Kao što praksa pokazuje, zadaci o svojstvima i grafovima kvadratne funkcije uzrokuju ozbiljne poteškoće. To je prilično čudno, jer oni uče kvadratnu funkciju u 8. razredu, a zatim kroz prvo tromjesečje 9. razreda "muče" svojstva parabole i grade njezine grafove za razne parametre.

To je zbog činjenice da kada učenici prisiljavaju konstruirati parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno se pretpostavlja da će, nakon konstruiranja desetak ili dva grafikona, pametan učenik sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafička umjetnost. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkim mini-istraživanjima, što većina učenika devetog razreda, naravno, ne posjeduje. U međuvremenu, Državni inspektorat predlaže određivanje znakova koeficijenata pomoću rasporeda.

Od školaraca nećemo zahtijevati nemoguće i jednostavno ćemo ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija forme y = ax 2 + bx + c zove se kvadratna, a njen graf je parabola. Kao što naziv govori, glavni pojam je sjekira 2. To je A ne smije biti jednak nuli, preostali koeficijenti ( b I S) može biti jednaka nuli.

Pogledajmo kako predznaci njezinih koeficijenata utječu na izgled parabole.

Najjednostavnija ovisnost za koeficijent A. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako A> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = 0,5

A sada za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = - 0,5

Utjecaj koeficijenta S Također je prilično lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u točki x= 0. Zamijenite nulu u formulu:

g = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je S je ordinata točke presjeka parabole s osi y. Obično je ovu točku lako pronaći na grafikonu. I odredite nalazi li se iznad nule ili ispod. To je S> 0 ili S < 0.

S > 0:

y = x 2 + 4x + 3

S < 0

y = x 2 + 4x - 3

Prema tome, ako S= 0, tada će parabola nužno prolaziti kroz ishodište:

y = x 2 + 4x

Teže s parametrom b. Točka u kojoj ćemo ga pronaći ovisi ne samo o b ali i iz A. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata osi x) nalazi se formulom x u = - b/(2a). Tako, b = - 2ax in. Odnosno, postupamo na sljedeći način: nalazimo vrh parabole na grafu, određujemo znak njegove apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili ulijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, to nije sve. Također moramo obratiti pozornost na predznak koeficijenta A. Odnosno, pogledajte kamo su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, prema formuli b = - 2ax in odrediti znak b.

Pogledajmo primjer:

Grane su usmjerene prema gore, što znači A> 0, parabola siječe os na ispod nule, tj S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.

Poziva se funkcija oblika where kvadratna funkcija.

Graf kvadratne funkcije – parabola.

Razmotrimo slučajeve:

I SLUČAJ, KLASIČNA PARABOLA

To je , ,

Za konstrukciju ispunite tablicu zamjenom vrijednosti x u formulu:

Označite bodove (0;0); (1;1); (-1;1), itd. na koordinatna ravnina(što manji korak uzimamo x vrijednosti (u ovom slučaju, korak 1), i što više x vrijednosti uzimamo, to će krivulja biti glađa), dobivamo parabolu:

Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , tj. tada dobivamo parabolu koja je simetrična u odnosu na os (oh). To je lako provjeriti ispunjavanjem slične tablice:

II PADEŽ, "a" JE RAZLIČIT OD JEDINICE

Što će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? S naslovom="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Na prvoj slici (vidi gore) jasno je vidljivo da su točke iz tablice za parabolu (1;1), (-1;1) transformirane u točke (1;4), (1;-4), odnosno s istim vrijednostima ordinata svake točke se množi s 4. To će se dogoditi sa svim ključnim točkama izvorne tablice. Slično razmišljamo u slučajevima slika 2 i 3.

A kada parabola "postane šira" od parabole:

Ukratko:

1)Predznak koeficijenta određuje smjer grana. S naslovom="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modul) je odgovoran za "širenje" i "sabijanje" parabole. Što je veći, to je parabola uža; što je manji |a|, to je parabola šira.

