U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli snagu broja. Danas ćemo pokušati navigirati procesom pronalaženja njegovog značenja. Znanstveno govoreći, otkrit ćemo kako pravilno podići na potenciju. Shvatit ćemo kako se taj proces odvija, a istodobno ćemo dotaknuti sve moguće eksponente: prirodne, iracionalne, racionalne, cjelobrojne.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

1. Definicija pojma.
2. Podizanje do negativne umjetnosti.
3. Indikator cijelog broja.
4. Povećanje broja na iracionalni stupanj.

Evo definicije koja točno odražava značenje: "Potenciranje je definicija vrijednosti potencije broja."

Sukladno tome, podizanje broja a u čl. r i postupak pronalaženja vrijednosti stupnja a s eksponentom r identični su pojmovi. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost potencije (0,6)6″, tada se može pojednostaviti na izraz "Podignite broj 0,6 na potenciju 6."

Nakon toga možete prijeći izravno na pravila gradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, trebali biste obratiti pozornost na sljedeći niz izraza:

110=0,1=1* 10 minus 1 žlica,

1100=0,01=1*10 u minus 2 stupnja,

11000=0,0001=1*10 u minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stupnja.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 na bilo koju minus potenciju. U tu svrhu dovoljno je samo pomaknuti decimalnu komponentu:

• 10 na -1 stupanj - ispred jedinice je 1 nula;
• u -3 - tri nule prije jedan;
• u -9 ima 9 nula i tako dalje.

Također je lako razumjeti iz ovog dijagrama koliko će biti 10 minus 5 žlica. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodnu potenciju

Prisjećajući se definicije, uzimamo u obzir da prirodni broj a u čl. n je jednako umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrirajmo: (a*a*…a)n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se podiglo a na n, potrebno je izračunati umnožak sljedećeg oblika: a*a*…a podijeljeno s n puta.

Iz ovoga postaje očito da podizanje na prirodne sv. oslanja se na sposobnost izvođenja množenja(ovaj materijal je pokriven u dijelu o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Podignite -2 na 4. st.

Imamo posla s prirodnim pokazateljem. Sukladno tome tijek odluke bit će sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada sve što preostaje je pomnožiti cijele brojeve: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dobivamo 16.

Odgovor na problem:

(-2) u čl. 4=16.

Primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zarez dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer jednako je sljedećem umnošku: tri zarez dvije sedmine pomnoženo s tri zarez dvije sedmine. Prisjećajući se kako se množe mješoviti brojevi, dovršavamo konstrukciju:

• 3 točka 2 sedmine pomnožene sa sobom;
• jednako je 23 sedmine pomnoženo s 23 sedmine;
• jednako je 529 četrdeset devetina;
• smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetih.

Odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni eksponent, treba napomenuti da se izračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stupnja na bilo koju znamenku koja bi omogućila dobivanje vrijednosti sa zadanom točnošću. Na primjer, moramo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo zaokruživanjem P na stotinke i dobivamo:

P na kvadrat = (3,14)2=9,8596. Međutim, ako P svedemo na desettisućinke, dobit ćemo P = 3,14159. Tada kvadriranje daje potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe dizati iracionalne brojeve na potencije. U pravilu se odgovor unosi ili u obliku stvarnog stupnja, na primjer, korijen od 6 na potenciju od 3, ili, ako izraz dopušta, provodi se njegova transformacija: korijen od 5 do 7 stupnjeva = 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cjelobrojnu potenciju

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

• za cijele brojeve;
• za nulti indikator;
• za pozitivni cijeli eksponent.

Budući da se gotovo svi prirodni brojevi podudaraju s masom prirodnih brojeva, postavljanje na potenciju cijelog broja isti je postupak kao postavljanje u čl. prirodni. Ovaj smo proces opisali u prethodnom paragrafu.

Sada razgovarajmo o izračunavanju sv. ništavan. Već smo gore saznali da se nulta potencija broja a može odrediti za svako različito od nule a (realno), dok a u čl. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, podizanje bilo kojeg realnog broja na nulu st. dat će jedan.

Na primjer, 10 u st. 0=1, (-3,65)0=1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Da bismo dovršili dizanje na cjelobrojnu potenciju, preostaje odlučiti o opcijama za negativne cjelobrojne vrijednosti. Sjećamo se da je čl. od a s cjelobrojnim eksponentom -z bit će definiran kao razlomak. Nazivnik razlomka je st. s pozitivnim cijelim brojem, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo razmotriti primjer konstrukcije.

Primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 na kub s negativnim cijelim eksponentom.

Postupak rješenja:

Prema definiciji stupnja s negativnim eksponentom označavamo: dva minus 3 stupnja. jednako jedan prema dva na treću potenciju.

Nazivnik se izračunava jednostavno: dva kubna;

3 = 2*2*2=8.

Odgovor: dva na minus 3. čl. = jedna osmina.

U ovom materijalu ćemo pogledati što je potencija broja. Uz osnovne definicije, formulirat ćemo što su potencije s prirodnim, cjelobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentom. Kao i uvijek, svi koncepti bit će ilustrirani primjerima problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, formulirajmo osnovnu definiciju stupnja s prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Unaprijed pojasnimo da ćemo za sada kao bazu uzeti realni broj (označen slovom a), a prirodni broj kao indikator (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija broja a s prirodnim eksponentom n umnožak je n-tog broja faktora od kojih je svaki jednak broju a. Diploma se piše ovako: a n, au obliku formule njegov se sastav može prikazati na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza a, tada se prva potencija a piše kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je diploma prikladan oblik pisanja velikog broja jednakih faktora. Dakle, evidencija obrasca 8 8 8 8 može se skratiti na 8 4 . Na otprilike isti način, djelo nam pomaže da izbjegnemo snimanje veliki brojčlanovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; O tome smo već govorili u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati unos diplome? Općeprihvaćena opcija je "a na potenciju n". Ili možete reći "n-ta potencija a" ili "antova potencija". Ako smo recimo u primjeru naišli na unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. potenciju", "8 na 12. potenciju" ili "12. potenciju od 8".

Druga i treća potencija brojeva imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugu potenciju, na primjer, broj 7 (7 2), tada možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stupanj se čita ovako: 5 3 - ovo je "kocka broja 5" ili "5 kockica". No, možete koristiti i standardnu ​​formulaciju "na drugu/treću potenciju", to neće biti pogreška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer stupnja s prirodnim eksponentom: for 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti eksponent.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent će biti devet. Obratite pozornost na zagrade: ovaj zapis se koristi za sve potencije čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 I − 2 3 . Prvo znači negativan broj minus dva podignuto na potenciju s prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stupnja 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji način pisanja snage broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Odnosno, 4^9 je isto što i 4 9 . Ako je n višeznamenkasti broj, stavlja se u zagrade. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali koristit ćemo notaciju a n kao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost eksponenta s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. O tome smo više pisali u drugom članku.

Pojam stupnja obrnut je od drugog matematičkog pojma - korijena broja. Ako znamo vrijednost potencije i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema, o čemu smo raspravljali u zasebnom materijalu.

Eksponenti mogu uključivati ​​ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cijele vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Potencija broja s eksponentom pozitivnog cijelog broja može se prikazati formulom: .

U ovom slučaju, n je bilo koji pozitivni cijeli broj.

Razumimo koncept nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije s jednakim bazama. Formulirano je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će točna pod sljedećim uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, tada dobivamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je kvocijent jednaki brojevi a n i a. Ispada da je nulta potencija svakog broja koji nije nula jednaka jedinici.

Međutim, takav dokaz se ne odnosi na nulu na nultu potenciju. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo potencija - svojstvo produkata potencija s jednakim bazama. Ovako izgleda: a m · a n = a m + n .

Ako je n jednako 0, tada a m · a 0 = a m(ova jednakost nam također to dokazuje a 0 = 1). Ali ako je i također jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, To će biti točno za bilo koju prirodnu vrijednost n i nije važno kojoj je točno vrijednosti stupnja jednaka 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na točnost jednakosti. Dakle, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje, te mu ga nećemo pripisivati.

Ako želite, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n = a m n pod uvjetom da baza stupnja nije nula. Dakle, potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja, samo moramo shvatiti što je negativni stupanj. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo umnoška potencija s jednakim bazama koje smo već upotrijebili gore: a m · a n = a m + n.

Uvedimo uvjet: m = − n, tada a ne bi trebao biti jednak nuli. Iz toga slijedi da a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je a n i a−n imamo međusobno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativnu cijelu potenciju nije ništa više od razlomka 1 a n.

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom vrijede sva svojstva koja ima stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a s negativnim cijelim eksponentom n može se prikazati kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n podliježe a ≠ 0 a n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U zadnjem dijelu paragrafa pokušat ćemo jasno prikazati sve što je rečeno jednom formulom:

Definicija 4

Potencija broja s prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e s l i z - cijelim brojem 1, z = 0 i a ≠ 0, (za z = 0 i a = 0 rezultat je 0 0, vrijednosti izraza 0 0 nisu definirane) 1 a z, ako je i z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobivate 0 z, egoz vrijednost nije određena)

Što su potencije s racionalnim eksponentom?

Ispitali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, broj možete podići na potenciju čak i kada njegov eksponent sadrži razlomački broj. To se zove stupanj c racionalni pokazatelj. U ovom odjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge potencije.

Što su racionalni brojevi? Njihova raznolikost uključuje i cijele i razlomački brojevi, dok se razlomački brojevi mogu prikazati kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formulirajmo definiciju potencije broja a s frakcijskim eksponentom m / n, gdje je n prirodan broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomačkim eksponentom a m n . Da bi vrijedilo svojstvo snage za snagu, mora biti istinita jednakost a m n n = a m n · n = a m.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za dane vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će točna pod uvjetom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: potencija određenog broja a s razlomačkim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a na potenciju m. To je točno ako, za date vrijednosti m, n i a, izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - strogo manje (jer za m ≤ 0 dobivamo 0 m, ali takav stupanj nije definiran). U ovom slučaju, definicija stupnja s frakcijskim eksponentom izgledat će ovako:

Potencija s razlomačkim eksponentom m/n za neke pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na potenciju m. To se može izraziti kao formula:

Za potenciju s nultom bazom ova je odredba također prikladna, ali samo ako je njen eksponent pozitivan broj.

Potencija s bazom nula i razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom da je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj.

Za negativan omjer m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zabilježimo jednu stvar. Budući da smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, na kraju smo odbacili neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, točni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Tada ćemo trebati uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u čijem je eksponentu svodivi obični razlomak, smatramo stupnjem a, u čijem se eksponentu nalazi odgovarajući nesvodivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , tada ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj i vrijednost m je pozitivna, a a je bilo koji nenegativan broj, tada a m n ima smisla. Uvjet da a ne bude negativan je nužan jer se iz negativnog broja ne može izvući korijen parnog stupnja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparni korijen može se uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve gornje definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesvodivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodni broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični reducibilni razlomak m · k n · k stupanj se može zamijeniti s a m n .

Potencija broja a s nesvodivim razlomačkim eksponentom m / n – može se izraziti kao a m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koji realni a, cijeli broj pozitivne vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za bilo koji realni a koji nije nula, negativne vrijednosti cijelog broja od m i neparne vrijednosti od n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za svaki nenegativan a, pozitivan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s razlomačkim eksponentom se ne određuje. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost gore navedenog uvjeta: zašto zamijeniti razlomak s reducibilnim eksponentom razlomkom s nesmanjivim eksponentom. Da to nismo učinili, imali bismo sljedeće situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti točno (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stupnja s frakcijskim eksponentom, koju smo prvo predstavili, praktičnija je za korištenje u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n definirana je kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnog a zapis a m n nema smisla. Potencija nule za pozitivne razlomačke eksponente m/n je definiran kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne razlomačke eksponente ne definiramo stupanj nule.

