Postoji 8 primjera faktoriziranja polinoma. Obuhvaćaju primjere s rješavanjem kvadratnih i bikvadratnih jednadžbi, primjere s refleksivnim polinomima i primjere s pronalaženjem cjelobrojnih korijena polinoma trećeg i četvrtog stupnja.

1. Primjeri rješavanja kvadratne jednadžbe

Primjer 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Odluka

Izvadite x 2 izvan zagrada:
.
2 + x - 6 \u003d 0:
.
Korijeni jednadžbe:
, .

.

Odgovor

Primjer 1.2

Faktor polinoma trećeg stupnja:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Odluka

Premjesti x iz zagrada:
.
Mi rješavamo kvadratna jednadžba x 2 + 6 x + 9 \u003d 0:
Njegova diskriminanta :.
Budući da je diskriminanta nula, korijeni jednadžbe su višestruki :;
.

Iz ovoga dobivamo faktorisanje polinoma:
.

Odgovor

Primjer 1.3

Faktor polinoma 5. stupnja:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Odluka

Izvadite x 3 izvan zagrada:
.
Rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 - 2 x + 10 \u003d 0.
Njegova diskriminanta :.
Budući da je diskriminator manje od nule, tada su korijeni jednadžbe složeni :;
, .

Faktorizacija polinoma je:
.

Ako nas zanima faktorizacija s realnim koeficijentima, tada:
.

Odgovor

Primjeri faktoring polinoma pomoću formula

Primjeri s bikvadratnim polinomima

Primjer 2.1

Izbrojimo bikvadratni polinom:
x 4 + x 2 - 20.

Odluka

Primijenimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b).

;
.

Odgovor

Primjer 2.2

Faktor polinoma koji se svodi na bikvadratni:
x 8 + x 4 + 1.

Odluka

Primijenimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b):

;

;
.

Odgovor

Primjer 2.3 s povratnim polinomom

Faktor povratnog polinoma:
.

Odluka

Refleksivni polinom ima neparan stupanj. Stoga ima korijen x \u003d - 1 ... Polinom dijelimo s x - (-1) \u003d x + 1... Kao rezultat dobivamo:
.
Vršimo zamjenu:
, ;
;


;
.

Odgovor

Primjeri faktoring polinoma s cijelim korijenima

Primjer 3.1

Izbrojimo polinom:
.

Odluka

Pretpostavimo jednadžbu

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 \u003d -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 \u003d -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 \u003d -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 \u003d -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 \u003d 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 \u003d 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 \u003d 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 \u003d 60.

Pronašli smo tri korijena:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Budući da je izvorni polinom trećeg stupnja, on ima najviše tri korijena. Budući da smo pronašli tri korijena, oni su jednostavni. Zatim
.

Odgovor

Primjer 3.2

Izbrojimo polinom:
.

Odluka

Pretpostavimo jednadžbu

ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 2 (pojam bez x). Odnosno, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
-2, -1, 1, 2 .
Zamjenjujemo ove vrijednosti redom:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 \u003d 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 \u003d 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 \u003d 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 \u003d 54 .
Ako pretpostavimo da ova jednadžba ima cjelobrojni korijen, tada je djelitelj broja 2 (pojam bez x). Odnosno, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjena x \u003d -1 :
.

Dakle, pronašli smo još jedan korijen x 2 = -1 ... Bilo bi moguće, kao u prethodnom slučaju, podijeliti polinom sa, ali mi ćemo grupirati članove:
.

Budući da je jednadžba x 2 + 2 = 0 nema stvarnih korijena, tada faktorizacija polinoma ima oblik.

Naći zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe. Koristeći formule (59.8) za korijene svedene jednadžbe, dobivamo

(prva je jednakost očita, druga se dobiva nakon jednostavnog izračuna, koji će čitatelj provesti samostalno; prikladno je koristiti formulu za umnožak zbroja dva broja na njihovu razliku).

Dokazuje se sljedeće.

Vietin teorem. Zbroj korijena svedene kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu sa suprotni znak, a njihov je proizvod jednak slobodnom terminu.

U slučaju nesmanjene kvadratne jednadžbe, izrazi formule (60.1) trebaju se zamijeniti u formulama (60.1) kako bi dobili oblik

Primjer 1. Napravite kvadratnu jednadžbu prema njezinim korijenima:

Rješenje, a) Otkrivamo da jednadžba ima oblik

Primjer 2. Pronađite zbroj kvadrata korijena jednadžbe bez rješavanja same jednadžbe.

Odluka. Zbroj i umnožak korijena poznati su. Zbroj kvadrata korijena predstavljamo u obliku

i dobiti

Formulu je lako dobiti iz Vieta-inih formula

izražavajući pravilo za faktoring kvadratnog trinoma.

Zapravo, formule (60.2) zapisujemo u obrazac

Sad jesmo

koji se trebao dobiti.

Gornje izvođenje Vietinih formula čitatelju je poznato iz tečaja algebre u srednjoj školi. Može se dati još jedan zaključak, koristeći Bezout-ov teorem i uzimajući u obzir polinom (točke 51, 52).

Neka korijeni jednadžbe budu po opće pravilo (52.2) faktor je trinom na lijevoj strani jednadžbe:

Proširivanjem zagrada s desne strane ovog identiteta dobivamo

a uspoređivanjem koeficijenata na istim stupnjevima dobit ćemo Vietine formule (60.1).

Prednost ovog zaključka je što se može primijeniti na jednadžbe viši stupnjevi kako bi se dobili izrazi za koeficijente jednadžbe u smislu njezinih korijena (bez pronalaska samih korijena!). Na primjer, ako su korijeni svedene kubične jednadžbe

u osnovi, prema jednakosti (52.2), nalazimo

(u našem slučaju, Proširivanjem zagrada s desne strane jednakosti i prikupljanjem koeficijenata na različitim stupnjevima, dobivamo

Svijet je uronjen u ogroman broj brojeva. Bilo koji proračun vrši se uz njihovu pomoć.

Ljudi uče brojeve kako u kasnijem životu ne bi naseli na obmanu. Potrebno je ogromno vrijeme za obrazovanje i izračun vlastitog proračuna.

Matematika je egzaktna znanost koja igra veliku ulogu u životu. U školi djeca uče brojeve, a zatim i akcije na njima.

Radnje na brojevima su potpuno različite: množenje, proširivanje, zbrajanje i druge. Uz jednostavne formule, u proučavanju matematike koriste se i složenije radnje. Postoji ogroman broj formula po kojima se mogu prepoznati bilo koje vrijednosti.

U školi, čim se pojavi algebra, učenicima se u život dodaju formule za pojednostavljivanje. Postoje jednadžbe kada postoje dva nepoznata broja, ali pronađite na jednostavan način neće raditi. Tročlani je spoj triju monoma pomoću jednostavne metode oduzimanja i sabiranja. Trinom se rješava pomoću Vieta-ovog teorema i diskriminante.

Formula za faktoring kvadratnog trinoma

Postoje dvije ispravne i jednostavna rješenja primjer:

• diskriminirajući;
• vietin teorem.

Kvadratni trinom ima nepoznati kvadrat i broj bez kvadrata. Prva opcija koristi Vieta-inu formulu za rješavanje problema. Ovo je jednostavna formulaako će biti brojevi koji stoje ispred nepoznatog minimalna vrijednost.

Za ostale jednadžbe, gdje je broj ispred nepoznatog, jednadžba se mora riješiti diskriminantom. Ovo je složenije rješenje, ali se diskriminant koristi puno češće od Vieta teorema.

U početku pronaći sve varijable jednadžbe potrebno je povisiti primjer na 0. Rješenje primjera može se provjeriti i saznati jesu li brojevi ispravno prilagođeni.

