Pozdrav, mačke! Prošli put smo detaljno razgovarali o tome što su korijeni (ako se ne sjećate, preporučujem da pročitate). Glavni zaključak iz te lekcije: postoji samo jedna univerzalna definicija korijena, a to je ono što trebate znati. Sve ostalo su gluposti i gubljenje vremena.

Danas idemo dalje. Naučit ćemo množiti korijene, proučavat ćemo neke probleme vezane uz množenje (ako se ti zadaci ne riješe, mogu postati kobni na ispitu) i pravilno ćemo vježbati. Opskrbite se kokicama, udobno se smjestite i počnimo. :)

Ni ti ga još nisi popušio, zar ne?

Lekcija se pokazala prilično dugom, pa sam je podijelio u dva dijela:

1. Prvo ćemo pogledati pravila množenja. Čini se da Cap nagovještava: ovo je kada postoje dva korijena, između njih je znak "množenje" - i želimo nešto učiniti s tim.
2. Zatim pogledajmo suprotnu situaciju: postoji jedan veliki korijen, ali smo ga željeli prikazati kao produkt dva jednostavnija korijena. Zašto je to potrebno, posebno je pitanje. Analizirat ćemo samo algoritam.

Za one koji jedva čekaju odmah prijeći na drugi dio, dobrodošli ste. Krenimo redom s ostalima.

Osnovno pravilo množenja

Počnimo s najjednostavnijim - klasičnim kvadratnim korijenom. Isti oni koji su označeni sa $\sqrt(a)$ i $\sqrt(b)$. Njima je sve jasno:

Pravilo množenja. Da biste pomnožili jedan kvadratni korijen s drugim, jednostavno pomnožite njihove radikalne izraze i zapišite rezultat ispod zajedničkog radikala:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nema dodatnih ograničenja za brojeve s desne ili lijeve strane: ako postoje faktori korijena, tada postoji i proizvod.

Primjeri. Pogledajmo odjednom četiri primjera s brojevima:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Kao što vidite, glavno značenje ovog pravila je pojednostaviti iracionalne izraze. A ako bismo u prvom primjeru sami izvukli korijene 25 i 4 bez ikakvih novih pravila, onda stvari postaju teške: $\sqrt(32)$ i $\sqrt(2)$ ne razmatraju se sami za sebe, nego njihov umnožak ispada potpuni kvadrat, pa je njegov korijen jednak racionalnom broju.

Posebno bih istaknuo zadnji redak. Tamo su oba radikalna izraza razlomci. Zahvaljujući umnošku, mnogi faktori se poništavaju, a cijeli izraz pretvara se u odgovarajući broj.

Naravno, stvari neće uvijek biti tako lijepe. Ponekad će ispod korijena biti potpuno sranje - nije jasno što učiniti s njim i kako ga transformirati nakon množenja. Malo kasnije, kada počnete proučavati iracionalne jednadžbe i nejednadžbe, bit će svakakvih varijabli i funkcija. I vrlo često pisci problema računaju na to da ćete otkriti neke poništavajuće pojmove ili faktore, nakon čega će problem biti višestruko pojednostavljen.

Osim toga, uopće nije potrebno umnožiti točno dva korijena. Možete pomnožiti tri, četiri ili čak deset odjednom! Ovo neće promijeniti pravilo. Pogledaj:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

I opet mala bilješka prema drugom primjeru. Kao što vidite, u trećem faktoru ispod korijena nalazi se decimalni ulomak - u procesu izračuna zamjenjujemo ga redovitim, nakon čega se sve lako smanjuje. Dakle: toplo preporučujem da se riješite decimalnih razlomaka u svim iracionalnim izrazima (tj. koji sadrže barem jedan radikalni simbol). To će vam uštedjeti mnogo vremena i živaca u budućnosti.

Ali ovo je bila lirska digresija. Sada pogledajmo više opći slučaj- kada je indikator korijena proizvoljan broj$n$, a ne samo “klasična” dva.

