Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web-stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule lako se umeću na web-mjesto u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilicama. Djeluje već dugo (i, mislim, radit će zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovito koristite matematičke formule na svojoj stranici, preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML označavanje.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojom web stranicom, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) preuzmite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda - složenija i dugotrajnija - ubrzat će učitavanje stranica vašeg web-mjesta, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vaše web-mjesto. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruiran prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanja jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskrajno, dobivamo Mengerovu spužvu.

Definicija 1. Funkcija se zove čak(neparan), ako je zajedno sa svakom vrijednošću varijable
značenje - x također pripada
i jednakost vrijedi

Dakle, funkcija može biti parna ili neparna samo ako je njezino područje definicije simetrično oko ishodišta koordinata na brojevnom pravcu (broj x i - x pripadaju u isto vrijeme
). Na primjer, funkcija
nije ni paran ni neparan, jer je njegova domena definicije
nije simetričan u pogledu podrijetla.

Funkcija
čak, jer
simetričan o podrijetlu i.

Funkcija
čudno, jer
I
.

Funkcija
nije paran i neparan, jer iako
i simetričan je u odnosu na ishodište, jednakosti (11.1) nisu zadovoljene. Na primjer,.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU, jer ako točka

također pripada rasporedu. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište, budući da ako
pripada grafu, zatim točka
također pripada rasporedu.

Pri dokazivanju je li funkcija parna ili neparna korisne su sljedeće tvrdnje.

Teorema 1. a) Zbroj dviju parnih (neparnih) funkcija je parna (neparna) funkcija.

b) Umnožak dviju parnih (neparnih) funkcija je parna funkcija.

c) Umnožak parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

d) Ako f– ujednačena funkcija na setu x, i funkcija g definirana na setu
, zatim funkcija
– čak.

d) Ako f– neobična funkcija na setu x, i funkcija g definirana na setu
a par (nepar), onda funkcija
– parni (neparni).

Dokaz. Dokažimo npr. b) id).

b) Neka
I
– ravnomjerne funkcije. Onda, dakle. Slično se tretira slučaj neparnih funkcija
I
.

d) Neka f je parna funkcija. Zatim.

Preostale tvrdnje teorema mogu se dokazati na sličan način. Teorem je dokazan.

Teorema 2. Bilo koja funkcija
, definiran na setu x, simetričan oko ishodišta, može se prikazati kao zbroj parnih i neparnih funkcija.

Dokaz. Funkcija
može se napisati u obliku

.

Funkcija
– čak, jer
, i funkcija
– čudno, jer. Tako,
, Gdje
– čak, i
– neparne funkcije. Teorem je dokazan.

Definicija 2. Funkcija
nazvao periodički, ako postoji broj
, takav da za bilo koji
brojevima
I
također spadaju u domenu definicije
a jednakosti su zadovoljene

Takav broj T nazvao razdoblje funkcije
.

Iz definicije 1 proizlazi da ako T– razdoblje trajanja funkcije
, zatim broj – T Isti je period funkcije
(od trenutka zamjene T na - T održava se ravnopravnost). Metodom matematičke indukcije može se pokazati da ako T– razdoblje trajanja funkcije f, onda
, također je točka. Iz toga slijedi da ako funkcija ima period, onda ima beskonačno mnogo perioda.

Definicija 3. Najmanji od pozitivnih perioda funkcije naziva se njen glavni razdoblje.

Teorema 3. Ako T– glavno razdoblje funkcije f, onda su preostala razdoblja višekratnici toga.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, to jest da postoji razdoblje funkcije f (>0), ne višestruko T. Zatim, dijeljenje na T s ostatkom, dobivamo
, Gdje
. Zato

to je – razdoblje trajanja funkcije f, i
, a to je u suprotnosti s činjenicom da T– glavno razdoblje funkcije f. Tvrdnja teorema slijedi iz rezultirajuće kontradikcije. Teorem je dokazan.

Dobro je poznato da su trigonometrijske funkcije periodične. Glavno razdoblje
I
jednaki
,
I
. Nađimo period funkcije
. Neka
- razdoblje ove funkcije. Zatim

(jer
.

oror
.

Značenje T, određena iz prve jednakosti, ne može biti period, budući da ovisi o x, tj. je funkcija od x, a ne konstantan broj. Period se određuje iz druge jednakosti:
. Postoji beskonačno mnogo razdoblja, sa
najmanji pozitivni period dobiva se pri
:
. Ovo je glavno razdoblje funkcije
.

Primjer složenije periodičke funkcije je Dirichletova funkcija

Imajte na umu da ako T je onda racionalan broj
I
su racionalni brojevi za racionalno x a iracionalno kad je iracionalno x. Zato

za bilo koji racionalni broj T. Prema tome, svaki racionalni broj T je period Dirichletove funkcije. Jasno je da ova funkcija nema glavni period, jer postoje pozitivni racionalni brojevi, proizvoljno blizu nule (na primjer, može se napraviti izbor racionalnog broja n proizvoljno blizu nule).

Teorema 4. Ako je funkcija f definirana na setu x i ima razdoblje T, i funkcija g definirana na setu
, zatim složena funkcija
također ima razdoblje T.

Dokaz. Imamo, dakle

odnosno tvrdnja teoreme je dokazana.

Na primjer, budući da cos x ima razdoblje
, zatim funkcije
imati mjesečnicu
.

Definicija 4. Funkcije koje nisu periodične nazivaju se neperiodični.

čak i ako za sve \(x\) iz njegove domene definicije vrijedi sljedeće: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os \(y\):

Primjer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je parna, jer \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) naziva se neparnom ako za sve \(x\) iz njezine domene definicije vrijedi sljedeće: \(f(-x)=-f(x) \) .

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište:

Primjer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je neparna jer \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcije koje nisu ni parne ni neparne nazivaju se funkcijama opći pogled. Takva se funkcija uvijek može jednoznačno prikazati kao zbroj parne i neparne funkcije.

Na primjer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je zbroj parne funkcije \(f_1=x^2\) i neparne \(f_2=-x\) .

\(\crnitrokutdesno\) Neka svojstva:

1) Umnožak i kvocijent dviju funkcija iste parnosti je parna funkcija.

2) Umnožak i kvocijent dviju funkcija različitih pariteta - neparna funkcija.

3) Zbroj i razlika parnih funkcija – parna funkcija.

4) Zbroj i razlika neparnih funkcija - neparna funkcija.

5) Ako je \(f(x)\) parna funkcija, tada jednadžba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ima jedinstveni korijen ako i samo kada \( x =0\) .

6) Ako je \(f(x)\) parna ili neparna funkcija, a jednadžba \(f(x)=0\) ima korijen \(x=b\), tada će ova jednadžba nužno imati drugu korijen \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se zove periodična na \(X\) ako za neki broj \(T\ne 0\) vrijedi sljedeće: \(f(x)=f( x+T) \) , gdje je \(x, x+T\u X\) . Najmanji \(T\) za koji je ta jednakost zadovoljena zove se glavni (glavni) period funkcije.

Periodična funkcija ima bilo koji broj oblika \(nT\) , gdje će \(n\in \mathbb(Z)\) također biti period.

Primjer: bilo koji trigonometrijska funkcija je periodičan;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) glavni period je jednak \(2\pi\), za funkcije \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavni period je jednak \(\pi\) .

Kako biste konstruirali graf periodične funkcije, možete iscrtati njezin graf na bilo kojem segmentu duljine \(T\) (glavna perioda); tada se graf cijele funkcije dovršava pomicanjem konstruiranog dijela za cijeli broj perioda udesno i ulijevo:

\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je skup koji se sastoji od svih vrijednosti argumenta \(x\) za koje funkcija ima smisla (je definirano).

Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima domenu definicije: \(x\in

Zadatak 1 #6364

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pri kojim vrijednostima parametra \(a\) vrijedi jednadžba

Ima jedina odluka?

Imajte na umu da budući da su \(x^2\) i \(\cos x\) parne funkcije, ako jednadžba ima korijen \(x_0\) , imat će i korijen \(-x_0\) .
Doista, neka \(x_0\) bude korijen, odnosno jednakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) vrijedi. Zamjena \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Dakle, ako je \(x_0\ne 0\) , tada će jednadžba već imati najmanje dva korijena. Prema tome, \(x_0=0\) . Zatim:

Dobili smo dvije vrijednosti za parametar \(a\) . Imajte na umu da smo koristili činjenicu da je \(x=0\) točno korijen izvorne jednadžbe. Ali nikada nismo koristili činjenicu da je on jedini. Stoga trebate zamijeniti dobivene vrijednosti parametra \(a\) u izvornu jednadžbu i provjeriti za koji će specifični \(a\) korijen \(x=0\) stvarno biti jedinstven.

