N-ti korijen broja x je nenegativan broj z koji, kada se digne na n-tu potenciju, postaje x. Određivanje korijena uvršteno je u popis osnovnih računskih operacija s kojima se upoznajemo u djetinjstvu.

Matematička notacija

"Korijen" dolazi od latinske riječi radix i danas se riječ "radikal" koristi kao sinonim za ovaj matematički pojam. Od 13. stoljeća matematičari su operaciju korijena označavali slovom r s vodoravnom crtom iznad radikalnog izraza. U 16. stoljeću uvedena je oznaka V, koja je postupno zamijenila znak r, ali je vodoravna crta ostala. Lako je tipkati u tiskari ili pisati rukom, ali u elektroničke publikacije a programiranje se proširilo slovna oznaka korijen - sqrt. Ovako ćemo označavati kvadratne korijene u ovom članku.

Korijen

Kvadratni radikal broja x je broj z koji, kada se pomnoži sam sa sobom, postaje x. Na primjer, ako pomnožimo 2 s 2, dobit ćemo 4. Dva je u ovom slučaju kvadratni korijen iz četiri. Pomnožimo 5 sa 5, dobivamo 25 i sada već znamo vrijednost izraza sqrt(25). Možemo pomnožiti i – 12 sa –12 da dobijemo 144, a radikal od 144 je i 12 i –12. Očito, kvadratni korijeni mogu biti i pozitivni i negativni brojevi.

Za rješavanje je važan osebujni dualizam takvih korijena kvadratne jednadžbe, stoga, kada tražite odgovore u takvim problemima, morate naznačiti oba korijena. Prilikom odlučivanja algebarski izrazi Koriste se aritmetički kvadratni korijeni, odnosno samo njihove pozitivne vrijednosti.

Brojevi čiji su kvadratni korijeni cijeli brojevi nazivaju se savršeni kvadrati. Postoji cijeli niz takvih brojeva, čiji početak izgleda ovako:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Kvadratni korijeni drugih brojeva su iracionalni brojevi. Na primjer, sqrt(3) = 1,73205080757... i tako dalje. Ovaj broj je beskonačan i neperiodičan, što uzrokuje određene poteškoće u izračunavanju takvih radikala.

Školski tečaj matematike kaže da se ne može vaditi kvadratni korijen iz negativnih brojeva. Kao što učimo na sveučilišnom kolegiju o matematičkoj analizi, to se može i treba učiniti - to je razlog zašto su potrebni kompleksni brojevi. Međutim, naš program je dizajniran za izdvajanje prave vrijednosti korijena, tako da ne izračunava radikale parnog stupnja iz negativnih brojeva.

Kockasti korijen

Kubični radikal broja x je broj z koji, pomnožen sam sa sobom tri puta, daje broj x. Na primjer, ako pomnožimo 2 × 2 × 2, dobit ćemo 8. Dakle, dva je kubni korijen iz osam. Pomnožite četiri samim sobom tri puta i dobit ćete 4 × 4 × 4 = 64. Očito, četiri je kubni korijen broja 64. Postoji beskonačan niz brojeva čiji su kubični radikali cijeli brojevi. Njegov početak izgleda ovako:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Za ostale brojeve, kubni korijeni su iracionalni brojevi. Za razliku od kvadratnih radikala, kubni korijeni, kao i svi neparni korijeni, mogu se izvesti iz negativnih brojeva. Sve se svodi na umnožak brojeva manje od nule. Minus za minus daje plus - pravilo poznato iz škole. A minus za plus daje minus. Ako pomnožite negativne brojeve neparan broj puta, rezultat će također biti negativan, stoga izvucite neparni radikal iz negativan broj ništa nam ne smeta.

Međutim, program kalkulatora radi drugačije. U suštini, izdvajanje korijena je njegovo podizanje na inverznu snagu. Smatra se da je kvadratni korijen podignut na potenciju 1/2, a kubični korijen na potenciju 1/3. Formula za podizanje na potenciju 1/3 može se preurediti i izraziti kao 2/6. Rezultat je isti, ali ne možete izvući takav korijen iz negativnog broja. Dakle, naš kalkulator izračunava aritmetičke korijene samo iz pozitivnih brojeva.

n-ti korijen

Ovako ukrašena metoda izračunavanja radikala omogućuje vam da odredite korijene bilo kojeg stupnja iz bilo kojeg izraza. Možete uzeti peti korijen kubnog broja ili 19. radikal broja na 12. potenciju. Sve je to elegantno implementirano u obliku podizanja na potenciju 3/5 odnosno 12/19.