III SLUČAJ, POJAVLJUJE SE "C".

Sada uvedimo u igru ​​(to jest, razmotrimo slučaj kada), razmotrit ćemo parabole oblika . Nije teško pogoditi (uvijek možete pogledati tablicu) da će se parabola pomaknuti gore ili dolje duž osi ovisno o znaku:

IV PADEŽ, POJAVLJUJE SE "b".

Kada će se parabola “otrgnuti” od osi i konačno “prošetati” cijelom koordinatnom ravninom? Kada će prestati biti ravnopravan?

Ovdje trebamo konstruirati parabolu formula za izračunavanje vrha: , .

Dakle, u ovoj točki (kao u točki (0;0) novi sustav koordinate) izgradit ćemo parabolu, što već možemo. Ako se bavimo slučajem, tada od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća točka je naša (slično tome, korak ulijevo, korak prema gore je naša točka); ako se, na primjer, bavimo, tada od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, dva - prema gore itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavna stvar koju treba razumjeti da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema uzorku parabole, jer u našem slučaju.

Pri konstruiranju parabole nakon pronalaženja koordinata vrha vrloPrikladno je razmotriti sljedeće točke:

1) parabola sigurno će proći kroz točku . Zaista, zamjenom x=0 u formulu, dobivamo da . Odnosno, ordinata točke presjeka parabole s osi (oy) je . U našem primjeru (iznad), parabola siječe ordinatu u točki , budući da .

2) osi simetrije parabole je ravna crta, pa će sve točke parabole biti simetrične u odnosu na nju. U našem primjeru, odmah uzmemo točku (0; -2) i gradimo je simetrično u odnosu na os simetrije parabole, dobivamo točku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Izjednačujući s , nalazimo točke sjecišta parabole s osi (oh). Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu. Ovisno o diskriminantu, dobit ćemo jedan (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru naš korijen diskriminanta nije cijeli broj; prilikom konstruiranja nema smisla tražiti korijene, ali jasno vidimo da ćemo imati dvije sjecišne točke s osi (oh) (od naslova="Renderirao QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa idemo to riješiti

Algoritam za konstruiranje parabole ako je zadana u obliku

1) odrediti smjer grana (a>0 – gore, a<0 – вниз)

2) nalazimo koordinate vrha parabole pomoću formule , .

3) nalazimo točku sjecišta parabole s osi (oy) pomoću slobodnog člana, konstruiramo točku simetričnu ovoj točki u odnosu na os simetrije parabole (treba napomenuti da se događa da je neisplativo označiti ova točka, na primjer, jer je vrijednost velika... preskačemo ovu točku...)

4) U pronađenoj točki - vrhu parabole (kao u točki (0;0) novog koordinatnog sustava) konstruiramo parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Sjecišta parabole s osi (oy) (ako još nisu „izronile“) nalazimo rješavanjem jednadžbe

Primjer 1

Primjer 2

Napomena 1. Ako nam je parabola na početku dana u obliku , gdje su neki brojevi (npr. ), tada će ju biti još lakše konstruirati, jer su nam već zadane koordinate vrha . Zašto?

Idemo uzeti kvadratni trinom i odaberite cijeli kvadrat u njemu: Gledajte, dobili smo to , . Vi i ja smo prethodno zvali vrh parabole, to jest, sada,.

Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (u odnosu na ). Odnosno, provodimo točke 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruiranje parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola dana u obliku sličnom ovome (tj. prikazana kao umnožak dvaju linearnih faktora), tada odmah vidimo točke sjecišta parabole s osi (ox). U ovom slučaju – (0;0) i (4;0). Za ostalo, djelujemo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

Na satovima matematike u školi već ste se upoznali s najjednostavnijim svojstvima i grafom funkcije y = x 2. Proširimo svoje znanje na kvadratna funkcija.

Vježba 1.

Grafički nacrtajte funkciju y = x 2. Mjerilo: 1 = 2 cm Označite točku na osi Oy F(0; 1/4). Koristeći kompas ili traku papira, izmjerite udaljenost od točke F do neke točke M parabole. Zatim pričvrstite traku u točku M i okrećite je oko te točke dok ne postane okomita. Kraj trake će pasti malo ispod x-osi (Sl. 1). Označite na traci koliko se proteže izvan x-osi. Sada uzmite drugu točku na paraboli i ponovno ponovite mjerenje. Koliko je rub trake pao ispod x-osi?

Proizlaziti: bez obzira koju točku na paraboli y = x 2 uzmete, udaljenost od te točke do točke F(0; 1/4) bit će veća od udaljenosti od iste točke do apscisne osi za uvijek isti broj - 1/4.

Možemo to reći i drugačije: udaljenost od bilo koje točke parabole do točke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste točke parabole do pravca y = -1/4. Ova divna točka F(0; 1/4) zove se usredotočenost parabole y = x 2 i ravnu liniju y = -1/4 – ravnateljice ova parabola. Svaka parabola ima direktrisu i žarište.

Zanimljiva svojstva parabole:

1. Bilo koja točka parabole jednako je udaljena od neke točke, koja se naziva žarište parabole, i neke ravne crte, koja se naziva njezina direktrisa.

2. Zakrenete li parabolu oko osi simetrije (npr. parabolu y = x 2 oko osi Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu plohu koja se naziva paraboloid revolucije.

Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik rotacijskog paraboloida. Ovu površinu možete vidjeti ako snažno promiješate žlicom nepunu čašu čaja, a zatim izvadite žlicu.

3. Ako bacite kamen u prazninu pod određenim kutom u odnosu na horizont, on će letjeti u paraboli (slika 2).

4. Ako plohu stošca presječete ravninom paralelnom s bilo kojom od njegovih generatrisa, presjek će rezultirati parabolom (slika 3).

5. Zabavni parkovi ponekad imaju zabavnu vožnju koja se zove Paraboloid čuda. Svakome tko stoji unutar rotirajućeg paraboloida čini se da stoji na podu, dok se ostali ljudi nekim čudom drže za zidove.

6. U reflektirajućim teleskopima koriste se i parabolična zrcala: svjetlost daleke zvijezde, koja dolazi u paralelnom snopu, pada na zrcalo teleskopa, skuplja se u fokus.

7. Reflektori obično imaju ogledalo u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u fokus paraboloida, tada zrake, reflektirane od paraboličnog zrcala, tvore paralelnu zraku.

Grafički prikaz kvadratne funkcije

Na satovima matematike učili ste kako iz grafa funkcije y = x 2 dobiti grafove funkcija oblika:

1) y = sjekira 2– rastezanje grafa y = x 2 duž Oy osi u |a| puta (s |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riža. 4).

2) y = x 2 + n– pomak grafa za n jedinica duž Oy osi, a ako je n > 0, tada je pomak naviše, a ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– pomak grafa za m jedinica duž Ox osi: ako je m< 0, то вправо, а если m >0, zatim lijevo, (Sl. 5).

4) y = -x 2– simetričan prikaz u odnosu na os Ox grafa y = x 2 .

Pogledajmo pobliže crtanje funkcije y = a(x – m) 2 + n.

Kvadratna funkcija oblika y = ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik

y = a(x – m) 2 + n, gdje je m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Dokažimo to.

Stvarno,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Uvedimo nove oznake.

Neka m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

tada dobivamo y = a(x – m) 2 + n ili y – n = a(x – m) 2.

Napravimo još neke zamjene: neka je y – n = Y, x – m = X (*).

Tada dobivamo funkciju Y = aX 2 čiji je graf parabola.

Vrh parabole je u ishodištu. X = 0; Y = 0.

Zamjenom koordinata vrha u (*) dobivamo koordinate vrha grafa y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Dakle, da bi se nacrtala kvadratna funkcija predstavljena kao

y = a(x – m) 2 + n

kroz transformacije, možete nastaviti na sljedeći način:

a) nacrtati funkciju y = x 2 ;

b) paralelnom translacijom po osi Ox za m jedinica i po osi Oy za n jedinica - prenijeti vrh parabole iz ishodišta u točku s koordinatama (m; n) (Sl. 6).

Transformacije snimanja:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Primjer.

Transformacijama konstruirajte graf funkcije y = 2(x – 3) 2 u Kartezijevom koordinatnom sustavu – 2.

Riješenje.

Lanac transformacija:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Crtanje je prikazano u riža. 7.

Možete samostalno vježbati crtanje grafikona kvadratnih funkcija. Na primjer, pomoću transformacija izgradite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 u jednom koordinatnom sustavu. Ako imate bilo kakvih pitanja ili želite dobiti savjet od nastavnika, tada imate priliku provesti besplatna lekcija od 25 minuta s online učiteljem nakon registracije. Za daljnji rad Sa svojim učiteljem možete odabrati tarifni plan koji vam odgovara.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako nacrtati graf kvadratne funkcije?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Lekcija 15.
Utjecaj koeficijenataa, b IS do lokacije
graf kvadratne funkcije

Ciljevi: nastaviti razvijati sposobnost crtanja grafa kvadratne funkcije i navođenja njezinih svojstava; identificirati utjecaj koeficijenata A, b I S na mjesto grafa kvadratne funkcije.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

II. Usmeni rad.

Odredite koji je graf funkcije prikazan na slici:

na = x 2 – 2x – 1;

na = –2x 2 – 8x;

na = x 2 – 4x – 1;

na = 2x 2 + 8x + 7;

na = 2x 2 – 1.

b)

na = x 2 – 2x;

na = –x 2 + 4x + 1;

na = –x 2 – 4x + 1;

na = –x 2 + 4x – 1;

na = –x 2 + 2x – 1.

III. Formiranje vještina i sposobnosti.

Vježbe:

1. broj 127 (a).

Riješenje

Ravno na = 6x + b dodiruje parabolu na = x 2 + 8, odnosno s njim ima samo jednu zajedničku točku u slučaju kada je jednadžba 6 x + b = x 2 + 8 će imati jedina odluka.

Ova jednadžba je kvadratna, pronađimo njenu diskriminantu:

x 2 – 6x + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0 ako je 1 + b= 0, tj b= –1.

Odgovor: b= –1.

3. Identificirati utjecaj koeficijenata A, b I S na mjestu grafa funkcije na = Oh 2 + bx + S.

Učenici imaju dovoljno znanja za samostalno rješavanje ovog zadatka. Treba ih pozvati da sve svoje nalaze zapišu u bilježnicu, ističući „glavnu” ulogu svakog od koeficijenata.

1) Koeficijent A utječe na smjer grana parabole: kada A> 0 – grane su usmjerene prema gore, sa A < 0 – вниз.

2) Koeficijent b utječe na mjesto vrha parabole. Na b= 0 vrh leži na osi OU.

3) Koeficijent S prikazuje točku sjecišta parabole s osi OU.

Nakon ovoga može se dati primjer koji pokazuje što se može reći o koeficijentima A, b I S prema grafu funkcije.

Značenje S može se nazvati upravo: budući da graf siječe os OU u točki (0; 1), dakle S = 1.

Koeficijent A može se usporediti s nulom: budući da su grane parabole usmjerene prema dolje, tada A < 0.

Predznak koeficijenta b može se saznati iz formule koja određuje apscisu vrha parabole: T= , budući da A < 0 и T= 1, tada b> 0.

4. Na temelju vrijednosti koeficijenata odredite koji je graf funkcije prikazan na slici A, b I S.

na = –x 2 + 2x;

na = x 2 + 2x + 2;

na = 2x 2 – 3x – 2;

na = x 2 – 2.

Riješenje

A, b I S:

A> 0, budući da su grane parabole usmjerene prema gore;

b OU;

S= –2, budući da parabola siječe ordinatu u točki (0; –2).

na = 2x 2 – 3x – 2.

na = x 2 – 2x;

na = –2x 2 + x + 3;

na = –3x 2 – x – 1;

na = –2,7x 2 – 2x.

Riješenje

Na temelju prikazanog grafikona donosimo sljedeće zaključke o koeficijentima A, b I S:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, budući da vrh parabole ne leži na osi OU;

S= 0, jer parabola siječe os OU u točki (0; 0).

Sve te uvjete zadovoljava samo funkcija na = –2,7x 2 – 2x.

5. Prema grafu funkcije na = Oh 2 + bx + S A, b I S:

A) b)

Riješenje

a) Grane parabole usmjerene su prema gore, dakle A > 0.

Parabola siječe ordinatnu os u donjoj poluravnini pa S < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Upotrijebimo formulu za pronalaženje apscise vrha parabole: T= . Iz grafikona se vidi da T < 0, и мы определим, что A> 0. Prema tome b> 0.

b) Slično određujemo predznake koeficijenata A, b I S:

A < 0, S > 0, b< 0.

Studenti koji su akademski jaki mogu dobiti dodatnu opciju da završe br. 247.

Riješenje

na = x 2 + px + q.

a) Prema Vietinom teoremu poznato je da ako x 1 i x 2 – korijeni jednadžbe x 2 +
+ px + q= 0 (odnosno nule ove funkcije), tada x 1 · x 2 = q I x 1 + x 2 = –R. Shvaćamo to q= 3 4 = 12 i R = –(3 + 4) = –7.

b) Sjecište parabole s osi OUće dati vrijednost parametra q, to je q= 6. Ako graf funkcije siječe os OH u točki (2; 0), tada je broj 2 korijen jednadžbe x 2 + px + q= 0. Zamjena vrijednosti x= 2 u ovu jednadžbu, dobivamo to R = –5.

c) Ova kvadratna funkcija postiže svoju minimalnu vrijednost na vrhu parabole, dakle , odakle R= –12. Po uvjetu, vrijednost funkcije na = x 2 – 12x + q u točki x= 6 jednako 24. Zamjena x= 6 i na= 24 V ovu funkciju, to nalazimo q= 60.

IV. Rad na provjeri.

opcija 1

1. Grafički nacrtajte funkciju na = 2x 2 + 4x– 6 i pomoću grafikona pronađite:

a) nule funkcije;

b) intervali u kojima na> 0 i g < 0;

d) najmanja vrijednost funkcije;

e) raspon funkcije.

2. Bez crtanja funkcije na = –x 2 + 4x, pronaći:

a) nule funkcije;

c) raspon funkcije.

3. Prema grafu funkcije na = Oh 2 + bx + S odrediti predznake koeficijenata A, b I S:

opcija 2

1. Grafički nacrtajte funkciju na = –x 2 + 2x+ 3 i pomoću grafikona pronađite:

a) nule funkcije;

b) intervali u kojima na> 0 i g < 0;

c) intervali rastuće i opadajuće funkcije;

G) najveća vrijednost funkcije;

e) raspon funkcije.

2. Bez crtanja funkcije na = 2x 2 + 8x, pronaći:

a) nule funkcije;

b) intervali rastuće i opadajuće funkcije;

c) raspon funkcije.

3. Prema grafu funkcije na = Oh 2 + bx + S odrediti predznake koeficijenata A, b I S:

V. Sažetak lekcije.

Često postavljana pitanja:

– Opišite algoritam za konstruiranje kvadratne funkcije.

– Navedite svojstva funkcije na = Oh 2 + bx + S na A> 0 i pri A < 0.

– Kako koeficijenti utječu A, b I S na mjestu grafa kvadratne funkcije?

Domaća zadaća: br. 127 (b), br. 128, br. 248.

DODATNO: br.130.