Os je pravac. To znači da se projekcija na os ili na usmjereni pravac smatra istom. Projekcija može biti algebarska ili geometrijska. U geometrijskom smislu, projekcija vektora na os se shvaća kao vektor, a u algebarskom smislu, kao broj. Odnosno, koriste se pojmovi projekcija vektora na os i numerička projekcija vektora na os.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ako imamo L os i vektor A B → koji nije nula, tada možemo konstruirati vektor A 1 B 1 ⇀, označavajući projekcije njegovih točaka A 1 i B 1.

A 1 B → 1 bit će projekcija vektora A B → na L.

Definicija 1

Projekcija vektora na os je vektor čiji su početak i kraj projekcije početka i kraja zadanog vektora. n p L A B → → uobičajeno je označavati projekciju A B → na L. Za konstruiranje projekcije na L, okomice se spuštaju na L.

Primjer 1

Primjer vektorske projekcije na os.

Na koordinatna ravnina Oko x y određena je točka M 1 (x 1 , y 1). Za prikaz radijus vektora točke M 1 potrebno je konstruirati projekcije na O x i O y. Dobivamo koordinate vektora (x 1, 0) i (0, y 1).

Ako govorimo o o projekciji a → na b → različit od nule ili projekciji a → na pravac b → , tada mislimo na projekciju a → na os s kojom se poklapa pravac b →. Projekcija a → na pravac definiran s b → označena je n p b → a → → . Poznato je da kada se kut između a → i b → , n p b → a → → i b → može smatrati susmjernim. U slučaju kada je kut tup, n p b → a → → i b → su suprotnih smjerova. U situaciji okomitosti a → i b →, a a → je nula, projekcija a → u pravcu b → je nulti vektor.

Numerička karakteristika projekcije vektora na os je numerička projekcija vektora na zadanu os.

Definicija 2

Numerička projekcija vektora na os je broj koji je jednak umnošku duljine zadanog vektora i kosinusa kuta između zadanog vektora i vektora koji određuje smjer osi.

Numerička projekcija A B → na L označava se n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na temelju formule dobivamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odakle je a → duljina vektora a → , a ⇀ , b → ^ kut između vektora a → i b → .

Dobivamo formulu za izračunavanje numeričke projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Primjenjivo je za poznate duljine a → i b → i kut između njih. Formula je primjenjiva za poznate koordinate a → i b →, ali postoji pojednostavljeni oblik.

Primjer 2

Odredite numeričku projekciju a → na ravnu crtu u pravcu b → duljine a → jednake 8 i kuta između njih od 60 stupnjeva. Po uvjetu imamo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Dakle, zamijenimo numeričke vrijednosti u formulu n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Odgovor: 4.

S poznatim cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , imamo a → , b → kao skalarni produkt a → i b → . Slijedeći iz formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , možemo pronaći numeričku projekciju a → usmjerenu duž vektora b → i dobiti n p b → a → = a → , b → b → . Formula je ekvivalentna definiciji danoj na početku odlomka.

Definicija 3

Numerička projekcija vektora a → na os koja se u smjeru podudara s b → omjer je skalarnog umnoška vektora a → i b → prema duljini b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → primjenjiva je za pronalaženje numeričke projekcije a → na pravac koji se podudara u smjeru s b → , s poznatim a → i b → koordinatama.

Primjer 3

Zadano je b → = (- 3 , 4) . Nađite numeričku projekciju a → = (1, 7) na L.

Riješenje

Na koordinatnoj ravnini n p b → a → = a → , b → b → ima oblik n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , s a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Da biste pronašli numeričku projekciju vektora a → na L os, potrebno je: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Odgovor: 5.

Primjer 4

Nađite projekciju a → na L koja se podudara s pravcem b →, gdje postoje a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Određen je trodimenzionalni prostor.

Riješenje

Zadano je a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , izračunavamo skalarni umnožak: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Duljina b → nalazi se pomoću formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Slijedi da će formula za određivanje numeričke projekcije a → biti: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamijenite brojčane vrijednosti: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7.

Pogledajmo vezu između a → na L i duljine projekcije a → na L. Nacrtajmo os L, zbrajajući a → i b → iz točke na L, nakon čega povučemo okomitu liniju od kraja a → na L i nacrtamo projekciju na L. Postoji 5 varijacija slike:

Prvi slučaj s a → = n p b → a → → znači a → = n p b → a → → , dakle n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Drugi slučaj podrazumijeva korištenje n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , što znači n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treći slučaj objašnjava da kada je n p b → a → → = 0 → dobivamo n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , tada je n p b → a → → = 0 i n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Četvrta slučaj pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , slijedi n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Peti slučaj pokazuje a → = n p b → a → → , što znači a → = n p b → a → → , stoga imamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definicija 4

Numerička projekcija vektora a → na L os, koja je usmjerena na isti način kao b →, ima sljedeću vrijednost:

• duljina projekcije vektora a → na L, pod uvjetom da je kut između a → i b → manji od 90 stupnjeva ili jednak 0: n p b → a → = n p b → a → → uz uvjet 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod uvjetom da su a → i b → okomiti: n p b → a → = 0, kada je (a → , b → ^) = 90 °;
• duljina projekcije a → na L, pomnožena s -1, kada postoji tupi ili ravni kut vektora a → i b →: n p b → a → = - n p b → a → → uz uvjet od 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5

Zadana je duljina projekcije a → na L, jednaka 2. Nađite numeričku projekciju a → uz uvjet da je kut 5 π 6 radijana.

Riješenje

Iz uvjeta je jasno da je taj kut tup: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6

Dana je ravnina O x y z s vektorskom duljinom a → jednakom 6 3, b → (- 2, 1, 2) s kutom od 30 stupnjeva. Odredite koordinate projekcije a → na L os.

Riješenje

Prvo izračunavamo numeričku projekciju vektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Prema uvjetu, kut je šiljasti, tada je numerička projekcija a → = duljina projekcije vektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ovaj slučaj pokazuje da su vektori n p L a → → i b → suusmjereni, što znači da postoji broj t za koji vrijedi jednakost: n p L a → → = t · b → . Odavde vidimo da je n p L a → → = t · b → , što znači da možemo pronaći vrijednost parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada je n p L a → → = 3 · b → s koordinatama projekcije vektora a → na os L jednakim b → = (- 2 , 1 , 2) , gdje je potrebno pomnožiti vrijednosti s 3. Imamo n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odgovor: (- 6, 3, 6).

Potrebno je ponoviti prethodno naučeno o uvjetu kolinearnosti vektora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka su u prostoru zadana dva vektora i . Odgodimo s proizvoljne točke O vektori i . Kut između vektora naziva se najmanji kut. Određeni .

Razmotrite os l i na njega nacrtajte jedinični vektor (tj. vektor čija je duljina jednaka jedinici).

Pod kutom između vektora i osi l razumjeti kut između vektora i .

Pa neka l je neka os i vektor.

Označimo sa A 1 I B 1 projekcije na os l odnosno bodova A I B. Hajdemo to pretvarati A 1 ima koordinatu x 1, A B 1- Koordinirati x 2 na osi l.

Zatim projekcija vektor po osi l zove razlika x 1 – x 2 između koordinata projekcija kraja i početka vektora na ovu os.

Projekcija vektora na os l označit ćemo .

Jasno je da ako je kut između vektora i osi l ljuto onda x 2> x 1, i projekcija x 2 – x 1> 0; ako je ovaj kut tup, onda x 2< x 1 i projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 I x 2– x 1=0.

Dakle, projekcija vektora na os l je duljina segmenta A 1 B 1, uzeto s određenim znakom. Prema tome, projekcija vektora na os je broj ili skalar.

Slično se određuje i projekcija jednog vektora na drugi. U tom slučaju se nalaze projekcije krajeva ovog vektora na pravac na kojem leži 2. vektor.

Pogledajmo neke osnovne svojstva projekcija.

LINEARNO OVISNI I LINEARNO NEOVISNI VEKTORSKI SUSTAVI

Razmotrimo nekoliko vektora.

Linearna kombinacija od tih vektora je bilo koji vektor oblika , gdje su neki brojevi. Brojevi se nazivaju koeficijenti linearne kombinacije. Također kažu da se u ovom slučaju linearno izražava kroz ove vektore, tj. dobiva se iz njih pomoću linearnih djelovanja.

Na primjer, ako su dana tri vektora, tada se sljedeći vektori mogu smatrati njihovom linearnom kombinacijom:

Ako je vektor predstavljen kao linearna kombinacija nekih vektora, tada se kaže da jest položeno duž ovih vektora.

Vektori se nazivaju linearno ovisna, ako postoje brojevi, nisu svi jednaki nuli, tako da . Jasno je da će dati vektori biti linearno ovisni ako je bilo koji od ovih vektora linearno izražen kroz druge.

Inače, t.j. kada je omjer izvodi samo kada , ti se vektori nazivaju linearno neovisni.

Teorem 1. Bilo koja dva vektora su linearno ovisna ako i samo ako su kolinearni.

Dokaz:

Slično se može dokazati i sljedeći teorem.

Teorem 2. Tri vektora su linearno ovisna ako i samo ako su komplanarni.

Dokaz.

OSNOVA

Osnova je zbirka linearno neovisnih vektora različitih od nule. Elemente baze označit ćemo sa .

U prethodnom odlomku vidjeli smo da su dva nekolinearna vektora na ravnini linearno neovisna. Dakle, prema teoremu 1 iz prethodnog odlomka, baza na ravnini su bilo koja dva nekolinearna vektora na toj ravnini.

Slično, bilo koja tri nekoplanarna vektora su linearno neovisna u prostoru. Prema tome, tri nekoplanarna vektora nazivamo bazicom u prostoru.

Sljedeća izjava je istinita.

Teorema. Neka je baza dana u prostoru. Tada se bilo koji vektor može prikazati kao linearna kombinacija , Gdje x, g, z- neki brojevi. Ovo je jedina dekompozicija.

Dokaz.

Dakle, baza omogućuje da svaki vektor bude jedinstveno povezan s trojkom brojeva - koeficijentima proširenja ovog vektora u bazne vektore: . Obrnuto je također točno, za svaka tri broja x, y, z koristeći bazu, možete usporediti vektor ako napravite linearnu kombinaciju .

Ako je osnova i , zatim brojke x, y, z se zovu koordinate vektor u zadanoj bazi. Koordinate vektora su označene sa .

KARTEZIJSKI KOORDINATNI SUSTAV

Neka je u prostoru dana točka O i tri nekoplanarna vektora.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru (na ravnini) je skup točke i baze, tj. skup točke i tri nekoplanarna vektora (2 nekolinearna vektora) koji izlaze iz te točke.

Točka O zvano podrijetlo; pravci koji prolaze kroz ishodište koordinata u smjeru baznih vektora nazivaju se koordinatne osi - apscisa, ordinata i aplikata. Ravnine koje prolaze kroz koordinatne osi zovu se koordinatne ravnine.

Promotrimo proizvoljnu točku u odabranom koordinatnom sustavu M. Uvedimo pojam koordinata točke M. Vektor koji povezuje ishodište s točkom M. nazvao radijus vektor bodova M.

Vektoru u odabranoj bazi možemo pridružiti trojku brojeva – njegove koordinate: .

Koordinate radijus vektora točke M. se zovu koordinate točke M. u razmatranom koordinatnom sustavu. M(x,y,z). Prva koordinata se naziva apscisa, druga je ordinata, a treća je aplikata.

Slično se određuju kartezijeve koordinate na ravnini. Ovdje točka ima samo dvije koordinate - apscisu i ordinatu.

Lako je vidjeti da za dati koordinatni sustav svaka točka ima određene koordinate. S druge strane, za svaku trojku brojeva postoji jedinstvena točka koja ima te brojeve kao koordinate.

Ako vektori uzeti kao baza u odabranom koordinatnom sustavu imaju jediničnu duljinu i u paru su okomiti, tada se koordinatni sustav naziva Kartezijev pravokutnik.

Lako je to pokazati.

Kosinusi smjera vektora u potpunosti određuju njegov smjer, ali ne govore ništa o njegovoj duljini.

a na os ili neki drugi vektor postoje pojmovi njegove geometrijske projekcije i numeričke (ili algebarske) projekcije. Rezultat geometrijske projekcije bit će vektor, a rezultat algebarske projekcije bit će nenegativan realan broj. Ali prije nego prijeđemo na ove koncepte, prisjetimo se potrebnih informacija.

Preliminarne informacije

Glavni koncept je koncept samog vektora. Da bismo uveli definiciju geometrijskog vektora, prisjetimo se što je segment. Uvedimo sljedeću definiciju.

Definicija 1

Isječak je dio linije koji ima dvije granice u obliku točaka.

Segment može imati 2 smjera. Da bismo označili pravac, jednu ćemo granicu segmenta nazvati početkom, a drugu granicu njegovim krajem. Smjer je naznačen od početka do kraja segmenta.

Definicija 2

Vektorski ili usmjereni segment bit će segment za koji se zna koja se granica segmenta smatra početkom, a koja njegovim krajem.

Oznaka: U dva slova: $\overline(AB)$ – (gdje je $A$ njegov početak, a $B$ kraj).

Jednim malim slovom: $\overline(a)$ (Sl. 1).

Uvedimo još nekoliko pojmova vezanih uz pojam vektora.

Definicija 3

Dva vektora različita od nule nazvat ćemo kolinearnima ako leže na istom pravcu ili na pravcima koji su međusobno paralelni (slika 2).

Definicija 4

Dva vektora različita od nule nazvat ćemo kosmjernim ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Ovi vektori su kolinearni.
2. Ako su usmjereni u jednom smjeru (slika 3).

Notacija: $\overline(a)\overline(b)$

Definicija 5

Dva vektora različita od nule nazvat ćemo suprotno usmjerenima ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Ovi vektori su kolinearni.
2. Ako su usmjereni u različitim smjerovima (slika 4).

Notacija: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definicija 6

Duljina vektora $\overline(a)$ bit će duljina segmenta $a$.

Notacija: $|\overline(a)|$

Prijeđimo na određivanje jednakosti dvaju vektora

Definicija 7

Dva vektora nazivamo jednakima ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Oni su susmjerni;
2. Duljine su im jednake (slika 5).

Geometrijska projekcija

Kao što smo ranije rekli, rezultat geometrijske projekcije bit će vektor.

Definicija 8

Geometrijska projekcija vektora $\overline(AB)$ na os je vektor koji se dobiva na sljedeći način: Ishodište vektora $A$ projicira se na tu os. Dobijemo točku $A"$ - početak željenog vektora. Krajnju točku vektora $B$ projiciramo na tu os. Dobivamo točku $B"$ - kraj željenog vektora. Vektor $\overline(A"B")$ bit će željeni vektor.

Razmotrimo problem:

Primjer 1

Konstruirajte geometrijsku projekciju $\overline(AB)$ na $l$ os prikazanu na slici 6.

Povucimo okomicu iz točke $A$ na os $l$, na njoj dobivamo točku $A"$. Zatim povlačimo okomicu iz točke $B$ na os $l$, dobivamo točku $B "$ na njoj (slika 7).

Projiciranje različitih linija i površina na ravninu omogućuje vam da izgradite vizualnu sliku objekata u obliku crteža. Razmotrit ćemo pravokutno projiciranje, u kojem su projicirane zrake okomite na ravninu projiciranja. PROJEKCIJA VEKTORA NA RAVNINU razmotrimo vektor = (sl. 3.22), zatvoren između okomica izostavljenih s početka i kraja.

Riža. 3.23. Vektorska projekcija vektora na os.

U vektorskoj algebri često je potrebno projicirati vektor na OSI, odnosno na ravnu liniju koja ima određenu orijentaciju. Takvo projektiranje je jednostavno ako vektor i L os leže u istoj ravnini (slika 3.23). Međutim, zadatak postaje teži kada ovaj uvjet nije ispunjen. Konstruirajmo projekciju vektora na os kada vektor i os ne leže u istoj ravnini (sl. 3.24).

Riža. 3.24. Projekcija vektora na os
općenito.

Kroz krajeve vektora povučemo ravnine okomite na pravac L. U sjecištu s tim pravcem te ravnine određuju dvije točke A1 i B1 - vektor, koji ćemo zvati vektorska projekcija tog vektora. Problem pronalaženja vektorske projekcije može se lakše riješiti ako se vektor dovede u istu ravninu kao i os, što je moguće učiniti budući da se slobodni vektori razmatraju u vektorskoj algebri.

Uz vektorsku projekciju postoji i SKALARNA PROJEKCIJA koja je jednaka modulu vektorske projekcije ako se vektorska projekcija podudara s orijentacijom L osi, a jednaka je svojoj suprotnoj vrijednosti ako vektorska projekcija i L osi imaju suprotnu orijentaciju. Označit ćemo skalarnu projekciju:

Vektorske i skalarne projekcije u praksi nisu uvijek strogo terminološki odvojene. Obično se koristi izraz "vektorska projekcija", što znači skalarna projekcija vektora. Prilikom donošenja odluke potrebno je jasno razlikovati ove pojmove. Slijedeći ustaljenu tradiciju, koristit ćemo izraze “vektorska projekcija”, što znači skalarna projekcija, i “vektorska projekcija” - u skladu s ustaljenim značenjem.

Dokažimo teorem koji nam omogućuje izračunavanje skalarne projekcije zadanog vektora.

TEOREM 5. Projekcija vektora na L os jednaka je umnošku njegovog modula i kosinusa kuta između vektora i osi, tj.

(3.5)

Riža. 3.25. Nalaženje vektora i skalara
Vektorske projekcije na L os
(i os L su jednako orijentirane).

DOKAZ. Prvo izvedimo konstrukcije koje nam omogućuju pronaći kut G Između vektora i osi L. Da bismo to učinili, konstruirat ćemo ravnu liniju MN, paralelnu s osi L i prolazi kroz točku O - početak vektora (sl. 3.25). Kut će biti željeni kut. Povucimo dvije ravnine kroz točke A i O, okomite na os L. Dobivamo:

Budući da su os L i pravac MN paralelne.

Istaknimo dva slučaja međusobnog položaja vektora i L osi.

1. Neka su vektorska projekcija i L os jednako usmjerene (sl. 3.25). Zatim odgovarajuća skalarna projekcija .

2. Neka su i L usmjereni u različitim smjerovima (sl. 3.26).

Riža. 3.26. Određivanje vektorske i skalarne projekcije vektora na L os (a L os je orijentirana u suprotnim smjerovima).

Dakle, u oba slučaja teorem je istinit.

TEOREM 6. Ako se ishodište vektora dovede u određenu točku na osi L, a ta se os nalazi u ravnini s, vektor s projekcijom vektora na ravninu s tvori kut, a s vektorom projekcija na os L, osim toga, same vektorske projekcije međusobno tvore kut , To