Pogledajmo primjer

Dijagonala kvadrata

Iracionalnost dijagonale kvadrata bila je poznata starim Grcima. Suočili su se s problemom izračuna dijagonale ravnog kvadrata, jer je njegova duljina uvijek proporcionalna korijenu iz dva. Formula za određivanje duljine dijagonale izvedena je iz i u konačnici ima oblik:

d = a × sqrt(2).

Odredimo kvadratni radikal dva koristeći naš kalkulator. Unesite vrijednost 2 u ćeliju "Broj(x)", a također i 2 u ćeliju "Stupanj(n)". Kao rezultat toga, dobivamo izraz sqrt(2) = 1,4142. Dakle, za grubu procjenu dijagonale kvadrata dovoljno je pomnožiti njegovu stranicu s 1,4142.

Zaključak

Pronalaženje radikala je standardna aritmetička operacija, bez koje su znanstveni ili dizajnerski izračuni nezamjenjivi. Naravno, ne trebamo određivati ​​korijene za rješavanje svakodnevnih problema, ali će naš online kalkulator svakako biti koristan školarcima ili studentima za provjeru domaće zadaće iz algebre ili računa.

Vrijeme je da to sredimo metode vađenja korijena. Temelje se na svojstvima korijena, posebice na jednakosti, koja vrijedi za svaki nenegativan broj b.

U nastavku ćemo pogledati glavne metode vađenja korijena jednu po jednu.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - vađenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.

Ako su tablice kvadrata, kocke itd. Ako ga nemate pri ruci, logično je koristiti metodu izvlačenja korijena, koja uključuje rastavljanje radikalnog broja na proste faktore.

Vrijedno je posebno spomenuti što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.

Na kraju, razmotrimo metodu koja nam omogućuje sekvencijalno pronalaženje znamenki korijenske vrijednosti.

Započnimo.

Korištenje tablice kvadrata, tablice kocki itd.

U najjednostavnijim slučajevima, tablice kvadrata, kocke itd. omogućuju vam izvlačenje korijena. Kakvi su ovo stolovi?

Tablica kvadrata cijelih brojeva od 0 do uključivo 99 (prikazana dolje) sastoji se od dvije zone. Prva zona tablice nalazi se na sivoj pozadini, odabirom određenog retka i određenog stupca omogućuje sastavljanje broja od 0 do 99. Na primjer, odaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo popravili broj 83. Druga zona zauzima ostatak stola. Svaka ćelija se nalazi na sjecištu određenog retka i određenog stupca, a sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99. Na sjecištu našeg odabranog retka od 8 desetica i stupca 3 od jedinica nalazi se ćelija s brojem 6,889, što je kvadrat broja 83.

Tablice kocki, tablice četvrtih potencija brojeva od 0 do 99 i tako dalje slične su tablici kvadrata, samo što u drugoj zoni sadrže kocke, četvrte potencije itd. odgovarajući brojevi.

Tablice kvadrata, kocke, četvrte potencije itd. omogućuju vam izvlačenje kvadratnih korijena, kubnih korijena, četvrtih korijena itd. prema tome iz brojeva u ovim tablicama. Objasnimo princip njihove upotrebe pri vađenju korijena.

Recimo da trebamo izvući n-ti korijen broja a, dok se broj a nalazi u tablici n-tih potencija. Pomoću ove tablice nalazimo broj b takav da je a=b n. Zatim , stoga će broj b biti željeni korijen n-tog stupnja.

Kao primjer, pokažimo kako koristiti kubnu tablicu za izdvajanje kubnog korijena od 19,683. Broj 19.683 nalazimo u tablici kocki, iz nje nalazimo da je ovaj broj kub broja 27, dakle, .

