Ako stavite krug broja jedinice na koordinatna ravnina, tada se mogu pronaći koordinate za njegove točke. Brojevni krug postavljen je tako da mu se središte poklapa s ishodištem u ravnini, odnosno točkom O (0; 0).

Obično su na kružnici brojeva jedinice označene točke koje odgovaraju ishodištu kružnice

• četvrtine - 0 ili 2π, π/2, π, (2π)/3,
• srednje četvrtine - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trećine četvrtine - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na koordinatnoj ravnini, s gornjim položajem jedinične kružnice na njoj, možete pronaći koordinate koje odgovaraju tim točkama kružnice.

Koordinate krajeva četvrtina vrlo je lako pronaći. U točki 0 kružnice koordinata x je 1, a koordinata y je 0. Možemo je označiti kao A (0) = A (1; 0).

Kraj prvog kvartala nalazit će se na pozitivnoj y-osi. Prema tome, B (π/2) = B (0; 1).

Kraj druge četvrtine je na negativnoj poluosi: C (π) = C (-1; 0).

Kraj treće četvrtine: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ali kako pronaći koordinate središta četvrtina? Za ovo oni grade pravokutni trokut. Njegova hipotenuza je segment od središta kruga (ili ishodišta) do sredine četvrtine kruga. Ovo je radijus kruga. Budući da je kružnica jedinica, hipotenuza je jednaka 1. Zatim povucite okomicu iz točke na kružnici na bilo koju os. Neka bude prema x osi. Rezultat je pravokutni trokut čije su duljine kateta x i y koordinate točke na kružnici.

Četvrtina kruga je 90º. A pola četvrtine je 45º. Budući da je hipotenuza povučena u središte kvadranta, kut između hipotenuze i kraka koji se proteže iz ishodišta je 45º. Ali zbroj kutova bilo kojeg trokuta je 180º. Posljedično, kut između hipotenuze i druge noge također ostaje 45º. To rezultira jednakokračnim pravokutnim trokutom.

Iz Pitagorinog poučka dobivamo jednadžbu x 2 + y 2 = 1 2. Budući da je x = y i 1 2 = 1, jednadžba se pojednostavljuje na x 2 + x 2 = 1. Rješavajući je, dobivamo x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Dakle, koordinate točke M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

U koordinatama točaka središnjih točaka ostalih četvrtina promijenit će se samo znakovi, a moduli vrijednosti ostat će isti, jer će se pravokutni trokut samo okrenuti. Dobivamo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Pri određivanju koordinata trećih dijelova četvrtina kruga konstruira se i pravokutni trokut. Ako uzmemo točku π/6 i povučemo okomicu na x-osu, tada će kut između hipotenuze i kraka koji leži na x-osi biti 30º. Poznato je da je kateta koja leži nasuprot kutu od 30º jednaka polovici hipotenuze. To znači da smo pronašli y koordinatu, ona je jednaka ½.

Poznavajući duljine hipotenuze i jedne od kateta, pomoću Pitagorinog poučka nalazimo drugu nogu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Stoga je T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Za točku druge trećine prve četvrtine (π/3) bolje je povući okomicu na os na y os. Tada će kut u ishodištu također biti 30º. Ovdje će x koordinata biti jednaka ½, a y, redom, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Za ostale točke trećih četvrtina promijenit će se znakovi i redoslijed vrijednosti koordinata. Sve točke koje su bliže osi x imat će vrijednost modula x koordinate jednaku √3/2. One točke koje su bliže y osi imat će vrijednost modula y jednaku √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Matematika je prilično složena znanost. Dok ga proučavate, morate ne samo rješavati primjere i probleme, već i raditi s raznim oblicima, pa čak i ravninama. Jedan od najčešće korištenih u matematici je koordinatni sustav na ravnini. Pravilan rad Djeca su s njom podučavana više od godinu dana. Stoga je važno znati što je to i kako s njim ispravno raditi.

