Decimal frakcija- raznolikost razlomci, koji u nazivniku ima “okrugli” broj: 10, 100, 1000 itd., npr. frakcija 5/10 ima decimalni zapis od 0,5. Na temelju ovog principa, frakcija može biti predstavljen u oblik decimal razlomci.

upute

Recimo da trebamo zamisliti u oblik decimal frakcija 18/25.
Najprije morate biti sigurni da se u nazivniku pojavljuje jedan od "okruglih" brojeva: 100, 1000 itd. Da biste to učinili, trebate pomnožiti nazivnik s 4. Ali morat ćete pomnožiti i brojnik i nazivnik s 4.

Množenje brojnika i nazivnika razlomci 18/25 puta 4, ispada 72/100. Ovo je zabilježeno frakcija u decimalnom oblik dakle: 0,72.

U matematici, razlomak je racionalan broj jednak jednom ili više dijelova na koje je jedinica podijeljena. U tom slučaju zapis razlomka mora sadržavati naznaku dvaju brojeva: jedan od njih označava na koliko je točno dionica jedinica podijeljena prilikom izrade ovog razlomka, a drugi pokazuje koliko tih dionica razlomak uključuje. Ako su ova dva broja napisana kao brojnik i nazivnik odvojeni crtom, tada se ovaj format zapisa naziva "običnim" razlomkom. Međutim, postoji još jedan format za pisanje razlomaka koji se zove "decimalni".

Trokatni oblik pisanja brojeva, u kojem se nazivnik nalazi iznad brojnika, a između njih postoji i linija razdvajanja, nije uvijek prikladan. Ova se neugodnost posebno počela manifestirati masovnim širenjem osobnih računala. Decimalni oblik predstavljanja razlomaka nema taj nedostatak - ne zahtijeva navođenje brojnika, budući da je po definiciji uvijek jednak deset na negativnu potenciju. Stoga se razlomački broj može napisati u jednom retku, iako će njegova duljina u većini slučajeva biti puno veća od duljine odgovarajućeg običnog razlomka.

Još jedna prednost pisanja brojeva kao decimala je ta što ih je mnogo lakše usporediti. Budući da je nazivnik svake znamenke dva takva broja isti, dovoljno je usporediti samo dvije znamenke odgovarajućih znamenki, dok je pri usporedbi običnih razlomaka potrebno uzeti u obzir i brojnik i nazivnik svakog od njih. Ova prednost nije važna samo za ljude, već i za računala - usporedbu brojeva u decimalnom formatu vrlo je jednostavno programirati.

Postoje stoljećima stara pravila za zbrajanje, množenje i druge matematičke operacije koje vam omogućuju izračune na papiru ili u glavi s brojevima u decimalnom formatu. Ovo je još jedna prednost ovog formata u odnosu na obične razlomke. Iako razvojem računalne tehnologije, kada čak i satovi imaju kalkulator, to se sve manje primjećuje.

Opisane prednosti decimalnog formata za zapis frakcijskih brojeva pokazuju da je njegova glavna svrha pojednostaviti rad s matematičkim veličinama. Ovaj format ima i nedostatke - na primjer, da biste periodične razlomke zapisali u decimalni razlomak, također morate dodati broj u zagradi, a neracionalni brojevi u decimalnom formatu uvijek imaju približnu vrijednost. Međutim, na trenutnoj razini razvoja ljudi i njihovih tehnologija, mnogo je praktičniji za korištenje od uobičajenog formata za pisanje razlomaka.

Decimalni razlomak je razlomak u kojem je nazivnik prirodna potencija broja 10. To je, na primjer, razlomak Ovaj se razlomak može napisati u sljedećem obliku: znamenke brojnika napišite na crtu i odvojite što više zarezom s desne strane jer u nazivniku ima nula, naime:

U takvom zapisu brojevi lijevo od decimale čine cijeli, a brojevi desno od decimale razlomački dio zadanog decimalnog razlomka.

Neka je p/q neki pozitivan racionalni broj. Iz aritmetike je dobro poznat postupak dijeljenja koji vam omogućuje da broj predstavite kao decimalni razlomak. Bit procesa dijeljenja je prvo pronaći najveći cijeli broj puta q sadržan u p; ako je p višekratnik q, onda ovdje proces dijeljenja završava. U protivnom se pojavljuje ostatak. Zatim pronalaze koliko desetinki q taj ostatak sadrži i na ovom koraku proces može završiti ili će se pojaviti novi ostatak. U potonjem slučaju, pronađite koliko stotinki q sadrži, itd.

Ako nazivnik q nema drugih prostih faktora osim 2 ili 5, tada će nakon konačnog broja koraka ostatak biti jednak nuli, proces dijeljenja će završiti i zadani obični razlomak pretvorit će se u konačni decimalni razlomak. Zapravo, u ovom slučaju uvijek je moguće odabrati cijeli broj tako da se nakon množenja brojnika i nazivnika danog razlomka s njim dobije jednak razlomak u kojem će nazivnik predstavljati prirodnu potenciju desetice. Na primjer, ovo je razlomak

koji se može predstaviti ovako:

Međutim, bez ovih transformacija, dijeljenjem brojnika s nazivnikom, čitatelj će dobiti isti rezultat:

Ako nazivnik nesvodivog razlomka ima barem jedan prosti djelitelj osim 2 ili 5, tada proces dijeljenja s q nikada neće završiti (nijedan od sljedećih ostataka neće ići na nulu).

