Kada proučavate temu numeričkih, slovnih izraza i izraza s varijablama, morate obratiti pozornost na koncept vrijednost izraza. U ovom ćemo članku odgovoriti na pitanje što je vrijednost numeričkog izraza, a što se naziva vrijednošću doslovnog izraza i izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijable. Da bismo pojasnili ove definicije, dajemo primjere.

Navigacija po stranici.

Kolika je vrijednost numeričkog izraza?

Upoznavanje s numeričkim izrazima počinje gotovo od prvih satova matematike u školi. Gotovo odmah se uvodi koncept "vrijednosti numeričkog izraza". Odnosi se na izraze sastavljene od brojeva povezanih predznacima aritmetičkih operacija (+, −, ·, :). Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Vrijednost numeričkog izraza– ovo je broj koji se dobije nakon izvođenja svih radnji u izvorniku numerički.

Na primjer, razmotrimo numerički izraz 1+2. Po završetku dobivamo broj 3, što je vrijednost numeričkog izraza 1+2.

Često se u izrazu “značenje brojčanog izraza” izostavlja riječ “brojčani” i jednostavno se kaže “značenje izraza”, budući da je još uvijek jasno o kojem se značenju izraza raspravlja.

Gornja definicija značenja izraza također se odnosi na numeričke izraze veće od složeni tip koji se izučavaju u srednjoj školi. Ovdje treba napomenuti da možete naići na numeričke izraze čije se vrijednosti ne mogu specificirati. To je zato što u nekim izrazima nije moguće izvršiti snimljene radnje. Na primjer, zbog toga ne možemo specificirati vrijednost izraza 3:(2−2) . Takvi brojčani izrazi nazivaju se izrazi koji nemaju smisla.

Često u praksi nije toliko zanimljiv brojčani izraz koliko njegovo značenje. Odnosno, postavlja se zadatak određivanja značenja danog izraza. U ovom slučaju obično kažu da trebate pronaći vrijednost izraza. Ovaj članak detaljno govori o procesu pronalaženja vrijednosti numeričkih izraza različite vrste, i puno primjera sa detaljni opisi odluke.

Značenje doslovnih i promjenjivih izraza

Osim brojčanih izraza, proučavaju se i doslovni izrazi, odnosno izrazi u kojima se uz brojke nalazi jedno ili više slova. Slova u doslovnom izrazu mogu predstavljati različite brojeve, a ako se slova zamijene tim brojevima, doslovni izraz postaje numerički izraz.

Definicija.

Brojevi koji zamjenjuju slova u doslovnom izrazu nazivaju se značenja ovih slova, a vrijednost dobivenog numeričkog izraza se zove vrijednost doslovnog izraza za zadane vrijednosti slova.

Dakle, za doslovne izraze ne govori se samo o značenju doslovnog izraza, već o značenju doslovnog izraza s obzirom na date (dane, naznačene itd.) vrijednosti slova.

Navedimo primjer. Uzmimo doslovan izraz 2·a+b. Neka su zadane vrijednosti slova a i b, na primjer, a=1 i b=6. Zamjenom slova u izvornom izrazu njihovim vrijednostima dobivamo numerički izraz oblika 2·1+6 čija je vrijednost 8. Dakle, broj 8 je vrijednost doslovnog izraza 2·a+b za date vrijednosti slova a=1 i b=6. Ako su dane druge vrijednosti slova, tada bismo dobili vrijednost izraza slova za te vrijednosti slova. Na primjer, s a=5 i b=1 imamo vrijednost 2·5+1=11.

U srednjoj školi, kada se uči algebra, dozvoljeno je uzimanje slova u slovnim izrazima različita značenja, takva slova nazivamo varijablama, a slovne izraze nazivamo izrazima s varijablama. Za ove izraze uvodi se koncept vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli. Hajdemo shvatiti što je to.

Definicija.

Vrijednost izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijable je vrijednost numeričkog izraza koja se dobije nakon zamjene odabranih vrijednosti varijable u izvorni izraz.

Pojasnimo navedenu definiciju na primjeru. Razmotrimo izraz s varijablama x i y oblika 3·x·y+y. Uzmimo x=2 i y=4, zamijenimo te vrijednosti varijable u originalni izraz i dobijemo numerički izraz 3·2·4+4. Izračunajmo vrijednost ovog izraza: 3·2·4+4=24+4=28. Pronađena vrijednost 28 je vrijednost izvornog izraza s varijablama 3·x·y+y za odabrane vrijednosti varijabli x=2 i y=4.