U zaključcima napominjemo da se bilo koji frakcijski pokazatelj može napisati u obliku mješoviti broj, i u obliku decimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Pri računanju je bolje eksponent zamijeniti običnim razlomkom, a zatim definiciju eksponenta koristiti frakcijskim eksponentom. Za gore navedene primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su potencije s iracionalnim i realnim eksponentom?

Što su realni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli što je stupanj s realnim eksponentom, moramo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim eksponentom. Racionalne smo već spomenuli gore. Pozabavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1,67175331. . . , Zatim

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati s nizom stupnjeva a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se sjetimo što smo ranije rekli o podizanju brojeva na racionalne potencije, tada možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada je a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Niz potencija može se svesti na broj koji će biti vrijednost potencije s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom oblika 3 1, 67175331. . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a piše se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, s 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ali to se ne može učiniti za negativne, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu potenciju ostaje jedinica, na primjer, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jedna od glavnih karakteristika u algebri, iu cijeloj matematici, je stupanj. Naravno, u 21. stoljeću svi izračuni mogu se napraviti na online kalkulatoru, ali za razvoj mozga bolje je naučiti kako to učiniti sami.

U ovom ćemo članku razmotriti najvažnija pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, shvatimo što je to uopće i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo na primjerima kako izračun izgleda i koje su osnovne formule. Pogledajmo glavne vrste veličina i kako se one razlikuju od ostalih funkcija.

Razmotrimo kako riješiti razne probleme pomoću ove količine. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nultu potenciju, iracionalno, negativno itd.

Online kalkulator stepenovanja

Što je potencija broja

Što znači izraz "podići broj na potenciju"?

Potencija n broja je umnožak faktora veličine a n puta u nizu.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 na trećem stupnju. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 na korak. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 za korak. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tablica kvadrata i kocki od 1 do 10.

Tablica stupnjeva od 1 do 10

Ispod su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne potencije - "od 1 do 100".

Svojstva stupnjeva

Što je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.

Znanstvenici su utvrdili sljedeće znakovi karakteristični za sve stupnjeve:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Inače je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Što ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcioniraju.

Ali što s tim? sa zbrajanjem i oduzimanjem? Jednostavno je. Prvo se izvodi stepenovanje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Napomena: pravilo neće vrijediti ako prvo oduzmete: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ali u ovom slučaju prvo morate izračunati zbrajanje, jer u zagradama postoje radnje: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi izračuni u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim potenciranje;
• zatim izvoditi operacije množenja i dijeljenja;
• nakon zbrajanja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stupnjeve:

1. N-ti korijen broja a na stupanj m bit će napisan kao: a m / n.
2. Kod podizanja razlomka na potenciju: ovom postupku podliježu i brojnik i nazivnik.
3. Prilikom konstruiranja djela različite brojeve na potenciju, izraz će odgovarati umnošku ovih brojeva na zadanu potenciju. To je: (a * b) n = a n * b n.
4. Kada podižete broj na negativnu potenciju, trebate podijeliti 1 s brojem u istom stoljeću, ali sa znakom "+".
5. Ako je nazivnik razlomka na negativnu potenciju, tada je ovaj izraz jednak umnošku brojnika i nazivnika na pozitivnu potenciju.
6. Bilo koji broj na potenciju 0 = 1, i na potenciju. 1 = sebi.

Ova su pravila važna u nekim slučajevima; detaljnije ćemo ih razmotriti u nastavku.

Stupanj s negativnim eksponentom

Što učiniti s minus stupnjem, tj. kada je indikator negativan?

Na temelju svojstava 4 i 5(vidi gornju točku), ispada:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

I obrnuto:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Što ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Shvaća se kao stupanj s eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...itd.

Dodatno, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...onda će rezultat biti sa predznakom “+”. Ako se negativni broj digne na neparnu potenciju, tada je obrnuto.

Za njih su također karakteristična opća svojstva i sve gore opisane specifičnosti.

Frakcijski stupanj

Ovaj tip se može napisati kao shema: A m / n. Čitajte kao: n-ti korijen broja A na potenciju m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti što god želite: smanjiti ga, podijeliti na dijelove, podići na drugu potenciju itd.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da bismo razumjeli bit diplome s takvim pokazateljem, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A = 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 u svim potencijama jednako je jedan;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju je obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uvjetima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 – u ovom slučaju jednako 3;

r 2 – bit će jednako 4.

Zatim, za A = 1, 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju svi matematičke operacije i gore opisana specifična svojstva.

Zaključak

Ukratko - za što su potrebne te količine, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, oni pojednostavljuju život matematičara i programera pri rješavanju primjera, jer im omogućuju minimiziranje izračuna, skraćivanje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radna specijalnost: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjerstvo, dizajn itd.

Formule stupnja koristi se u procesu smanjivanja i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a Kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom zbrajaju se njihovi pokazatelji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Pri dizanju korijena na potenciju dovoljno je podići radikalni broj na ovu potenciju:

4. Ako povećate stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme ugraditi u n stepen je radikalni broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena u n izvaditi korijen u isto vrijeme n-tu potenciju radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan pokazatelj:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n =a m - n postalo pošteno kada m=n, potrebna je prisutnost nultog stupnja.

Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli s nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj A do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m-tu potenciju ovog broja A.

Nastavljajući razgovor o snazi ​​broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost snage. Ovaj proces se zove potenciranje. U ovom ćemo članku proučiti kako se izvodi potenciranje, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite ovlasti.

Navigacija po stranici.

Što znači "potenciranje"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se naziva stepenovanje. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Potenciranje- ovo je pronalaženje vrijednosti potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti potencije broja a s eksponentom r i dizanje broja a na potenciju r ista je stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", tada se može preformulirati na sljedeći način: "Podignite broj 0,5 na potenciju 5."

Sada možete ići izravno na pravila prema kojima se izvodi potenciranje.

Dizanje broja na prirodni potenc

U praksi se jednakost temeljena na obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a diže na razlomačku potenciju m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se dobiveni rezultat diže na cjelobrojnu potenciju m.

Pogledajmo rješenja primjera dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Riješenje.

Pokazat ćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stupnja ispod znaka korijena, a zatim izdvajamo kockasti korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom i na temelju svojstava korijena vrijede sljedeće jednakosti: . Sada vadimo korijen , konačno, dižemo ga na cjelobrojnu potenciju .

Očito se podudaraju dobiveni rezultati dizanja na razlomak.

Odgovor:

Imajte na umu da se razlomački eksponent može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na potenciju.

Primjer.

Izračunajte (44,89) 2.5.

Riješenje.

Zapišimo eksponent u obliku obični razlomak(po potrebi pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne potencije prilično radno intenzivan proces(osobito kada brojnik i nazivnik frakcijskog eksponenta sadrže dovoljno velike brojeve), što se obično provodi pomoću računalne tehnologije.

Da zaključimo ovu točku, zadržimo se na dizanju broja nula na razlomak. Razlomku nulte potencije oblika dali smo sljedeće značenje: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, pozitivna snaga od nule do razlomka je nula, na primjer, . A nula u razlomačkoj negativnoj potenciji nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu snagu

Ponekad je potrebno saznati vrijednost potencije broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, za praktične svrhe obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja točnu na određeni predznak. Odmah napomenimo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektroničkih računala, jer ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo općenito opisati bit radnji.

Da bi se dobila približna vrijednost potencije broja a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava vrijednost potencije. Ova vrijednost je približna vrijednost potencije broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja uzeta na početku, točnija će se vrijednost stupnja dobiti na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost potencije 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalni pokazatelj: . Sada dižemo 2 na racionalnu potenciju 1,17 (opisali smo bit ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈2,250116. Tako, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako, na primjer, uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).