U članku ćemo pokazati kako riješiti razlomke koristeći jednostavne, razumljive primjere. Shvatimo što je razlomak i razmotrimo rješavanje razlomaka!

Koncept razlomci uvodi se u nastavu matematike od 6. razreda srednje škole.

Razlomci imaju oblik: ±X/Y, gdje je Y nazivnik, govori na koliko je dijelova cijela podijeljena, a X je brojnik, govori koliko je takvih dijelova uzeto. Radi jasnoće, uzmimo primjer s tortom:

U prvom slučaju kolač je izrezan na jednake dijelove i uzeta je jedna polovica, tj. 1/2. U drugom slučaju kolač je izrezan na 7 dijelova, od kojih su uzeta 4 dijela, tj. 4/7.

Ako dio dijeljenja jednog broja s drugim nije cijeli broj, piše se kao razlomak.

Na primjer, izraz 4:2 = 2 daje cijeli broj, ali 4:7 nije djeljiv cjelinom, pa se ovaj izraz piše kao razlomak 4/7.

Drugim riječima frakcija je izraz koji označava dijeljenje dvaju brojeva ili izraza, a koji se piše razlomačkom kosom crtom.

Ako je brojnik manji od nazivnika, razlomak je pravi, a ako je obrnuto, nepravi je razlomak. Razlomak može sadržavati cijeli broj.

Na primjer, 5 cijelih 3/4.

Ovaj unos znači da za dobivanje cijelog 6 nedostaje jedan dio od četiri.

Ako želiš zapamtiti, kako riješiti razlomke za 6. razred, morate to razumjeti rješavanje razlomaka, u osnovi, svodi se na razumijevanje nekoliko jednostavnih stvari.

• Razlomak je u biti izraz razlomka. To je brojčani izraz koji je dio date vrijednosti jedne cjeline. Na primjer, razlomak 3/5 izražava da ako smo nešto cijelo podijelili na 5 dijelova i broj dionica ili dijelova te cjeline je tri.
• Razlomak može biti manji od 1, na primjer 1/2 (ili u biti polovica), tada je točan. Ako je razlomak veći od 1, npr. 3/2 (tri polovice ili jedan i pol), onda je netočan i radi pojednostavljenja rješenja bolje nam je odabrati cijeli dio 3/2 = 1 cijeli 1 /2.
• Razlomci su isti brojevi kao 1, 3, 10, pa čak i 100, samo što ti brojevi nisu cijeli brojevi nego razlomci. S njima možete izvoditi sve iste operacije kao i s brojevima. Brojanje razlomaka nije teže, i dalje konkretni primjeri mi ćemo to pokazati.

Kako riješiti razlomke. Primjeri.

Širok izbor aritmetičkih operacija primjenjiv je na razlomke.

Svođenje razlomka na zajednički nazivnik

Na primjer, trebate usporediti razlomke 3/4 i 4/5.

Da bismo riješili problem, prvo pronalazimo najmanji zajednički nazivnik, tj. najmanji broj, koji je djeljiv bez ostatka sa svakim od nazivnika razlomaka

Najmanji zajednički nazivnik (4,5) = 20

Tada se nazivnik obaju razlomaka svodi na najmanji zajednički nazivnik

Odgovor: 15/20

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Ako je potrebno izračunati zbroj dvaju razlomaka, oni se prvo dovode na zajednički nazivnik, zatim se zbrajaju brojnici, dok nazivnik ostaje nepromijenjen. Razlika između razlomaka izračunava se na isti način, jedina razlika je što se brojnici oduzimaju.

Na primjer, trebate pronaći zbroj razlomaka 1/2 i 1/3

Nađimo sada razliku između razlomaka 1/2 i 1/4

Množenje i dijeljenje razlomaka

Ovdje rješavanje razlomaka nije teško, ovdje je sve vrlo jednostavno:

• Množenje - brojnici i nazivnici razlomaka se međusobno množe;
• Dijeljenje - prvo dobijemo razlomak inverzan drugom razlomku, tj. Zamijenimo njegov brojnik i nazivnik, nakon čega pomnožimo dobivene razlomke.

Na primjer:

To je otprilike to kako riješiti razlomke, Svi. Ako još imate pitanja o rješavanje razlomaka, ako vam nešto nije jasno, napišite u komentarima i svakako ćemo vam odgovoriti.

Ako ste nastavnik, onda je moguće preuzeti prezentaciju za osnovna škola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) dobro će vam doći.

