Kao što pokazuje praksa, zadaci za svojstva i grafikone kvadratne funkcije uzrokuju ozbiljne poteškoće. To je prilično čudno, jer se kvadratna funkcija prenosi u 8. razredu, a zatim se cijela prva četvrtina 9. razreda "istiskuje" svojstva parabole i njezini grafikoni crtaju za različite parametre.

To je zbog činjenice da prisiljavajući učenike da grade parabole, praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafova, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očito se pretpostavlja da će, sagradivši desetak grafova, pametni student sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafička umjetnost. U praksi to ne uspijeva. Za takvo uopćavanje potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkom mini istraživanju, što, naravno, većina učenika devetih razreda nema. U međuvremenu, u GIA-i predlažu utvrđivanje znakova koeficijenata točno prema rasporedu.

Od školaraca nećemo zahtijevati nemoguće, već ćemo jednostavno ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija oblika y \u003d os 2 + bx + c naziva se kvadratnim, njegov graf je parabola. Kao što i samo ime govori, glavni pojam je sjekira 2... Tj i ne bi trebali biti nula, ostali koeficijenti ( b i iz) može biti jednak nuli.

Pogledajmo kako znakovi njezinih koeficijenata utječu na izgled parabole.

Najjednostavniji odnos za koeficijent i... Većina školaraca samopouzdano odgovara: „ako i \u003e 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako i < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой i > 0.

y \u003d 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju i = 0,5

A sada za i < 0:

y \u003d - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju i = - 0,5

Utjecaj koeficijenta iz je također dovoljno lako ući u trag. Zamislimo da u točki želimo pronaći vrijednost funkcije x \u003d 0. Zamijeni nulu u formuli:

g = a 0 2 + b 0 + c = c... Ispada to y \u003d c... Tj iz je ordinata točke presjeka parabole s osi y. Tipično je ovu točku lako pronaći na grafikonu. I odredite leži li iznad nule ili ispod. Tj iz \u003e 0 ili iz < 0.

iz > 0:

y \u003d x 2 + 4x + 3

iz < 0

y \u003d x 2 + 4x - 3

Sukladno tome, ako iz \u003d 0, tada će parabola nužno proći kroz ishodište:

y \u003d x 2 + 4x

Teže s parametrom b... Točka u kojoj ćemo je pronaći ovisi ne samo o tome b ali i iz i... Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata duž osi x) nalazi se prema formuli x u \u003d - b / (2a)... Tako, b \u003d - 2h v... Odnosno, ponašamo se na sljedeći način: na grafikonu nalazimo vrh parabole, određujemo znak njene apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in \u003e 0) ili ulijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, to nije sve. Moramo obratiti pažnju i na predznak koeficijenta i... Odnosno, vidjeti gdje su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, prema formuli b \u003d - 2h v prepoznati znak b.

Razmotrimo primjer:

Grane su usmjerene prema gore, što znači i \u003e 0, parabola prelazi os na ispod nule znači iz < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in \u003e 0. Dakle b \u003d - 2h v = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: i > 0, b < 0, iz < 0.

Funkcija oblika, gdje se zove kvadratna funkcija.

Grafikon kvadratne funkcije - parabola.

Razmotrimo slučajeve:

SLUČAJ, KLASIČNI PARABOL

Tj.,,

Za konstrukciju popunjavamo tablicu, zamjenjujući x vrijednosti u formuli:

Označavamo bodove (0; 0); (1; 1); (-1; 1) itd. na koordinatna ravnina (što manji korak uzmemo vrijednosti x (u ovom slučaju korak 1), i što više uzimamo vrijednosti x, krivulja će biti glatka), dobivamo parabolu:

Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj ,,, tj. Dobijemo parabolu simetričnu oko osi (oh). To je lako provjeriti popunjavanjem slične tablice:

II SLUČAJ, "a" RAZLIČIT OD JEDNOG

Što će se dogoditi ako uzmemo ,,? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? S naslovom \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prva slika (vidi gore) jasno pokazuje da su bodovi iz tablice za parabolu (1; 1), (-1; 1) transformirani u točke (1; 4), (1; -4), tj. s istim se vrijednostima ordinata svake točke pomnoži s 4. To će se dogoditi sa svim ključnim točkama u izvornoj tablici. Na isti način obrazlažemo i u slučaju slika 2 i 3.