Hajdemo shvatiti što je to ovaj sustav, koje radnje se mogu izvesti uz njegovu pomoć, a također naučiti njegove glavne karakteristike i značajke.

Definicija pojma

Koordinatna ravnina je ravnina na kojoj je zadan određeni koordinatni sustav. Takvu ravninu definiraju dvije ravne linije koje se sijeku pod pravim kutom. U sjecištu ovih linija nalazi se ishodište koordinata. Svaka točka na koordinatnoj ravnini određena je parom brojeva koji se nazivaju koordinate.

U školski tečaj U matematici školarci moraju vrlo blisko surađivati ​​s koordinatnim sustavom - graditi figure i točke na njemu, odrediti kojoj ravnini pripada ova ili ona koordinata, kao i odrediti koordinate točke te ih pisati ili imenovati. Stoga, razgovarajmo detaljnije o svim značajkama koordinata. Ali prvo, dotaknimo se povijesti stvaranja, a zatim ćemo razgovarati o tome kako raditi na koordinatnoj ravnini.

Povijesna referenca

Ideje o stvaranju koordinatnog sustava postojale su još u vrijeme Ptolomeja. Već tada su astronomi i matematičari razmišljali o tome kako naučiti odrediti položaj točke na ravnini. Nažalost, u to vrijeme nije postojao nama poznati koordinatni sustav, pa su znanstvenici morali koristiti druge sustave.

U početku su određivali točke pomoću zemljopisne širine i dužine. Dugo vremena ovo je bila jedna od najčešće korištenih metoda stavljanja ove ili one informacije na kartu. No 1637. Rene Descartes stvorio je vlastiti koordinatni sustav, kasnije nazvan po "kartezijskom".

Već unutra potkraj XVII V. Koncept "koordinatne ravnine" postao je široko korišten u svijetu matematike. Unatoč činjenici da je prošlo nekoliko stoljeća od nastanka ovog sustava, on se još uvijek široko koristi u matematici, pa čak iu životu.

Primjeri koordinatne ravnine

Prije nego što govorimo o teoriji, dat ćemo nekoliko vizualnih primjera koordinatne ravnine kako biste je mogli zamisliti. Koordinatni sustav se prvenstveno koristi u šahu. Na ploči svaki kvadrat ima svoje koordinate - jedna koordinata je abecedna, druga je digitalna. Uz njegovu pomoć možete odrediti položaj određene figure na ploči.

Drugi najupečatljiviji primjer je omiljena igra "Battleship". Sjetite se kako tijekom igranja imenujete koordinatu, na primjer, B3, označavajući tako točno gdje ciljate. Istovremeno, prilikom postavljanja brodova, odredite točke na koordinatnoj ravnini.

Ovaj koordinatni sustav naširoko se koristi ne samo u matematici i logičkim igrama, već iu vojnim poslovima, astronomiji, fizici i mnogim drugim znanostima.

Koordinatne osi

Kao što je već spomenuto, u koordinatnom sustavu postoje dvije osi. Razgovarajmo malo o njima, jer su od velike važnosti.

Prva os je apscisa - vodoravna. Označava se kao ( Vol). Druga os je ordinata, koja prolazi okomito kroz referentnu točku i označava se kao ( Joj). Ove dvije osi tvore koordinatni sustav, dijeleći ravninu na četiri četvrtine. Ishodište se nalazi u sjecištu ove dvije osi i uzima vrijednost 0 . Samo ako ravninu čine dvije osi koje se sijeku okomito i imaju referentnu točku, ona je koordinatna ravnina.

Također imajte na umu da svaka od osi ima svoj smjer. Obično je pri konstruiranju koordinatnog sustava uobičajeno smjer osi označiti u obliku strelice. Osim toga, prilikom konstruiranja koordinatne ravnine, svaka od osi je potpisana.