Izvršivši podjelu nalazimo

Za zapisivanje rezultata dobivenog u ovom primjeru, brojevi 0 i 6 koji se periodički ponavljaju stavljaju se u zagrade i pišu:

U ovom primjeru i drugim sličnim slučajevima, radnja dijeljenja ne rezultira konačnim rezultatom kao decimalnim brojem. Moguće je, generalizirajući pojam decimalnog razlomka, ipak reći da je kvocijent 965/132 predstavljen beskonačnim periodičnim razlomkom. Brojevi koji se ponavljaju 06 nazivaju se periodom tog razlomka, a njihov broj, jednak u našem primjeru, je duljina razdoblja.

Da bismo razumjeli razlog fenomena periodičnosti razlomka, ispitajmo, na primjer, proces dijeljenja sa 7. Ako dijeljenje nije u potpunosti obavljeno, tada se pojavljuje ostatak koji može imati samo jednu od sljedećih vrijednosti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. I na svakom od sljedećih koraka ostatak će opet imati jednu od ovih šest vrijednosti. Stoga, najkasnije u sedmom koraku, neizbježno ćemo se susresti s jednom od vrijednosti ostatka koje su se već pojavile. Počevši od ove točke, proces dijeljenja će postati periodičan. I vrijednosti ravnoteže i brojevi kvocijenta povremeno će se ponavljati. Isto razmišljanje vrijedi i za bilo koji drugi djelitelj.

Stoga se svaki obični razlomak prikazuje kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak. Zanimljivo je da se, obrnuto, svaki periodički decimalni razlomak može prikazati kao običan razlomak. Pokažimo kako se ova radnja izvodi. U ovom slučaju koristi se formula za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije (točka 92).

može se shvatiti ovako:

ovdje članovi s desne strane, počevši od drugog, tvore beskonačnu geometrijsku progresiju s nazivnikom i prvim članom

Korištenje formule (92.2):

Jasno je da će isti postupak omogućiti bilo kojem danom beskonačnom periodičnom razlomku da se prikaže u obliku običnog razlomka (i to, kao što se može pokazati, upravo onog iz kojeg je, u procesu dijeljenja, zadani beskonačni periodički razlomak u dobije se pak). Međutim, ovdje postoji jedna iznimka. Razmotrimo razlomak

i primijenite postupak pretvaranja u obični razlomak:

Došli smo do broja 1/2, koji izgleda kao konačni decimalni razlomak

Sličan rezultat će se dobiti kad god period zadanog beskonačnog razlomka ima oblik (9). Stoga identificiramo parove brojeva kao što su npr.

Ponekad je korisno dopustiti i zapise obrasca

formalno predstavljanje konačnih decimalnih razlomaka kao beskonačnih s periodom (0).

Sve što je rečeno o pretvaranju običnog razlomka u periodični decimalni razlomak i obrnuto odnosi se i na pozitivne racionalne brojeve. U slučaju negativnog broja, to možete učiniti na dva načina.

1) Uzmite pozitivan broj nasuprot danom negativnom broju, pretvorite ga u decimalu, a zatim stavite znak minus ispred njega. Na primjer, za - 5/3 dobivamo

2) Zadani negativni racionalni broj predstavite kao zbroj njegovog cijelog (negativnog) i razlomačkog dijela (nenegativnog), a zatim samo taj razlomački dio broja pretvorite u decimalni razlomak. Na primjer:

Za pisanje brojeva predstavljenih kao zbroj njihovog negativnog cijelog dijela i konačnog ili beskonačnog decimalnog razlomka, prihvaća se sljedeća notacija (umjetni oblik pisanja negativnog broja):

Ovdje se znak minus ne stavlja ispred cijelog razlomka, već iznad njegova cijelog dijela, kako bi se naglasilo da je samo cijeli dio negativan, a razlomak iza decimalne točke pozitivan.

Ovaj zapis stvara jednoobraznost u zapisu pozitivnih i negativnih decimalnih razlomaka i koristit će se u budućnosti u teoriji decimalnih logaritama (odjeljak 28). Za vježbu, pozivamo čitatelja da provjeri prijelaz s jednog zapisa na drugi u primjerima:

Sada možemo formulirati konačni zaključak: svaki racionalni broj može se prikazati beskonačnim decimalnim periodičnim razlomkom, i obrnuto, svaki takav razlomak zadaje racionalni broj. Konačni decimalni razlomak dopušta i dva oblika zapisa u obliku beskonačnog decimalnog razlomka: s točkom (0) i s točkom (9).

Već u osnovnoj školi učenici su izloženi razlomcima. I onda se pojavljuju u svakoj temi. Ne možete zaboraviti akcije s ovim brojevima. Stoga morate znati sve informacije o običnim i decimalnim razlomcima. Ovi koncepti nisu komplicirani, glavna stvar je razumjeti sve u redu.

Zašto su razlomci potrebni?

Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Stoga nema potrebe za dionicama. Ali svakodnevni život neprestano tjera ljude da rade s dijelovima predmeta i stvari.

Na primjer, čokolada se sastoji od nekoliko komada. Razmotrimo situaciju u kojoj njegovu pločicu čini dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva dijela, dobit ćete 6 dijelova. Lako se može podijeliti na tri. Ali neće biti moguće petorici ljudi dati cijeli broj čokoladnih kriški.

Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.

Što je "razlomak"?

Ovo je broj sastavljen od dijelova jedinice. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. Ova značajka naziva se frakcijska. Broj napisan gore (lijevo) zove se brojnik. Ono što je na dnu (desno) je nazivnik.