Diskriminirajući

1. Jednadžbu je potrebno izjednačiti s 0.

2. Svaki broj ispred x nazvat će se brojevima a, b, c. Budući da ispred prvog kvadrata x nema broja, jednak je 1.

3. Rješenje jednadžbe započinje diskriminantom:

4. Sada smo pronašli diskriminant i pronašli smo dva x. Razlika je u tome što će u jednom slučaju b-u prethoditi plus, a u drugom minus:

5. Prema rješenju, ispala su dva broja -2 i -1. Zamjena pod izvornom jednadžbom:

6. Ovaj primjer ima dva ispravne opcije... Ako su oba rješenja točna, tada je svako od njih točno.

Složenije jednadžbe također se rješavaju diskriminantom. Ali ako je vrijednost samog diskriminatora manja od 0, onda je primjer pogrešan. Diskriminant je uvijek u korijenu prilikom pretraživanja, a negativna vrijednost ne može biti u korijenu.

Vietin teorem

Koristi se za rješavanje svjetlosnih problema tamo gdje ispred prvog x nema broja, odnosno a \u003d 1. Ako se opcija podudara, proračun se izvodi pomoću Vieta teorema.

Da biste riješili bilo koji trogodišnji potrebno je jednadžbu podići na 0. Prvi se koraci za diskriminant i Vieta-in teorem ne razlikuju.

2. Sada počinju razlike između dvije metode. Vietin teorem koristi ne samo "suho" računanje, već i logiku i intuiciju. Svaki broj ima svoje slovo a, b, c. Teorem koristi zbroj i umnožak dva broja.

Zapamtiti! Broj b uvijek se dodaje suprotnim predznakom, a broj c ostaje nepromijenjen!

Zamjena vrijednosti podataka u primjeru , dobivamo:

3. Koristeći metodu logike, zamjenjujemo najprikladnije brojeve. Razmotrimo sva rješenja:

1. Brojevi su 1 i 2. Kada ga zbrojite, dobit ćete 3, ali ako se pomnožite, nećete dobiti 4. Ne odgovara.
2. Vrijednost je 2 i -2. Kad se pomnoži, bit će -4, ali kad se zbroji, bit će 0. Nije prikladno.
3. Brojevi su 4 i -1. Budući da u množenju postoji negativna vrijednost, to znači da će jedan od brojeva biti s minusom. Kada je zbrajanje i množenje prikladno. Ispravna opcija.

4. Preostaje samo provjeriti, proširujući brojeve i vidjeti ispravnost odabrane opcije.

5. Zahvaljujući mrežnoj provjeri saznali smo da -1 ne odgovara uvjetu primjera, što znači da je pogrešna odluka.

Kada u primjeru dodate negativnu vrijednost, broj morate staviti u zagrade.

U matematici će ih uvijek biti jednostavni zadaci i složen. Sama znanost uključuje razne probleme, teoreme i formule. Ako razumijete i pravilno primjenjujete znanje, tada će bilo kakve poteškoće s izračunima biti sitnice.

Matematika ne treba stalno pamtiti. Morate naučiti razumjeti rješenje i naučiti nekoliko formula. Postupno, prema logičnim zaključcima, moguće je rješavati slične probleme, jednadžbe. Takva se znanost na prvi pogled može činiti vrlo teškom, ali ako zarone u svijet brojeva i problema, pogled će se dramatično promijeniti u bolja strana.

Tehničke specijalnosti uvijek ostati najtraženiji na svijetu. Sada u svijetu moderne tehnologije, matematika je postala neizostavni atribut bilo kojeg područja. Uvijek se mora sjetiti korisna svojstva matematika.

Razgradnja trinoma pomoću zagrade

Osim rješavanja na uobičajene načine, postoji još jedan - proširivanje u zagrade. Koristite Vieta formulu.

1. Jednadžbu izjednačite s 0.

sjekira 2 + bx + c= 0

2. Korijeni jednadžbe ostaju isti, ali umjesto nule sada koriste formule za proširenje u zagrade.

sjekira 2 + bx + c \u003d a ( x - x 1) ( x - x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)

4. Rješenje x \u003d -1, x \u003d 3

Faktoriranje kvadratnih trinoma odnosi se na školske zadatke s kojima će se svi prije ili kasnije suočiti. Kako to radiš? Koja je formula za faktorizaciju kvadratnog trinoma? Shvatimo to korak po korak na primjerima.

Opća formula

Faktorizacija kvadratnih trinoma provodi se rješavanjem kvadratne jednadžbe. Ovo je jednostavan zadatak koji se može riješiti na nekoliko metoda - pronalaženjem diskriminanta pomoću Vieta-inog teorema postoji i grafički način da se to riješi. Prva dva se uče u srednjoj školi.

Opća formula izgleda ovako:lx 2 + kx + n \u003d l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritam izvršenja zadatka

Da biste faktorizirali kvadratne trinome, morate znati Witov teorem, imati pri ruci program za rješavanje, biti u mogućnosti pronaći rješenje grafički ili potražiti korijene jednadžbe drugog stupnja kroz diskriminacijsku formulu. Ako je dat kvadratni trinom, a treba ga faktorisati, algoritam radnji je sljedeći:

1) Postavite izvorni izraz na nulu da biste dobili jednadžbu.

2) Olovo slični pojmovi (ako je potrebno).

3) Pronađi korijene bilo kojim na poznat način... Grafičku metodu najbolje je koristiti ako se unaprijed zna da su korijeni cijeli i da ih ima malo. Mora se imati na umu da je broj korijena jednak maksimalnom stupnju jednadžbe, odnosno kvadratna jednadžba ima dva korijena.

4) Zamjenska vrijednost x u izraz (1).

5) Napiši faktorizaciju kvadratnih trinoma.

Primjeri

Praksa vam omogućuje da napokon shvatite kako se izvršava ovaj zadatak. Faktorizaciju kvadratnog trinoma ilustrirajte primjerima:

potrebno je proširiti izraz:

Pribjegnimo našem algoritmu:

1) x 2 -17x + 32 \u003d 0

2) slični pojmovi su smanjeni

3) teško je pronaći korijene za ovaj primjer pomoću Vieta formule, stoga je bolje koristiti izraz za diskriminant:

D \u003d 289-128 \u003d 161 \u003d (12,69) 2

4) Zamijenite korijene koje smo pronašli u glavnoj formuli razgradnje:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Tada će odgovor biti sljedeći:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

Provjerimo odgovaraju li rješenja koja je pronašao diskriminant Vietinim formulama:

14,845 . 2,155=32

Za ove korijene primjenjuje se Vieta-in teorem, oni su ispravno pronađeni, što znači da je i faktorizacija koju smo dobili također ispravna.

Slično tome, proširujemo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

U prethodnom su slučaju rješenja bila necijela, ali stvarni brojevi, koje je lako pronaći pomoću kalkulatora ispred sebe. Sada razmotrimo složeniji primjer, u kojem su korijeni složeni: faktor x 2 + 4x + 9. Prema Vieta-inoj formuli, korijeni se ne mogu pronaći, a diskriminant je negativan. Korijeni će biti na složenoj ravni.

D \u003d -20

Na temelju toga dobivamo korijene koji nas zanimaju -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 jer (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

Traženu razgradnju dobivamo zamjenom korijena u opću formulu.

Još jedan primjer: trebate izračunati izraz 23x 2 -14x + 7.

Imamo jednadžbu 23x 2 -14x + 7 =0

D \u003d -448

Dakle, korijeni su 14 + 21,166i i 14-21.166i. Odgovor bi bio:

23x 2 -14x + 7 \u003d 23 (x- 14-21.166i )*(x- 14 + 21.166i ).

Dajmo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminanta.

Pretpostavimo da trebate proširiti kvadratnu jednadžbu x 2 -32x + 255. Očito ga može riješiti diskriminant, ali u ovom je slučaju brže pokupiti korijene.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

Sredstva x 2 -32x + 255 \u003d (x-15) (x-17).