A kad parabola "postane šira" od parabole:

Rezimirajmo:

1) Znak koeficijenta odgovoran je za smjer grananja. S naslovom \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modul) odgovoran je za "širenje", "stezanje" parabole. Što je veća, što je parabola uži, to je manja | a |, to je šira parabola.

III SLUČAJ, "C" SE POJAVI

Ajmo sada u igru \u200b\u200b(tj. Razmotrimo slučaj kada), razmotrit ćemo parabole oblika. Nije teško pogoditi (uvijek se možete obratiti tablici) da će se parabola pomicati duž osi gore ili dolje, ovisno o predznaku:

IV SLUČAJ, "b" POJAVI

Kada će se parabola "odvojiti" od osi i konačno "prošetati" duž cijele koordinatne ravnine? Kad prestane biti jednaka.

Ovdje, za konstrukciju parabole, trebamo formula za izračunavanje vrha: , .

Dakle u ovom trenutku (kao u točki (0; 0) novi sustav koordinate) izgradit ćemo parabolu, koja je već u našoj moći. Ako imamo posla sa slučajem, tada od vrha odgađamo jedan jedinični segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća točka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša točka); ako imamo posla, na primjer, onda od vrha odgađamo jedan jedinični segment udesno, dva gore, itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavno shvatiti da ćemo na ovom tjemenu izgraditi parabolu prema uzorku parabole, jer u našem slučaju.

Pri konstruiranju parabole nakon pronalaska koordinata vrha je vrlo prikladno je uzeti u obzir sljedeće točke:

1) parabola definitivno će proći kroz točku ... Doista, zamjenjujući x \u003d 0 u formuli, dobivamo to. Odnosno, ordinata točke presjeka parabole s osi (oy) je. U našem primjeru (gore), parabola siječe ordinatu u točki, budući da.

2) os simetrije parabole je ravna crta, pa će sve točke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru odmah uzimamo točku (0; -2) i gradimo joj parabolu simetričnu oko osi simetrije, dobivamo točku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Jednadžbom do saznajemo točke presijecanja parabole s osi (oh). Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu. Ovisno o diskriminantu, dobit ćemo jedan (,), dva (title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} ... U prethodnom primjeru imamo korijen diskriminante - a ne cijeli broj, kad konstruiramo, nema smisla da pronađemo korijene, ali jasno možemo vidjeti da ćemo imati dvije točke presijecanja s (oh) osi ( budući da je title \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa hajde da razradimo

Algoritam za konstrukciju parabole ako je dana u obliku

1) određujemo smjer grana (a\u003e 0 - gore, a<0 – вниз)

2) pronađite koordinate vrha parabole po formuli ,.

3) nalazimo točku presijecanja parabole s osi (oy) duž slobodnog člana, gradimo točku simetričnu danoj paraboli s obzirom na os simetrije (valja napomenuti, događa se da nije isplativo označavati ovu točku, na primjer, jer je vrijednost velika ... preskačemo ovu točku ...)

4) Na pronađenoj točki - vrhu parabole (kao u točki (0; 0) novog koordinatnog sustava) gradimo parabolu. Ako je naslov \u003d "(! LANG: Priredio QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Točke presijecanja parabole s osi (oy) (ako još nisu same "isplivale") pronalazimo rješavanjem jednadžbe

Primjer 1

Primjer 2

Primjedba 1. Ako nam je parabola u početku dana u obliku, gdje su neki brojevi (na primjer,), tada će je biti još lakše izgraditi, jer smo već dobili koordinate vrha. Zašto?

Idemo uzeti kvadratni trinom i odaberite cijeli kvadrat u njemu: Pogledajte, znači, dobili smo to. Prije smo nazivali vrh parabole, odnosno sada ,.

Na primjer, . Označimo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (relativno). Odnosno, provodimo točke 1; 3; četiri; 5 iz algoritma konstrukcije parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola dana u obliku sličnom ovom (tj. Predstavljena je kao umnožak dvaju linearnih čimbenika), tada odmah vidimo točke presijecanja parabole s osi (oh). U ovom slučaju - (0; 0) i (4; 0). U ostalom djelujemo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

Na satovima matematike u školi već ste upoznali najjednostavnija svojstva i graf funkcije y \u003d x 2... Proširimo svoje znanje o kvadratna funkcija.

Vježba 1.

