Prva točka je, kao i obično, arcsin(-a)=-arcsina. Da bismo došli do druge točke, idemo gornjim putem, odnosno u smjeru povećanja kuta.

Ovaj put idemo dalje od n. Koliko dugo ćemo? Na arcsin x. To znači da je druga točka n+arcsin x. Zašto nema minusa? Jer minus u oznaci -arcsin a znači pomicanje u smjeru kazaljke na satu, ali mi smo išli u suprotnom smjeru. I na kraju dodajte 2pn na svaki kraj intervala.

5) sinx>a, ako je a>1.

Jedinična kružnica u cijelosti leži ispod prave linije y=a. Ne postoji niti jedna točka iznad ravne crte. Dakle, rješenja nema.

6) sinx>-a, gdje je a>1.

U ovom slučaju cijela jedinična kružnica u potpunosti leži iznad prave linije y=a. Prema tome, svaka točka zadovoljava uvjet sinx>a. To znači da je x bilo koji broj.

I ovdje je x bilo koji broj, budući da su točke -n/2+2nn uključene u rješenje, za razliku od stroge nejednakosti sinx>-1. Ne treba ništa isključivati.

Jedina točka na kružnici koja zadovoljava ovaj uvjet je n/2. Uzimajući u obzir period sinusa, rješenje ove nejednadžbe je skup točaka x=n/2+2n.

Na primjer, riješite nejednadžbu sinx>-1/2:

Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.

Trigonometrijske nejednadžbe izrazi su oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .

Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je rješavati takve probleme grafički; za to su razvijene dvije metode.

Metoda 1 - Rješavanje nejednakosti crtanjem grafa funkcije

Da biste pronašli interval koji zadovoljava uvjete nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Na koordinatna os konstruirajte sinusoidu y = sin x.
2. Na istoj osi nacrtajte graf numeričkog argumenta nejednakosti, tj. ravnu liniju koja prolazi točkom ½ ordinate OY.
3. Označite točke presjeka dvaju grafova.
4. Osjenčaj segment koji je rješenje primjera.

Kada su u izrazu prisutni strogi znakovi, točke sjecišta nisu rješenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, zapisujemo odgovor na sljedeći način:

Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglate zagrade - . Odgovor na problem također se može napisati kao sljedeća nejednakost:

Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću jedinične kružnice

Slični problemi mogu se lako riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Algoritam za pronalaženje odgovora je vrlo jednostavan:

1. Prvo morate nacrtati jedinični krug.
2. Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednadžbe na luku kružnice.
3. Potrebno je povući ravnu liniju koja prolazi kroz vrijednost lučne funkcije paralelno s apscisnom osi (OX).
4. Nakon toga preostaje samo odabrati kružni luk koji je skup rješenja trigonometrijske nejednadžbe.
5. Odgovor zapišite u traženi obrazac.

Analizirajmo faze rješenja na primjeru nejednadžbe sin x › 1/2. Na krugu su označene točke α i β – vrijednosti

Točke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje zadane nejednadžbe.

Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti smješten simetrično na os OX, a ne na OY. Razliku između intervala rješenja za sin i cos možete razmotriti na dijagramima ispod u tekstu.

Grafička rješenja nejednakosti tangensa i kotangensa razlikovat će se i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.

Arkutangens i arkotangens su tangente na trigonometrijsku kružnicu, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i pravilno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.

Tangenta tangente ide paralelno s osi OY. Ako vrijednost arctana a nanesemo na jediničnu kružnicu, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. Kutovi

One su prijelomne točke za funkciju, jer graf teži njima, ali ih nikada ne doseže.

U slučaju kotangensa, tangenta teče paralelno s osi OX, a funkcija se prekida u točkama π i 2π.

Složene trigonometrijske nejednadžbe

Ako argument funkcije nejednakosti nije predstavljen samo varijablom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada govorimo o složenoj nejednakosti. Proces i postupak rješavanja donekle se razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sljedeće nejednadžbe:

Grafičko rješenje uključuje konstruiranje obične sinusoide y = sin x pomoću proizvoljno odabranih vrijednosti x. Izračunajmo tablicu s koordinatama za kontrolne točke grafa:

Rezultat bi trebao biti lijepa krivulja.

Kako bismo lakše pronašli rješenje, zamijenimo argument složene funkcije

Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kako je jedan lik govorio,

“Samo ih ne znaš skuhati”

Dakle, kako "kuhati" i čime podnijeti nejednakost sa sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Mi ćemo odlučiti na jednostavan način– pomoću jedinične kružnice.

Dakle, prije svega, trebamo sljedeći algoritam.

Algoritam za rješavanje nejednakosti sa sinusom:

1. na sinusnu os nanesemo broj $a$ i povučemo ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi dok se ne siječe s kružnicom;
2. točke sjecišta ove crte s kružnicom bit će osjenčane ako nejednadžba nije stroga, a neće biti osjenčane ako je nejednadžba stroga;
3. područje rješenja nejednadžbe nalazit će se iznad crte i do kruga ako nejednadžba sadrži znak “$>$”, a ispod crte i do kruga ako nejednadžba sadrži znak “$<$”;
4. da bismo pronašli sjecišne točke, rješavamo trigonometrijsku jednadžbu $\sin(x)=a$, dobivamo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. postavljanjem $n=0$ nalazimo prvu sjecišnu točku (nalazi se u prvoj ili četvrtoj četvrtini);
6. da bismo pronašli drugu točku, gledamo u kojem smjeru idemo područjem do druge sjecišne točke: ako u pozitivnom smjeru, tada treba uzeti $n=1$, a ako u negativnom smjeru, onda $n=- 1$;
7. kao odgovor, interval se zapisuje od manje sjecišne točke $+ 2\pi n$ do veće $+ 2\pi n$.

Ograničenje algoritma

Važno: d zadani algoritam Ne radi za nejednakosti oblika $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni slučajevi kod rješavanja nejednadžbi sa sinusom

Također je važno primijetiti sljedeće slučajeve, koje je mnogo praktičnije riješiti logički bez korištenja gornjeg algoritma.

Poseban slučaj 1. Riješite nejednadžbu:

$\sin(x)\leq 1.$

Zbog činjenice da raspon vrijednosti trigonometrijska funkcija Tada $y=\sin(x)$ nije veće od modula $1$ lijeva strana nejednakosti na bilo kojem$x$ iz domene definicije (a domena definicije sinusa su svi realni brojevi) nije više od $1$. I, stoga, u odgovoru pišemo: $x \in R$.

Posljedica:

$\sin(x)\geq -1.$

Poseban slučaj 2. Riješite nejednadžbu:

$\sin(x)< 1.$

Primjenom argumenata sličnih posebnom slučaju 1, nalazimo da je lijeva strana nejednadžbe manja od $1$ za sve $x \in R$, osim za točke koje su rješenja jednadžbe $\sin(x) = 1$. Rješavanjem ove jednadžbe imat ćemo:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

I, stoga, u odgovoru pišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Posljedica: nejednadžba se rješava slično

$\sin(x) > -1.$

Primjeri rješavanja nejednadžbi pomoću algoritma.

Primjer 1: Riješite nejednadžbu:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Označimo koordinatu $\frac(1)(2)$ na sinusnoj osi.
2. Nacrtajmo ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi koja prolazi kroz ovu točku.
3. Označimo točke sjecišta. Oni će biti osjenčani jer nejednakost nije stroga.
4. Znak nejednakosti je $\geq$, što znači da bojimo područje iznad crte, tj. manji polukrug.
5. Nalazimo prvu točku sjecišta. Da bismo to učinili, pretvaramo nejednadžbu u jednakost i rješavamo je: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Nadalje postavljamo $n=0$ i nalazimo prvu sjecišnu točku: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Nalazimo drugu točku. Naše područje ide u pozitivnom smjeru od prve točke, što znači da smo postavili $n$ jednako $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje će imati oblik:

$x \in \lijevo[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \n \in Z.$

Primjer 2: Riješite nejednadžbu:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Označimo koordinatu $-\frac(1)(2)$ na sinusnoj osi i nacrtajmo ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi koja prolazi kroz ovu točku. Označimo točke sjecišta. Neće biti zasjenjene, jer je nejednakost stroga. Znak nejednakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\lijevo(-\frac(1)(2)\desno))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Uz pretpostavku da je $n=0$, nalazimo prvu sjecišnu točku: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše područje ide u negativnom smjeru od prve točke, što znači da smo postavili $n$ jednako $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje ove nejednakosti bit će interval:

$x \in \lijevo(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\desno), \n \in Z.$

Primjer 3: Riješite nejednadžbu:

$1 – 2\sin(\lijevo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq 0.$

Ovaj se primjer ne može odmah riješiti pomoću algoritma. Prvo ga morate transformirati. Radimo točno ono što bismo radili s jednadžbom, ali ne zaboravite na znak. Dijeljenje ili množenje negativnim brojem obrće ga!

Dakle, pomaknimo sve što ne sadrži trigonometrijsku funkciju na desnu stranu. Dobivamo:

$- 2\sin(\lijevo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq -1.$

Podijelimo lijevu i desnu stranu s $-2$ (ne zaboravite na znak!). Imat će:

$\sin(\lijevo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \geq \frac(1)(2).$

Opet imamo nejednadžbu koju ne možemo riješiti pomoću algoritma. Ali ovdje je dovoljno promijeniti varijablu:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Dobivamo trigonometrijsku nejednadžbu koja se može riješiti pomoću algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ova nejednakost je riješena u primjeru 1, pa posudimo odgovor odatle:

$t \in \lijevo[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$

Ipak, odluka još nije gotova. Moramo se vratiti na izvornu varijablu.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \lijevo[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$

Zamislimo interval kao sustav:

$\lijevo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Na lijevoj strani sustava nalazi se izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) koji pripada intervalu. Lijeva granica intervala je odgovorna za prvu nejednakost, a desna granica je odgovorna za drugu. Štoviše, zagrade igraju važnu ulogu: ako je zagrada kvadratna, tada će nejednakost biti opuštena, a ako je okrugla, tada će biti stroga. naš zadatak je dobiti $x$ s lijeve strane u obje nejednakosti.

Pomaknimo $\frac(\pi)(6)$ s lijeve strane na desnu stranu, dobivamo:

$\lijevo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(niz) \right.$

Pojednostavljeno, imat ćemo:

$\lijevo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(niz) \desno.$

Množenjem lijeve i desne strane sa $4$, dobivamo:

$\lijevo\(\begin(niz)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(niz) \desno. $

Sastavljajući sustav u interval, dobivamo odgovor:

$x \in \lijevo[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \n \in Z.$

1. Ako je argument složen (različit od x), a zatim ga zamijenite s t.

2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravnini igračka grafovi funkcija y=trošak I y=a.

3. Takve nalazimo dvije susjedne točke presjeka grafova, između kojih se nalazi iznad prave y=a. Nađemo apscise tih točaka.

4. Napiši dvostruku nejednakost za argument t, uzimajući u obzir period kosinusa ( t bit će između pronađenih apscisa).

5. Napravite obrnutu zamjenu (vratite se na izvorni argument) i izrazite vrijednost x iz dvostruke nejednadžbe zapisujemo odgovor u obliku brojčanog intervala.

Primjer 1.

Zatim, prema algoritmu, određujemo te vrijednosti argumenta t, na kojoj se nalazi sinusoida viši ravno. Zapišimo ove vrijednosti kao dvostruku nejednakost, uzimajući u obzir periodičnost kosinusne funkcije, a zatim se vratimo na izvorni argument x.

Primjer 2.

Odabir raspona vrijednosti t, u kojem je sinusoida iznad ravne crte.

Vrijednosti zapisujemo u obliku dvostruke nejednakosti t, zadovoljavajući uvjet. Ne zaboravite da je najmanji period funkcije y=trošak jednaki 2π. Vraćajući se na varijablu x, postupno pojednostavljujući sve dijelove dvostruke nejednadžbe.

Odgovor zapisujemo u obliku zatvorenog numeričkog intervala, budući da nejednakost nije stroga.

Primjer 3.

Zanimat će nas raspon vrijednosti t, pri čemu će točke sinusoide ležati iznad ravne crte.

Vrijednosti t napišite ga u obliku dvostruke nejednakosti, prepišite iste vrijednosti za 2x i izraziti x. Zapišimo odgovor u obliku numeričkog intervala.

I opet formula trošak>a.

Ako trošak>a, (-1≤A≤1), tada - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Primijenite formule za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti i uštedjet ćete vrijeme na testiranju ispita.

A sada formula , koji biste trebali koristiti na UNT ili Jedinstvenom državnom ispitu pri rješavanju trigonometrijske nejednadžbe oblika trošak

Ako trošak , (-1≤A≤1), tada arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Primijenite ovu formulu za rješavanje nejednakosti o kojima se govori u ovom članku i dobit ćete odgovor puno brže i bez ikakvih grafikona!

Uzimajući u obzir periodičnost funkcije sinusa, pišemo dvostruku nejednakost za vrijednosti argumenta t, zadovoljavajući posljednju nejednakost. Vratimo se na izvornu varijablu. Transformirajmo dobivenu dvostruku nejednadžbu i izrazimo varijablu X. Zapišimo odgovor u obliku intervala.

Riješimo drugu nejednadžbu:

Prilikom rješavanja druge nejednadžbe, morali smo transformirati lijevu stranu ove nejednadžbe pomoću formule dvostrukog argumenta sinusa kako bismo dobili nejednadžbu oblika: sint≥a. Zatim smo slijedili algoritam.

Rješavamo treću nejednadžbu:

Dragi maturanti i pristupnici! Imajte na umu da su metode za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti, kao što je gore navedena grafička metoda i, vjerojatno vam poznata, metoda rješavanja pomoću jedinične trigonometrijske kružnice (trigonometrijske kružnice) primjenjive samo u prvim fazama proučavanja dijela trigonometrije. “Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.” Mislim da ćete se sjetiti da ste prvo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavali pomoću grafova ili kružnice. Međutim, sada vam ne bi palo na pamet rješavati trigonometrijske jednadžbe na ovaj način. Kako ih rješavate? Tako je, prema formulama. Dakle, trigonometrijske nejednadžbe treba rješavati pomoću formula, posebno tijekom testiranja, kada svaka minuta je dragocjena. Dakle, riješite tri nejednadžbe ove lekcije koristeći odgovarajuću formulu.

Ako sint>a, gdje je -1≤ a≤1, dakle arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nêZ.

Naučite formule!

I za kraj: jeste li znali da su matematika definicije, pravila i FORMULE?!

Naravno da jesi! A najznatiželjniji, nakon što su proučili ovaj članak i pogledali video, uzviknuli su: “Kako dugo i teško! Postoji li formula koja vam omogućuje rješavanje takvih nejednakosti bez ikakvih grafikona ili krugova?” Da, naravno da postoji!

ZA RJEŠAVANJE NEJEDNAČBI OBLIKA: grijeh (-1≤A≤1) vrijedi formula:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Primijenite ga na razmatrane primjere i dobit ćete odgovor mnogo brže!

Zaključak: NAUČITE FORMULE, PRIJATELJI!

Stranica 1 od 1 1

Tijekom praktične nastave ponovit ćemo glavne tipove zadataka iz teme “Trigonometrija”, dodatno analizirati probleme povećane složenosti i razmotriti primjere rješavanja raznih trigonometrijskih nejednadžbi i njihovih sustava.

Ova lekcija pomoći će vam da se pripremite za jednu od vrsta zadataka B5, B7, C1 i C3.

Počnimo s pregledom glavnih vrsta zadataka koje smo obradili u temi "Trigonometrija" i riješimo nekoliko nestandardnih problema.

Zadatak br. 1. Pretvorite kutove u radijane i stupnjeve: a) ; b) .

a) Upotrijebimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane

Zamijenimo navedenu vrijednost u nju.

b) Primijenite formulu za pretvaranje radijana u stupnjeve

Izvršimo zamjenu .

Odgovor. A) ; b) .

Zadatak br. 2. Izračunaj: a) ; b) .

a) Budući da kut ide daleko izvan tablice, smanjit ćemo ga oduzimanjem sinusne periode. Jer Kut je označen u radijanima, tada ćemo razdoblje smatrati .

b) U ovom slučaju situacija je slična. Budući da je kut naznačen u stupnjevima, smatrat ćemo period tangente kao .

Dobiveni kut, iako manji od periode, veći je, što znači da se više ne odnosi na glavni, već na produženi dio tablice. Kako ne biste opet vježbali svoje pamćenje pamćenjem proširene tablice vrijednosti trigofunkcije, oduzmimo opet period tangente:

Iskoristili smo neparnost funkcije tangente.

Odgovor. a) 1; b) .

Zadatak br. 3. Izračunati , Ako .

Svedimo cijeli izraz na tangente tako da brojnik i nazivnik razlomka podijelimo s . U isto vrijeme, ne možemo se bojati da, jer u ovom slučaju vrijednost tangensa ne bi postojala.

Zadatak br. 4. Pojednostavite izraz.

Navedeni izrazi pretvaraju se pomoću redukcijskih formula. Samo su neobično napisani pomoću stupnjeva. Prvi izraz općenito predstavlja broj. Pojednostavimo sve trigofunkcije jednu po jednu:

Jer , tada se funkcija mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u drugu četvrtinu, u kojoj izvorni tangens ima negativan predznak.

Iz istih razloga kao u prethodnom izrazu, funkcija se mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u prvu četvrtinu, u kojoj izvorni tangens ima pozitivan predznak.

Zamijenimo sve u pojednostavljeni izraz:

Problem #5. Pojednostavite izraz.

Zapišimo tangens dvostrukog kuta odgovarajućom formulom i pojednostavnimo izraz:

Posljednji identitet jedna je od univerzalnih zamjenskih formula za kosinus.

Problem #6. Izračunati.

Glavna stvar je ne napraviti standardnu ​​pogrešku ne dati odgovor da je izraz jednak . Ne možete koristiti osnovno svojstvo arktangensa sve dok pored njega postoji faktor u obliku dva. Da bismo ga se riješili, napisat ćemo izraz prema formuli za tangens dvostrukog kuta, dok ćemo tretirati , kao običan argument.

Sada možemo primijeniti osnovno svojstvo arktangensa; zapamtite da nema ograničenja na njegov numerički rezultat.

Problem broj 7. Riješite jednadžbu.

Kod rješavanja razlomljene jednadžbe koja je jednaka nuli, uvijek je označeno da je brojnik jednak nuli, ali nazivnik nije, jer Ne možete dijeliti s nulom.

Prva jednadžba je poseban slučaj najjednostavnije jednadžbe koja se može riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Zapamtite i sami ovo rješenje. Druga se nejednadžba rješava kao najjednostavnija jednadžba općom formulom za korijene tangente, ali samo s predznakom nejednako.

Kao što vidimo, jedna obitelj korijena isključuje drugu obitelj potpuno istog tipa korijena koji ne zadovoljavaju jednadžbu. Oni. nema korijena.

Odgovor. Nema korijena.

Problem br. 8. Riješite jednadžbu.

Odmah primijetimo da možemo izvaditi zajednički faktor i učinimo to:

Jednadžba je svedena na jedan od standardnih oblika, gdje je umnožak više faktora jednak nuli. Već znamo da je u ovom slučaju ili jedan od njih jednak nuli, ili drugi, ili treći. Zapišimo ovo u obliku skupa jednadžbi:

Prve dvije jednadžbe su posebni slučajevi najjednostavnijih, već smo se mnogo puta susreli sa sličnim jednadžbama, pa ćemo odmah navesti njihova rješenja. Treću jednadžbu reduciramo na jednu funkciju pomoću formule sinusa dvostrukog kuta.

Riješimo zasebno posljednju jednadžbu:

Ova jednadžba nema korijena, jer sinusna vrijednost ne može prijeći .

Dakle, rješenje su samo prve dvije obitelji korijena; oni se mogu spojiti u jednu, što je lako prikazati na trigonometrijskom krugu:

Ovo je obitelj svih polovica, tj.

Prijeđimo na rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Prvo ćemo analizirati pristup rješavanju primjera bez korištenja formula za opća rješenja, već korištenjem trigonometrijske kružnice.

Problem br. 9. Riješite nejednadžbu.

Nacrtajmo pomoćnu liniju na trigonometrijskoj kružnici koja odgovara sinusnoj vrijednosti jednakoj i pokažimo raspon kutova koji zadovoljavaju nejednakost.

Vrlo je važno razumjeti kako točno označiti rezultirajući interval kutova, tj. kakav joj je početak i kakav joj je kraj. Početak intervala bit će kut koji odgovara točki u koju ćemo ući na samom početku intervala ako se pomičemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. U našem slučaju, to je točka koja je s lijeve strane, jer krećući se suprotno od kazaljke na satu i prolazeći desnu točku, mi, naprotiv, ostavljamo traženi raspon kutova. Desna točka će stoga odgovarati kraju praznine.

Sada moramo razumjeti kutove početka i kraja našeg intervala rješenja nejednadžbe. Tipična pogreška je odmah označiti da desna točka odgovara kutu, a lijeva i dati odgovor. Ovo nije istina! Imajte na umu da smo upravo naznačili interval koji odgovara gornjem dijelu kruga, iako nas zanima donji dio, drugim riječima, pomiješali smo početak i kraj intervala rješenja koji nam je potreban.

Da bi interval počeo od kuta desne točke i završio kutom lijeve točke, potrebno je da prvi navedeni kut bude manji od drugog. Da bismo to učinili, morat ćemo izmjeriti kut desne točke u negativnom referentnom smjeru, tj. u smjeru kazaljke na satu i bit će jednak . Zatim, počevši se kretati od nje u pozitivnom smjeru kazaljke na satu, doći ćemo do desne točke nakon lijeve točke i dobiti vrijednost kuta za nju. Sada je početak intervala kutova manji od kraja, te možemo napisati interval rješenja bez uzimanja u obzir perioda:

Uzimajući u obzir da će se takvi intervali ponavljati beskonačan broj puta nakon bilo kojeg cijelog broja rotacija, dobivamo opće rješenje uzimajući u obzir period sinusa:

Stavili smo zagrade jer je nejednakost stroga i označili smo točke na kružnici koje odgovaraju krajevima intervala.

Usporedite dobiveni odgovor s formulom za opće rješenje koje smo dali na predavanju.

Odgovor. .

Ova metoda je dobra za razumijevanje odakle dolaze formule za opća rješenja najjednostavnijih nejednadžbi trigona. Osim toga, korisno je za one koji su previše lijeni naučiti sve te glomazne formule. Međutim, sama metoda također nije laka; odaberite koji vam pristup rješenju najviše odgovara.

Za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti također možete koristiti grafove funkcija na kojima je konstruiran pomoćni pravac, slično metodi prikazanoj pomoću jedinične kružnice. Ako ste zainteresirani, pokušajte sami smisliti ovaj pristup rješenju. U nastavku ćemo koristiti općenite formule za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi.

Problem broj 10. Riješite nejednadžbu.

Upotrijebimo formulu za opće rješenje, uzimajući u obzir činjenicu da nejednakost nije stroga:

U našem slučaju dobivamo:

Odgovor.

Problem br. 11. Riješite nejednadžbu.

Upotrijebimo opću formulu rješenja za odgovarajuću strogu nejednadžbu:

Odgovor. .

Problem br. 12. Riješite nejednadžbe: a) ; b) .

U ovim nejednakostima nema potrebe žuriti s korištenjem formula za opća rješenja ili trigonometrijski krug; dovoljno je jednostavno zapamtiti raspon vrijednosti sinusa i kosinusa.

a) Budući da , tada nejednakost nema smisla. Stoga rješenja nema.

b) Jer slično, sinus bilo kojeg argumenta uvijek zadovoljava nejednakost navedenu u uvjetu. Dakle, sve stvarne vrijednosti argumenta zadovoljavaju nejednakost.

Odgovor. a) nema rješenja; b) .

Problem 13. Riješite nejednadžbu .