Frakcija- oblik predstavljanja broja u matematici. Crtica razlomka označava operaciju dijeljenja. Brojnik razlomak se naziva dividenda, i nazivnik- razdjelnik. Na primjer, u razlomku brojnik je 5, a nazivnik 7.

Točno Naziva se razlomak u kojem je modul brojnika veći od modula nazivnika. Ako je razlomak pravi, tada je modul njegove vrijednosti uvijek manji od 1. Svi ostali razlomci su pogrešno.

Razlomak se zove mješoviti, ako je zapisan kao cijeli broj i razlomak. Ovo je isto što i zbroj ovog broja i razlomka:

Glavno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti, tj. npr.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Da biste dva razlomka doveli na zajednički nazivnik, potrebno vam je:

1. Pomnožite brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog
2. Pomnožite brojnik drugog razlomka s nazivnikom prvog
3. Zamijenite nazivnike oba razlomka njihovim umnoškom

Operacije s razlomcima

Dodatak. Za zbrajanje dvaju razlomaka potrebno je

1. Zbrojite nove brojnike obaju razlomaka, a nazivnik ostavite nepromijenjenim

Primjer:

Oduzimanje. Da biste oduzeli jedan razlomak od drugog, trebate

1. Svedi razlomke na zajednički nazivnik
2. Oduzmite brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen

Primjer:

Množenje. Da biste pomnožili jedan razlomak s drugim, pomnožite njihove brojnike i nazivnike:

Podjela. Da biste podijelili jedan razlomak drugim, pomnožite brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog i pomnožite nazivnik prvog s brojnikom drugog:

Razlomci su obični i decimalni. Kada student sazna za postojanje potonjeg, on počinje pretvarati sve što je moguće u decimalni oblik u svakoj prilici, čak i ako to nije potrebno.

Začudo, preferencije se mijenjaju među srednjoškolcima i studentima jer je s običnim razlomcima lakše izvoditi mnoge aritmetičke operacije. A ponekad je jednostavno nemoguće pretvoriti vrijednosti s kojima se maturanti bave u decimalni oblik bez gubitka. Kao rezultat toga, obje vrste razlomaka su, na ovaj ili onaj način, prilagođene zadatku i imaju svoje prednosti i nedostatke. Pogledajmo kako raditi s njima.

Definicija

Razlomci su isto što i dionice. Ako u naranči ima deset segmenata, a vama je dan jedan, tada imate 1/10 ploda u ruci. Kada je napisan kao u prethodnoj rečenici, razlomak će se zvati obični razlomak. Ako napišete isto što i 0,1 - decimalno. Obje opcije su jednake, ali imaju svoje prednosti. Prva opcija je prikladnija za množenje i dijeljenje, druga za zbrajanje, oduzimanje iu nizu drugih slučajeva.

Kako pretvoriti razlomak u drugi oblik

Recimo da imate razlomak i želite ga pretvoriti u decimalu. Što trebam učiniti?

Usput, morate unaprijed odlučiti da se svaki broj ne može napisati u decimalnom obliku bez problema. Ponekad morate zaokružiti rezultat, izgubiti određeni broj decimalnih mjesta, au mnogim područjima - primjerice, u egzaktnim znanostima - to je potpuno nedopustiv luksuz. Istodobno, operacije s decimalama i običnim razlomcima u 5. razredu omogućuju da se bez smetnji izvede takav prijenos iz jedne vrste u drugu, barem kao trening.

Ako se vrijednost koja je višekratnik broja 10 može dobiti iz nazivnika množenjem ili dijeljenjem s cijelim brojem, prevođenje će se nastaviti bez ikakvih poteškoća: ¾ se pretvara u 0,75, 13/20 u 0,65.

Obrnuti postupak je još jednostavniji, jer uvijek možete dobiti obični razlomak iz decimalnog razlomka bez gubitka točnosti. Na primjer, 0,2 postaje 1/5, a 0,08 postaje 4/25.

Unutarnje transformacije

Prije izvođenja zajedničkih operacija s običnim razlomcima potrebno je pripremiti brojeve za moguće matematičke operacije.

Prije svega, trebate svesti sve razlomke u primjeru na jedan Opća pojava. Moraju biti obični ili decimalni. Odmah rezervirajmo da je prikladnije izvoditi množenje i dijeljenje s prvim.

U pripremi brojeva za daljnje radnje pomoći će vam pravilo poznato i korišteno iu ranim godinama učenja predmeta iu višoj matematici koja se proučava na sveučilištima.

Svojstva razlomaka

Recimo da imate neku vrijednost. Recimo 2/3. Što se mijenja ako brojnik i nazivnik pomnožite s 3? Ispast će 6/9. Što ako je milijun? 2000000/3000000. Ali čekajte, broj se kvalitativno uopće ne mijenja - 2/3 ostaje jednako 2000000/3000000. Mijenja se samo forma, ali ne i sadržaj. Ista stvar se događa kada se obje strane dijele s istom vrijednošću. Ovo je glavno svojstvo razlomaka, koje će vam više puta pomoći u izvođenju operacija s decimalama i običnim razlomcima na kolokvijima i ispitima.

Množenje brojnika i nazivnika istim brojem zove se proširenje razlomka, a dijeljenje smanjenje. Mora se reći da je prekrižavanje istih brojeva na vrhu i na dnu pri množenju i dijeljenju razlomaka iznenađujuće ugodan postupak (naravno, unutar sata matematike). Čini se da je odgovor već blizu i da je primjer praktički riješen.

Nepravi razlomci

Nepravi razlomak je onaj u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku. Drugim riječima, ako se iz njega može izdvojiti cijeli dio, on potpada pod ovu definiciju.

Ako se takav broj (veći ili jednak jedan) predstavi kao običan razlomak, nazvat će se nepravi razlomak. A ako je brojnik manji od nazivnika - ispravno. Obje su vrste jednako prikladne pri izvođenju mogućih operacija s običnim razlomcima. Lako se mogu množiti i dijeliti, zbrajati i oduzimati.

Ako je u isto vrijeme odabrano cijeli dio i postoji ostatak u obliku razlomka, dobiveni broj će se nazvati mješovitim. U budućnosti ćete se susresti različiti putevi kombinacije takvih struktura s varijablama, kao i rješavanje jednadžbi gdje je to znanje potrebno.

Aritmetičke operacije

Ako je sve jasno s osnovnim svojstvom razlomka, kako se onda ponašati pri množenju razlomaka? Operacije s običnim razlomcima u 5. razredu uključuju sve vrste računskih operacija koje se izvode na dva različita načina.

Množenje i dijeljenje vrlo su jednostavni. U prvom slučaju, brojnici i nazivnici dvaju razlomaka jednostavno se množe. U drugom - ista stvar, samo unakrsno. Dakle, brojnik prvog razlomka množi se nazivnikom drugog i obrnuto.

Da biste izvršili zbrajanje i oduzimanje, morate izvršiti dodatnu radnju - dovesti sve komponente izraza na zajednički nazivnik. To znači da se donji dijelovi razlomaka moraju promijeniti u istu vrijednost - broj koji je višekratnik oba postojeća nazivnika. Na primjer, za 2 i 5 to će biti 10. Za 3 i 6 - 6. Ali što onda učiniti s gornji dio? Ne možemo ga ostaviti istim ako smo promijenili donji. Prema osnovnom svojstvu razlomka, brojnik ćemo pomnožiti s istim brojem kao i nazivnik. Ovu operaciju moramo izvesti sa svakim od brojeva koje ćemo zbrajati ili oduzimati. Međutim, takve radnje s običnim razlomcima u 6. razredu već se izvode "automatski", a poteškoće nastaju tek kada početno stanje proučavanje teme.

Usporedba

Ako dva razlomka isti nazivnik, tada će onaj čiji je brojnik veći biti veći. Ako su gornji dijelovi isti, onda onaj s manji nazivnik. Vrijedno je imati na umu da se takve uspješne situacije za usporedbu rijetko pojavljuju. Najvjerojatnije se gornji i donji dio izraza neće podudarati. Tada ćete se morati sjetiti mogućih radnji s običnim razlomcima i koristiti tehniku ​​koja se koristi za zbrajanje i oduzimanje. Također, zapamtite da ako govorimo o negativni brojevi, tada će se razlomak s većim modulom pokazati manjim.

Prednosti običnih razlomaka

Događa se da učitelji kažu djeci jednu frazu, čiji se sadržaj može izraziti na sljedeći način: što više informacija bude dano prilikom formuliranja zadatka, to će rješenje biti lakše. Mislite li da zvuči čudno? Ali stvarno: s velikim brojem poznatih veličina možete koristiti gotovo sve formule, ali ako je navedeno samo nekoliko brojeva, možda će biti potrebna dodatna razmišljanja, morat ćete se sjetiti i dokazati teoreme, dati argumente u prilog svojoj ispravnosti ...

