Poziva se funkcija oblika where kvadratna funkcija.

Graf kvadratne funkcije – parabola.

Razmotrimo slučajeve:

I SLUČAJ, KLASIČNA PARABOLA

To je , ,

Za konstrukciju ispunite tablicu zamjenom vrijednosti x u formulu:

Označite bodove (0;0); (1;1); (-1;1), itd. na koordinatna ravnina(što manji korak uzimamo vrijednosti x (in u ovom slučaju korak 1), a što više x vrijednosti uzmemo, to će krivulja biti glađa), dobivamo parabolu:

Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , tj. tada dobivamo parabolu koja je simetrična u odnosu na os (oh). To je lako provjeriti ispunjavanjem slične tablice:

II PADEŽ, "a" JE RAZLIČIT OD JEDINICE

Što će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? S naslovom="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Na prvoj slici (vidi gore) jasno je vidljivo da su točke iz tablice za parabolu (1;1), (-1;1) transformirane u točke (1;4), (1;-4), odnosno s istim vrijednostima ordinata svake točke se množi s 4. To će se dogoditi sa svim ključnim točkama izvorne tablice. Slično razmišljamo u slučajevima slika 2 i 3.

A kada parabola "postane šira" od parabole:

Ukratko:

1)Predznak koeficijenta određuje smjer grana. S naslovom="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modul) je odgovoran za "širenje" i "sabijanje" parabole. Što je veći, to je parabola uža; što je manji |a|, to je parabola šira.

III SLUČAJ, POJAVLJUJE SE "C".

Sada uvedimo u igru ​​(to jest, razmotrimo slučaj kada), razmotrit ćemo parabole oblika . Nije teško pogoditi (uvijek možete pogledati tablicu) da će se parabola pomaknuti gore ili dolje duž osi ovisno o znaku:

IV PADEŽ, POJAVLJUJE SE "b".

Kada će se parabola “otrgnuti” od osi i konačno “prošetati” cijelom koordinatnom ravninom? Kada će prestati biti ravnopravan?

Ovdje trebamo konstruirati parabolu formula za izračunavanje vrha: , .

Dakle, u ovoj točki (kao u točki (0;0) novi sustav koordinate) izgradit ćemo parabolu, što već možemo. Ako se bavimo slučajem, tada od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća točka je naša (slično tome, korak ulijevo, korak prema gore je naša točka); ako se, na primjer, bavimo, tada od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, dva - prema gore itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavna stvar koju treba razumjeti da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema uzorku parabole, jer u našem slučaju.

Pri konstruiranju parabole nakon pronalaženja koordinata vrha vrloPrikladno je razmotriti sljedeće točke:

1) parabola sigurno će proći kroz točku . Zaista, zamjenom x=0 u formulu, dobivamo da . Odnosno, ordinata točke presjeka parabole s osi (oy) je . U našem primjeru (iznad), parabola siječe ordinatu u točki , budući da .

2) osi simetrije parabole je ravna crta, pa će sve točke parabole biti simetrične u odnosu na nju. U našem primjeru, odmah uzmemo točku (0; -2) i gradimo je simetrično u odnosu na os simetrije parabole, dobivamo točku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Izjednačujući s , nalazimo točke sjecišta parabole s osi (oh). Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu. Ovisno o diskriminantu, dobit ćemo jedan (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru naš korijen diskriminanta nije cijeli broj; prilikom konstruiranja nema smisla tražiti korijene, ali jasno vidimo da ćemo imati dvije sjecišne točke s osi (oh) (od naslova="Renderirao QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa idemo to riješiti

Algoritam za konstruiranje parabole ako je zadana u obliku

1) odrediti smjer grana (a>0 – gore, a<0 – вниз)

2) nalazimo koordinate vrha parabole pomoću formule , .

3) nalazimo točku sjecišta parabole s osi (oy) pomoću slobodnog člana, konstruiramo točku simetričnu ovoj točki u odnosu na os simetrije parabole (treba napomenuti da se događa da je neisplativo označiti ova točka, na primjer, jer je vrijednost velika... preskačemo ovu točku...)

4) U pronađenoj točki - vrhu parabole (kao u točki (0;0) novog koordinatnog sustava) konstruiramo parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Sjecišta parabole s osi (oy) (ako još nisu „izronile“) nalazimo rješavanjem jednadžbe

Primjer 1

Primjer 2

Napomena 1. Ako nam je parabola na početku dana u obliku , gdje su neki brojevi (npr. ), tada će ju biti još lakše konstruirati, jer su nam već zadane koordinate vrha . Zašto?