Ako odaberete druge vrijednosti varijable, na primjer, x=5 i y=0, tada će ove odabrane vrijednosti varijable odgovarati vrijednosti izraza varijable koja je jednaka 3·5·0+0=0.

Može se primijetiti da ponekad različite odabrane vrijednosti varijabli mogu rezultirati jednakim vrijednostima izraza. Na primjer, za x=9 i y=1, vrijednost izraza 3 x y+y je 28 (jer je 3 9 1+1=27+1=28), a gore smo pokazali da je ista vrijednost izraz s varijabli ima pri x=2 i y=4 .

Vrijednosti varijabli mogu se odabrati iz odgovarajućih raspona prihvatljivih vrijednosti. U suprotnom, kada zamijenite vrijednosti ovih varijabli u izvorni izraz, dobit ćete numerički izraz koji nema smisla. Na primjer, ako odaberete x=0 i tu vrijednost zamijenite izrazom 1/x, dobit ćete numerički izraz 1/0, što nema smisla jer dijeljenje s nulom nije definirano.

Ostaje samo dodati da postoje izrazi s varijablama čije vrijednosti ne ovise o vrijednostima varijabli koje su u njima uključene. Na primjer, vrijednost izraza s varijablom x oblika 2+x−x ne ovisi o vrijednosti te varijable; ona je jednaka 2 za bilo koju odabranu vrijednost varijable x iz raspona njezinih dopuštenih vrijednosti. , koji u u ovom slučaju je skup svih realnih brojeva.

Bibliografija.

• Matematika: udžbenik za 5. razred. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: udžbenik za 7. razred opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numerički i algebarski izrazi. Pretvaranje izraza.

Što je izraz u matematici? Zašto su nam potrebne pretvorbe izraza?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Činjenica je da su ti pojmovi temelj cijele matematike. Sva se matematika sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije baš jasno? Dopustite da objasnim.

Recimo da pred sobom imate zao primjer. Vrlo velik i vrlo složen. Recimo da si dobar u matematici i ničega se ne bojiš! Možete li odmah dati odgovor?

Morat ćeš odlučiti ovaj primjer. Dosljedno, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti. Prema određenim pravilima, naravno. Oni. čini pretvorba izraza. Što uspješnije provodite ove transformacije, to ste jači u matematici. Ako ne znate kako napraviti prave transformacije, nećete ih moći napraviti u matematici. Ništa...

Da biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost...), ne škodi razumjeti ovu temu.)

Prvo, saznajmo što je izraz u matematici. Što se dogodilo brojčani izraz i što je algebarski izraz.

Što je izraz u matematici?

Izražavanje u matematici- ovo je vrlo širok koncept. Gotovo sve čime se bavimo u matematici skup je matematičkih izraza. Bilo koji primjeri, formule, razlomci, jednadžbe i tako dalje - sve se sastoji od toga matematički izrazi.

3+2 je matematički izraz. s 2 - d 2- ovo je također matematički izraz. I zdrav razlomak i čak jedan broj su matematički izrazi. Na primjer, jednadžba je:

5x + 2 = 12

sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz je lijevo, drugi desno.

U opći pogled termin " matematički izraz"upotrebljava se, najčešće, da se izbjegne mukanje. Pitat će vas što je npr. običan razlomak? A kako odgovoriti?!

Prvi odgovor: "Ovo je... mmmmmm... takva stvar... u kojoj... Mogu li bolje napisati razlomak? Koji želiš?"

Drugi odgovor: " Obični razlomak- ovo je (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika!"

Druga opcija će biti nekako impresivnija, zar ne?)

Ovo je svrha izraza " matematički izraz "jako dobro. I korektno i solidno. Ali za praktična aplikacija treba dobro poznavati specifične vrste izraza u matematici .

Specifična vrsta je druga stvar. Ovaj To je sasvim druga stvar! Svaki tip matematičkog izraza ima rudnik skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti prilikom donošenja odluke. Za rad s razlomcima - jedan set. Za rad s trigonometrijskim izrazima - drugi. Za rad s logaritmima - treći. I tako dalje. Negdje se ta pravila podudaraju, negdje se oštro razlikuju. Ali nemojte se bojati ovih strašnih riječi. Savladat ćemo logaritme, trigonometriju i druge misteriozne stvari u odgovarajućim dijelovima.

Ovdje ćemo savladati (ili – ponoviti, kako tko...) dvije glavne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.

Numerički izrazi.

Što se dogodilo brojčani izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Sam naziv daje naslutiti da se radi o izrazu s brojevima. Tako je to. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i aritmetičkih simbola naziva se numerički izraz.

7-3 je numerički izraz.

(8+3,2) 5,4 je također numerički izraz.

I ovo čudovište:

također brojčani izraz, da...

Običan broj, razlomak, bilo koji primjer računanja bez X-a i drugih slova - sve su to numerički izrazi.

Glavni znak numerički izrazi – u njem nema slova. Nijedan. Samo brojevi i matematički simboli (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?

A što možete učiniti s numeričkim izrazima? Numerički izrazi se obično mogu prebrojati. Da biste to učinili, događa se da morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, zamijeniti pojmove - tj. čini pretvorbe izraza. Ali o tome više u nastavku.

Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada s numeričkim izrazom ne trebate ništa učiniti. Pa baš ništa! Ova ugodna operacija - ne raditi ništa)- se izvršava kada izraz nema smisla.

Kada brojčani izraz nema smisla?

Jasno je da ako pred sobom vidimo nekakvu abrakadabru, npr

onda nećemo učiniti ništa. Jer nije jasno što s tim učiniti. Nekakva glupost. Možda prebrojati pluseve...

Ali postoje izvana sasvim pristojni izrazi. Na primjer ovo:

(2+3) : (16 - 2 8)

Međutim, i ovaj izraz nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugoj zagradi - ako računate - dobijete nulu. Ali ne možete dijeliti s nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Stoga ni s ovim izrazom ne treba ništa raditi. Za svaki zadatak s takvim izrazom, odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema nikakvo značenje!"

Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati što bi stajalo u zagradi. A ponekad ima puno stvari u zagradama... Pa, ne možete ništa učiniti u vezi s tim.

U matematici nema toliko zabranjenih operacija. Samo je jedan u ovoj temi. Dijeljenje s nulom. Dodatna ograničenja koja proizlaze iz korijena i logaritma raspravljaju se u odgovarajućim temama.

Dakle, ideja o tome što je to brojčani izraz- dobio. Koncept numerički izraz nema smisla- shvatio. Idemo dalje.

Algebarski izrazi.

Ako se slova pojavljuju u numeričkom izrazu, ovaj izraz postaje... Izraz postaje... Da! Postaje algebarski izraz. Na primjer:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takvi se izrazi također nazivaju doslovni izrazi. Ili izrazi s varijablama. To je praktički ista stvar. Izraz 5a +c, na primjer, i literalni i algebarski, te izraz s varijablama.

Koncept algebarski izraz -šire od numeričkog. To uključuje i sve numeričke izraze. Oni. brojčani izraz je također algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa...)

Zašto abecedni- To je jasno. Pa, budući da postoje slova... Fraza izraz s varijablama Također nije previše zagonetno. Ako razumijete da se ispod slova kriju brojevi. Pod slovima se mogu sakriti svakakvi brojevi... I 5, i -18, i bilo što drugo. Odnosno pismo može biti zamijeniti na različite brojeve. Zato se slova zovu varijable.

U izrazu y+5, Na primjer, na - promjenjiva količina. Ili samo kažu " varijabla", bez riječi "veličina". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantno.

Termin algebarski izraz znači da za rad s ovim izrazom trebate koristiti zakone i pravila algebra. Ako aritmetika radi s određenim brojevima, dakle algebra- sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.

U aritmetici to možemo napisati

Ali ako takvu jednakost napišemo kroz algebarske izraze:

a + b = b + a

odmah ćemo odlučiti svi pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za sve beskrajno. Jer pod slovima A I b podrazumijeva se svi brojevima. I ne samo brojevi, nego čak i drugi matematički izrazi. Ovako radi algebra.

Kada algebarski izraz nema smisla?

O numeričkom izrazu sve je jasno. Tu ne možete dijeliti s nulom. A zar se kod slova može saznati po čemu se dijelimo?!

Uzmimo za primjer ovaj izraz s varijablama:

2: (A - 5)

Ima li smisla? Tko zna? A- bilo koji broj...

Bilo koji, bilo koji... Ali ima jedno značenje A, za koje ovaj izraz točno nema smisla! A koji je ovo broj? Da! Ovo je 5! Ako varijabla A zamijenite (kažu “zamjena”) s brojem 5, u zagradama dobijete nulu. Koji se ne mogu podijeliti. Tako ispada da naš izraz nema smisla, Ako a = 5. Ali za druge vrijednosti A ima li smisla? Možete li zamijeniti druge brojeve?