Zašto ovo radimo? Štoviše, obični razlomci, uza svu njihovu nezgrapnost, mogu uvelike pojednostaviti život učenika, omogućujući im da skrate čitave redove vrijednosti pri množenju i dijeljenju, a pri izračunavanju zbrojeva i razlika daju opće argumente i, opet, skraćuju ih.

Kada je potrebno izvesti zajedničke akcije s običnim i decimale, transformacije se provode u korist prvog: kako pretvoriti 3/17 u decimalni oblik? Samo uz gubitak informacija, inače ne. Ali 0,1 se može predstaviti kao 1/10, a zatim kao 17/170. Zatim se dva rezultirajuća broja mogu zbrajati ili oduzimati: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Zašto su decimale korisne?

Dok su operacije s običnim razlomcima praktičnije, zapisivanje svega pomoću njih je izuzetno nezgodno; decimale ovdje imaju značajnu prednost. Usporedite: 1748/10000 i 0,1748. Ovo je ista vrijednost predstavljena u dva razne opcije. Naravno, druga metoda je lakša!

Osim toga, decimale je lakše prikazati jer svi podaci imaju zajedničku bazu koja se razlikuje samo po redovima veličina. Recimo, popust od 30% lako razumijemo i čak ga ocjenjujemo značajnim. Hoćete li odmah shvatiti što je više - 30% ili 137/379? Dakle, decimalni razlomci osiguravaju standardizaciju za izračune.

U srednjoj školi odlučuju učenici kvadratne jednadžbe. Izvođenje operacija s običnim razlomcima ovdje je već izuzetno problematično, budući da formula za izračunavanje vrijednosti varijable sadrži Korijen od iznosa. Ako postoji razlomak koji se ne može svesti na decimalu, rješenje postaje toliko komplicirano da postaje gotovo nemoguće izračunati točan odgovor bez kalkulatora.

Dakle, svaki način predstavljanja razlomaka ima svoje prednosti u odgovarajućem kontekstu.

Obrasci za snimanje

Postoje dva načina za pisanje radnji s običnim razlomcima: kroz vodoravnu liniju, u dva "sloja" i kroz kosu crtu (aka "kosa crta") - u liniju. Kada učenik piše u bilježnicu, prva opcija je obično praktičnija i stoga češća. Distribucija brojeva po redoslijednim ćelijama pomaže u razvijanju pažnje pri izračunima i provođenju transformacija. Kada pišete u niz, možete nenamjerno pobrkati redoslijed radnji, izgubiti neke podatke - to jest, pogriješiti.

Vrlo često ovih dana postoji potreba za ispisom brojeva na računalu. Razlomke možete odvojiti tradicionalnom vodoravnom linijom pomoću funkcije u programu Microsoft Word 2010 i novijim verzijama. Činjenica je da u ovim verzijama softvera postoji opcija pod nazivom "formula". Prikazuje pravokutno transformabilno polje na ekranu, unutar kojeg možete kombinirati bilo koje matematičke simbole i stvoriti razlomke od dva i četiri kata. U nazivniku i brojniku možete koristiti zagrade i znakove operacija. Kao rezultat toga, sve zajedničke operacije s običnim i decimalnim razlomcima moći ćete zapisati u tradicionalnom obliku, tj. onako kako vas to uče u školi.

Ako koristite standardni uređivač teksta Notepad, tada će se svi frakcijski izrazi morati pisati s kosom crtom. Nažalost, ovdje nema drugog načina.

Zaključak

Tako smo pogledali sve osnovne radnje s običnim razlomcima, kojih, kako se pokazalo, nema toliko.

Ako se u prvi mah čini da je ovo težak dio matematike, onda je to samo privremeni dojam - sjetite se, jednom ste tako razmišljali o tablici množenja, a još ranije - o običnim bilježnicama i brojanju od jedan do deset.

Važno je razumjeti da se razlomci koriste u Svakidašnjica svugdje, posvuda. Bavit ćete se novcem i inženjerskim proračunima, informacijska tehnologija i glazbenog opismenjavanja, i svugdje - svugdje! - razlomački brojevi pojavit će se. Stoga nemojte biti lijeni i temeljito proučite ovu temu - pogotovo jer nije tako komplicirana.