Slučaj proizvoljnog indikatora

Dakle, sa kvadratni korijeni shvatio sam. Što učiniti s kubičnima? Ili čak s korijenima proizvoljnog stupnja $n$? Da, sve je isto. Pravilo ostaje isto:

Za množenje dva korijena stupnja $n$ dovoljno je pomnožiti njihove radikalne izraze, a zatim rezultat zapisati ispod jednog radikala.

Općenito, ništa komplicirano. Osim što količina kalkulacija može biti veća. Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjeri. Izračunajte proizvode:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

I opet, pozornost na drugi izraz. Množimo se kockasti korijeni, riješiti se decimal i kao rezultat dobivamo umnožak brojeva 625 i 25 u nazivniku.To je sasvim veliki broj- Osobno ne mogu odmah izračunati što je to jednako.

Stoga smo jednostavno izolirali točnu kocku u brojniku i nazivniku, a zatim upotrijebili jedno od ključnih svojstava (ili, ako želite, definiciju) $n$-tog korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\lijevo| a\desno|. \\ \end(align)\]

Takve “makinacije” mogu vam uštedjeti mnogo vremena na ispitu ili ispitni rad, pa zapamtite:

Nemojte žuriti s množenjem brojeva pomoću radikalnih izraza. Prvo provjerite: što ako je točan stupanj bilo kojeg izraza tamo "šifriran"?

Unatoč očitosti ove primjedbe, moram priznati da većina nepripremljenih studenata ne vidi točne diplome iz neposredne blizine. Umjesto toga, oni sve umnožavaju, a onda se pitaju: zašto su dobili tako brutalne brojke? :)

Međutim, sve je to dječji govor u usporedbi s onim što ćemo sada proučavati.

Množenje korijena s različitim eksponentima

U redu, sada možemo množiti korijene s istim indikatorima. Što ako su pokazatelji različiti? Recimo, kako pomnožiti obični $\sqrt(2)$ s nekim sranjem poput $\sqrt(23)$? Je li to uopće moguće učiniti?

Da, naravno da možete. Sve se radi prema ovoj formuli:

Pravilo množenja korijena. Za množenje $\sqrt[n](a)$ s $\sqrt[p](b)$ dovoljno je izvršiti sljedeću transformaciju:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Međutim, ova formula djeluje samo ako radikalni izrazi su nenegativni. Ovo je vrlo važna napomena na koju ćemo se vratiti malo kasnije.

Za sada pogledajmo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Kao što vidite, ništa komplicirano. Sada shvatimo odakle dolazi zahtjev za nenegativnošću i što će se dogoditi ako ga prekršimo. :)

Zašto radikalni izrazi moraju biti nenegativni?

Naravno da možete biti kao profesori u školi i pametno citirajte udžbenik:

Zahtjev nenegativnosti povezan je s različitim definicijama korijena parnih i neparnih stupnjeva (sukladno tome različite su i njihove domene definiranja).

Pa, je li postalo jasnije? Osobno, kad sam u 8. razredu pročitao ovu glupost, shvatio sam otprilike sljedeće: “Zahtjev nenegativnosti povezan je s *#&^@(*#@^#)~%” - ukratko, nisam Ne razumijem ništa u to vrijeme. :)

Sada ću sve objasniti na normalan način.

Prvo, saznajmo odakle dolazi gornja formula množenja. Da biste to učinili, podsjetit ću vas na jedno važno svojstvo korijena:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Drugim riječima, radikalni izraz možemo lako podići na bilo koji prirodni stupanj$k$ - u ovom slučaju, korijenski eksponent će se morati pomnožiti istom potencijom. Stoga možemo lako svesti bilo koje korijene na zajednički eksponent, a zatim ih pomnožiti. Odatle dolazi formula množenja:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ali postoji jedan problem koji oštro ograničava upotrebu svih ovih formula. Razmotrite ovaj broj:

Prema upravo navedenoj formuli, možemo dodati bilo koji stupanj. Pokušajmo dodati $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\lijevo(-5 \desno))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Uklonili smo minus upravo zato što kvadrat sagorijeva minus (kao i svaki drugi parni stupanj). Sada izvršimo obrnutu transformaciju: "smanjimo" dva u eksponentu i potenciji. Uostalom, svaka se jednakost može čitati i s lijeva na desno i s desna na lijevo:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ali onda se ispostavi da je to nekakvo sranje:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

To se ne može dogoditi jer je $\sqrt(-5) \lt 0$, a $\sqrt(5) \gt 0$. To znači da za parne potencije i negativne brojeve naša formula više ne radi. Nakon čega imamo dvije mogućnosti:

1. Udariti u zid i izjaviti da je matematika glupa znanost, u kojoj “postoje neka pravila, ali ova su neprecizna”;
2. Uvedite dodatna ograničenja pod kojima će formula postati 100% radna.