Funkcija parcele y \u003d x 2... Ljestvica: 1 \u003d 2 cm. Označite točku na osi Oy F(0; 1/4). Kompasom ili trakom papira izmjerite udaljenost od točke F do neke točke M parabole. Zatim prikvačite traku u točki M i zakrenite je oko ove točke tako da postane okomita. Kraj trake će se spustiti malo ispod osi apscise (Sl. 1)... Označite na traci koliko ide dalje od osi apscise. Uzmite sada još jednu točku na paraboli i ponovite mjerenje ponovno. Koliko je rub trake sada otišao dalje od apscise?

Proizlaziti: bez obzira koju točku na paraboli y \u003d x 2 uzeli, udaljenost od ove točke do točke F (0; 1/4) bit će veća od udaljenosti od iste točke do osi apscise uvijek za isti broj - za 1/4.

Može se reći drugačije: udaljenost od bilo koje točke parabole do točke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste točke parabole do ravne crte y \u003d -1/4. Nazvana je ova izvanredna točka F (0; 1/4) usredotočenost parabola y \u003d x 2, a linija y \u003d -1/4 - ravnateljica ove parabole. Svaka parabola ima ravnateljicu i fokus.

Zanimljiva svojstva parabole:

1. Bilo koja točka parabole jednako je udaljena od neke točke, koja se naziva žarištem parabole, i neke ravne crte, koja se naziva njezina direktrija.

2. Ako zavrtite parabolu oko osi simetrije (na primjer, parabolu y \u003d x 2 oko osi Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu površinu, koja se naziva paraboloid revolucije.

Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik paraboloida revolucije. Ovu površinu možete vidjeti ako žlicom snažno promiješate nepotpunu čašu čaja, a zatim izvadite žlicu.

3. Ako bacate kamen u prazninu pod kutom prema horizontu, tada će letjeti parabolom (slika 2).

4. Ako presiječemo površinu stošca ravninom paralelnom bilo kojoj od njegovih tvornica, tada će presjek imati parabolu (slika 3).

5. U zabavnim parkovima ponekad se priredi smiješna atrakcija "Paraboloid čuda". Čini se da svaki od onih koji stoje unutar rotirajućeg paraboloida stoji na podu, a ostatak ljudi nekim se čudom drži na zidovima.

6. U zrcalnim teleskopima koriste se i parabolična zrcala: svjetlost udaljene zvijezde koja dolazi paralelnim snopom, padajući na zrcalo teleskopa, sakuplja se u fokusu.

7. Za reflektori, ogledalo je obično izrađeno u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u fokus paraboloida, tada zrake, reflektirane od paraboličnog zrcala, tvore paralelni snop.

Ucrtavanje kvadratne funkcije

Na satima matematike naučili ste kako dobiti grafove funkcija oblika iz grafa funkcije y \u003d x 2:

1) y \u003d os 2 - rastezanje grafa y \u003d x 2 duž osi Oy u | a | puta (za | a |< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, sl. četiri).

2) y \u003d x 2 + n - pomak grafika za n jedinica duž osi Oy, štoviše, ako je n\u003e 0, pomak prema gore i ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y \u003d (x + m) 2 - pomicanje grafa za m jedinica duž osi Ox: ako je m< 0, то вправо, а если m > 0, pa ulijevo, (slika 5).

4) y \u003d -x 2 - simetrični prikaz u odnosu na os Ox grafikona y \u003d x 2.

Zadržimo se na crtanju grafa funkcije detaljnije. y \u003d a (x - m) 2 + n.

Kvadratna funkcija oblika y \u003d ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik

y \u003d a (x - m) 2 + n, gdje je m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Dokažimo to.

Stvarno,

y \u003d ax 2 + bx + c \u003d a (x 2 + (b / a) x + c / a) \u003d

A (x 2 + 2x (b / a) + b 2 / (4a 2) - b 2 / (4a 2) + c / a) \u003d

A ((x + b / 2a) 2 - (b 2 - 4ac) / (4a 2)) \u003d a (x + b / 2a) 2 - (b 2 - 4ac) / (4a).

Uvedimo novi zapis.

Neka bude m \u003d -b / (2a), i n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

tada dobivamo y \u003d a (x - m) 2 + n ili y - n \u003d a (x - m) 2.

Napravimo još neke promjene: neka y - n \u003d Y, x - m \u003d X (*).

Tada dobivamo funkciju Y \u003d aX 2, čiji je graf parabola.