U biti, ispada da je kosa crta znak dijeljenja. Odnosno, brojnik se može nazvati dividenda, a nazivnik se može nazvati djelitelj.

Koji razlomci postoje?

U matematici postoje samo dvije vrste: obični i decimalni razlomci. Školarci se s prvima upoznaju u osnovnoj školi, nazivajući ih jednostavno “razlomci”. Potonji će se učiti u 5. razredu. Tada se pojavljuju ova imena.

Obični razlomci su svi oni koji su napisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomački dio ima položajni zapis i odvojen je od cijelog broja zarezom. Na primjer, 4.7. Učenici trebaju jasno razumjeti da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.

Svaki prosti razlomak može se napisati kao decimalni broj. Ova izjava je gotovo uvijek istinita obrnuto. Postoje pravila koja vam omogućuju pisanje decimalnog razlomka kao običnog razlomka.

Koje podvrste imaju ove vrste razlomaka?

Bolje je početi kronološkim redom, kako se proučavaju. Obični razlomci su prvi. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.

Točno. Njegov brojnik uvijek je manji od nazivnika.

krivo Njegov brojnik je veći ili jednak nazivniku.

Svodivo/nesvodivo. Može se pokazati ili točnim ili pogrešnim. Druga važna stvar je imaju li brojnik i nazivnik zajedničke faktore. Ako postoje, tada je potrebno podijeliti oba dijela razlomka s njima, odnosno smanjiti ga.

Mješoviti. Cijeli broj se pridružuje njegovom uobičajenom pravilnom (nepravilnom) razlomljenom dijelu. Štoviše, uvijek je s lijeve strane.

Kompozitni. Sastoji se od dvije frakcije međusobno podijeljene. To jest, sadrži tri razlomačke linije odjednom.

Decimalni razlomci imaju samo dvije podvrste:

konačan, odnosno onaj čiji je razlomački dio ograničen (ima kraj);

beskonačno - broj čije znamenke iza decimalne točke ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).

Kako pretvoriti decimalni razlomak u obični?

Ako je to konačan broj, tada se primjenjuje asocijacija po pravilu - kako čujem, tako i napišem. Odnosno, trebate ga pravilno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.

Kao savjet o potrebnom nazivniku, trebate zapamtiti da je to uvijek jedna i nekoliko nula. Potonje trebate napisati onoliko koliko ima znamenki u razlomku dotičnog broja.

Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične ako im nedostaje cjelobrojni dio, odnosno jednak nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispostavlja se da trebate napisati nula cijelih brojeva. Ali nije naznačeno. Ostaje samo zapisati razlomke. Prvi broj će imati nazivnik 10, drugi će imati nazivnik 100. Odnosno, navedeni primjeri će imati sljedeće brojeve kao odgovore: 9/10, 5/100. Štoviše, ispada da se potonji može smanjiti za 5. Stoga rezultat za njega treba napisati kao 1/20.

Kako pretvoriti decimalni razlomak u obični razlomak ako je njegov cijeli broj različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. U oba primjera čita se cijeli dio i ispisuje se njegova vrijednost. U prvom slučaju to je 5, u drugom je 13. Zatim morate prijeći na frakcijski dio. Istu operaciju treba provesti i s njima. Prvi broj se pojavljuje 23/100, drugi - 108/100000. Drugu vrijednost potrebno je ponovno smanjiti. Odgovor daje sljedeće mješovite razlomke: 5 23/100 i 13 27/25000.

Kako pretvoriti beskonačni decimalni razlomak u obični razlomak?

Ako je neperiodičan, tada takva operacija neće biti moguća. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek pretvara ili u konačni ili u periodični razlomak.

Jedino što možete učiniti s takvim razlomkom je zaokružiti ga. Ali tada će decimala biti približno jednaka tom beskonačnom. Već se može pretvoriti u običnu. Ali obrnuti proces: pretvorba u decimalnu nikada neće dati početnu vrijednost. To jest, beskonačni neperiodični razlomci se ne pretvaraju u obične razlomke. Ovo treba zapamtiti.

Kako napisati beskonačni periodični razlomak kao običan razlomak?

U ovim brojevima uvijek postoji jedna ili više znamenki iza decimalne točke koje se ponavljaju. Nazivaju se periodom. Na primjer, 0,3(3). Ovdje je "3" u točki. Klasificiraju se kao racionalni jer se mogu pretvoriti u obične razlomke.

Oni koji su se susreli s periodičnim razlomcima znaju da oni mogu biti čisti ili mješoviti. U prvom slučaju točka počinje odmah od zareza. U drugom, razlomački dio počinje s nekim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.

Pravilo prema kojem trebate napisati beskonačnu decimalu kao obični razlomak bit će različito za dvije navedene vrste brojeva. Lako je čiste periodične razlomke napisati kao obične razlomke. Kao i kod konačnih, potrebno ih je pretvoriti: zapišite točku u brojnik, a nazivnik će biti broj 9, ponovljen onoliko puta koliko znamenki točka sadrži.

Na primjer, 0,(5). Broj nema cijeli dio, pa morate odmah početi s razlomkom. Napišite 5 kao brojnik, a 9 kao nazivnik. To jest, odgovor će biti razlomak 5/9.

Pravilo kako napisati obični decimalni periodični razlomak koji je mješovit.

Pogledajte duljinu razdoblja. Toliko će devetica imati nazivnik.

Zapišite nazivnik: prvo devetke, zatim nule.

Za određivanje brojnika potrebno je zapisati razliku dvaju brojeva. Svi brojevi nakon decimalne točke bit će umanjeni, zajedno s točkom. Odbitak - to je bez razdoblja.

Na primjer, 0,5(8) - zapišite periodični decimalni razlomak kao obični razlomak. Razlomak ispred točke sadrži jednu znamenku. Dakle bit će jedna nula. Također postoji samo jedan broj u razdoblju - 8. Odnosno, postoji samo jedna devetka. Odnosno, trebate napisati 90 u nazivniku.

Da biste odredili brojnik, trebate oduzeti 5 od 58. Ispada 53. Na primjer, morali biste napisati odgovor kao 53/90.

Kako se razlomci pretvaraju u decimale?

Najjednostavnija opcija je broj čiji je nazivnik broj 10, 100 itd. Tada se nazivnik jednostavno odbaci, a između razlomaka i cijelog broja stavi se zarez.

Postoje situacije kada se nazivnik lako pretvori u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti s 2, 5 odnosno 4. Samo trebate pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik istim brojem.

Za sve ostale slučajeve korisno je jednostavno pravilo: podijelite brojnik nazivnikom. U ovom slučaju možete dobiti dva moguća odgovora: konačni ili periodični decimalni razlomak.

Operacije s običnim razlomcima

Zbrajanje i oduzimanje

Učenici se s njima upoznaju ranije od ostalih. Štoviše, u početku razlomci imaju iste nazivnike, a zatim različite. Opća pravila mogu se svesti na ovaj plan.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika.

Napiši dodatne faktore za sve obične razlomke.

Pomnožite brojnike i nazivnike faktorima navedenim za njih.

Zbrojite (oduzmite) brojnike razlomaka, a zajednički nazivnik ostavite nepromijenjenim.

Ako je brojnik umanjenika manji od oduzetog, tada moramo saznati imamo li mješoviti broj ili pravi razlomak.

U prvom slučaju, trebate posuditi jedan iz cijelog dijela. Dodajte nazivnik brojniku razlomka. I onda izvršite oduzimanje.

U drugom je potrebno primijeniti pravilo oduzimanja većeg broja od manjeg broja. Odnosno, od modula umanjenika oduzmite modul umanjenika i kao odgovor stavite znak "-".

Pažljivo pogledajte rezultat zbrajanja (oduzimanja). Ako dobijete netočan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio. Odnosno, podijelite brojnik s nazivnikom.

Množenje i dijeljenje

Da bi ih izveli, razlomke nije potrebno svesti na zajednički nazivnik. To olakšava izvođenje radnji. Ali i dalje zahtijevaju da se pridržavate pravila.

Kada množite razlomke, morate gledati brojeve u brojnicima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, tada se mogu smanjiti.

Pomnožite brojnike.

Pomnožite nazivnike.

Ako je rezultat svodivi razlomak, mora se ponovno pojednostaviti.

Kod dijeljenja prvo morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim razlomkom (zamijenite brojnik i nazivnik).

Zatim nastavite kao s množenjem (počevši od točke 1).

U zadacima u kojima treba množiti (dijeliti) cijelim brojem, ovaj posljednji treba pisati kao nepravi razlomak. To jest, s nazivnikom 1. Zatim postupite kako je gore opisano.



Operacije s decimalama

Zbrajanje i oduzimanje

Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u razlomak. I postupite prema već opisanom planu. Ali ponekad je prikladnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje biti potpuno ista.

Izjednačite broj znamenki u razlomačkom dijelu broja, odnosno iza decimalne točke. Dodajte mu broj nula koji nedostaje.

Napiši razlomke tako da zarez bude ispod zareza.

Zbrajati (oduzimati) kao prirodne brojeve.

Uklonite zarez.

Množenje i dijeljenje

Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti onako kako su dani u primjeru. I onda idite po planu.

Za množenje morate pisati razlomke jedan ispod drugog, zanemarujući zareze.

Množite kao prirodne brojeve.

Stavite zarez u odgovor, brojeći od desnog kraja odgovora onoliko znamenki koliko ih ima u razlomcima oba faktora.

Da biste dijelili, prvo morate transformirati djelitelj: neka bude prirodan broj. Odnosno, pomnožite ga s 10, 100 itd., ovisno o tome koliko je znamenki u razlomačkom dijelu djelitelja.

Pomnožite dividendu s istim brojem.

Podijelite decimalni razlomak prirodnim brojem.

Stavite zarez u svoj odgovor u trenutku kada završi dijeljenje cijelog dijela.



Što ako jedan primjer sadrži obje vrste razlomaka?

Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvoditi operacije na običnim i decimalnim razlomcima. U takvim zadacima postoje dva moguća rješenja. Morate objektivno odvagnuti brojke i odabrati optimalnu.

Prvi način: predstavlja obične decimale

Prikladno je ako dijeljenje ili prevođenje rezultira konačnim razlomcima. Ako barem jedan broj daje periodični dio, tada je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.

Drugi način: decimalne razlomke zapišite kao obične

Ova se tehnika pokazala prikladnom ako dio nakon decimalne točke sadrži 1-2 znamenke. Ako ih ima više, možete završiti s vrlo velikim uobičajenim razlomkom, a decimalni zapis će učiniti zadatak bržim i lakšim za izračunavanje. Stoga uvijek morate trezveno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniju metodu rješenja.

U ovom članku ćemo pogledati kako pretvaranje razlomaka u decimale, a također razmotrite obrnuti proces - pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke. Ovdje ćemo prikazati pravila za pretvorbu razlomaka i dati detaljna rješenja tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Pretvaranje razlomaka u decimale

Označimo slijed kojim ćemo se baviti pretvaranje razlomaka u decimale.

Prvo ćemo pogledati kako predstaviti razlomke s nazivnicima 10, 100, 1000, ... kao decimale. To se objašnjava činjenicom da su decimalni razlomci u biti kompaktni oblik zapisa običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ....

Nakon toga ćemo ići dalje i pokazati kako se bilo koji obični razlomak (ne samo oni s nazivnicima 10, 100, ...) zapisuje kao decimalni razlomak. Kada se obični razlomci tretiraju na ovaj način, dobivaju se i konačni decimalni razlomci i beskonačni periodični decimalni razlomci.

Sada razgovarajmo o svemu redom.

Pretvaranje običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimale

Neki ispravni razlomci zahtijevaju "preliminarnu pripremu" prije pretvaranja u decimale. To se odnosi na obične razlomke, čiji je broj znamenki u brojniku manji od broja nula u nazivniku. Na primjer, obični razlomak 2/100 mora se prvo pripremiti za pretvorbu u decimalni razlomak, ali razlomak 9/10 ne treba nikakvu pripremu.

“Preliminarna priprema” pravih običnih razlomaka za pretvorbu u decimalne razlomke sastoji se od dodavanja toliko nula s lijeve strane brojnika da ukupan broj tamošnjih znamenki postane jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, razlomak nakon dodavanja nula izgledat će kao .

Nakon što ste pripremili pravi razlomak, možete ga početi pretvarati u decimalu.

Dajmo pravilo za pretvaranje pravilnog običnog razlomka s nazivnikom 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalni razlomak. Sastoji se od tri koraka:

• napisati 0;
• iza njega stavljamo decimalnu točku;
• Zapisujemo broj iz brojnika (zajedno s dodanim nulama, ako smo ih dodali).

Razmotrimo primjenu ovog pravila kod rješavanja primjera.

Primjer.

Pretvorite pravilan razlomak 37/100 u decimalu.

Riješenje.

Nazivnik sadrži broj 100 koji ima dvije nule. Brojnik sadrži broj 37, njegov zapis ima dvije znamenke, stoga ovaj ulomak ne treba pripremati za pretvorbu u decimalni ulomak.

Sada napišemo 0, stavimo decimalnu točku i iz brojnika ispišemo broj 37 i dobijemo decimalni razlomak 0,37.

Odgovor:

0,37 .

Kako bismo učvrstili vještine pretvaranja pravilnih običnih razlomaka s brojnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke, analizirat ćemo rješenje drugog primjera.

Primjer.

Zapišite pravi razlomak 107/10 000 000 kao decimalu.

Riješenje.

Broj znamenki u brojniku je 3, a broj nula u nazivniku je 7, pa ovaj obični razlomak treba pripremiti za pretvaranje u decimalu. Moramo dodati 7-3=4 nule lijevo u brojniku tako da ukupan broj znamenki tamo postane jednak broju nula u nazivniku. Dobivamo.

Sve što preostaje je stvoriti traženi decimalni razlomak. Da bismo to učinili, prvo pišemo 0, drugo, stavljamo zarez, treće, pišemo broj iz brojnika zajedno s nulama 0000107, kao rezultat imamo decimalni ulomak 0,0000107.

Odgovor:

0,0000107 .

Nepravilni razlomci ne zahtijevaju nikakvu pripremu prilikom pretvaranja u decimale. Treba se pridržavati sljedećeg pravila za pretvaranje nepravih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimale:

• zapisati broj iz brojnika;
• Koristimo decimalnu točku da odvojimo onoliko znamenki s desne strane koliko ima nula u nazivniku izvornog razlomka.

Pogledajmo primjenu ovog pravila kod rješavanja primjera.

Primjer.

Pretvorite nepravilan razlomak 56,888,038,009/100,000 u decimalu.

Riješenje.

Prvo, zapisujemo broj iz brojnika 56888038009, a drugo, odvajamo 5 znamenki s desne strane decimalnom točkom, jer nazivnik izvornog razlomka ima 5 nula. Kao rezultat, imamo decimalni razlomak 568880,38009.

Odgovor:

568 880,38009 .

Da biste pretvorili mješoviti broj u decimalni razlomak, čiji je nazivnik razlomka broj 10, ili 100, ili 1000, ..., možete pretvoriti mješoviti broj u nepravi obični razlomak, a zatim pretvoriti rezultirajući razlomak u decimalni razlomak. Ali također možete koristiti sljedeće pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva s razlomačkim nazivnikom 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalne razlomke:

• ako je potrebno, vršimo "preliminarnu pripremu" frakcijskog dijela izvornog mješovitog broja dodavanjem potrebnog broja nula lijevo u brojniku;
• zapisati cjelobrojni dio izvornog mješovitog broja;
• staviti decimalnu točku;
• Zapisujemo broj iz brojnika uz dodane nule.

Pogledajmo primjer u kojem dovršavamo sve potrebne korake za predstavljanje mješovitog broja kao decimalnog razlomka.

Primjer.

Pretvorite mješoviti broj u decimalu.

Riješenje.

Nazivnik razlomka ima 4 nule, ali brojnik sadrži broj 17, koji se sastoji od 2 znamenke, stoga trebamo dodati dvije nule lijevo u brojniku tako da broj znamenki tamo postane jednak broju nule u nazivniku. Nakon što to učinite, brojnik će biti 0017.

Sada zapišemo cijeli dio izvornog broja, odnosno broja 23, stavimo decimalnu točku, nakon čega upišemo broj iz brojnika uz dodane nule, odnosno 0017, i dobijemo željenu decimalu. razlomak 23.0017.

Zapišimo ukratko cijelo rješenje: .

Naravno, bilo je moguće prvo predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak, a zatim ga pretvoriti u decimalni razlomak. Ovakvim pristupom rješenje izgleda ovako: .

Odgovor:

23,0017 .

Pretvaranje razlomaka u konačne i beskonačne periodične decimale

U decimalni razlomak možete pretvoriti ne samo obične razlomke s nazivnicima 10, 100, ..., već i obične razlomke s drugim nazivnicima. Sada ćemo shvatiti kako se to radi.

U nekim slučajevima, izvorni obični razlomak lako se svodi na jedan od nazivnika 10, ili 100, ili 1000, ... (pogledajte dovođenje običnog razlomka na novi nazivnik), nakon čega nije teško prikazati rezultirajući razlomak kao decimalni razlomak. Na primjer, očito je da se razlomak 2/5 može svesti na razlomak s nazivnikom 10, za to je potrebno brojnik i nazivnik pomnožiti s 2, što će dati razlomak 4/10, što prema pravila razmatrana u prethodnom paragrafu, lako se pretvara u decimalni razlomak 0, 4 .

U drugim slučajevima, morate koristiti drugu metodu pretvaranja običnog razlomka u decimalu, koju ćemo sada razmotriti.

Za pretvaranje običnog razlomka u decimalni razlomak, brojnik razlomka podijeli se s nazivnikom, a brojnik se prvo zamijeni jednakim decimalnim razlomkom s bilo kojim brojem nula iza decimalne točke (o tome smo govorili u odjeljku jednako i nejednaki decimalni razlomci). Dijeljenje se u ovom slučaju izvodi na isti način kao i dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, au kvocijentu se stavlja decimalna točka kada završi dijeljenje cijelog dijela dividende. Sve će to postati jasno iz rješenja dolje navedenih primjera.

Primjer.

Pretvorite razlomak 621/4 u decimalu.

Riješenje.

Predstavimo broj u brojniku 621 kao decimalni razlomak, dodajući decimalnu točku i nekoliko nula iza nje. Prvo zbrojimo 2 znamenke 0, kasnije, ako je potrebno, uvijek možemo dodati još nula. Dakle, imamo 621,00.

Podijelimo sada broj 621 000 s 4 stupcem. Prva tri koraka se ne razlikuju od dijeljenja prirodnih brojeva stupcem, nakon čega dolazimo do sljedeće slike:

Tako dolazimo do decimalne točke u dividendi, a ostatak je različit od nule. U ovom slučaju stavljamo decimalnu točku u kvocijent i nastavljamo s dijeljenjem u stupcu, ne obraćajući pažnju na zareze:

Time je dijeljenje završeno, a kao rezultat dobivamo decimalni razlomak 155,25, koji odgovara izvornom običnom razlomku.

Odgovor:

155,25 .

Za učvršćivanje gradiva razmotrite rješenje drugog primjera.

Primjer.

Pretvorite razlomak 21/800 u decimalu.

Riješenje.

Da bismo ovaj obični razlomak pretvorili u decimalni, dijelimo sa stupcem decimalnog razlomka 21 000... s 800. Nakon prvog koraka morat ćemo staviti decimalnu točku u kvocijent, a zatim nastaviti dijeljenje:

Konačno, dobili smo ostatak 0, čime je dovršena konverzija običnog razlomka 21/400 u decimalni razlomak, i došli smo do decimalnog razlomka 0,02625.

Odgovor:

0,02625 .

Može se dogoditi da pri dijeljenju brojnika s nazivnikom običnog razlomka ipak ne dobijemo ostatak 0. U tim slučajevima dioba se može nastaviti neograničeno dugo. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci se periodički počinju ponavljati, a ponavljaju se i brojevi u kvocijentu. To znači da se izvorni razlomak pretvara u beskonačno periodični decimalni razlomak. Pokažimo to primjerom.

Primjer.

Zapišite razlomak 19/44 kao decimalu.

Riješenje.

Da biste pretvorili obični razlomak u decimalu, izvedite dijeljenje po stupcu:

Već je jasno da su se tijekom dijeljenja počeli ponavljati ostaci 8 i 36, dok se u kvocijentu ponavljaju brojevi 1 i 8. Dakle, izvorni obični razlomak 19/44 pretvara se u periodični decimalni razlomak 0,43181818...=0,43(18).

Odgovor:

0,43(18) .

Da zaključimo ovu točku, otkrit ćemo koji se obični razlomci mogu pretvoriti u konačne decimalne razlomke, a koji se mogu pretvoriti samo u periodične.

Neka je pred nama nesvodivi obični razlomak (ako je razlomak svodiv, onda razlomak prvo skraćujemo), a trebamo saznati u koji decimalni razlomak se on može pretvoriti - u konačni ili periodični.

Jasno je da ako se obični razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ..., tada se dobiveni razlomak može lako pretvoriti u konačni decimalni razlomak prema pravilima razmatranim u prethodnom paragrafu. Ali na nazivnike 10, 100, 1000 itd. Nisu navedeni svi obični razlomci. Na takve nazivnike mogu se svesti samo oni razlomci čiji je nazivnik barem jedan od brojeva 10, 100, .... A koji brojevi mogu biti djelitelji broja 10, 100, ...? Brojevi 10, 100, ... omogućit će nam odgovor na ovo pitanje, a oni su sljedeći: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Slijedi da su djelitelji 10, 100, 1000 itd. Mogu postojati samo brojevi čija dekompozicija na proste faktore sadrži samo brojeve 2 i (ili) 5.

Sada možemo donijeti opći zaključak o pretvaranju običnih razlomaka u decimale:

• ako su u rastavljanju nazivnika na proste faktore prisutni samo brojevi 2 i (ili) 5, tada se taj razlomak može pretvoriti u konačni decimalni razlomak;
• ako uz dvojke i petice u proširenju nazivnika postoje i drugi prosti brojevi, tada se taj razlomak pretvara u beskonačni decimalni periodični razlomak.

Primjer.

Bez pretvaranja običnih razlomaka u decimale, reci mi koji se od razlomaka 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 mogu pretvoriti u konačni decimalni razlomak, a koji se mogu pretvoriti samo u periodični razlomak.

Riješenje.

Nazivnik razlomka 47/20 rastavljen je na proste faktore kao 20=2·2·5. U ovom proširenju postoje samo dvojke i petice, pa se ovaj razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ... (u ovom primjeru na nazivnik 100), dakle, može se pretvoriti u konačnu decimalu frakcija.

Rastavljanje nazivnika razlomka 7/12 na proste faktore ima oblik 12=2·2·3. Budući da sadrži prosti faktor 3, različit od 2 i 5, ovaj se razlomak ne može predstaviti kao konačna decimala, ali se može pretvoriti u periodičku decimalu.

Frakcija 21/56 – kontraktilna, nakon kontrakcije poprima oblik 3/8. Rastavljanje nazivnika na proste faktore sadrži tri faktora jednaka 2, stoga se uobičajeni razlomak 3/8, a time i jednaki razlomak 21/56, može pretvoriti u konačni decimalni razlomak.

Konačno, proširenje nazivnika razlomka 31/17 je sam 17, stoga se ovaj razlomak ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak, ali se može pretvoriti u beskonačni periodični razlomak.

Odgovor:

47/20 i 21/56 mogu se pretvoriti u konačni decimalni razlomak, ali 7/12 i 31/17 mogu se pretvoriti samo u periodični razlomak.

Obični razlomci se ne pretvaraju u beskonačne neperiodične decimale

Informacija u prethodnom odlomku dovodi do pitanja: "Može li dijeljenje brojnika razlomka s nazivnikom rezultirati beskonačnim neperiodičnim razlomkom?"

Odgovor: ne. Pri pretvorbi običnog razlomka rezultat može biti konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak. Objasnimo zašto je to tako.

Iz teorema o djeljivosti s ostatkom jasno je da je ostatak uvijek manji od djelitelja, odnosno ako neki cijeli broj podijelimo s cijelim brojem q, tada ostatak može biti samo jedan od brojeva 0, 1, 2. , ..., q−1. Slijedi da će nakon što stupac završi dijeljenje cijelog dijela brojnika običnog razlomka s nazivnikom q, u najviše q koraka doći do jedne od sljedeće dvije situacije:

• ili ćemo dobiti ostatak od 0, time ćemo završiti dijeljenje i dobit ćemo konačni decimalni razlomak;
• ili ćemo dobiti ostatak koji se već prije pojavio, nakon čega će se ostaci početi ponavljati kao u prethodnom primjeru (budući da se pri dijeljenju jednakih brojeva s q dobivaju jednaki ostaci, što slijedi iz već spomenutog teorema o djeljivosti), to rezultirat će beskonačnim periodičkim decimalnim razlomkom.

Ne mogu postojati nikakve druge opcije, stoga se pri pretvaranju običnog ulomka u decimalni ulomak ne može dobiti beskonačni neperiodični decimalni ulomak.

Iz obrazloženja danog u ovom paragrafu također slijedi da je duljina perioda decimalnog razlomka uvijek manja od vrijednosti nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka.

Pretvaranje decimala u razlomke

Sada shvatimo kako pretvoriti decimalni razlomak u obični razlomak. Počnimo pretvaranjem konačnih decimalnih razlomaka u obične razlomke. Nakon ovoga, razmotrit ćemo metodu za invertiranje beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka. Zaključno, recimo o nemogućnosti pretvaranja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke.

Pretvaranje završnih decimala u razlomke

Dobivanje razlomka koji je zapisan kao konačna decimala vrlo je jednostavno. Pravilo za pretvaranje konačnog decimalnog razlomka u obični razlomak sastoji se od tri koraka:

• prvo zadani decimalni razlomak upišite u brojnik, prethodno odbacivši decimalnu točku i sve nule s lijeve strane, ako ih ima;
• drugo, upišite jedan u nazivnik i dodajte mu onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom decimalnom razlomku;
• treće, ako je potrebno, smanjite rezultirajuću frakciju.

Pogledajmo rješenja primjera.

Primjer.

Pretvorite decimalno 3,025 u razlomak.

Riješenje.

Uklonimo li decimalnu točku s izvornog decimalnog razlomka, dobit ćemo broj 3.025. Na lijevoj strani nema nula koje bismo odbacili. Dakle, u brojnik željenog razlomka upisujemo 3,025.

Broj 1 upišemo u nazivnik i desno od njega dodamo 3 nule, jer u izvornom decimalnom razlomku iza decimalne točke postoje 3 znamenke.

Dakle, dobili smo obični razlomak 3,025/1,000. Ovaj se razlomak može smanjiti za 25, dobivamo .

Odgovor:

.

Primjer.

Pretvorite decimalni razlomak 0,0017 u razlomak.

Riješenje.

Bez decimalne točke izvorni decimalni razlomak izgleda kao 00017, odbacivanjem nula s lijeve strane dobivamo broj 17 koji je brojnik željenog običnog razlomka.

Jedinicu pišemo s četiri nule u nazivniku, jer izvorni decimalni razlomak ima 4 znamenke iza decimalne točke.

Kao rezultat, imamo obični razlomak 17/10 000. Ovaj razlomak je nesvodiv, a pretvorba decimalnog razlomka u obični razlomak je završena.

Odgovor:

.

Kada je cijeli dio izvornog konačnog decimalnog razlomka različit od nule, može se odmah pretvoriti u mješoviti broj, zaobilazeći obični razlomak. Dajmo pravilo za pretvaranje konačnog decimalnog razlomka u mješoviti broj:

• broj ispred decimalne točke mora biti zapisan kao cjelobrojni dio željenog mješovitog broja;
• u brojniku frakcijskog dijela trebate napisati broj dobiven iz frakcijskog dijela izvornog decimalnog razlomka nakon odbacivanja svih nula s lijeve strane;
• u nazivnik razlomka potrebno je zapisati broj 1, kojemu desno dodati onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom decimalnom razlomku;
• ako je potrebno, smanjite razlomački dio dobivenog mješovitog broja.

Pogledajmo primjer pretvaranja decimalnog razlomka u mješoviti broj.

Primjer.

Izrazite decimalni razlomak 152,06005 kao mješoviti broj

Da biste racionalni broj m/n zapisali kao decimalni razlomak, potrebno je brojnik podijeliti nazivnikom. U tom slučaju kvocijent se piše kao konačni ili beskonačni decimalni razlomak.

Zapiši ovaj broj kao decimalni razlomak.

Riješenje. Podijelite brojnik svakog razlomka u stupac s njegovim nazivnikom: A) podijeli 6 sa 25; b) podijeliti 2 sa 3; V) podijelite 1 s 2, a zatim dobiveni razlomak dodajte jedan - cjelobrojnom dijelu ovog mješovitog broja.

Nesvodivi obični razlomci čiji nazivnici ne sadrže proste faktore osim 2 I 5 , zapisuju se kao posljednji decimalni razlomak.

U primjer 1 kada A) nazivnik 25=5·5; kada V) nazivnik je 2, tako da dobivamo konačne decimale 0,24 i 1,5. Kada b) nazivnik je 3, pa se rezultat ne može napisati kao konačna decimala.

Je li moguće, bez dugog dijeljenja, pretvoriti u decimalni razlomak takav obični razlomak, čiji nazivnik ne sadrži druge djelitelje osim 2 i 5? Idemo to shvatiti! Koji se razlomak naziva decimalom i piše se bez razlomka? Odgovor: razlomak s nazivnikom 10; 100; 1000, itd. I svaki od ovih brojeva je proizvod jednak broj dvojke i petice. Zapravo: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 itd.

Posljedično, nazivnik nesvodivog običnog razlomka morat će se predstaviti kao umnožak "dvojki" i "petica", a zatim pomnožiti s 2 i (ili) 5 tako da "dvojke" i "petice" postanu jednake. Tada će nazivnik razlomka biti jednak 10 ili 100 ili 1000, itd. Kako bismo bili sigurni da se vrijednost razlomka ne mijenja, pomnožimo brojnik razlomka s istim brojem s kojim smo pomnožili nazivnik.

Izrazi sljedeće uobičajene razlomke kao decimale:

Riješenje. Svaki od ovih razlomaka je nesvodiv. Rastavimo nazivnik svakog razlomka na proste faktore.

20=2·2·5. Zaključak: nedostaje jedan “A”.

8=2·2·2. Zaključak: nedostaju tri "A".

25=5·5. Zaključak: nedostaju dvije “dvojke”.

Komentar. U praksi se često ne koristi faktoriziranje nazivnika, već se jednostavno postavlja pitanje: s koliko treba pomnožiti nazivnik da rezultat bude jedan s nulama (10 ili 100 ili 1000 itd.). I onda se brojnik množi s istim brojem.

Dakle, u slučaju A)(primjer 2) od broja 20 možete dobiti 100 množenjem sa 5, dakle, potrebno je brojnik i nazivnik pomnožiti sa 5.

Kada b)(primjer 2) od broja 8 neće se dobiti broj 100, već će se množenjem sa 125 dobiti broj 1000. I brojnik (3) i nazivnik (8) razlomka množe se sa 125.

Kada V)(primjer 2) od 25 dobijete 100 ako pomnožite sa 4. To znači da se brojnik 8 mora pomnožiti sa 4.

Zove se beskonačni decimalni razlomak u kojem se jedna ili više znamenki uvijek ponavljaju u istom nizu periodički kao decimala. Skup znamenki koje se ponavljaju naziva se periodom ovog razlomka. Radi sažetosti, period razlomka je napisan jednom, u zagradama.

Kada b)(primjer 1) postoji samo jedna znamenka koja se ponavlja i jednaka je 6. Stoga će naš rezultat 0,66... ​​​​biti zapisan ovako: 0,(6) . Oni glase: nula točka, šest u točki.

Ako između decimalne točke i prve točke postoji jedna ili više znamenki koje se ne ponavljaju, tada se takav periodički razlomak naziva mješoviti periodički razlomak.

Nesvodivi obični razlomak čiji je nazivnik zajedno s ostalima množitelj sadrži množitelj 2 ili 5 , postaje mješoviti periodički razlomak.

Zapiši brojeve kao decimale.