U prvoj opciji, morat ćemo stalno hvatati "neradne" slučajeve - to je teško, dugotrajno i općenito ugh. Stoga su matematičari preferirali drugu opciju. :)

Ali ne brinite! U praksi ovo ograničenje ni na koji način ne utječe na izračune, jer se svi opisani problemi odnose samo na korijene neparnog stupnja, a minusi se mogu uzeti iz njih.

Stoga, formulirajmo još jedno pravilo, koje općenito vrijedi za sve radnje s korijenima:

Prije množenja korijena, provjerite jesu li radikalni izrazi nenegativni.

Primjer. U broju $\sqrt(-5)$ možete ukloniti minus ispod znaka korijena - tada će sve biti normalno:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Osjećate li razliku? Ako ostavite minus ispod korijena, tada će radikalni izraz nestati, kada se radikalni izraz postavi na kvadrat, i započet će sranje. A ako prvo izbaciš minus, onda možeš kvadrirati/skidati dok ne pomodriš - broj će ostati negativan. :)

Dakle, najispravnije i naj pouzdan način množenje korijena je kako slijedi:

1. Uklonite sve negativne stvari iz radikala. Minusi postoje samo u korijenima neparnog višestrukosti - mogu se staviti ispred korijena i, ako je potrebno, smanjiti (na primjer, ako postoje dva od ovih minusa).
2. Izvršite množenje prema pravilima o kojima smo raspravljali u današnjoj lekciji. Ako su pokazatelji korijena isti, jednostavno množimo radikalne izraze. A ako su različiti, koristimo zlu formulu \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Uživaj u rezultatu i dobrim ocjenama.:)

Dobro? Hoćemo li vježbati?

Primjer 1: Pojednostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ovo je najjednostavnija opcija: korijeni su isti i neparni, jedini problem je što je drugi faktor negativan. Ovaj minus izbacujemo iz slike, nakon čega se sve lako izračuna.

Primjer 2: Pojednostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\lijevo(((2)^(5)) \desno))^(3))\cdot ((\lijevo(((2)^(2)) \desno))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( uskladiti)\]

Ovdje bi mnoge zbunila činjenica da je rezultat ispao iracionalan broj. Da, događa se: nismo se mogli potpuno riješiti korijena, ali smo barem znatno pojednostavili izraz.

Primjer 3: Pojednostavite izraz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Želio bih vam skrenuti pozornost na ovaj zadatak. Ovdje postoje dvije točke:

1. Korijen nije određeni broj ili potencija, već varijabla $a$. Na prvi pogled to je malo neobično, no u stvarnosti se pri rješavanju matematičkih zadataka najčešće mora nositi s varijablama.
2. Na kraju smo uspjeli “smanjiti” radikalni pokazatelj i stupanj u radikalnom izražaju. To se događa vrlo često. A to znači da je bilo moguće značajno pojednostaviti izračune ako niste koristili osnovnu formulu.

Na primjer, možete učiniti sljedeće:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Zapravo, sve transformacije su izvedene samo s drugim radikalom. A ako detaljno ne opišete sve međukorake, tada će se na kraju količina izračuna značajno smanjiti.

Zapravo, već smo se susreli sa sličnim zadatkom kada smo rješavali primjer $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sada se to može napisati mnogo jednostavnije:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\lijevo(((5)^(2))\cdot 3 \desno))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\lijevo(75 \desno))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Pa, sredili smo množenje korijena. Sada razmotrimo obrnutu operaciju: što učiniti kada postoji proizvod ispod korijena?

Vađenje kvadrantnog korijena broja nije jedina operacija koja se može izvesti s ovim matematičkim fenomenom. Baš kao i obični brojevi, kvadratni korijeni zbrajaju i oduzimaju.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pravila za zbrajanje i oduzimanje kvadratnih korijena

Operacije kao što su zbrajanje i oduzimanje kvadratnih korijena moguće su samo ako je radikalni izraz isti.

Primjer 1

Možete zbrajati ili oduzimati izraze 2 3 i 6 3, ali ne 56 I 9 4. Ako je moguće pojednostaviti izraz i svesti ga na korijene s istim radikalom, tada pojednostavite i zatim dodajte ili oduzmite.

Akcije s korijenima: osnove

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritam akcije:

1. Pojednostavite radikalni izraz. Da biste to učinili, potrebno je rastaviti radikalni izraz na 2 faktora, od kojih je jedan kvadratni broj (broj iz kojeg se izvlači cijeli kvadratni korijen, npr. 25 ili 9).
2. Zatim morate izvaditi korijen kvadratnog broja i napišite dobivenu vrijednost ispred znaka korijena. Napominjemo da je drugi faktor upisan pod znakom korijena.
3. Nakon postupka pojednostavljivanja, potrebno je istaknuti korijene istim radikalnim izrazima - samo se oni mogu zbrajati i oduzimati.
4. Za korijene s istim radikalnim izrazima potrebno je dodati ili oduzeti faktore koji se nalaze ispred znaka korijena. Radikalni izraz ostaje nepromijenjen. Ne možete zbrajati ili oduzimati radikalne brojeve!

Savjet 1

Ako imate primjer sa veliki iznos identične radikalne izraze, zatim podcrtajte takve izraze jednostrukim, dvostrukim i trostrukim crtama kako biste olakšali postupak izračuna.

Primjer 3

Pokušajmo riješiti ovaj primjer:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Prvo trebate rastaviti 50 na 2 faktora 25 i 2, zatim izvaditi korijen od 25, što je jednako 5, i izvaditi 5 ispod korijena. Nakon toga trebate pomnožiti 5 sa 6 (faktor u korijenu) i dobiti 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Najprije treba rastaviti 8 na 2 faktora: 4 i 2. Zatim izvaditi korijen iz 4, koji je jednak 2, i izvaditi 2 ispod korijena. Nakon toga trebate pomnožiti 2 sa 2 (faktor u korijenu) i dobiti 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Prvo trebate rastaviti 12 na 2 faktora: 4 i 3. Zatim izvadite korijen od 4, koji je jednak 2, i uklonite ga ispod korijena. Nakon toga trebate pomnožiti 2 sa 5 (faktor u korijenu) i dobiti 10 3.

Rezultat pojednostavljenja: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Kao rezultat toga, vidjeli smo koliko je identičnih radikalnih izraza sadržano u u ovom primjeru. Sada vježbajmo s drugim primjerima.

Primjer 4

• Pojednostavimo (45). Faktor 45: (45) = (9 × 5) ;
• Izvadimo 3 ispod korijena (9 = 3): 45 = 3 5;
• Zbrojite faktore u korijenima: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Primjer 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Pojednostavimo 6 40. Rastavljamo 40 na faktore: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Ispod korijena vadimo 2 (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Množimo faktore koji se nalaze ispred korijena: 12 10 ;
• Izraz zapisujemo pojednostavljeno: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Budući da prva dva člana imaju iste radikalne brojeve, možemo ih oduzeti: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Primjer 6

Kao što vidimo, radikalne brojeve nije moguće pojednostaviti, stoga u primjeru tražimo članove s istim radikalnim brojevima, izvodimo matematičke operacije (zbrajanje, oduzimanje itd.) i zapisujemo rezultat:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

savjet:

• Prije zbrajanja ili oduzimanja potrebno je (ako je moguće) radikalne izraze pojednostaviti.
• Zbrajanje i oduzimanje korijena s različitim radikalnim izrazima strogo je zabranjeno.
• Ne biste trebali zbrajati ili oduzimati cijeli broj ili korijen: 3 + (2 x) 1/2.
• Kada izvodite operacije s razlomcima, trebate pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom, a zatim razlomke svesti na zajednički nazivnik, zatim zbrojite brojnike i ostavite nazivnike nepromijenjene.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da Vas kontaktiramo i informiramo jedinstvene ponude, promocije i druga događanja te nadolazeća događanja.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Najlakši način za oduzimanje korijena od broja je pomoću kalkulatora. No, ako nemate kalkulator, morate znati algoritam za izračun kvadratnog korijena. Činjenica je da se ispod korijena nalazi kvadratni broj. Na primjer, 4 na kvadrat je 16. To jest, kvadratni korijen iz 16 bit će jednak četiri. Također, 5 na kvadrat je 25. Stoga će korijen iz 25 biti 5. I tako dalje.

Ako je broj mali, onda se lako može usmeno oduzeti, na primjer, korijen od 25 bit će jednak 5, a korijen od 144-12. Također možete izračunati na kalkulatoru, postoji posebna ikona korijena, morate unijeti broj i kliknuti na ikonu.

Tablica kvadratnih korijena također će pomoći:

Postoje i složenije, ali vrlo učinkovite metode:

Korijen bilo kojeg broja može se oduzeti pomoću kalkulatora, pogotovo jer su danas dostupni u svakom telefonu.

Možete pokušati grubo procijeniti kako određeni broj može ispasti množenjem jednog broja samim sobom.



Izračunavanje kvadratnog korijena broja nije teško, pogotovo ako imate posebnu tablicu. Poznata tablica iz satova algebre. Ova operacija se zove vađenje kvadratnog korijena broja, drugim riječima rješavanje jednadžbe. Gotovo svi kalkulatori na pametnim telefonima imaju funkciju za određivanje kvadratnog korijena.



Rezultat vađenja kvadratnog korijena poznatog broja bit će drugi broj, koji će, kada se podigne na drugu potenciju (kvadrat), dati isti broj koji znamo. Pogledajmo jedan od opisa izračuna, koji se čini kratkim i jasnim:







Evo videa na tu temu:

Postoji nekoliko načina za izračunavanje kvadratnog korijena broja.

Najpopularniji način je korištenje posebne korijenske tablice (vidi dolje).

Također, svaki kalkulator ima funkciju pomoću koje možete saznati korijen.

Ili pomoću posebne formule.



Postoji nekoliko načina za izvlačenje kvadratnog korijena broja. Jedan od njih je najbrži, pomoću kalkulatora.

Ali ako nemate kalkulator, možete to učiniti ručno.

Rezultat će biti točan.

Princip je gotovo isti kao kod dijeljenja stupcem:



















Pokušajmo pronaći kvadratni korijen broja bez kalkulatora, na primjer, 190969.







Dakle, sve je krajnje jednostavno. U izračunima, glavna stvar je pridržavati se određenih jednostavna pravila i razmišljati logično.

Za ovo vam je potrebna tablica kvadrata



Na primjer, korijen od 100 = 10, od 20 = 400 od 43 = 1849

Sada gotovo svi kalkulatori, uključujući one na pametnim telefonima, mogu izračunati kvadratni korijen broja. ALI ako nemate kalkulator, možete pronaći korijen broja na nekoliko jednostavnih načina:

Razlaganje na glavni faktori



Rastavite radikalni broj na faktore koji su kvadratni brojevi. Ovisno o radikalnom broju, dobit ćete približan ili točan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može izvaditi cijeli kvadratni korijen. Čimbenici broja koji, kada se pomnože, daju izvorni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da je 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, jer je 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Kvadratni faktori su faktori koji su kvadratni brojevi. Prvo pokušajte rastaviti radikalni broj na kvadratne faktore.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik broja 100, odnosno broj djeljiv s 25 je kvadratni broj. Dijeljenjem 400 s 25 dobivate 16, što je također kvadratni broj. Dakle, 400 se može rastaviti na kvadratne faktore 25 i 16, to jest, 25 x 16 = 400.

Zapišite to kao: 400 = (25 x 16).



Kvadratni korijen umnoška nekih članova jednak je umnošku kvadratnih korijena svakog člana, to jest (a x b) = a x b. Koristeći ovo pravilo, izvadite kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate kako biste pronašli odgovor.

U našem primjeru, uzmite korijen od 25 i 16.



Ako se radikalni broj ne rastavlja na dva kvadratni faktor(a to se događa u većini slučajeva), nećete moći pronaći točan odgovor u obliku cijelog broja. Ali možete pojednostaviti problem rastavljanjem radikalnog broja na kvadratni faktor i obični faktor (broj iz kojeg se ne može izvući cijeli kvadratni korijen). Zatim ćete izvaditi kvadratni korijen kvadratnog faktora i izvadit ćete korijen zajedničkog faktora.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 ne može se rastaviti na dva faktora, ali se može rastaviti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite zadatak na sljedeći način:



Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) uspoređujući ga s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne crte) radikalnom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti s brojem iza znaka korijena.

Vratimo se našem primjeru. Radikalni broj je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi bit će brojevi 1 (1 = 1) i 4 (4 = 2). Stoga se vrijednost 3 nalazi između 1 i 2. Budući da je vrijednost 3 vjerojatno bliža 2 nego 1, naša je procjena: 3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo s brojem u znaku korijena: 7 x 1,7 = 11,9. Ako izračunate na kalkulatoru, dobit ćete 12,13, što je prilično blizu našem odgovoru.

Ova metoda funkcionira i s velikim brojevima. Na primjer, razmotrite 35. Radikalni broj je 35. Najbliži kvadratni brojevi njemu su brojevi 25 (25 = 5) i 36 (36 = 6). Dakle, vrijednost 35 nalazi se između 5 i 6. Budući da je vrijednost 35 puno bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je 35 nešto manje od 6. Provjera na kalkulator nam daje odgovor 5,92 - bili smo u pravu.



Drugi način je rastavljanje radikalnog broja na proste faktore. Prosti faktori brojeva koji su djeljivi samo s 1 i sami sa sobom. Napiši proste faktore u niz i pronađi parove istih faktora. Takvi čimbenici mogu se izdvojiti iz korijenskog znaka.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Radikalni broj rastavljamo na proste faktore: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Dakle, 45 = (3 x 3 x 5). 3 se može izvaditi kao znak korijena: 45 = 35. Sada možemo izračunati 5.

Pogledajmo još jedan primjer: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Dobili ste tri množitelja od 2; uzmite ih nekoliko i pomaknite ih dalje od znaka korijena.

2(2 x 11) = 22 x 11. Sada možete izračunati 2 i 11 i pronaći približan odgovor.

Ovaj video trening također može biti koristan:

Da biste izvadili korijen broja, trebali biste koristiti kalkulator, ili ako nemate odgovarajući, savjetujem vam da odete na ovu stranicu i riješite problem koristeći online kalkulator, što će dati točnu vrijednost u sekundi.

Zbrajanje i oduzimanje korijena- jedan od najčešćih "kamena spoticanja" za one koji pohađaju matematiku (algebru) u srednjoj školi. Međutim, vrlo je važno naučiti kako ih ispravno zbrajati i oduzimati, jer su primjeri o zbroju ili razlici korijena uključeni u program osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz discipline "matematika".

Da biste svladali rješavanje ovakvih primjera, potrebne su vam dvije stvari - razumjeti pravila, ali i steći praksu. Nakon što je riješio jedan ili dva tuceta tipičnih primjera, student će ovu vještinu dovesti do automatizma, a zatim se više neće imati čega bojati na Jedinstvenom državnom ispitu. Preporuča se svladavanje računskih operacija započeti s zbrajanjem jer je njihovo zbrajanje nešto lakše nego oduzimanje.

Najlakši način da to objasnimo je korištenjem kvadratnog korijena kao primjera. U matematici postoji ustaljeni pojam “kvadriranje”. "Kvadriranje" znači jednokratno množenje određenog broja samim sobom.. Na primjer, ako kvadrirate 2, dobit ćete 4. Ako kvadrirate 7, dobit ćete 49. Kvadrat od 9 je 81. Dakle, kvadratni korijen od 4 je 2, od 49 je 7, a od 81 je 9.