Vrh parabole nalazi se u ishodištu. X \u003d 0; Y \u003d 0.

Zamjenom koordinata vrha u (*) dobivamo koordinate vrha grafa y \u003d a (x - m) 2 + n: x \u003d m, y \u003d n.

Dakle, kako bi se ucrtao graf kvadratne funkcije, predstavljen u obliku

y \u003d a (x - m) 2 + n

transformacijama možete postupati na sljedeći način:

a) zacrtati funkciju y \u003d x 2;

b) paralelnim prevođenjem duž osi Ox za m jedinica i duž osi Oy za n jedinica - prevesti vrh parabole od ishodišta do točke s koordinatama (m; n) (slika 6).

Snimanje transformacija:

y \u003d x 2 → y \u003d (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 + n.

Primjer.

Koristeći transformacije, konstruirajte u kartezijanskom koordinatnom sustavu graf funkcije y \u003d 2 (x - 3) 2 – 2.

Odluka.

Lanac transformacija:

y \u003d x 2 (1) → y \u003d (x - 3) 2 (2) → y \u003d 2 (x - 3) 2 (3) → y \u003d 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

Crtanje je prikazano u sl. 7.

Možete sami vježbati crtati kvadratnu funkciju. Na primjer, nacrtajte grafikon funkcije y \u003d 2 (x + 3) 2 + 2 u jedan koordinatni sustav pomoću transformacija. Ako imate pitanja ili želite dobiti savjet učitelja, tada imate priliku provesti besplatna 25-minutna lekcija s mrežnim učiteljem nakon registracije. Za daljnji rad s učiteljem možete odabrati tarifni plan koji vam odgovara.

Još uvijek imate pitanja? Niste sigurni kako nacrtati kvadratnu funkciju?
Da biste dobili pomoć od učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

web mjestu, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.

Lekcija 15.
Utjecaj koeficijenataa, b iiz do mjesta
kvadratni graf funkcije

Ciljevi: nastaviti formiranje sposobnosti za izgradnju grafa kvadratne funkcije i nabrajanje njegovih svojstava; kako bi se otkrio utjecaj koeficijenata i, bi iz na mjestu grafika kvadratne funkcije.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

II. Usmeni rad.

Odredite koji je graf funkcije prikazan na slici:

na = x 2 – 2x – 1;

na = –2x 2 – 8x;

na = x 2 – 4x – 1;

na = 2x 2 + 8x + 7;

na = 2x 2 – 1.

b)

na = x 2 – 2x;

na = –x 2 + 4x + 1;

na = –x 2 – 4x + 1;

na = –x 2 + 4x – 1;

na = –x 2 + 2x – 1.

III. Formiranje vještina i sposobnosti.

Vježbe:

1. br. 127 (a).

Odluka

Ravno na = 6x + b dodiruje parabolu na = x 2 + 8, odnosno ima samo jednu zajedničku točku u slučaju kada je jednadžba 6 x + b = x 2 + 8 će imati jedina odluka.

Ova je jednadžba kvadratna, nalazimo njezin diskriminantan:

x 2 – 6x + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 \u003d 0 ako je 1 + b\u003d 0, tj b= –1.

Odgovor: b= –1.

3. Otkriti utjecaj koeficijenata i, b i iz na mjesto grafa funkcije na = oh 2 + bx + iz.

Studenti su dovoljno upućeni da sami izvrše ovaj zadatak. Trebali biste ih pozvati da sve nalaze unesu u bilježnicu, istodobno ističući "glavnu" ulogu svakog od koeficijenata.

1) Koeficijent i utječe na smjer grana parabole: at i \u003e 0 - grane su usmjerene prema gore, na i < 0 – вниз.

2) Koeficijent b utječe na mjesto vrha parabole. Kada b \u003d 0 vrh leži na osi oU.

3) Koeficijent iz prikazuje točku presjeka parabole s osi OU.

Nakon toga može se dati primjer koji pokazuje što se može reći o koeficijentima i, b i iz prema rasporedu funkcija.

Vrijednost izmože se nazvati točno: budući da graf prelazi os OU u točki (0; 1), onda iz = 1.

Koeficijent i može se usporediti s nulom: budući da su grane parabole usmjerene prema dolje, onda i < 0.

Znak faktora b može se naučiti iz formule koja određuje apscisu vrha parabole: t \u003d jer i < 0 и t \u003d 1, onda b> 0.

4. Na temelju vrijednosti koeficijenata odredite koji je graf funkcije prikazan na slici i, b i iz.

na = –x 2 + 2x;

na = x 2 + 2x + 2;

na = 2x 2 – 3x – 2;

na = x 2 – 2.

Odluka

i, b i iz:

i \u003e 0, budući da su grane parabole usmjerene prema gore;

b OU;

iz \u003d –2, jer parabola siječe ordinatu u točki (0; –2).

na = 2x 2 – 3x – 2.

na = x 2 – 2x;

na = –2x 2 + x + 3;

na = –3x 2 – x – 1;

na = –2,7x 2 – 2x.

Odluka

Prema prikazanom grafikonu izvodimo sljedeće zaključke o koeficijentima i, b i iz:

i < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, budući da vrh parabole ne leži na osi OU;

iz \u003d 0, budući da parabola prelazi os OUu točki (0; 0).

Sve te uvjete zadovoljava samo funkcija na = –2,7x 2 – 2x.

5. Prema rasporedu funkcija na = oh 2 + bx + iz i, b i iz:

i) b)

Odluka

a) Ogranci parabole usmjereni su prema gore, prema tome i > 0.

Dakle, parabola siječe ordinatu u donjoj poluravnini iz < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b upotrijebit ćemo formulu da pronađemo apscisu vrha parabole: t \u003d. Grafikon to pokazuje t < 0, и мы определим, что i \u003e 0. Dakle b> 0.

b) Slično tome, određujemo znakove koeficijenata i, b i iz:

i < 0, iz > 0, b< 0.

Učenici koji su jaki u svojim studijama mogu dobiti dodatni broj 247.

Odluka

na = x 2 + px + q.

a) Po Vietinom teoremu poznato je da ako x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x 2 +
+ px + q \u003d 0 (odnosno nule ove funkcije), tada x jedan · x 2 = q i x 1 + x 2 = –r... Shvatili smo q \u003d 3 4 \u003d 12 i r = –(3 + 4) = –7.

b) Točka presjeka parabole s osi OU dat će vrijednost parametra q, tj q \u003d 6. Ako graf funkcije prelazi os OH u točki (2; 0), tada je broj 2 korijen jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0. Zamjena vrijednosti x \u003d 2 u ovu jednadžbu, dobivamo to r = –5.

c) Ova kvadratna funkcija doseže najmanju vrijednost na vrhu parabole, dakle, odakle r \u003d –12. Prema uvjetu, vrijednost funkcije na = x 2 – 12x + q u točki x \u003d 6 jednako 24. Zamjena x \u003d 6 i na \u003d 24 inča ovu funkciju, nalazimo to q= 60.

IV. Posao provjere.

opcija 1

1. Nacrtajte funkciju na = 2x 2 + 4x - 6 i pronađite pomoću grafikona:

a) nule funkcije;

b) intervalima u kojima na \u003e 0 i g < 0;

d) najmanja vrijednost funkcije;

e) domena funkcije.

2. Ne gradi graf funkcije na = –x 2 + 4x, pronaći:

a) nule funkcije;

c) domena funkcije.

3. Prema rasporedu funkcija na = oh 2 + bx + iz odrediti predznake koeficijenata i, b i iz:

V a r i a n t 2

1. Nacrtajte funkciju na = –x 2 + 2x + 3 i pronađite pomoću grafikona:

a) nule funkcije;

b) intervalima u kojima na \u003e 0 i g < 0;

c) intervali povećanja i smanjenja funkcije;

d) najveća vrijednost funkcije;

e) domena funkcije.

2. Ne gradi graf funkcije na = 2x 2 + 8x, pronaći:

a) nule funkcije;

b) intervali povećanja i smanjenja funkcije;

c) domena funkcije.

3. Prema rasporedu funkcija na = oh 2 + bx + iz odrediti predznake koeficijenata i, b i iz:

V. Sažetak lekcije.

O pitanju najčešće:

- Opiši algoritam za konstrukciju kvadratne funkcije.

- Navedi svojstva funkcije na = oh 2 + bx + iz na i \u003e 0 i za i < 0.

- Kako izgledi utječu i, b i iz na mjestu grafika kvadratne funkcije?

Domaća zadaća: Br. 127 (b), br. 128, br. 248.

DODATNE INFORMACIJE: br. 130.