Funkcija oblika, gdje se zove kvadratna funkcija.

Grafikon kvadratne funkcije - parabola.

Razmotrimo slučajeve:

SLUČAJ, KLASIČNI PARABOL

Tj.,,

Za konstrukciju popunjavamo tablicu, zamjenjujući x vrijednosti u formuli:

Označavamo bodove (0; 0); (1; 1); (-1; 1) itd. na koordinatna ravnina (što manji korak uzmemo vrijednosti x (u u ovom slučaju korak 1), a što više vrijednosti x uzmemo, krivulja će biti glatka), dobivamo parabolu:

Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj ,,, tj. Dobijemo parabolu simetričnu oko osi (oh). To je lako provjeriti popunjavanjem slične tablice:

II SLUČAJ, "a" RAZLIČIT OD JEDNOG

Što će se dogoditi ako uzmemo ,,? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? S naslovom \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prva slika (vidi gore) jasno pokazuje da su bodovi iz tablice za parabolu (1; 1), (-1; 1) transformirani u točke (1; 4), (1; -4), tj. s istim se vrijednostima ordinata svake točke pomnoži s 4. To će se dogoditi sa svim ključnim točkama u izvornoj tablici. Na isti način obrazlažemo i u slučaju slika 2 i 3.

A kad parabola "postane šira" od parabole:

Rezimirajmo:

1) Znak koeficijenta odgovoran je za smjer grananja. S naslovom \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modul) odgovoran je za "širenje", "stezanje" parabole. Što je veća, što je parabola uži, to je manja | a |, to je šira parabola.

III SLUČAJ, "C" SE POJAVI

Ajmo sada u igru \u200b\u200b(tj. Razmotrimo slučaj kada), razmotrit ćemo parabole oblika. Nije teško pogoditi (uvijek se možete obratiti tablici) da će se parabola pomicati duž osi gore ili dolje, ovisno o predznaku:

IV SLUČAJ, "b" POJAVI

Kada će se parabola "odvojiti" od osi i konačno "prošetati" duž cijele koordinatne ravnine? Kad prestane biti jednaka.

Ovdje, za konstrukciju parabole, trebamo formula za izračunavanje vrha: , .

Dakle u ovom trenutku (kao u točki (0; 0) novi sustav koordinate) izgradit ćemo parabolu, koja je već u našoj moći. Ako imamo posla sa slučajem, tada od vrha odgađamo jedan jedinični segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća točka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša točka); ako imamo posla, na primjer, onda od vrha odgađamo jedan jedinični segment udesno, dva gore, itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavno shvatiti da ćemo na ovom tjemenu izgraditi parabolu prema uzorku parabole, jer u našem slučaju.

Pri konstruiranju parabole nakon pronalaska koordinata vrha je vrlo prikladno je uzeti u obzir sljedeće točke:

1) parabola definitivno će proći kroz točku ... Doista, zamjenjujući x \u003d 0 u formuli, dobivamo to. Odnosno, ordinata točke presjeka parabole s osi (oy) je. U našem primjeru (gore), parabola siječe ordinatu u točki, budući da.

2) os simetrije parabole je ravna crta, pa će sve točke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru odmah uzimamo točku (0; -2) i gradimo joj parabolu simetričnu oko osi simetrije, dobivamo točku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Jednadžbom do saznajemo točke presijecanja parabole s osi (oh). Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu. Ovisno o diskriminantu, dobit ćemo jedan (,), dva (title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} ... U prethodnom primjeru imamo korijen diskriminante - a ne cijeli broj, kad konstruiramo, nema smisla da pronađemo korijene, ali jasno možemo vidjeti da ćemo imati dvije točke presijecanja s (oh) osi ( budući da je title \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa hajde da razradimo

Algoritam za konstrukciju parabole ako je dana u obliku

1) određujemo smjer grana (a\u003e 0 - gore, a<0 – вниз)

2) pronađite koordinate vrha parabole po formuli ,.

3) nalazimo točku presijecanja parabole s osi (oy) duž slobodnog člana, gradimo točku simetričnu danoj paraboli s obzirom na os simetrije (valja napomenuti, događa se da nije isplativo označavati ovu točku, na primjer, jer je vrijednost velika ... preskačemo ovu točku ...)

4) Na pronađenoj točki - vrhu parabole (kao u točki (0; 0) novog koordinatnog sustava) gradimo parabolu. Ako je naslov \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Točke presijecanja parabole s osi (oy) (ako još nisu same "isplivale") pronalazimo rješavanjem jednadžbe

Primjer 1

Primjer 2

Primjedba 1. Ako nam je parabola u početku dana u obliku, gdje su neki brojevi (na primjer,), tada će je biti još lakše izgraditi, jer smo već dobili koordinate vrha. Zašto?

Uzmite kvadratni trinom i u njemu odaberite cjeloviti kvadrat: Gle, imamo to ,. Prije smo nazivali vrh parabole, odnosno sada ,.

Na primjer, . Označimo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (relativno). Odnosno, provodimo točke 1; 3; četiri; 5 iz algoritma konstrukcije parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola dana u obliku sličnom ovom (tj. Predstavljena je kao umnožak dvaju linearnih čimbenika), tada odmah vidimo točke presijecanja parabole s osi (oh). U ovom slučaju - (0; 0) i (4; 0). U ostalom djelujemo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

Na satovima matematike u školi već ste upoznali najjednostavnija svojstva i graf funkcije y \u003d x 2... Proširimo svoje znanje o kvadratna funkcija.

Vježba 1.

Funkcija parcele y \u003d x 2... Ljestvica: 1 \u003d 2 cm. Označite točku na osi Oy F(0; 1/4). Kompasom ili trakom papira izmjerite udaljenost od točke F do neke točke M parabole. Zatim zakvačite traku u točki M i zakrenite je oko ove točke tako da postane okomita. Kraj trake će se spustiti malo ispod osi apscise (Sl. 1)... Označite na traci koliko se proteže izvan osi apscise. Uzmite sada još jednu točku na paraboli i ponovite mjerenje ponovno. Koliko je rub trake sada otišao dalje od osi apscise?

Proizlaziti: bez obzira koju točku na paraboli y \u003d x 2 uzeli, udaljenost od ove točke do točke F (0; 1/4) bit će veća od udaljenosti od iste točke do osi apscise uvijek za isti broj - za 1/4.

Može se reći drugačije: udaljenost od bilo koje točke parabole do točke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste točke parabole do ravne crte y \u003d -1/4. Nazvana je ova izvanredna točka F (0; 1/4) usredotočenost parabola y \u003d x 2, a linija y \u003d -1/4 - ravnateljica ove parabole. Svaka parabola ima ravnateljicu i fokus.

Zanimljiva svojstva parabole:

1. Bilo koja točka parabole jednako je udaljena od neke točke, koja se naziva žarištem parabole, i neke ravne crte, koja se naziva njezina direktrija.

2. Ako zavrtite parabolu oko osi simetrije (na primjer, parabolu y \u003d x 2 oko osi Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu površinu, koja se naziva paraboloid revolucije.

Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik paraboloida revolucije. Ovu površinu možete vidjeti ako žlicom snažno promiješate nepotpunu čašu čaja, a zatim izvadite žlicu.

3. Ako bacate kamen u prazninu pod kutom prema horizontu, tada će letjeti parabolom (slika 2).

4. Ako presiječemo površinu stošca ravninom paralelnom bilo kojoj od njegovih tvornica, tada ćemo u presjeku dobiti parabolu (slika 3).

5. U zabavnim parkovima ponekad prirede smiješnu atrakciju "Paraboloid čudesa". Čini se da svaki od onih koji stoje unutar rotirajućeg paraboloida stoji na podu, a ostatak ljudi nekim se čudom drži na zidovima.

6. U zrcalnim teleskopima koriste se i parabolična zrcala: svjetlost udaljene zvijezde koja dolazi paralelnim snopom, padajući na zrcalo teleskopa, sakuplja se u fokusu.

7. Za reflektore, ogledalo je obično izrađeno u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u fokus paraboloida, tada zrake, reflektirane od paraboličnog zrcala, tvore paralelni snop.

Ucrtavanje kvadratne funkcije

Na satima matematike naučili ste kako iz grafikona funkcije dobiti grafe funkcija oblika y \u003d x 2:

1) y \u003d os 2 - rastezanje grafa y \u003d x 2 duž osi Oy u | a | puta (za | a |< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, sl. četiri).