Sigurno. U takvim slučajevima oni jednostavno kažu da izraz

2: (A - 5)

ima smisla za sve vrijednosti A, osim a = 5 .

Cijeli niz brojeva koji Limenka zamjena u zadani izraz naziva se raspon prihvatljivih vrijednosti ovaj izraz.

Kao što vidite, nema ništa lukavo. Gledamo izraz s varijablama i odgonetujemo: pri kojoj se vrijednosti varijable dobiva zabranjena operacija (dijeljenje s nulom)?

A onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Što pitaju?

nema smisla, naše zabranjeno značenje će biti odgovor.

Ako pitate na kojoj vrijednosti varijable izraz ima značenje(osjetite razliku!), glasit će odgovor svi ostali brojevi osim zabranjenog.

Zašto nam je potrebno značenje izraza? Ima ga, nema ga... Kakva je razlika?! Poanta je da ovaj koncept postaje vrlo važan u srednjoj školi. Iznimno bitno! Ovo je osnova za tako čvrste koncepte kao što je domena prihvatljivih vrijednosti ili domena funkcije. Bez toga uopće nećete moći riješiti ozbiljne jednadžbe ili nejednadžbe. Kao ovo.

Pretvaranje izraza. Transformacije identiteta.

Upoznali smo se s numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatili smo što znači izraz "izraz nema smisla". Sada moramo shvatiti što je to transformacija izraza. Odgovor je jednostavan, do sramote.) Ovo je svaka radnja s izrazom. To je sve. Ove transformacije radiš od prvog razreda.

Uzmimo cool numerički izraz 3+5. Kako se može pretvoriti? Da, vrlo jednostavno! Izračunati:

Ovaj izračun će biti transformacija izraza. Isti izraz možete napisati drugačije:

Ovdje nismo računali baš ništa. Samo sam zapisao izraz u drugačijem obliku. Ovo će također biti transformacija izraza. Možete to napisati ovako:

I ovo je također transformacija izraza. Možete napraviti koliko god želite takvih transformacija.

Bilo koje djelovanje na izražavanje bilo koji pisanje u drugom obliku naziva se transformacija izraza. I to je sve. Sve je vrlo jednostavno. Ali postoji jedna stvar ovdje vrlo važno pravilo. Toliko važan da se sa sigurnošću može nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršenje ovog pravila neizbježno dovodi do grešaka. Ulazimo li u to?)

Recimo da smo svoj izraz transformirali slučajno, ovako:

Pretvorba? Sigurno. Napisali smo izraz u drugom obliku, što ovdje nije u redu?

Nije tako.) Stvar je u tome da transformacije "nasumce" uopće ne zanimaju matematika.) Sva je matematika izgrađena na transformacijama u kojima izgled, ali se bit izraza ne mijenja. Tri plus pet može se napisati u bilo kojem obliku, ali mora biti osam.

transformacije, izrazi koji ne mijenjaju bit se zovu identičan.

Točno transformacije identiteta i omogućuju nam, korak po korak, transformaciju složenog primjera u jednostavan izraz, uz zadržavanje suština primjera. Ako pogriješimo u lancu transformacija, napravimo NE identičnu transformaciju, tada ćemo odlučiti još primjer. S drugim odgovorima koji se ne odnose na točne.)

Ovo je glavno pravilo za rješavanje svih zadataka: održavanje identiteta transformacija.

Dao sam primjer s numeričkim izrazom 3+5 radi jasnoće. U algebarski izrazi Identične transformacije zadane su formulama i pravilima. Recimo da u algebri postoji formula:

a(b+c) = ab + ac

To znači da u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a(b+c) slobodno napišite izraz ab + ac. I obrnuto. Ovaj identična transformacija. Matematika nam daje izbor između ova dva izraza. I iz kojeg napisati - iz konkretan primjer ovisi.

Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i najvažnijih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Detaljnije možete pogledati na poveznici, ali ovdje ću vas samo podsjetiti na pravilo: Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) istim brojem, ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera transformacija identiteta pomoću ovog svojstva:

Kao što ste vjerojatno pogodili, ovaj se lanac može nastaviti na neodređeno vrijeme...) Vrlo važno svojstvo. To je ono što vam omogućuje da pretvorite sve vrste primjera čudovišta u bijela i pahuljasta.)

Postoje mnoge formule koje definiraju identične transformacije. Ali onih najvažnijih ima sasvim razuman broj. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u cijeloj matematici – od osnovne do napredne. Počnimo s njim. U sljedećoj lekciji.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.