Jasno je da su tablice n-tih potencija vrlo zgodne za vađenje korijena. Međutim, oni često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štoviše, često je potrebno izvući korijene iz brojeva koji se ne nalaze u odgovarajućim tablicama. U tim slučajevima morate pribjeći drugim metodama vađenja korijena.

Rastavljanje radikalnog broja na proste faktore

Prilično zgodan način za izdvajanje korijena prirodnog broja (ako je, naravno, korijen izvučen) je rastavljanje radikalnog broja na proste faktore. Njegovo poanta je ovo: nakon toga ga je prilično lako predstaviti kao potenciju sa željenim eksponentom, što vam omogućuje da dobijete vrijednost korijena. Razjasnimo ovu točku.

Neka je uzet n-ti korijen prirodnog broja a čija je vrijednost jednaka b. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b n. Broj b, kao i svaki prirodni broj, može se prikazati kao umnožak svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , …, p m u obliku p 1 ·p 2 ·…·p m , i radikalnog broja a u ovom slučaju predstavlja se kao (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Budući da je rastavljanje broja na proste faktore jedinstveno, rastavljanje radikalnog broja a na proste faktore imat će oblik (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, što omogućuje izračunavanje vrijednosti korijena kao .

Imajte na umu da ako se rastavljanje na proste faktore radikalnog broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada n-ti korijen takvog broja a nije potpuno ekstrahiran.

Shvatimo to prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Izvadite kvadratni korijen od 144.

Riješenje.

Ako pogledate tablicu kvadrata danu u prethodnom odlomku, jasno možete vidjeti da je 144 = 12 2, iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 jednak 12.

Ali u svjetlu ove točke, zanima nas kako se korijen izdvaja rastavljanjem radikalnog broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.

Idemo se razgraditi 144 na proste faktore:

Odnosno, 144=2·2·2·2·3·3. Na temelju dobivene dekompozicije mogu se provesti sljedeće transformacije: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Stoga, .

Koristeći svojstva stupnja i svojstva korijena, rješenje bi se moglo malo drugačije formulirati: .

Odgovor:

Za učvršćivanje gradiva razmotrite rješenja još dva primjera.

Primjer.

Izračunajte vrijednost korijena.

Riješenje.

Rastavljanje na proste faktore radikalnog broja 243 ima oblik 243=3 5 . Tako, .

Odgovor:

Primjer.

Je li korijenska vrijednost cijeli broj?

Riješenje.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, rastavimo radikalni broj na proste faktore i vidimo može li se predstaviti kao kub cijelog broja.

Imamo 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Rezultirajuće proširenje nije predstavljeno kao kub cijelog broja, jer stupanj glavni faktor 7 nije višekratnik tri. Stoga se kubni korijen od 285,768 ne može potpuno izvući.

Odgovor:

Ne.

Vađenje korijena iz razlomaka

Vrijeme je da shvatite kako izvaditi korijen iz razlomački broj. Neka se razlomački radikalni broj zapiše kao p/q. Prema svojstvu korijena kvocijenta vrijedi sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo za vađenje korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je kvocijentu korijena brojnika podijeljenog s korijenom nazivnika.

Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.

Primjer.

Što je kvadratni korijen od obični razlomak 25/169 .

Riješenje.

Pomoću tablice kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen brojnika izvornog razlomka jednak 5, a kvadratni korijen nazivnika jednak 13. Zatim . Ovime je završeno vađenje korijena običnog razlomka 25/169.

Odgovor:

Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja izdvaja se nakon zamjene radikalnih brojeva običnim razlomcima.

Primjer.

Izvadite kubni korijen decimalnog razlomka 474,552.

Riješenje.

Zamislimo original decimal kao obični razlomak: 474.552=474552/1000. Zatim . Ostaje izvući kubne korijene koji su u brojniku i nazivniku rezultirajuće frakcije. Jer 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000 = 10 3, tada I . Ostaje samo dovršiti izračune .

Odgovor:

.

Vađenje korijena negativnog broja

Vrijedno je zadržati se na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Kada smo proučavali korijene, rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, tada ispod znaka korijena može biti negativan broj. Ovim smo unosima dali sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparan eksponent korijena 2 n−1, . Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izvadili korijen negativnog broja, potrebno je izvaditi korijen suprotnog pozitivnog broja i staviti znak minus ispred rezultata.

Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite vrijednost korijena.

Riješenje.

Transformirajmo izvorni izraz tako da se pojavi ispod znaka korijena pozitivan broj: . Sada mješoviti broj zamijenite ga običnim razlomkom: . Primjenjujemo pravilo za izvlačenje korijena običnog razlomka: . Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku dobivenog razlomka: .

Evo kratkog sažetka rješenja: .

Odgovor:

.

Bitno određivanje vrijednosti korijena

U opći slučaj ispod korijena postoji broj koji se, korištenjem gore razmotrenih tehnika, ne može predstaviti kao n-ta potencija bilo kojeg broja. Ali u ovom slučaju postoji potreba da se zna značenje danog korijena, barem do određenog znaka. U ovom slučaju, za izdvajanje korijena, možete koristiti algoritam koji vam omogućuje dosljedno dobivanje dovoljna količina vrijednosti znamenki traženog broja.

Prvi korak ovog algoritma je pronaći koji je najvažniji bit korijenske vrijednosti. Da bi se to postiglo, brojevi 0, 10, 100, ... se sekvencijalno podižu na potenciju n sve dok se ne dobije broj veći od radikalnog broja. Tada će broj koji smo digli na potenciju n u prethodnoj fazi označavati odgovarajuću najznačajniju znamenku.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma prilikom izdvajanja korijen od pet. Uzmite brojeve 0, 10, 100, ... i kvadrirajte ih dok ne dobijete broj veći od 5. Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, što znači da će najznačajnija znamenka biti znamenka jedinica. Vrijednost ovog bita, kao i onih nižih, pronaći će se u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma usmjereni su na sekvencijalno razjašnjavanje vrijednosti korijena pronalaženjem vrijednosti sljedećih bitova željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se do najnižih. Na primjer, vrijednost korijena na prvom koraku ispada 2, na drugom – 2,2, na trećem – 2,23, i tako dalje 2,236067977…. Opišimo kako se pronalaze vrijednosti znamenki.

Znamenke se pronalaze pretraživanjem njihovih mogućih vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9. U tom slučaju paralelno se računaju n-te potencije odgovarajućih brojeva i uspoređuju se s radikalnim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premaši radikalni broj, tada se vrijednost znamenke koja odgovara prethodnoj vrijednosti smatra pronađenom i vrši se prijelaz na sljedeći korak algoritma za ekstrakciju korijena; ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove znamenke 9.

Objasnimo ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena iz pet.

Prvo nalazimo vrijednost znamenke jedinice. Proći ćemo kroz vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9, računajući 0 2, 1 2, ..., 9 2, redom, dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5. Prikladno je prikazati sve ove izračune u obliku tablice:

Dakle, vrijednost znamenke jedinice je 2 (jer je 2 2<5 , а 2 3 >5). Prijeđimo na pronalaženje vrijednosti desetinki. U ovom slučaju ćemo kvadratirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, uspoređujući dobivene vrijednosti s radikalnim brojem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada je vrijednost desetog mjesta 2. Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti stotinke:

Tako pronađeno sljedeća vrijednost korijen iz pet, jednako je 2,23. I tako možete nastaviti pronalaziti vrijednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotinki koristeći razmatrani algoritam.

Prvo odredimo najznačajniju znamenku. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100 itd. dok ne dobijemo broj veći od 2.151.186. Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , pa je najznačajnija znamenka desetica.

Odredimo njegovu vrijednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, tada je vrijednost mjesta desetica 1. Prijeđimo na jedinice.

Dakle, vrijednost znamenke jedinica je 2. Prijeđimo na desetine.

Budući da je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186, tada je vrijednost desetinke 9. Ostaje izvršiti posljednji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena s potrebnom točnošću.

U ovoj fazi se utvrđuje vrijednost korijena točna do stotinki: .

U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoje mnogi drugi načini za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo proučavali gore.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Inženjerski kalkulator online

Sretni smo što svima možemo pokloniti besplatni inženjerski kalkulator. Uz njegovu pomoć, svaki učenik može brzo i, što je najvažnije, jednostavno izvoditi razne vrste matematičkih izračuna na mreži.

Jednostavan i lak za korištenje inženjerski kalkulator s nenametljivim i intuitivnim sučeljem uistinu će biti od koristi širokom krugu korisnika interneta. Sada, kad god trebate kalkulator, idite na našu web stranicu i upotrijebite besplatni inženjerski kalkulator.

Inženjerski kalkulator može izvoditi i jednostavne aritmetičke operacije i prilično složene matematičke izračune.

Web20calc je inženjerski kalkulator koji ima ogroman broj funkcija, na primjer, kako izračunati sve elementarne funkcije. Kalkulator također podržava trigonometrijske funkcije, matrice, logaritme, pa čak i grafikone.

Bez sumnje, Web20calc će biti zanimljiv onoj skupini ljudi koji u potrazi za jednostavnim rješenjima u tražilice upisuju upit: online matematički kalkulator. Besplatna web aplikacija pomoći će vam da odmah izračunate rezultat nekog matematičkog izraza, na primjer, oduzimanje, zbrajanje, dijeljenje, izvlačenje korijena, podizanje na potenciju itd.

U izrazu možete koristiti operacije potenciranja, zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, postotka i PI konstante. Za složene izračune treba uključiti zagrade.

Značajke inženjerskog kalkulatora:

1. osnovne aritmetičke operacije;
2. rad s brojevima u standardnom obliku;
3. izračun trigonometrijskih korijena, funkcije, logaritmi, stepenovanje;
4. statistički izračuni: zbrajanje, aritmetička sredina ili standardna devijacija;
5. korištenje memorijskih ćelija i prilagođenih funkcija 2 varijable;
6. rad s kutovima u radijanima i stupnjevima.

Inženjerski kalkulator omogućuje korištenje raznih matematičkih funkcija:

Vađenje korijena (kvadratnog, kubnog i n-tog korijena);
ex (e na x potenciju), eksponencijal;
trigonometrijske funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangens - tan;
inverzne trigonometrijske funkcije: arksinus - sin-1, arkosinus - cos-1, arktangens - tan-1;
hiperboličke funkcije: sinus - sinh, kosinus - cosh, tangens - tanh;
logaritmi: binarni logaritam na bazu dva - log2x, decimalni logaritam na bazu deset - log, prirodni logaritam - ln.

Ovaj inženjerski kalkulator također uključuje kalkulator količine s mogućnošću pretvorbe fizičkih veličina za različite mjerne sustave - računalne jedinice, udaljenost, težinu, vrijeme itd. Pomoću ove funkcije možete odmah pretvoriti milje u kilometre, funte u kilograme, sekunde u sate itd.

Da biste napravili matematičke izračune, prvo unesite niz matematičkih izraza u odgovarajuće polje, zatim kliknite na znak jednakosti i pogledajte rezultat. Vrijednosti možete unijeti izravno s tipkovnice (za to područje kalkulatora mora biti aktivno, stoga bi bilo korisno postaviti kursor u polje za unos). Između ostalog, podatke je moguće unositi i pomoću gumba na samom kalkulatoru.

Za izradu grafikona trebate napisati funkciju u polje za unos kao što je naznačeno u polju s primjerima ili koristiti alatnu traku posebno dizajniranu za to (da biste je otvorili, kliknite na gumb s ikonom grafikona). Za pretvorbu vrijednosti kliknite Jedinica; za rad s matricama kliknite Matrica.

Prije kalkulatora, učenici i učitelji su ručno računali kvadratne korijene. Postoji nekoliko načina za ručno izračunavanje kvadratnog korijena broja. Neki od njih nude samo približno rješenje, drugi daju točan odgovor.

Koraci

Rastavljanje na proste faktore

Rastavite radikalni broj na faktore koji su kvadratni brojevi. Ovisno o radikalnom broju, dobit ćete približan ili točan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može izvaditi cijeli kvadratni korijen. Faktori su brojevi koji, kada se pomnože, daju izvorni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da je 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, budući da je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratni faktori su faktori , koji su kvadratni brojevi. Prvo pokušajte rastaviti radikalni broj na kvadratne faktore.

• Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik 100, odnosno djeljiv s 25 - ovo je kvadratni broj. Dijeljenjem 400 s 25 dobivate 16. Broj 16 također je kvadratni broj. Dakle, 400 se može rastaviti na kvadratne faktore 25 i 16, to jest, 25 x 16 = 400.
• To se može napisati na sljedeći način: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratni korijen umnoška nekih članova jednak je umnošku kvadratnih korijena svakog člana, to jest, √(a x b) = √a x √b. Koristite ovo pravilo da izvadite kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate kako biste pronašli odgovor.

   • U našem primjeru, uzmite korijen od 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ako radikalni broj nije rastavljen na dva kvadratna faktora (a to se događa u većini slučajeva), nećete moći pronaći točan odgovor u obliku cijelog broja. Ali možete pojednostaviti problem rastavljanjem radikalnog broja na kvadratni faktor i obični faktor (broj iz kojeg se ne može izvući cijeli kvadratni korijen). Zatim ćete izvaditi kvadratni korijen kvadratnog faktora i izvadit ćete korijen zajedničkog faktora.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 ne može se rastaviti na dva faktora, ali se može rastaviti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite zadatak na sljedeći način:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ako je potrebno, procijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) uspoređujući ga s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne linije) radikalnom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti s brojem iza znaka korijena.

   • Vratimo se našem primjeru. Radikalni broj je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi bit će brojevi 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Stoga se vrijednost √3 nalazi između 1 i 2. Budući da je vrijednost √3 vjerojatno bliža 2 nego 1, naša je procjena: √3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo s brojem u znaku korijena: 7 x 1,7 = 11,9. Ako izračunate na kalkulatoru, dobit ćete 12,13, što je prilično blizu našem odgovoru.
     • Ova metoda funkcionira i s velikim brojevima. Na primjer, razmotrite √35. Radikalni broj je 35. Njemu najbliži kvadratni brojevi bit će brojevi 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Dakle, vrijednost √35 nalazi se između 5 i 6. Budući da je vrijednost √35 mnogo bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je √35 nešto manje od 6 Provjera na kalkulatoru daje nam odgovor 5,92 - bili smo u pravu.

4. Drugi način je rastavljanje radikalnog broja na proste faktore. Prosti faktori su brojevi koji su djeljivi samo s 1 i sami sa sobom. Napiši proste faktore u niz i pronađi parove istih faktora. Takvi čimbenici mogu se izdvojiti iz korijenskog znaka.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Radikalni broj rastavljamo na proste faktore: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Dakle, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 se može izvaditi kao znak korijena: √45 = 3√5. Sada možemo procijeniti √5.
   • Pogledajmo još jedan primjer: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Dobili ste tri množitelja od 2; uzmite ih nekoliko i pomaknite ih dalje od znaka korijena.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sada možete procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.

   Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

   Korištenje dugog dijeljenja

   1. Ova metoda uključuje proces sličan dugom dijeljenju i daje točan odgovor. Prvo nacrtajte okomitu crtu koja dijeli list na dvije polovice, a zatim udesno i malo ispod gornjeg ruba lista povucite vodoravnu liniju do okomite crte. Sada podijelite radikalni broj u parove brojeva, počevši od razlomka iza decimalne točke. Dakle, broj 79520789182.47897 je napisan kao "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Na primjer, izračunajmo kvadratni korijen broja 780,14. Nacrtajte dvije crte (kao što je prikazano na slici) i napišite navedeni broj u obliku “7 80, 14” gore lijevo. Normalno je da je prva znamenka slijeva neparena znamenka. Odgovor (korijen ovog broja) ćete napisati gore desno.

   2. Za prvi par brojeva (ili pojedinačni broj) slijeva pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak dotičnom paru brojeva (ili jednom broju). Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži, ali manji od prvog para brojeva (ili jednog broja) slijeva, i izvucite kvadratni korijen tog kvadratnog broja; dobit ćete broj n. Gore desno zapišite n koji ste pronašli, a dolje desno zapišite kvadrat od n.

      • U našem slučaju, prvi broj s lijeve strane bit će 7. Sljedeći, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Oduzmite kvadrat broja n koji ste upravo pronašli od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane. Rezultat izračuna upiši ispod subtrahenda (kvadrat broja n).

      • U našem primjeru oduzmite 4 od 7 i dobit ćete 3.

   4. Skinite drugi par brojeva i zapišite ga pored vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj gore desno i zapišite rezultat dolje desno uz dodatak "_×_=".

      • U našem primjeru, drugi par brojeva je "80". Napišite "80" nakon 3. Zatim dvostruki broj gore desno daje 4. Napišite "4_×_=" dolje desno.

   5. Ispunite prazna mjesta s desne strane.

      • U našem slučaju, ako umjesto crtica stavimo broj 8, onda je 48 x 8 = 384, što je više od 380. Dakle, 8 je prevelik broj, ali će poslužiti i 7. Napišite 7 umjesto crtica i dobijete: 47 x 7 = 329. Napišite 7 gore desno - to je druga znamenka u željenom kvadratnom korijenu broja 780,14.

   6. Oduzmite dobiveni broj od trenutnog broja s lijeve strane. Rezultat iz prethodnog koraka upišite ispod trenutnog broja s lijeve strane, pronađite razliku i upišite je ispod oduzetika.

      • U našem primjeru oduzmite 329 od 380, što je jednako 51.

   7. Ponovite korak 4. Ako je par brojeva koji se prenosi razlomački dio izvornog broja, tada gore desno stavite razdjelnik (zarez) između cijelog i razlomljenog dijela u potrebnom kvadratnom korijenu. S lijeve strane spustite sljedeći par brojeva. Udvostručite broj gore desno i napišite rezultat dolje desno uz dodatak "_×_=".

      • U našem primjeru, sljedeći par brojeva koji će biti uklonjen bit će razlomački dio broja 780,14, stoga stavite razdjelnik cijelog i razlomačkog dijela u željeni kvadratni korijen u gornjem desnom kutu. Skinite 14 i napišite ga dolje lijevo. Dvostruki broj gore desno (27) je 54, pa napišite "54_×_=" dolje desno.

   8. Ponovite korake 5 i 6. Pronađite najveći broj na mjestu crtica s desne strane (umjesto crtica trebate zamijeniti isti broj) tako da rezultat množenja bude manji ili jednak trenutnom broju s lijeve strane.

      • U našem primjeru, 549 x 9 = 4941, što je manje od trenutnog broja s lijeve strane (5114). Napišite 9 gore desno i rezultat množenja oduzmite od trenutnog broja lijevo: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ako trebate pronaći više decimalnih mjesta za kvadratni korijen, napišite nekoliko nula lijevo od trenutnog broja i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponavljajte korake dok ne dobijete točnost odgovora (broj decimalnih mjesta) koju potreba.

   Razumijevanje procesa

   Da biste svladali ovu metodu, zamislite broj čiji kvadratni korijen trebate pronaći kao površinu kvadrata S. U ovom slučaju ćete tražiti duljinu stranice L takvog kvadrata. Izračunavamo vrijednost L tako da je L² = S.

   Navedite slovo za svaki broj u odgovoru. Označimo s A prvu znamenku u vrijednosti L (željeni kvadratni korijen). B će biti druga znamenka, C treća i tako dalje.

   Navedite slovo za svaki par prvih znamenki. Označimo sa S a prvi par znamenki u vrijednosti S, sa S b drugi par znamenki i tako dalje.

   Razumjeti vezu između ove metode i dugog dijeljenja. Baš kao i kod dijeljenja, gdje nas zanima samo sljedeća znamenka broja koji svaki put dijelimo, kada izračunavamo kvadratni korijen, radimo kroz par znamenki u nizu (kako bismo dobili sljedeću znamenku u vrijednosti kvadratnog korijena ).

   1. Promotrite prvi par znamenki Sa broja S (Sa = 7 u našem primjeru) i pronađite njegov kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenka A željene vrijednosti kvadratnog korijena bit će znamenka čiji je kvadrat manji ili jednak S a (to jest, tražimo A takav da je nejednadžba A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Recimo da trebamo podijeliti 88962 sa 7; ovdje će prvi korak biti sličan: razmatramo prvu znamenku djeljivog broja 88962 (8) i odabiremo najveći broj koji, kada se pomnoži sa 7, daje vrijednost manju ili jednaku 8. To jest, tražimo broj d za koji vrijedi nejednakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mentalno zamislite kvadrat čiju površinu trebate izračunati. Tražite L, odnosno duljinu stranice kvadrata čija je površina jednaka S. A, B, C su brojevi u broju L. Možete to napisati i drugačije: 10A + B = L (za dvoznamenkasti broj) ili 100A + 10B + C = L (za troznamenkasti broj) i tako dalje.

      • Neka (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Zapamtite da je 10A+B broj u kojem znamenka B označava jedinice, a znamenka A desetice. Na primjer, ako je A=1 i B=2, tada je 10A+B jednako broju 12. (10A+B)² je površina cijelog kvadrata, 100A²- površina velikog unutarnjeg trga, B²- površina malog unutarnjeg kvadrata, 10A×B- površina svakog od dva pravokutnika. Zbrajanjem površina opisanih figura, naći ćete površinu izvornog kvadrata.

upute

Za podizanje broja na potenciju 1/3, unesite broj, zatim kliknite gumb za potenciranje i unesite približnu vrijednost od 1/3 - 0,333. Ova točnost je sasvim dovoljna za većinu izračuna. Međutim, točnost izračuna je vrlo lako povećati - samo dodajte onoliko trojki koliko stane na indikator kalkulatora (na primjer, 0,33333333333333333). Zatim kliknite gumb "=".

Da biste izračunali treći korijen pomoću računala, pokrenite program Windows kalkulator. Postupak izračuna trećeg korijena potpuno je sličan gore opisanom. Jedina razlika je u dizajnu gumba za stepenovanje. Na virtualnoj tipkovnici kalkulatora to je označeno kao "x^y".

Treći korijen se može izračunati i u MS Excelu. Da biste to učinili, unesite "=" u bilo koju ćeliju i odaberite ikonu "umetni" (fx). U prozoru koji se pojavi odaberite funkciju “STUPANJ” i kliknite gumb “U redu”. U prozor koji se pojavi unesite vrijednost broja za koji želite izračunati treći korijen. U "Stupanj" unesite broj "1/3". Ukucajte broj 1/3 točno u ovaj obrazac - kao običan. Nakon toga kliknite gumb "U redu". Kubni korijen zadanog broja pojavit će se u ćeliji tablice u kojoj je kreiran.

Ako se treći korijen mora stalno izračunavati, malo poboljšajte gore opisanu metodu. Za broj iz kojeg želite izdvojiti korijen, ne označite sam broj, već ćeliju tablice. Nakon toga samo svaki put unesite izvorni broj u ovu ćeliju - njegov kubni korijen pojavit će se u ćeliji s formulom.

Video na temu

Bilješka

Zaključak. Ovaj rad ispitao je različite metode za izračunavanje vrijednosti kubnog korijena. Ispostavilo se da se vrijednosti kubnog korijena mogu pronaći metodom iteracije, također možete aproksimirati kubni korijen, povećati broj na potenciju 1/3, tražiti vrijednosti trećeg korijena pomoću Microsoft Office Ecxel, postavljanje formula u ćelije.

Koristan savjet

Korijeni drugog i trećeg stupnja koriste se posebno često i stoga imaju posebna imena. Kvadratni korijen: U ovom slučaju eksponent se obično izostavlja, a termin "korijen" bez navođenja eksponenta najčešće podrazumijeva kvadratni korijen. Praktično izračunavanje korijena Algoritam za pronalaženje korijena n-tog stupnja. Kvadratni i kubni korijeni obično se nalaze u svim kalkulatorima.

Izvori:

• treći korijen
• Kako izvaditi kvadratni korijen na N-tu potenciju u Excelu

Operacija pronalaženja korijena treći stupnjeva obično se naziva vađenje "kubičnog" korijena, a sastoji se u pronalaženju realnog broja, čija će kocka dati vrijednost jednaku radikalnom broju. Operacija izvlačenja bilo kojeg aritmetičkog korijena stupnjeva n je ekvivalentan operaciji dizanja na potenciju 1/n. Postoji nekoliko metoda koje možete koristiti za praktično izračunavanje kubnog korijena.