Četvrtine

Recimo sada nekoliko riječi o takvom konceptu kao što su četvrtine koordinatne ravnine. Ravnina je s dvije osi podijeljena na četiri četvrtine. Svaki od njih ima svoj broj, a zrakoplovi su numerirani u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svaka od četvrti ima svoje karakteristike. Dakle, u prvoj četvrtini apscisa i ordinata su pozitivne, u drugoj četvrtini apscisa je negativna, ordinata je pozitivna, u trećoj su i apscisa i ordinata negativne, u četvrtoj je apscisa pozitivna, a ordinata negativna. .

Prisjećajući se ovih značajki, možete lako odrediti kojoj četvrtini pripada određena točka. Osim toga, ove vam informacije mogu biti korisne ako morate računati pomoću kartezijanskog sustava.

Rad s koordinatnom ravninom

Kada smo razumjeli koncept ravnine i razgovarali o njegovim četvrtinama, možemo prijeći na takav problem kao što je rad s ovim sustavom, a također razgovarati o tome kako staviti točke i koordinate figura na njega. Na koordinatnoj ravnini to nije tako teško kao što se na prvi pogled čini.

Prije svega, sam sustav je izgrađen, na njega su primijenjene sve važne oznake. Zatim radimo izravno s točkama ili oblicima. Štoviše, čak i kod konstruiranja likova prvo se na ravnini crtaju točke, a zatim crtaju likovi.

Pravila za konstruiranje ravnine

Ako odlučite početi označavati oblike i točke na papiru, trebat će vam koordinatna ravnina. Na njemu su ucrtane koordinate točaka. Za konstruiranje koordinatne ravnine potrebni su vam samo ravnalo i pero ili olovka. Najprije se nacrta vodoravna x-os, a zatim se povuče okomita os. Važno je zapamtiti da se osi sijeku pod pravim kutom.

Sljedeći obavezna stavka označava. Na svakoj od osi u oba smjera označeni su i označeni jedinični segmenti. To je učinjeno kako biste tada mogli raditi s avionom uz maksimalnu udobnost.

Označite točku

Sada razgovarajmo o tome kako iscrtati koordinate točaka na koordinatnoj ravnini. Ovo su osnove koje trebate znati kako biste uspješno postavili različite oblike na ravninu, pa čak i označili jednadžbe.

Prilikom konstruiranja točaka treba zapamtiti kako su njihove koordinate ispravno napisane. Dakle, obično se prilikom navođenja točke dva broja pišu u zagradi. Prva znamenka označava koordinatu točke duž apscisne osi, druga - duž ordinatne osi.

Točku treba konstruirati na ovaj način. Prva oznaka na osi Vol određenu točku, zatim označite točku na osi Joj. Zatim nacrtajte zamišljene linije iz ovih oznaka i pronađite mjesto gdje se sijeku - to će biti zadana točka.

Sve što trebate učiniti je označiti i potpisati. Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno i ne zahtijeva nikakve posebne vještine.

Stavite figuru

Sada prijeđimo na pitanje konstruiranja likova na koordinatnoj ravnini. Da biste konstruirali bilo koju figuru na koordinatnoj ravnini, trebali biste znati postaviti točke na nju. Ako znate kako to učiniti, postavljanje figure u avion nije tako teško.

Prije svega, trebat će vam koordinate točaka figure. Prema njima ćemo primijeniti one koje ste odabrali na naš koordinatni sustav. Razmotrimo primjenu pravokutnika, trokuta i kruga.

Počnimo s pravokutnikom. Lako se nanosi. Prvo su na ravnini označene četiri točke koje označavaju kutove pravokutnika. Tada su sve točke uzastopno povezane jedna s drugom.

Crtanje trokuta nije ništa drugačije. Jedino što ima tri kuta, što znači da su na ravnini označene tri točke koje označavaju njezine vrhove.