Uzmimo kvadratni trinom i izolirajmo cijeli kvadrat u njemu: Gledajte, dobili smo to , . Vi i ja smo prethodno zvali vrh parabole, to jest, sada,.

Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (u odnosu na ). Odnosno, provodimo točke 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruiranje parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola dana u obliku sličnom ovome (tj. prikazana kao umnožak dvaju linearnih faktora), tada odmah vidimo točke sjecišta parabole s osi (ox). U ovom slučaju – (0;0) i (4;0). Za ostalo, djelujemo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

Na satovima matematike u školi već ste se upoznali s najjednostavnijim svojstvima i grafom funkcije y = x 2. Proširimo svoje znanje na kvadratna funkcija.

Vježba 1.

Grafički nacrtajte funkciju y = x 2. Mjerilo: 1 = 2 cm Označite točku na osi Oy F(0; 1/4). Koristeći kompas ili traku papira, izmjerite udaljenost od točke F do neke točke M parabole. Zatim pričvrstite traku u točku M i okrećite je oko te točke dok ne postane okomita. Kraj trake će pasti malo ispod x-osi (Sl. 1). Označite na traci koliko se proteže izvan x-osi. Sada uzmite drugu točku na paraboli i ponovno ponovite mjerenje. Koliko je rub trake pao ispod x-osi?

Proizlaziti: bez obzira koju točku na paraboli y = x 2 uzmete, udaljenost od te točke do točke F(0; 1/4) bit će veća od udaljenosti od iste točke do apscisne osi za uvijek isti broj - 1/4.

Možemo to reći i drugačije: udaljenost od bilo koje točke parabole do točke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste točke parabole do pravca y = -1/4. Ova divna točka F(0; 1/4) zove se usredotočenost parabole y = x 2 i ravnu liniju y = -1/4 – ravnateljice ova parabola. Svaka parabola ima direktrisu i žarište.

Zanimljiva svojstva parabole:

1. Bilo koja točka parabole jednako je udaljena od neke točke, koja se naziva žarište parabole, i neke ravne crte, koja se naziva njezina direktrisa.

2. Zakrenete li parabolu oko osi simetrije (npr. parabolu y = x 2 oko osi Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu plohu koja se naziva paraboloid revolucije.

Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik rotacijskog paraboloida. Ovu površinu možete vidjeti ako snažno promiješate žlicom nepunu čašu čaja, a zatim izvadite žlicu.

3. Ako bacite kamen u prazninu pod određenim kutom u odnosu na horizont, on će letjeti u paraboli (slika 2).

4. Ako plohu stošca presječete ravninom paralelnom s bilo kojom od njegovih generatrisa, presjek će rezultirati parabolom (slika 3).

5. Zabavni parkovi ponekad imaju zabavnu vožnju koja se zove Paraboloid čuda. Svakome tko stoji unutar rotirajućeg paraboloida čini se da stoji na podu, dok se ostali ljudi nekim čudom drže za zidove.

6. U reflektirajućim teleskopima koriste se i parabolična zrcala: svjetlost daleke zvijezde, koja dolazi u paralelnom snopu, pada na zrcalo teleskopa, skuplja se u fokus.

7. Reflektori obično imaju ogledalo u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u fokus paraboloida, tada zrake, reflektirane od paraboličnog zrcala, tvore paralelnu zraku.

Grafički prikaz kvadratne funkcije

Na satovima matematike učili ste kako iz grafa funkcije y = x 2 dobiti grafove funkcija oblika:

1) y = sjekira 2– rastezanje grafa y = x 2 duž Oy osi u |a| puta (s |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riža. 4).

2) y = x 2 + n– pomak grafa za n jedinica duž Oy osi, a ako je n > 0, tada je pomak naviše, a ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– pomak grafa za m jedinica duž Ox osi: ako je m< 0, то вправо, а если m >0, zatim lijevo, (Sl. 5).

4) y = -x 2– simetričan prikaz u odnosu na os Ox grafa y = x 2 .

Pogledajmo pobliže crtanje funkcije y = a(x – m) 2 + n.

Kvadratna funkcija oblika y = ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik

y = a(x – m) 2 + n, gdje je m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Dokažimo to.

Stvarno,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Uvedimo nove oznake.