U pravilu, podučavanje ove teme iz matematike počinje s kvadratnim korijenima. Da bi to odmah odredio, učenik Srednja škola mora znati tablicu množenja napamet. Oni koji ovu tablicu ne poznaju čvrsto moraju koristiti savjete. Obično je postupak izvlačenja korijena kvadrata broja dan u obliku tablice na koricama mnogih školskih bilježnica za matematiku.

Korijeni su sljedećih vrsta:

• kvadrat;
• kubični (ili tzv. treći stupanj);
• četvrti stupanj;
• peti stupanj.

Pravila dodavanja

Kako bi uspješno riješili tipičan primjer, potrebno je imati na umu da nisu svi korijenski brojevi mogu se slagati jedan s drugim. Da bi se sklopile, moraju se dovesti uniformni uzorak. Ako je to nemoguće, onda problem nema rješenja. Takvi se problemi često nalaze iu udžbenicima matematike kao svojevrsna zamka za učenike.

Zbrajanje nije dopušteno u zadacima kada se radikalni izrazi međusobno razlikuju. To se može ilustrirati jasnim primjerom:

• Učenik se suočava sa zadatkom: zbrojiti kvadratni korijen iz 4 i 9;
• neiskusan učenik koji ne zna pravilo obično napiše: “korijen iz 4 + korijen iz 9 = korijen iz 13.”
• Vrlo je lako dokazati da je ovo rješenje netočno. Da biste to učinili, trebate pronaći kvadratni korijen iz 13 i provjeriti je li primjer točno riješen;
• pomoću mikrokalkulatora možete odrediti da je otprilike 3,6. Sada preostaje samo provjeriti rješenje;
• korijen iz 4=2, i korijen iz 9=3;
• Zbroj brojeva "dva" i "tri" jednak je pet. Stoga se ovaj algoritam rješenja može smatrati netočnim.

Ako korijeni imaju isti stupanj ali različiti numerički izrazi, izvučen je iz zagrade, a stavljen u zagradu zbroj dvaju radikalnih izraza. Dakle, već je izvučen iz ove količine.

Algoritam zbrajanja

Da bismo ispravno odlučili najjednostavniji zadatak, potrebno:

1. Odredite što točno zahtijeva dodavanje.
2. Saznajte je li moguće dodavati vrijednosti jedna drugoj, vodeći se postojećim pravilima matematike.
3. Ako nisu sklopivi, morate ih transformirati tako da se mogu sklopiti.
4. Nakon što ste izvršili sve potrebne transformacije, trebate izvršiti zbrajanje i zapisati gotov odgovor. Zbrajanje možete izvesti u glavi ili pomoću mikrokalkulatora, ovisno o složenosti primjera.

Što su slični korijeni

Da biste ispravno riješili primjer sabiranja, prvo morate razmisliti kako ga možete pojednostaviti. Da biste to učinili, morate imati osnovno znanje o tome što je sličnost.

Sposobnost identificiranja sličnih pomaže u brzom rješavanju sličnih primjera zbrajanja, dovodeći ih u pojednostavljeni oblik. Da biste pojednostavili tipičan primjer zbrajanja, trebate:

1. Pronađite slične i odvojite ih u jednu skupinu (ili više skupina).
2. Prepišite postojeći primjer na način da korijeni koji imaju isti indikator jasno slijede jedan iza drugoga (to se zove "grupiranje").
3. Dalje, još jednom treba ponovno napisati izraz, ovaj put na način da slični (koji imaju isti pokazatelj i isti radikal) također slijede jedan za drugim.

Nakon ovoga, pojednostavljeni primjer obično je lako riješiti.

Da biste ispravno riješili bilo koji primjer zbrajanja, morate jasno razumjeti osnovna pravila zbrajanja, kao i znati što je korijen i što može biti.

Ponekad takvi problemi na prvi pogled izgledaju vrlo teški, ali obično se lako rješavaju grupiranjem sličnih. Najvažnija je praksa, a onda će učenik početi “razbijati probleme kao orahe”. Zbrajanje korijena jedan je od najvažnijih dijelova matematike, pa bi učitelji trebali posvetiti dovoljno vremena proučavanju toga.

Video

Ovaj video će vam pomoći razumjeti jednadžbe s kvadratnim korijenom.