Što se tiče kruga, trebali biste znati koordinate dviju točaka. Prva točka je središte kruga, a druga točka koja označava njegov polumjer. Ove dvije točke su ucrtane na ravninu. Zatim uzmite šestar i izmjerite udaljenost između dvije točke. Vrh šestara postavlja se na točku koja označava središte i opisuje se krug.

Kao što vidite, ni ovdje nema ništa komplicirano, glavna stvar je da uvijek imate ravnalo i kompas pri ruci.

Sada znate kako iscrtati koordinate figura. Učiniti to na koordinatnoj ravnini nije tako teško kao što se na prvi pogled čini.

zaključke

Dakle, pogledali smo jedan od najzanimljivijih i najosnovnijih pojmova matematike s kojim se svaki školarac mora nositi.

Utvrdili smo da je koordinatna ravnina ravnina koja nastaje sjecištem dviju osi. Uz njegovu pomoć možete postavljati koordinate točaka i crtati oblike na njemu. Zrakoplov je podijeljen na četvrtine, od kojih svaka ima svoje karakteristike.

Glavna vještina koju treba razviti pri radu s koordinatnom ravninom je sposobnost ispravnog iscrtavanja zadanih točaka na njoj. Da biste to učinili morate znati ispravan položaj osi, obilježja četvrti, kao i pravila po kojima se određuju koordinate točaka.

Nadamo se da su vam informacije koje smo iznijeli bile dostupne i razumljive, te da su vam bile korisne i pomogle da bolje razumijete ovu temu.

Pravokutni koordinatni sustav na ravnini određen je s dva međusobno okomita pravca. Ravne linije se nazivaju koordinatne osi (ili koordinatne osi). Točka sjecišta ovih pravaca naziva se ishodištem i označava se slovom O.

Obično je jedna od linija vodoravna, a druga okomita. Vodoravna linija je označena kao x-os (ili Ox) i naziva se apscisna os, okomita linija je y-os (Oy), koja se naziva ordinatna os. Cijeli koordinatni sustav označen je xOy.

Točka O dijeli svaku od osi u dvije polu-osi, od kojih se jedna smatra pozitivnom (označena strelicom), a druga - negativnom.

Svakoj točki F ravnine pridružuje se par brojeva (x;y) - njezine koordinate.

Koordinata x naziva se apscisa. Jednako je Oxu, uzeto s odgovarajućim predznakom.

Koordinata y naziva se ordinata i jednaka je udaljenosti od točke F do osi Oy (s odgovarajućim predznakom).

Osovinske udaljenosti se obično (ali ne uvijek) mjere u istoj jedinici duljine.

Točke smještene desno od y-osi imaju pozitivne apscise. Točke koje leže lijevo od osi ordinata imaju negativne apscise. Za bilo koju točku koja leži na osi Oy, njezina x koordinata je nula.

Točke s pozitivnom ordinatom leže iznad x-osi, a točke s negativnom ordinatom ispod. Ako točka leži na osi Ox, njena y koordinata je nula.

Koordinatne osi dijele ravninu na četiri dijela, koji se nazivaju koordinatne četvrtine (ili koordinatni kutovi ili kvadranti).

1 koordinatna četvrtina koji se nalazi u gornjem desnom uglu xOy koordinatne ravnine. Obje koordinate točaka koje se nalaze u prvoj četvrtini su pozitivne.

Prijelaz iz jedne četvrtine u drugu provodi se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

2 koordinatna četvrtina nalazi se u gornjem lijevom kutu. Točke koje leže u drugoj četvrtini imaju negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu.

3 koordinatna četvrtina leži u donjem lijevom kvadrantu xOy ravnine. Obje koordinate točaka koje pripadaju III koordinatnom kutu su negativne.

4 koordinatna četvrtina je donji desni kut koordinatne ravnine. Bilo koja točka iz IV četvrtine ima pozitivnu prvu koordinatu i negativnu drugu.

Primjer položaja točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu: