mu se dodaju zabranjena slova. Tada postaje punopravna algebarska. Također može doći u svim veličinama i oblicima. Algebarski izraz je širi pojam koji uključuje prethodni. No, imalo je smisla započeti razgovor ne s njim, nego s brojem, kako bi bilo jasnije i lakše razumjeti. Uostalom, pitanje ima li algebarski izraz smisla nije vrlo komplicirano pitanje, ali ono koje ima više pojašnjenja.

Zašto je to?

Doslovni izraz ili izraz s varijablama su sinonimi. Prvi pojam je lako objasniti: ipak sadrži slova! Drugi također nije misterij stoljeća: umjesto slova možete zamijeniti različite brojeve, zbog čega će se značenje izraza promijeniti. Nije teško pogoditi da su slova u ovom slučaju varijable. Po analogiji, brojevi su konstante.

I tu se vraćamo na glavnu temu: što je izraz koji nema smisla?

Primjeri algebarskih izraza koji nemaju smisla

Uvjet za besmislenost algebarskog izraza isti je kao i za brojčani, uz samo jednu iznimku, točnije, dodatak. Prilikom pretvorbe i izračuna konačnog rezultata morate uzeti u obzir varijable, pa se pitanje ne postavlja kao “koji izraz nema smisla?”, već “pri kojoj vrijednosti varijable ovaj izraz neće imati smisla?” i "postoji li vrijednost varijable pri kojoj izraz više neće imati smisla?"

Na primjer, (18-3):(a+11-9).

Gornji izraz nema smisla kada je a jednako -2.

Ali o (a+3):(12-4-8) možemo sa sigurnošću reći da je ovo izraz koji nema smisla ni za jedno a.

Na isti način, što god b zamijenili u izraz (b - 11): (12+1), i dalje će imati smisla.

Tipični problemi na temu "Izraz koji nema smisla"

U 7. razredu se ova tema, između ostalog, proučava u matematici, a zadaci o njoj često se nalaze i neposredno nakon odgovarajuće lekcije, i kao "trik" pitanje na modulima i ispitima.

Zato je vrijedno razmotriti tipične probleme i metode za njihovo rješavanje.

Primjer 1.

Ima li izraz smisla:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Potrebno je izvršiti sve izračune u zagradama i dovesti izraz u oblik:

Konačni rezultat sadrži dijeljenje s nulom, pa je izraz besmislen.

Primjer 2.

Koji izrazi nemaju smisla?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Morate izračunati konačnu vrijednost za svaki izraz.

Odgovor: 1; 2.

Primjer 3.

Pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za sljedeće izraze:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Raspon dopuštenih vrijednosti (VA) su svi oni brojevi koji će, kada se zamijene umjesto varijabli, izraz imati smisla.

Odnosno, zadatak zvuči ovako: pronaći vrijednosti na kojima neće biti dijeljenja s nulom.

1) b ê (-∞;-17) & (-17; + ∞), ili b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b ê (-∞;25) & (25; + ∞), ili b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Primjer 4.

Pri kojim vrijednostima donji izraz neće imati smisla?

Druga zagrada jednaka je nuli kada je igra jednaka -3.

Odgovor: y=-3

Primjer 4.

Koji od izraza nemaju smisla samo pri x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 i 3, budući da u prvom slučaju, ako zamijenite x = -14, tada će druga zagrada biti jednaka -28, a ne nula, kako zvuči u definiciji besmislenog izraza.

Primjer 5.

Smisli i zapiši izraz koji nema smisla.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebarski izrazi s dvije varijable

Unatoč činjenici da svi izrazi koji nemaju smisla imaju istu bit, postoje različite razine njihove složenosti. Dakle, možemo reći da su numerički primjeri jednostavni, jer su lakši od algebarskih. Broj varijabli u potonjem doprinosi težini rješavanja. Ali ne bi trebali biti zbunjujući u svom izgledu: glavna stvar je zapamtiti opći princip rješenja i primijeniti ga, bez obzira na to je li primjer sličan standardnom problemu ili ima neke nepoznate dodatke.

Na primjer, može se postaviti pitanje kako riješiti takav zadatak.

Pronađite i zapišite par brojeva koji nisu valjani za izraz:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Mogući odgovori:

No zapravo samo izgleda zastrašujuće i glomazno, jer zapravo sadrži ono što je odavno poznato: kvadriranje i kubiranje brojeva, neke aritmetičke operacije poput dijeljenja, množenja, oduzimanja i zbrajanja. Usput, radi praktičnosti, problem možete svesti na frakcijski oblik.

Brojnik dobivenog razlomka nije sretan: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). To je činjenica. Ali postoji još jedan razlog za sreću: ne morate ga ni dotaknuti da biste riješili zadatak! Prema ranije razmotrenoj definiciji, ne možete dijeliti s nulom, a što će točno biti podijeljeno s njom potpuno je nevažno. Stoga ovaj izraz ostavljamo nepromijenjenim i u nazivnik zamjenjujemo parove brojeva iz ovih opcija. Već se treća točka savršeno uklapa, pretvarajući malu zagradu u nulu. Ali zaustavljanje tamo je loša preporuka, jer bi nešto drugo moglo biti prikladno. Zaista: peta točka također se dobro uklapa i odgovara uvjetima.

Zapisujemo odgovor: 3 i 5.

Konačno

Kao što vidite, ova je tema vrlo zanimljiva i nije osobito komplicirana. Neće biti teško to shvatiti. Ali nikad ne škodi vježbati nekoliko primjera!

Kada proučavate temu numeričkih, slovnih izraza i izraza s varijablama, morate obratiti pozornost na koncept vrijednost izraza. U ovom ćemo članku odgovoriti na pitanje što je vrijednost numeričkog izraza, a što se naziva vrijednošću doslovnog izraza i izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijable. Da bismo pojasnili ove definicije, dajemo primjere.

Navigacija po stranici.

Kolika je vrijednost numeričkog izraza?

Upoznavanje s numeričkim izrazima počinje gotovo od prvih satova matematike u školi. Gotovo odmah se uvodi koncept "vrijednosti numeričkog izraza". Odnosi se na izraze sastavljene od brojeva povezanih predznacima aritmetičkih operacija (+, −, ·, :). Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Vrijednost numeričkog izraza– ovo je broj koji se dobije nakon izvođenja svih radnji u izvornom numeričkom izrazu.

Na primjer, razmotrimo numerički izraz 1+2. Po završetku dobivamo broj 3, što je vrijednost numeričkog izraza 1+2.

Često se u izrazu “značenje brojčanog izraza” izostavlja riječ “brojčani” i jednostavno se kaže “značenje izraza”, budući da je još uvijek jasno o kojem se značenju izraza raspravlja.

Gornja definicija značenja izraza odnosi se i na brojčane izraze složenijeg tipa, koji se uče u srednjoj školi. Ovdje treba napomenuti da možete naići na numeričke izraze čije se vrijednosti ne mogu specificirati. To je zato što u nekim izrazima nije moguće izvršiti snimljene radnje. Na primjer, zbog toga ne možemo specificirati vrijednost izraza 3:(2−2) . Takvi brojčani izrazi nazivaju se izrazi koji nemaju smisla.

Često u praksi nije toliko zanimljiv brojčani izraz koliko njegovo značenje. Odnosno, postavlja se zadatak određivanja značenja danog izraza. U ovom slučaju obično kažu da trebate pronaći vrijednost izraza. Ovaj članak detaljno ispituje proces pronalaženja vrijednosti brojčanih izraza različitih vrsta, te razmatra mnoštvo primjera s detaljnim opisima rješenja.

Značenje doslovnih i promjenjivih izraza

Osim brojčanih izraza, proučavaju se i doslovni izrazi, odnosno izrazi u kojima se uz brojke nalazi jedno ili više slova. Slova u doslovnom izrazu mogu predstavljati različite brojeve, a ako se slova zamijene tim brojevima, doslovni izraz postaje numerički izraz.

Definicija.

Brojevi koji zamjenjuju slova u doslovnom izrazu nazivaju se značenja ovih slova, a vrijednost dobivenog numeričkog izraza se zove vrijednost doslovnog izraza za zadane vrijednosti slova.

Dakle, za doslovne izraze ne govori se samo o značenju doslovnog izraza, već o značenju doslovnog izraza s obzirom na date (dane, naznačene itd.) vrijednosti slova.

Navedimo primjer. Uzmimo doslovan izraz 2·a+b. Neka su zadane vrijednosti slova a i b, na primjer, a=1 i b=6. Zamjenom slova u izvornom izrazu njihovim vrijednostima dobivamo numerički izraz oblika 2·1+6 čija je vrijednost 8. Dakle, broj 8 je vrijednost doslovnog izraza 2·a+b za date vrijednosti slova a=1 i b=6. Ako su dane druge vrijednosti slova, tada bismo dobili vrijednost izraza slova za te vrijednosti slova. Na primjer, s a=5 i b=1 imamo vrijednost 2·5+1=11.

U srednjoškolskoj algebri dozvoljeno je da slova u slovnim izrazima poprimaju različita značenja, takva se slova nazivaju varijablama, a slovni izrazi nazivaju se izrazima s varijablama. Za ove izraze uvodi se koncept vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli. Hajdemo shvatiti što je to.

Definicija.

Vrijednost izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijable je vrijednost numeričkog izraza koja se dobije nakon zamjene odabranih vrijednosti varijable u izvorni izraz.

Pojasnimo navedenu definiciju na primjeru. Razmotrimo izraz s varijablama x i y oblika 3·x·y+y. Uzmimo x=2 i y=4, zamijenimo te vrijednosti varijable u originalni izraz i dobijemo numerički izraz 3·2·4+4. Izračunajmo vrijednost ovog izraza: 3·2·4+4=24+4=28. Pronađena vrijednost 28 je vrijednost izvornog izraza s varijablama 3·x·y+y za odabrane vrijednosti varijabli x=2 i y=4.

Ako odaberete druge vrijednosti varijable, na primjer, x=5 i y=0, tada će ove odabrane vrijednosti varijable odgovarati vrijednosti izraza varijable koja je jednaka 3·5·0+0=0.

Može se primijetiti da ponekad različite odabrane vrijednosti varijabli mogu rezultirati jednakim vrijednostima izraza. Na primjer, za x=9 i y=1, vrijednost izraza 3 x y+y je 28 (jer je 3 9 1+1=27+1=28), a gore smo pokazali da je ista vrijednost izraz s varijabli ima pri x=2 i y=4 .

Vrijednosti varijabli mogu se odabrati iz odgovarajućih raspona prihvatljivih vrijednosti. U suprotnom, kada zamijenite vrijednosti ovih varijabli u izvorni izraz, dobit ćete numerički izraz koji nema smisla. Na primjer, ako odaberete x=0 i tu vrijednost zamijenite izrazom 1/x, dobit ćete numerički izraz 1/0, što nema smisla jer dijeljenje s nulom nije definirano.

Ostaje samo dodati da postoje izrazi s varijablama čije vrijednosti ne ovise o vrijednostima varijabli koje su u njima uključene. Na primjer, vrijednost izraza s varijablom x oblika 2+x−x ne ovisi o vrijednosti te varijable; ona je jednaka 2 za bilo koju odabranu vrijednost varijable x iz raspona njezinih dopuštenih vrijednosti. , što je u ovom slučaju skup svih realnih brojeva.

Bibliografija.

• Matematika: udžbenik za 5. razred. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: udžbenik za 7. razred opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numerički izraz– ovo je svaki zapis brojeva, aritmetičkih simbola i zagrada. Numerički izraz može se jednostavno sastojati od jednog broja. Podsjetimo se da su osnovne aritmetičke operacije “zbrajanje”, “oduzimanje”, “množenje” i “dijeljenje”. Ove radnje odgovaraju znakovima "+", "-", "∙", ":".