Neka m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

tada dobivamo y = a(x – m) 2 + n ili y – n = a(x – m) 2.

Napravimo još neke zamjene: neka je y – n = Y, x – m = X (*).

Tada dobivamo funkciju Y = aX 2 čiji je graf parabola.

Vrh parabole je u ishodištu. X = 0; Y = 0.

Zamjenom koordinata vrha u (*) dobivamo koordinate vrha grafa y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Dakle, da bi se nacrtala kvadratna funkcija predstavljena kao

y = a(x – m) 2 + n

kroz transformacije, možete nastaviti na sljedeći način:

a) nacrtati funkciju y = x 2 ;

b) paralelnom translacijom po osi Ox za m jedinica i po osi Oy za n jedinica - prenijeti vrh parabole iz ishodišta u točku s koordinatama (m; n) (Sl. 6).

Transformacije snimanja:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Primjer.

Transformacijama konstruirajte graf funkcije y = 2(x – 3) 2 u Kartezijevom koordinatnom sustavu – 2.

Riješenje.

Lanac transformacija:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Crtanje je prikazano u riža. 7.

Možete samostalno vježbati crtanje grafikona kvadratnih funkcija. Na primjer, pomoću transformacija izgradite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 u jednom koordinatnom sustavu. Ako imate bilo kakvih pitanja ili želite dobiti savjet od nastavnika, tada imate priliku provesti besplatna lekcija od 25 minuta s online učiteljem nakon registracije. Za daljnji rad Sa svojim učiteljem možete odabrati tarifni plan koji vam odgovara.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako nacrtati graf kvadratne funkcije?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Važne bilješke!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u svom pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pozornost na naš navigator za najkorisnije resurse za

Da biste razumjeli što će ovdje biti napisano, morate dobro znati što je kvadratna funkcija i za što se koristi. Ako se smatrate profesionalcem kada je riječ o kvadratnim funkcijama, dobrodošli. Ali ako ne, trebali biste pročitati temu.

Počnimo s malim provjere:

1. Kako kvadratna funkcija izgleda u općem obliku (formuli)?
2. Kako se zove graf kvadratne funkcije?
3. Kako vodeći koeficijent utječe na graf kvadratne funkcije?

Ako ste odmah uspjeli odgovoriti na ova pitanja, nastavite čitati. Ako je barem jedno pitanje izazvalo poteškoće, idite na.

Dakle, već znate kako rukovati kvadratnom funkcijom, analizirati njezin graf i graditi graf po točkama.

Pa, evo ga: .

Prisjetimo se ukratko što rade izgledi.

1. Vodeći koeficijent je odgovoran za “strmost” parabole, odnosno, drugim riječima, za njenu širinu: što je veći, to je parabola uža (strmija), a što je manji, to je parabola šira (ravnija).
2. Slobodni član je koordinata sjecišta parabole s osi ordinata.
3. A koeficijent je nekako odgovoran za pomak parabole iz središta koordinata. Razgovarajmo sada o ovome detaljnije.

Gdje uvijek počinjemo graditi parabolu? Koja je njegova posebnost?

Ovaj vrh. Sjećate li se kako pronaći koordinate vrha?

Apscisa se traži pomoću sljedeće formule:

Ovako: nego više, oni nalijevo pomiče se vrh parabole.

Ordinata vrha može se pronaći zamjenom u funkciju:

Stavite ga i sami izračunajte. Što se dogodilo?

Ako sve učinite ispravno i pojednostavite dobiveni izraz što je više moguće, dobit ćete:

Ispada da što više modulo, oni viši htjeti vrh parabole.

Prijeđimo konačno na crtanje grafa.
Najlakši način je izgraditi parabolu počevši od vrha.

Primjer:

Konstruirajte graf funkcije.

Riješenje:

Najprije odredimo koeficijente: .

Sada izračunajmo koordinate vrha:

Sada zapamtite: sve parabole s istim vodećim koeficijentom izgledaju isto. To znači da ako izgradimo parabolu i pomaknemo njen vrh u točku, dobit ćemo graf koji nam treba:

Jednostavno, zar ne?

Ostaje samo jedno pitanje: kako brzo nacrtati parabolu? Čak i ako nacrtamo parabolu s vrhom u ishodištu, još uvijek je moramo graditi točku po točku, a to je dugo i nezgodno. Ali sve parabole izgledaju isto, možda postoji način da se ubrza njihovo crtanje?

Kad sam bio u školi, moj profesor matematike rekao je svima da iz kartona izrežu šablonu u obliku parabole kako bi je mogli brzo nacrtati. Ali nećete moći posvuda hodati sa šablonom i nećete je smjeti ponijeti na ispit. To znači da nećemo koristiti strane predmete, već ćemo tražiti uzorak.

Razmotrimo najjednostavniju parabolu. Izgradimo točku po točku:

Ovo je obrazac ovdje. Ako se od tjemena pomaknemo udesno (po osi) za, a prema gore (po osi) za, tada ćemo doći do točke parabole. Dalje: ako se od ove točke pomaknemo udesno i gore, ponovno ćemo doći do točke parabole. Dalje: desno i gore. Što je sljedeće? Desno i gore. I tako dalje: jedan pomaknite udesno, a sljedeći neparni broj gore. Zatim radimo isto s lijevom granom (uostalom, parabola je simetrična, odnosno njezine grane izgledaju isto):

Sjajno, ovo će vam pomoći da konstruirate bilo koju parabolu iz vrha s vodećim koeficijentom jednakim. Na primjer, naučili smo da je vrh parabole u točki. Konstruirajte (sami, na papiru) ovu parabolu.

Izgrađeno?

Trebalo bi izgledati ovako:

Sada povezujemo dobivene točke:

To je sve.

OK, dobro, sada možemo samo graditi parabole sa?

Naravno da ne. Sada shvatimo što ćemo s njima, ako.

Pogledajmo nekoliko tipičnih slučajeva.

Odlično, naučili ste kako nacrtati parabolu, a sada idemo vježbati korištenje stvarnih funkcija.

Dakle, nacrtajte grafove ovih funkcija:

odgovori:

3. Vrh: .

Sjećate li se što učiniti ako je seniorski koeficijent manji?

Gledamo nazivnik razlomka: jednak je. Dakle, kretat ćemo se ovako:

• desno - gore
• desno - gore
• desno - gore

i također lijevo:

4. Vrh: .

Oh, što možemo učiniti u vezi s tim? Kako izmjeriti ćelije ako je vrh negdje između linija?..

I varat ćemo se. Prvo nacrtajmo parabolu, a tek onda pomaknimo njen vrh u točku. Ne, učinimo nešto još lukavije: Nacrtajmo parabolu, a zatim pomakni osi:- uključeno dolje, a - na pravo:

Ova tehnika je vrlo prikladna u slučaju bilo koje parabole, zapamtite je.

Dopustite da vas podsjetim da funkciju možemo prikazati u ovom obliku:

Na primjer: .

Što nam to daje?

Činjenica je da je broj koji se oduzima u zagradama () apscisa vrha parabole, a član izvan zagrada () je ordinata vrha.

To znači da ćete, nakon što ste konstruirali parabolu, jednostavno trebati pomaknite os ulijevo i os dolje.

Primjer: Izgradimo graf funkcije.

Odaberimo cijeli kvadrat:

Koji broj oduzeti iz zagrade? Ovo (a ne kako možete odlučiti bez razmišljanja).

Dakle, napravimo parabolu:

Sada pomičemo os prema dolje, odnosno gore:

A sada - lijevo, odnosno desno:

To je sve. To je isto kao pomicanje parabole s njezinim vrhom iz ishodišta u točku, samo što je ravnu os mnogo lakše pomaknuti od zakrivljene parabole.

Sada, kao i obično, ja:

I ne zaboravite obrisati stare osovine gumicom!

Ja sam kao odgovori Da provjerim, napisat ću vam ordinate vrhova ovih parabola:

Je li se sve poklopilo?

Ako da, onda ste super! Znati baratati parabolom vrlo je važno i korisno, a ovdje smo saznali da uopće nije teško.

KONSTRUKCIJA GRAFIKA KVADRATNE FUNKCIJE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna funkcija - funkcija oblika, gdje su i bilo koji brojevi (koeficijenti), - slobodan izraz.

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Vrh parabole:
, tj. Što je \displaystyle b veći, to se vrh parabole pomiče više ulijevo.
Zamijenimo ga u funkciju i dobijemo:
, tj. što je \displaystyle b veća u apsolutnoj vrijednosti, viši će biti vrh parabole

Slobodni član je koordinata sjecišta parabole s osi ordinata.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na budžet na budžet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i pristup za sve zadatke i svima skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!