1) Ako \(a=0\) , tada će jednadžba imati oblik \(2x^2=0\) . Očito, ova jednadžba ima samo jedan korijen \(x=0\) . Dakle, vrijednost \(a=0\) nam odgovara.

2) Ako \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada će jednadžba poprimiti oblik \ Prepisujemo jednadžbu u obliku \ Budući da \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , tada \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Posljedično, vrijednosti desne strane jednadžbe (*) pripadaju segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada lijeva strana jednadžba (*) je veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Dakle, jednakost (*) može biti istinita samo kada su obje strane jednadžbe jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . To znači da je \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odgovor:

\(a\u \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2. zadatak #3923

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je graf funkcije \

simetričan u odnosu na podrijetlo.

Ako je graf funkcije simetričan oko ishodišta, tada je takva funkcija neparna, odnosno \(f(-x)=-f(x)\) vrijedi za bilo koji \(x\) iz domene definicije funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\lijevo(3\mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \desna strelica \quad2\sin \dfrac12\lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \kraj(poravnano)\]

Posljednja jednadžba mora biti zadovoljena za sve \(x\) iz domene definicije \(f(x)\), dakle, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \u\ mathbb(Z)\) .

Odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadatak 3 #3069

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednadžba \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijelom brojevnom pravcu i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadatak od pretplatnika)

Budući da je \(f(x)\) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na ordinatnu os, stoga za \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Dakle, za \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , a to je segment duljine \(\dfrac(16)3\), funkcija je \(f(x)=ax^2\ ) .

1) Neka \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako:


Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi točkom \(A\) :


Prema tome, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( skupljeno)\desno.\] Budući da je \(a>0\) , tada je \(a=\dfrac(18)(23)\) prikladno.

2) Neka \(a0\) ). Ako je umnožak dva korijena pozitivan i njihov zbroj pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a 0.4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na ime = – 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) slajd.

2. Provjerimo tablicu koju ste pitali sa slajda.

Ispunite tablicu
	Domena	Funkcijske nule	Intervali predznaka		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Obnavljanje znanja

– Funkcije su zadane.
– Navedite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koje od ovih funkcija u domeni definicije vrijede jednakosti f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (dobivene podatke unijeti u tablicu) Slajd

4. Novi materijal

– Dok smo radili ovaj posao, dečki, identificirali smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ne manje važno od ostalih – to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: “Parne i neparne funkcije”, naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . slajd

Def. 1 Funkcija na = f (x), definirana na skupu X naziva se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X naziva se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X vrijedi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo susreli pojmove "par" i "nepar"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju forme na= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Prikaz funkcija na= i na = 2x– 3 nisu ni parni ni neparni jer jednakosti nisu zadovoljene f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Proučavanje je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanje pariteta funkcije. slajd

U definicijama 1 i 2 govorilo se o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na – x.

Def 3. Ako numerički skup, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element –x, tada skup x nazivamo simetričnim skupom.

Primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.

– Imaju li parne funkcije domenu definicije koja je simetrični skup? One čudne?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(x) – par ili nepar, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Je li obrnuta tvrdnja istinita: ako je domena definiranja funkcije simetričan skup, je li on paran ili neparan?
– To znači da je postojanje simetričnog skupa domene definiranja nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati paritet funkcije? Pokušajmo stvoriti algoritam.

slajd

Algoritam za proučavanje funkcije za parnost

1. Utvrditi da li je područje definiranja funkcije simetrično. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–x).

3. Usporedi f(–x).I f(x):

• Ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
• Ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
• Ako f(–x) ≠ f(x) I f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

Primjeri:

Ispitajte parnost funkcije a). na= x 5 +; b) na= ; V) na= .

Riješenje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x) = x 5 + nepar.

b) y =,

na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrični skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.

V) f(x) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =