Kvadratne jednadžbe. Diskriminirajući. Rješenje, primjeri.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Vrste kvadratnih jednadžbi
Što je kvadratna jednadžba? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednadžba ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednadžbi Obavezno mora postojati x na kvadrat. Osim njega, jednadžba može (ili ne mora!) sadržavati samo X (na prvu potenciju) i samo broj (besplatan član). I ne bi trebalo biti X-ova na potenciju veću od dva.
U matematičkom smislu, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:
Ovdje a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koji, ali A– sve osim nule. Na primjer:
Ovdje A =1; b = 3; c = -4
Ovdje A =2; b = -0,5; c = 2,2
Ovdje A =-3; b = 6; c = -18
Pa razumiješ...
U ovim kvadratnim jednadžbama s lijeve strane postoji cijeli setčlanova. X na kvadrat s koeficijentom A, x na prvu potenciju s koeficijentom b I slobodan član s.
Takve kvadratne jednadžbe nazivaju se puna.
I ako b= 0, što dobivamo? Imamo X će biti izgubljen na prvu potenciju. To se događa kada se pomnoži s nulom.) Ispada, na primjer:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
I tako dalje. A ako oba koeficijenta b I c jednaki nuli, onda je još jednostavnije:
2x 2 =0,
-0,3x 2 =0
Takve jednadžbe u kojima nešto nedostaje nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.
Usput, zašto A ne može biti jednak nuli? I zamijenite ga umjesto njega A nula.) Naš X na kvadrat će nestati! Jednadžba će postati linearna. A rješenje je sasvim drugačije...
To su sve glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Potpuni i nepotpuni.
Rješavanje kvadratnih jednadžbi.
Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi.
Kvadratne jednadžbe lako je riješiti. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadanu jednadžbu dovesti u standardni oblik, tj. na obrazac:
Ako vam je jednadžba već dana u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, A, b I c. Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:
Izraz pod znakom korijena zove se diskriminirajući. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje X koristimo samo a, b i c.
Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Računamo u ovu formulu. Zamijenimo s vlastitim znakovima!
Na primjer, u jednadžbi:
A =1; b = 3; c= -4. Ovdje zapisujemo:
Primjer je gotovo riješen:
Ovo je odgovor.
Sve je vrlo jednostavno. I što, mislite da je nemoguće pogriješiti? Pa da, kako...
Najčešće pogreške su zabune s vrijednostima predznaka a, b i c. Ili bolje rečeno, ne s njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje pomaže detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, učiniti!
Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:
Ovdje a = -6;
b = -5;
c = -1
Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.
Pa, ne budi lijen. Trebat će vam oko 30 sekundi da napišete dodatni red. I broj pogrešaka naglo će se smanjiti. Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:
Čini se nevjerojatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili izaberite. Što je bolje, brzo ili točno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena više neće biti potrebno sve tako pažljivo zapisivati. Sve će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike, koji su opisani u nastavku. Ovaj opaki primjer s hrpom minusa može se lako i bez grešaka riješiti!
Ali često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:
Jeste li ga prepoznali?) Da! Ovaj nepotpune kvadratne jednadžbe.
Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.
Mogu se riješiti i općom formulom. Samo trebate ispravno razumjeti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.
Jeste li skužili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Nema ga uopće! Pa da, tako je. U matematici to znači c = 0
! To je sve. Umjesto toga zamijenite nulu u formulu c, i uspjet ćemo. Isto s drugim primjerom. Samo što mi ovdje nemamo nulu S, A b !
Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što možete učiniti na lijevoj strani? Možete uzeti X iz zagrada! Izvadimo ga.
I što iz ovoga? I činjenica da je umnožak jednak nuli ako i samo ako je bilo koji faktor jednak nuli! Ne vjeruješ mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.
Svi. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su prikladna. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja opće formule. Usput da primijetim koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Zgodno je pisati redom, x 1- što je manje i x 2- ono što je veće.
Druga se jednadžba također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 u desnu stranu. Dobivamo:
Ostaje samo izvući korijen iz 9, i to je to. Ispostavit će se:
Također dva korijena .
x 1 = -3, x 2 = 3.
Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavan prijenos brojeve udesno i zatim izvlačenje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X-a, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema se što izbaciti iz zagrade...
Diskriminirajući. Diskriminantna formula.
Čarobna riječ diskriminirajući
! Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz "rješavamo pomoću diskriminatora" ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer od diskriminanta ne treba očekivati trikove! Korištenje je jednostavno i bez problema.) Podsjećam vas na najopćenitiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:
Izraz ispod znaka korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminativna formula:
D = b 2 - 4ac
I što je tako izvanredno u ovom izrazu? Zašto je zaslužio posebno ime? Što značenje diskriminacije? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli posebno ne nazivaju ništa ... Slova i slova.
Evo u čemu je stvar. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, to je moguće samo tri slučaja.
1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se iz njega može izvući korijen. Da li se korijen dobro ili loše vadi, drugo je pitanje. Bitno je ono što se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.
2. Diskriminant je nula. Tada ćete imati jedno rješenje. Budući da dodavanje ili oduzimanje nule u brojniku ništa ne mijenja. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rješenje.
3. Diskriminant je negativan. Iz negativan broj ne uzima se kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.
Iskreno rečeno, kada jednostavno rješenje kvadratne jednadžbe, koncept diskriminante nije posebno potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formulu i računamo. Tu se sve događa samo od sebe, dva korijena, jedan i nijedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i formula diskriminanta nedovoljno. Pogotovo u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za Državni ispit i Jedinstveni državni ispit!)
Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminator kojeg ste zapamtili. Ili ste naučili, što također nije loše.) Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znaš li kako? pozorno zamijenite ih u korijensku formulu i pozorno računati rezultat. Razumijete da je ovdje ključna riječ pažljivo?
Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Iste one koje su zbog nepažnje... Za koje kasnije bude bolno i uvredljivo...
Prvi termin
. Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu i dovedete je u standardni oblik. Što to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednadžbu:
Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c. Ispravno konstruirajte primjer. Prvo X na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:
I opet, nemojte žuriti! Minus ispred X na kvadrat može vas jako uzrujati. Lako se zaboravi... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:
Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada biste trebali imati korijene 2 i -1.
Prijem drugi.
Provjerite korijenje! Prema Vietinom teoremu. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj koji smo koristili za zapis formule korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je jednostavna. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti besplatan član, tj. u našem slučaju -2. Napomena, ne 2, već -2! Besplatan član s tvojim znakom
. Ako ne ide, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku.
Ako radi, morate dodati korijenje. Posljednja i konačna provjera. Koeficijent bi trebao biti b S suprotan
poznato. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je točno!
Šteta je što je ovo tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! svi manje grešaka htjeti.
Prijem treći
. Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu s zajednički nazivnik, kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Identične transformacije." Kada radite s razlomcima, pogreške se stalno pojavljuju iz nekog razloga...
Usput, obećao sam pojednostaviti zao primjer s hrpom minusa. Molim! Evo ga.
Kako se ne bi zbunili minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobivamo:
To je sve! Rješavanje je zadovoljstvo!
Dakle, rezimiramo temu.
Praktičan savjet:
1. Kvadratnu jednadžbu prije rješavanja dovodimo u standardni oblik i gradimo Pravo.
2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.
3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.
4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću Vietinog teorema. Učini to!
Sada možemo odlučiti.)
Riješite jednadžbe:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Odgovori (u neredu):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - bilo koji broj
x 1 = -3
x 2 = 3
nema rješenja
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Odgovara li sve? Sjajno! Kvadratne jednadžbe nisu vaša glavobolja. Prva tri su uspjela, a ostala nisu? Onda problem nije u kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednadžbi. Pogledaj link, od pomoći je.
Ne ide baš? Ili uopće ne ide? Tada će vam pomoći odjeljak 555. Svi ovi primjeri tamo su raščlanjeni. prikazano glavni greške u rješenju. Naravno, govorimo io korištenju identičnih transformacija u rješavanju raznih jednadžbi. Puno pomaže!
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
|
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 ili x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Nakon što ste naučili rješavati jednadžbe prvog stupnja, naravno, želite raditi s drugima, posebno s jednadžbama drugog stupnja, koje se inače nazivaju kvadratne.
Kvadratne jednadžbe su jednadžbe poput ax² + bx + c = 0, gdje je varijabla x, brojevi su a, b, c, gdje a nije jednako nuli.
Ako je u kvadratnoj jednadžbi jedan ili drugi koeficijent (c ili b) jednak nuli, tada će se ova jednadžba klasificirati kao nepotpuna kvadratna jednadžba.
Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu ako su učenici do sada znali rješavati samo jednadžbe prvog stupnja? Razmotrimo nepotpune kvadratne jednadžbe različiti tipovi i jednostavnih načina za njihovo rješavanje.
a) Ako je koeficijent c jednak 0, a koeficijent b nije jednak nuli, tada se ax² + bx + 0 = 0 svodi na jednadžbu oblika ax² + bx = 0.
Da biste riješili takvu jednadžbu, morate znati formulu za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe, koja glasi: lijeva strana rastavite ga na faktore i kasnije upotrijebite uvjet da je umnožak jednak nuli.
Na primjer, 5x² - 20x = 0. Rastavljamo lijevu stranu jednadžbe, dok radimo uobičajeno matematička operacija: pomicanje ukupnog faktora iz zagrada
5x (x - 4) = 0
Koristimo uvjet da su umnošci jednaki nuli.
5 x = 0 ili x - 4 = 0
Odgovor će biti: prvi korijen je 0; drugi korijen je 4.
b) Ako je b = 0, a slobodni član nije jednak nuli, tada se jednadžba ax ² + 0x + c = 0 svodi na jednadžbu oblika ax ² + c = 0. Jednadžbe se rješavaju na dva načina. : a) rastavljanjem polinoma jednadžbe na lijevu stranu ; b) pomoću svojstava aritmetike korijen. Takva se jednadžba može riješiti pomoću jedne od metoda, na primjer:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Odgovor će biti: prvi korijen je 5/2; drugi korijen je jednak - 5/2.
c) Ako je b jednako 0 i c jednako 0, tada se ax ² + 0 + 0 = 0 svodi na jednadžbu oblika ax ² = 0. U takvoj jednadžbi x će biti jednak 0.
Kao što vidite, nepotpune kvadratne jednadžbe ne mogu imati više od dva korijena.
Kvadratne jednadžbe često se pojavljuju pri rješavanju raznih problema u fizici i matematici. U ovom članku ćemo pogledati kako te jednakosti riješiti na univerzalan način “preko diskriminante”. U članku su također navedeni primjeri korištenja stečenog znanja.
O kojim jednadžbama ćemo govoriti?
Slika ispod prikazuje formulu u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski simboli a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.
Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" se pojavljuje prije varijable x na kvadrat. To je najveća snaga predstavljenog izraza, zbog čega se naziva kvadratna jednadžba. Često se koristi njezin drugi naziv: jednadžba drugog reda. Sama vrijednost a je kvadratni koeficijent (stoji uz kvadrat varijable), b je linearni koeficijent (nalazi se uz varijablu podignutu na prvu potenciju), i na kraju, broj c je slobodni član.
Imajte na umu da je vrsta jednadžbe prikazana na gornjoj slici opći klasični kvadratni izraz. Osim nje, postoje i druge jednadžbe drugog reda u kojima koeficijenti b i c mogu biti nula.
Kada se postavlja zadatak rješavanja predmetne jednakosti, to znači da treba pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje, prva stvar koju trebate zapamtiti je sljedeća stvar: budući da je maksimalni stupanj X 2, onda ovaj tip izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako su pri rješavanju jednadžbe pronađene 2 vrijednosti x koje ga zadovoljavaju, tada možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamijenivši ga umjesto x, jednakost bi također bila istinita. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se njezini korijeni.
Metode rješavanja jednadžbi drugog reda
Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. U školski tečaj algebre smatraju 4 razne metode rješenja. Nabrojimo ih:
- korištenje faktorizacije;
- korištenje formule za savršeni kvadrat;
- primjenom grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
- koristeći diskriminantnu jednadžbu.
Prednost prve metode je njezina jednostavnost, no ne može se koristiti za sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda razlikuje se po svojoj jasnoći, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I konačno, korištenje diskriminantne jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednadžbe drugog reda. Stoga ćemo u ovom članku razmotriti samo to.
Formula za dobivanje korijena jednadžbe
Obratimo se Opća pojava kvadratna jednadžba. Zapišimo to: a*x²+ b*x + c =0. Prije nego što upotrijebite metodu rješavanja "kroz diskriminant", jednakost uvijek trebate dovesti u pisani oblik. To jest, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).
Na primjer, ako postoji izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tada prvo trebate premjestiti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati članove koji sadrže varijablu x u iste ovlasti.
U u ovom slučaju ova operacija će dovesti do sljedećeg izraza: -6*x²-4*x+8=0, što je ekvivalentno jednadžbi 6*x²+4*x-8=0 (ovdje smo pomnožili lijevu i desnu stranu jednakost po -1).
U gornjem primjeru, a = 6, b=4, c=-8. Imajte na umu da se svi članovi jednakosti koji se razmatraju uvijek zbrajaju, pa ako se pojavi znak “-”, to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju broj c.
Nakon što smo ispitali ovu točku, prijeđimo sada na samu formulu, koja omogućuje dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao ovaj prikazan na fotografiji ispod.
Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, on vam omogućuje da dobijete dva korijena (obratite pozornost na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je zamijeniti koeficijente b, c i a u njega.
Pojam diskriminante
U prethodnom odlomku dana je formula koja vam omogućuje brzo rješavanje bilo koje jednadžbe drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminantom, odnosno D = b²-4*a*c.
Zašto je ovaj dio formule istaknut, pa čak i jest ispravno ime? Činjenica je da diskriminant povezuje sva tri koeficijenta jednadžbe u jedan izraz. Posljednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, što se može izraziti na sljedećem popisu:
- D>0: Jednadžba ima 2 različita rješenja, od kojih su oba realni brojevi.
- D=0: Jednadžba ima samo jedan korijen i to je realan broj.
Zadatak određivanja diskriminacije
Dajmo jednostavan primjer kako pronaći diskriminant. Neka je dana sljedeća jednakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Dovedimo to u standardni oblik, dobivamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, odakle dolazimo do jednakosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Ovdje je a=-2, b=2, c=-11.
Sada možete koristiti gornju formulu za diskriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da u primjeru diskriminant manje od nule, onda možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema pravih korijena. Njegovo rješenje bit će samo brojevi složenog tipa.
Primjer nejednakosti kroz diskriminantu
Riješimo probleme malo drugačijeg tipa: s obzirom na jednakost -3*x²-6*x+c = 0. Potrebno je pronaći vrijednosti c za koje je D>0.
U ovom slučaju poznata su samo 2 od 3 koeficijenta, pa se ne može izračunati točna vrijednost diskriminante, ali se zna da je pozitivna. Posljednju činjenicu koristimo pri sastavljanju nejednadžbe: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rješavanjem dobivene nejednadžbe dolazi se do rezultata: c>-3.
Provjerimo dobiveni broj. Da bismo to učinili, izračunavamo D za 2 slučaja: c=-2 i c=-4. Broj -2 zadovoljava dobiveni rezultat (-2>-3), odgovarajuća diskriminanta će imati vrijednost: D = 12>0. S druge strane, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4. Dakle, svaki broj c koji je veći od -3 će zadovoljiti uvjet.
Primjer rješavanja jednadžbe
Predstavimo problem koji uključuje ne samo pronalaženje diskriminante, već i rješavanje jednadžbe. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2*x²+7-9*x = 0.
U ovom primjeru diskriminant je sljedeća vrijednost: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada će se korijeni jednadžbe odrediti na sljedeći način: x = (9±√137)/(-4). Ovo su točne vrijednosti korijena; ako približno izračunate korijen, tada ćete dobiti brojeve: x = -5,176 i x = 0,676.
Geometrijski problem
Riješimo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminante, već i korištenje vještina apstraktnog razmišljanja i znanja o tome kako napisati kvadratne jednadžbe.
Bob je imao poplun veličine 5 x 4 metra. Dječak je želio sašiti kontinuiranu traku od lijepa tkanina. Koliko će ta traka biti debela ako znamo da Bob ima 10 m² tkanine.
Neka traka ima debljinu x m, tada je površina tkanine duga strana deka će biti (5+2*x)*x, a budući da ima 2 dugačke strane, imamo: 2*x*(5+2*x). Na kraćoj strani, površina sašivenog materijala bit će 4*x, budući da postoje 2 te strane, dobivamo vrijednost 8*x. Imajte na umu da je vrijednost 2*x dodana dužoj strani jer se duljina pokrivača povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine zašivene na pokrivač je 10 m². Stoga dobivamo jednakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Za ovaj primjer, diskriminant je jednak: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov korijen je 22. Pomoću formule nalazimo tražene korijene: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Očito je da je od dva korijena samo broj 0,5 prikladan prema uvjetima problema.
Tako će traka tkanine koju Bob prišije na svoju deku biti široka 50 cm.
Nepotpuna kvadratna jednadžba razlikuje se od klasičnih (potpunih) jednadžbi po tome što su joj faktori ili slobodni član jednaki nuli. Grafovi takvih funkcija su parabole. Ovisno o općem izgledu dijele se u 3 skupine. Principi rješenja za sve vrste jednadžbi su isti.
Nema ništa komplicirano u određivanju vrste nepotpunog polinoma. Najbolje je razmotriti glavne razlike koristeći vizualne primjere:
- Ako je b = 0, tada je jednadžba ax 2 + c = 0.
- Ako je c = 0, tada treba riješiti izraz ax 2 + bx = 0.
- Ako je b = 0 i c = 0, tada se polinom pretvara u jednakost kao što je ax 2 = 0.
Potonji slučaj je više teoretska mogućnost i nikada se ne pojavljuje u zadacima provjere znanja, jer je jedina ispravna vrijednost varijable x u izrazu nula. U budućnosti će se razmatrati metode i primjeri rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi tipa 1) i 2).
Opći algoritam za pretraživanje varijabli i primjeri s rješenjima
Bez obzira na vrstu jednadžbe, algoritam rješenja se svodi na sljedeće korake:
- Smanjite izraz na oblik prikladan za pronalaženje korijena.
- Izvršite izračune.
- Zapiši odgovor.
Najlakši način rješavanja nepotpunih jednadžbi je faktoriziranje lijeve strane i ostavljanje nule na desnoj strani. Stoga se formula za nepotpunu kvadratnu jednadžbu za pronalaženje korijena svodi na izračunavanje vrijednosti x za svaki od faktora.
Možete samo naučiti kako to riješiti u praksi, pa razmislimo konkretan primjer pronalaženje korijena nepotpune jednadžbe:
Kao što vidite, u ovom slučaju b = 0. Faktorizirajmo lijevu stranu i dobijmo izraz:
4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Očito, umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Vrijednosti varijable x1 = 0,5 i (ili) x2 = -0,5 zadovoljavaju slične zahtjeve.
Kako bi se lako i brzo nosili sa zadatkom razgradnje kvadratni trinom na faktore, zapamtite sljedeću formulu:
Ako u izrazu nema slobodnog člana, problem je uvelike pojednostavljen. Bit će dovoljno samo pronaći i staviti u zagradu zajednički nazivnik. Radi jasnoće, razmotrite primjer kako riješiti nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax2 + bx = 0.
Izvadimo varijablu x iz zagrada i dobijemo sljedeći izraz:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Vođeni logikom dolazimo do zaključka da je x1 = 0, a x2 = -3.
Tradicionalna metoda rješavanja i nepotpune kvadratne jednadžbe
Što se događa ako primijenite formulu diskriminacije i pokušate pronaći korijene polinoma s koeficijentima jednakima nuli? Uzmimo primjer iz zbirke tipični zadaci za Jedinstveni državni ispit iz matematike 2017., riješit ćemo ga standardnim formulama i metodom faktorizacije.
7x 2 – 3x = 0.
Izračunajmo diskriminantnu vrijednost: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ispada da polinom ima dva korijena:
Sada riješimo jednadžbu rastavljanjem na faktore i usporedimo rezultate.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Kao što vidite, obje metode daju isti rezultat, ali je rješavanje jednadžbe drugom metodom bilo puno lakše i brže.
Vietin teorem
Ali što učiniti s Vietinim omiljenim teoremom? Može li se ova metoda koristiti kada je trinom nepotpun? Pokušajmo razumjeti aspekte lijevanja potpune jednadžbe Do klasični izgled ax2 + bx + c = 0.
U stvari, moguće je primijeniti Vietin teorem u ovom slučaju. Potrebno je samo dovesti izraz u njegov opći oblik, zamjenjujući članove koji nedostaju nulom.
Na primjer, uz b = 0 i a = 1, da bi se eliminirala mogućnost zabune, zadatak treba napisati u obliku: ax2 + 0 + c = 0. Tada se omjer zbroja i umnoška korijena i faktori polinoma mogu se izraziti na sljedeći način:
Teorijski izračuni pomažu da se upoznate sa suštinom problema i uvijek zahtijevaju vještinu pri rješavanju specifične zadatke. Vratimo se ponovno priručniku standardnih zadataka za Jedinstveni državni ispit i pronađimo odgovarajući primjer:
Napišimo izraz u obliku pogodnom za primjenu Vietinog teorema:
x 2 + 0 – 16 = 0.
Sljedeći korak je stvaranje sustava uvjeta:
Očito je da će korijeni kvadratnog polinoma biti x 1 = 4 i x 2 = -4.
Sada, vježbajmo dovođenje jednadžbe u njen opći oblik. Uzmimo sljedeći primjer: 1/4× x 2 – 1 = 0
Da bi se Vietin teorem primijenio na izraz, potrebno je riješiti se razlomka. Pomnožimo lijevu i desnu stranu s 4 i pogledajmo rezultat: x2– 4 = 0. Rezultirajuća jednakost spremna je za rješavanje Vietinim teoremom, ali puno je lakše i brže doći do odgovora jednostavnim pomicanjem c = 4 na desnu stranu jednadžbe: x2 = 4.
Ukratko, treba reći da najbolji način rješenja nepotpune jednadžbe je faktorizacija, je najjednostavniji i brza metoda. Ako se u procesu traženja korijena pojave poteškoće, možete se obratiti tradicionalna metoda pronalaženje korijena kroz diskriminantu.
Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktoringa.
Osnovne formule
Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1)
.
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
;
.
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao proizvod faktora (faktoriziran):
.
Zatim pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Razmotrimo diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
;
.
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant jednak nuli, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
;
.
Zatim
.
Grafička interpretacija
Ako gradite graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Na , graf siječe x-os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.
Ispod su primjeri takvih grafikona.
Korisne formule vezane uz kvadratnu jednadžbu
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe
Provodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):
,
Gdje
;
.
Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
To pokazuje da jednadžba
izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.
Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe
Primjer 1
(1.1)
.
Riješenje
.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Diskriminantu nalazimo:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.
Odavde dobivamo faktorizaciju kvadratnog trinoma:
.
Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Sječe apscisnu os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).
Odgovor
;
;
.
Primjer 2
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1)
.
Riješenje
Napišimo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Diskriminantu nalazimo:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.
Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.
Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen obično naziva višestruki. Odnosno, oni vjeruju da postoje dva jednaka korijena:
.
Odgovor
;
.
Primjer 3
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1)
.
Riješenje
Napišimo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1)
.
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Diskriminantu nalazimo:
.
Diskriminanta je negativna, . Stoga nema pravih korijena.
Možete pronaći složene korijene:
;
;
.
Zatim
.
Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe x-osu (os). Stoga nema pravih korijena.
Odgovor
Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.