2) y \u003d x 2 + n - pomak grafika za n jedinica duž osi Oy, štoviše, ako je n\u003e 0, pomak prema gore i ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y \u003d (x + m) 2 - pomicanje grafa za m jedinica duž osi Ox: ako je m< 0, то вправо, а если m > 0, pa ulijevo, (slika 5).

4) y \u003d -x 2 - simetrični prikaz u odnosu na os Ox grafikona y \u003d x 2.

Pogledajmo bliže crtanje funkcije y \u003d a (x - m) 2 + n.

Kvadratna funkcija oblika y \u003d ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik

y \u003d a (x - m) 2 + n, gdje je m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Dokažimo to.

Stvarno,

y \u003d ax 2 + bx + c \u003d a (x 2 + (b / a) x + c / a) \u003d

A (x 2 + 2x (b / a) + b 2 / (4a 2) - b 2 / (4a 2) + c / a) \u003d

A ((x + b / 2a) 2 - (b 2 - 4ac) / (4a 2)) \u003d a (x + b / 2a) 2 - (b 2 - 4ac) / (4a).

Uvedimo novi zapis.

Neka bude m \u003d -b / (2a), i n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

tada dobivamo y \u003d a (x - m) 2 + n ili y - n \u003d a (x - m) 2.

Napravimo još neke promjene: neka y - n \u003d Y, x - m \u003d X (*).

Tada dobivamo funkciju Y \u003d aX 2, čiji je graf parabola.

Vrh parabole nalazi se u ishodištu. X \u003d 0; Y \u003d 0.

Zamjenom koordinata vrha u (*) dobivamo koordinate vrha grafa y \u003d a (x - m) 2 + n: x \u003d m, y \u003d n.

Dakle, kako bi se ucrtao graf kvadratne funkcije, predstavljen u obliku

y \u003d a (x - m) 2 + n

kroz transformacije možete postupati na sljedeći način:

a) zacrtati funkciju y \u003d x 2;

b) paralelnim prevođenjem duž osi Ox za m jedinica i duž osi Oy za n jedinica - prevesti vrh parabole od ishodišta do točke s koordinatama (m; n) (slika 6).

Snimanje transformacija:

y \u003d x 2 → y \u003d (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 + n.

Primjer.

Koristeći transformacije, konstruirajte u kartezijanskom koordinatnom sustavu graf funkcije y \u003d 2 (x - 3) 2 – 2.

Odluka.

Lanac transformacija:

y \u003d x 2 (1) → y \u003d (x - 3) 2 (2) → y \u003d 2 (x - 3) 2 (3) → y \u003d 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

Crtanje je prikazano u sl. 7.

Možete sami vježbati crtati kvadratnu funkciju. Na primjer, nacrtajte grafikon funkcije y \u003d 2 (x + 3) 2 + 2 u jedan koordinatni sustav pomoću transformacija. Ako imate bilo kakvih pitanja ili želite dobiti savjet učitelja, tada imate priliku provesti besplatna 25-minutna lekcija s mrežnim učiteljem nakon registracije. Za daljnji rad s učiteljem možete odabrati tarifni plan koji vam odgovara.

Još uvijek imate pitanja? Niste sigurni kako nacrtati kvadratnu funkciju?
Da biste dobili pomoć od učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite nesklad, očistite predmemoriju. Kako to učiniti u vašem pregledniku, ovdje je napisano:
2. Prije nego što počnete čitati članak, obratite pažnju na naš navigator za najkorisniji resurs za

Da biste razumjeli što će ovdje biti napisano, morate dobro znati što je kvadratna funkcija i s čime se jede. Ako se smatrate profesionalcem u kvadratnim funkcijama, dobrodošli ste. Ali ako ne, trebali biste pročitati temu.

Počnimo s malim provjere:

1. Kako izgleda kvadratna funkcija u općem obliku (formula)?
2. Kako se zove graf kvadratne funkcije?
3. Kako vodeći koeficijent utječe na graf kvadratne funkcije?

Ako ste uspjeli odmah odgovoriti na ova pitanja, nastavite čitati. Ako je barem jedno pitanje izazvalo poteškoće, idite na.

Dakle, već znate kako se rukuje kvadratnom funkcijom, analizira se njezin graf i crta graf po točkama.

Pa, evo ga:

Pogledajmo na brzinu što rade izgledi.

1. Senior koeficijent odgovoran je za "strminu" parabole, ili, drugim riječima, za njezinu širinu: što je veća, to je parabola uža (strmija), a što je manja, to je šira parabola (ravnija).
2. Presjek je koordinata presjeka parabole s osi ordinata.
3. A koeficijent je nekako odgovoran za pomak parabole od središta koordinata. Više o ovome sada.

Kako uvijek početi graditi parabolu? Koju točku prepoznavanja ima?

to vrh... I kako pronaći koordinate vrha, sjećate se?

Apscisa se traži pomoću sljedeće formule:

Ovako: što više , tako nalijevo pomaknut je vrh parabole.

Ordinatu vrha možemo pronaći zamjenom u funkciju:

Postavite to sami i brojite. Što se dogodilo?

Ako sve napravite ispravno i maksimalno pojednostavite rezultirajući izraz, dobit ćete:

Ispada da što više modulo, tako više bit će vrh parabole.

Na kraju, prijeđimo na crtanje.
Najlakši način je izgraditi parabolu počevši od vrha.

Primjer:

Nacrtajte funkciju.

Odluka:

Prvo, definirajmo koeficijente :.

Sad izračunajmo koordinate vrha:

Sad, upamtite: sve parabole s istim vodećim koeficijentom izgledaju jednako. Dakle, ako izgradimo parabolu i pomaknemo je s njezinim vrhom u točku, dobit ćemo potrebni graf:

Jednostavno, zar ne?

Preostalo je samo jedno pitanje: kako brzo nacrtati parabolu? Čak i ako crtamo parabolu s vrhom u ishodištu, još uvijek je moramo graditi po točkama, što je dugo i nezgodno. Ali sve parabole izgledaju jednako, možda postoji način da se ubrza njihovo crtanje?

Kad sam bio u školi, učitelj matematike rekao je svima da izrežu matricu parabole iz kartona kako bi brzo crtali. Ali nećete moći svugdje hodati s matricom i neće ih moći polagati na ispit. To znači da nećemo koristiti strane predmete, već ćemo tražiti uzorak.

Razmotrimo najjednostavniju parabolu. Izgradimo ga po bodovima:

Uzorak je sljedeći. Ako se pomaknemo od vrha udesno (duž osi) za i prema gore (duž osi) za, tada ćemo doći do točke parabole. Dalje: ako se od ove točke pomaknemo udesno po i gore prema gore, opet ćemo doći do točke parabole. Dalje: udesno po i prema gore. Što je sljedeće? Odmah pa nadalje. I tako dalje: pomičemo se udesno, a sljedeći neparan broj gore. Tada isto radimo s lijevom granom (uostalom, parabola je simetrična, odnosno njezine grane izgledaju jednako):

Izvrsno, ovo će pomoći u izgradnji bilo koje parabole iz vrha s vodećim koeficijentom jednakim. Na primjer, saznali smo da je vrh parabole u određenoj točki. Izgradite (na papiru sami) ovu parabolu.

Izgrađeno?

To bi trebalo izgledati ovako:

Sada povezujemo rezultirajuće točke:

To je sve.

U redu, pa, sad gradite samo parabole sa?

Naravno da ne. Sad smislimo što ćemo s njima, ako.

Razmotrimo nekoliko tipičnih slučajeva.

Izvrsno, naučili smo crtati parabolu, sad ćemo vježbati na stvarnim funkcijama.

Dakle, nacrtajte grafikone ovih funkcija:

Odgovori:

3. Vrh :.

Sjećate li se što učiniti ako je stariji koeficijent niži?

Gledamo nazivnik razlomka: jednak je. Pa ćemo se kretati ovako:

• desno - gore
• desno - gore
• desno - gore

i također slijeva:

4. Vrh :.

Oh, što učiniti s tim? Kako izmjeriti stanice ako je vrh negdje između linija? ..

I varat ćemo. Prvo nacrtajmo parabolu, a tek onda je pomaknite vrhom do točke. Ni, učinimo još lukavije: Nacrtajte parabolu, a zatim pomaknite osi: - dalje put prema dolje, i - dalje nadesno:

Ovaj trik je vrlo zgodan za bilo koju parabolu, upamtite ga.

Podsjećam vas da funkciju možemo predstaviti u ovom obliku:

Na primjer: .

Što nam daje

Činjenica je da je broj oduzet u zagradama () apscisa vrha parabole, a pojam izvan zagrada () ordinata vrha.

To znači da, nakon što ste izgradili parabolu, samo trebate pomaknite os ulijevo, a os u dolje.

Primjer: nacrtajmo funkciju.

Odaberite cjelokupan kvadrat:

Koji broj oduzeti iz u zagradama? Ovo (a ne kako možete odlučiti bez razmišljanja).

Dakle, mi gradimo parabolu:

Sada pomičemo os prema dolje, odnosno prema gore:

A sada - lijevo, odnosno desno:

To je sve. To je isto kao i pomicanje parabole s njezinim vrhom od ishodišta do točke, samo što se ravna os puno lakše pomiče od zakrivljene parabole.

Kao i obično, i ja:

I ne zaboravite gumice izbrisati stare osovine!

Ja sam kao odgovori za provjeru napisat ću vam ordinate vrhova ovih parabola:

Je li se sve to poklopilo?

Ako da, onda ste sjajni! Znati se nositi s parabolom vrlo je važno i korisno, a ovdje smo otkrili da to uopće nije teško.

KONSTRUKCIJA GRAFIKE KVADRATNE FUNKCIJE. KRATKO O GLAVNOM

Kvadratna funkcija - funkcija oblika, gdje su i bilo koji brojevi (koeficijenti), slobodan je pojam.

Grafik kvadratne funkcije je parabola.

Vrh parabole:
, tj. što je veći \\ displaystyle b, to se vrh lijeve parabole pomiče više ulijevo.
Zamjenom u funkciju dobivamo:
, tj. što je veća apsolutna vrijednost \\ displaystyle b, to je vrh tjemena parabole veći

Presjek je koordinata presjeka parabole s osi ordinata.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo je 5% ljudi sposobno nešto svladati samostalno. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u tih 5%!

Sada dolazi najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I, opet, ovo je ... jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno ...

Za što?

Za uspješnog polaganje ispita, za prijem u institut na proračun i, što je najvažnije, doživotno.

Neću vas uvjeravati ni u što, reći ću samo jedno ...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanjezaraditi puno više od onih koji ga nisu dobili. To su statistike.

Ali ni to nije glavno.

Glavno je da su VIŠE SREĆNI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali razmislite sami ...

Što je potrebno da biste bili sigurni bolji od ostalih na ispitu i da biste u konačnici bili ... sretniji?

DOBITE RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVOJ TEMI.

Na ispitu vas neće pitati teoriju.

Trebat će vam rješavajte zadatke neko vrijeme.

A ako ih niste riješili (PUNO!), Sigurno ćete nekamo glupo pogriješiti ili jednostavno nećete stići na vrijeme.

To je kao u sportu - to morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje želite, nužno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste si ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti životni vijek udžbenika YouClever koji trenutno čitate.

Kako? Dvije su mogućnosti:

1. Podijelite sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, u udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup za sve zadatke i sve skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je za cijeli životni vijek stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo se nemojte zadržavati na teoriji.

"Razumijeno" i "Sposoban sam riješiti" potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Kvadratni tročlani naziva se polinom 2. stupnja, odnosno izraz oblika sjekira 2 + bx + c , Gdje a ≠ 0, b, c - (obično se daju) stvarni brojevi koji se nazivaju njegovi koeficijenti, x - promjenjiva.

Bilješka: koeficijent a može biti bilo koji realan broj osim nule. Doista, ako a \u003d 0, onda sjekira 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. U ovom slučaju u izrazu nema kvadrata, pa se ne može brojati kvadrat trogodišnji. Međutim, takvi su izrazi binomni kao, na primjer, 3 x 2 − 2x ili x 2 + 5 možemo smatrati kvadratnim trinomima, ako ih dopunimo nedostajućim monomima s nulim koeficijentima: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 i x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.

Ako je zadatak odrediti vrijednosti varijable xza koju uzima kvadratni trinom nulte vrijednosti, tj. sjekira 2 + bx + c = 0, onda imamo kvadratna jednadžba.

Ako postoje valjani korijeni x 1 i x 2 neke kvadratna jednadžba, zatim odgovarajuće trinom se može rastaviti na linearne čimbenike: sjekira 2 + bx + c = a(x − x 1)(x − x 2)

Komentar: Ako se kvadratni trinom vidi na skupu kompleksnih brojeva C, koji možda još niste proučavali, tada se uvijek može razložiti na linearne čimbenike.

Kada postoji još jedan zadatak, odredite sve vrijednosti koje rezultat izračuna može uzeti kvadratni trinom na različita značenja varijabilna x, tj. definirati g od izraza g = sjekira 2 + bx + c, onda imamo posla s kvadratna funkcija.

Pri čemu kvadratni korijeni jesu nule kvadratne funkcije .

Kvadratni trinom može se predstaviti i kao

Ovaj je prikaz koristan za crtanje i proučavanje svojstava kvadratne funkcije stvarne varijable.

Kvadratna funkcija je funkcija definirana formulom g = f(x), Gdje f(x) je kvadratni trinom. Oni. formulom oblika

g = sjekira 2 + bx + c,

Gdje a ≠ 0, b, c - bilo koji stvarni broj. Ili transformirana formula poput

.

Grafik kvadratne funkcije parabola je čiji je vrh u točki .

Bilješka: Ovdje nije zapisano da je graf kvadratne funkcije nazvan parabola. Ovdje se kaže da je graf funkcije parabola. To je zato što su matematičari takvu krivulju otkrili i nazvali parabolom ranije (od grčkog παραβολή - usporedba, uspoređivanje, sličnost), prije faze detaljnog proučavanja svojstava i grafa kvadratne funkcije.

Parabola - linija presijecanja ravnog kružnog stošca ravninom koja ne prolazi kroz vrh stošca i paralelna je s jednom od tvorbi ovog stošca.

Parabola ima još jedno zanimljivo svojstvo, koje se također koristi kao njezina definicija.

Parabola je skup točaka na ravnini, udaljenost od koje je do određene točke na ravnini, koja se naziva žarište parabole, jednaka udaljenosti do određene ravne crte, koja se naziva direktris parabole.

Skiciraj graf kvadratna funkcija može po karakterističnim točkama .
Na primjer, za funkciju y \u003d x 2 uzeti bodove

Povezujući ih ručno, gradimo desnu polovicu parabole. Lijeva se dobiva simetričnom refleksijom oko osi ordinata.

Za izgradnju skicirati zaplet kvadratne funkcije opći pogled kao karakteristične točke prikladno je uzeti koordinate njegovog vrha, nule funkcije (korijeni jednadžbe), ako postoje, točku presjeka s osi ordinata (za x = 0, y \u003d c) i točka simetrična s obzirom na os parabole (- b / a; c).

Ali u svakom slučaju, točkama se može graditi samo skica grafa kvadratne funkcije, t.j. približni graf. Do izgraditi parabolu točno, trebate koristiti njegova svojstva: fokus i direktorije.
Opremite se papirom, ravnalom, kvadratom, dva gumba i jakim koncem. Zalijepite jedan gumb približno u sredinu lista papira - na točku koja će biti u središtu parabole. Drugi gumb pričvrstite na vrh manjeg kuta kvadrata. Na osnove gumba pričvrstite konac tako da je njegova duljina između gumba jednaka velikom kraku kvadrata. Nacrtajte ravnu crtu koja ne prolazi kroz žarište buduće parabole - ravnateljice parabole. Pričvrstite ravnalo na direktriju, a kvadrat na ravnalo kao što je prikazano. Pomaknite kvadrat duž ravnala dok pritiskate olovku na papir i na kvadrat. Provjerite je li konac zategnut.

Izmjerite udaljenost između fokusa i direktrija (podsjećam - udaljenost između točke i crte određuje se okomicom). Ovo je žarišni parametar parabole str... U koordinatnom sustavu prikazanom na desnoj slici, jednadžba naše parabole je: y \u003d x 2/ 2str... Na skali crteža dobio sam grafikon funkcije g = 0,15x 2.

Komentar: da biste izgradili zadanu parabolu u zadanom mjerilu, trebate učiniti isto, ali drugačijim redoslijedom. Morate započeti s koordinatnim osima. Zatim nacrtajte ravnateljicu i odredite položaj fokusa parabole. I tek tada konstruirajte alat od kvadrata i ravnala. Primjerice, da bi se na kariranom papiru izgradila parabola čija jednadžba glasi na = x 2, morate postaviti fokus na udaljenost od 0,5 ćelija od directrixa.

Svojstva funkcije na = x 2

1. Domena funkcije je cijela brojevna crta: D(f) = R = (−∞; ∞).
2. Raspon vrijednosti funkcije pozitivan je polucrt: E(f) = }