Naravno, da bismo dobili brojčani izraz, zapis brojeva i aritmetičkih simbola mora biti smislen. Tako se, na primjer, takav unos 5: + ∙ ne može nazvati numeričkim izrazom, budući da se radi o slučajnom skupu simbola koji nema nikakvo značenje. Naprotiv, 5 + 8 ∙ 9 je već pravi numerički izraz.

Vrijednost numeričkog izraza.

Recimo odmah da ako izvršimo radnje navedene u numeričkom izrazu, tada ćemo kao rezultat dobiti broj. Ovaj broj se zove vrijednost numeričkog izraza.

Pokušajmo izračunati što ćemo dobiti kao rezultat izvođenja radnji našeg primjera. Prema redoslijedu izvođenja računskih operacija najprije izvodimo operaciju množenja. Pomnožimo 8 sa 9. Dobijemo 72. Sada zbrojimo 72 i 5. Dobijemo 77.
Dakle, 77 - značenje brojevni izraz 5 + 8 ∙ 9.

Numerička jednakost.

Možete to napisati na sljedeći način: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Ovdje smo prvi put upotrijebili znak “=” (“Jednako”). Takav zapis u kojem su dva numerička izraza odvojena znakom “=” naziva se numerička jednakost. Štoviše, ako se vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti podudaraju, tada se jednakost naziva vjeran. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – točna jednakost.
Ako napišemo 5 + 8 ∙ 9 = 100, onda će to već biti lažna jednakost, budući da se vrijednosti lijeve i desne strane ove jednakosti više ne podudaraju.

Treba napomenuti da u numeričkom izražavanju možemo koristiti i zagrade. Zagrade utječu na redoslijed izvođenja radnji. Tako, na primjer, modificirajmo naš primjer dodavanjem zagrada: (5 + 8) ∙ 9. Sada prvo trebate zbrojiti 5 i 8. Dobit ćemo 13. Zatim pomnožiti 13 s 9. Dobit ćemo 117. Dakle, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – značenje brojčani izraz (5 + 8) ∙ 9.

Da biste ispravno pročitali izraz, morate odrediti koja se radnja izvodi zadnja za izračunavanje vrijednosti zadanog numeričkog izraza. Dakle, ako je zadnja radnja oduzimanje, tada se izraz naziva "razlika". Prema tome, ako je posljednja radnja zbroj - "zbroj", dijeljenje - "kvocijent", množenje - "proizvod", stepenovanje - "potencija".

Na primjer, brojčani izraz (1+5)(10-3) glasi ovako: “proizvod zbroja brojeva 1 i 5 i razlike brojeva 10 i 3.”

Primjeri numeričkih izraza.

Evo primjera složenijeg numeričkog izraza:

\[\lijevo(\frac(1)(4)+3,75 \desno):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

U zagradi imamo izraz $\frac(1)(4)+3,75$ . Pretvorite decimalni razlomak 3,75 u obični razlomak.

3,75 $=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Tako, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Zatim, u brojniku razlomka \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] imamo izraz 1,25+3,47+4,75-1,47. Da bismo pojednostavili ovaj izraz, primijenit ćemo komutativni zakon zbrajanja, koji kaže: "Zbroj se ne mijenja promjenom mjesta članova." To jest, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

U nazivniku razlomka izraz $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dobivamo $\lijevo(\frac(1)(4)+3,75 \desno):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kada numerički izrazi nemaju smisla?

Pogledajmo još jedan primjer. U nazivniku razlomka $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ vrijednost izraza $3\centerdot 3-9$ je 0. A, kao što znamo, dijeljenje s nulom je nemoguće. Stoga razlomak $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nema nikakvo značenje. Za numeričke izraze koji nemaju značenje kaže se da "nemaju značenja".

Ako u numeričkom izrazu uz brojeve koristimo i slova, tada ćemo imati