Prva točka je, kao i obično, arcsin (-a) \u003d - arcsina. Da bismo došli do druge točke, idemo gornjom stazom, odnosno u smjeru povećanja kuta.

Ovaj put idemo na n. Koliko dugo idemo? Na arcsin x. Dakle, druga točka je n + arcsin x. Zašto nema minusa? Budući da minus u unosu -arcsin znači kretanje u smjeru kazaljke na satu, a mi smo išli suprotno od kazaljke na satu. I za kraj, dodajte 2nn na svaki kraj intervala.

5) sinx\u003e a ako je a\u003e 1.

Jedinica kruga leži u potpunosti ispod crte y \u003d a. Nema niti jedne točke iznad ravne crte. Dakle, nema rješenja.

6) sinx\u003e -a, gdje je a\u003e 1.

U ovom slučaju, čitav jedinični krug leži u potpunosti iznad crte y \u003d a. Stoga bilo koja točka zadovoljava uvjet sinx\u003e a. Dakle, x je bilo koji broj.

A ovdje je x bilo koji broj, budući da su točke -p / 2 + 2pn uključene u rješenje, za razliku od stroge nejednakosti sinx\u003e -1. Ne treba ništa isključiti.

Jedina točka na krugu koja ispunjava ovaj uvjet je n / 2. Uzimajući u obzir sinusno razdoblje, rješenje ove nejednakosti je skup točaka x \u003d n / 2 + 2pp.

Na primjer, riješite nejednakost sinx\u003e -1/2:

Nejednakosti su odnosi oblika a ›b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹,› i nestroge - ≥, ≤.

Trigonometrijske nejednakosti izrazi su oblika: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, u kojem je F (x) predstavljena jednom ili više trigonometrijskih funkcija .

Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹1/2. Prihvaća se rješavanje takvih problema grafički, za to su razvijene dvije metode.

1. metoda - Rješavanje nejednakosti crtanjem funkcije

Da biste pronašli interval koji zadovoljava uvjete nejednakosti sin x ‹1/2, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Na koordinatna os izgraditi sinusoidu y \u003d sin x.
2. Nacrtajte na istoj osi grafik numeričkog argumenta nejednakosti, odnosno liniju koja prolazi kroz točku ½ ordinate OY.
3. Označi točke presjeka dvaju grafova.
4. Osjenčajte segment koji je rješenje primjera.

Kada su u izrazu prisutni jaki znakovi, presječne točke nisu rješenja. Budući da je najmanje pozitivno razdoblje sinusoide 2π, odgovor zapisujemo na sljedeći način:

Ako znakovi izraza nisu strogi, tada interval rješenja mora biti zatvoren u uglate zagrade -. Odgovor na problem također možemo zapisati kao još jednu nejednakost:

2. metoda - Riješiti trigonometrijske nejednakosti pomoću jedinične kružnice

Slični problemi mogu se lako riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Algoritam za pronalaženje odgovora vrlo je jednostavan:

1. Prvo nacrtajte jedinični krug.
2. Tada je potrebno uočiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednakosti na luku kružnice.
3. Potrebno je povući ravnu crtu koja prolazi kroz vrijednost funkcije luka paralelno s osi apscise (OX).
4. Nakon toga ostaje samo odabrati luk kružnice, koji je skup rješenja trigonometrijske nejednakosti.
5. Odgovor zapišite u traženi obrazac.

Analizirajmo korake rješenja na primjeru nejednakosti sin x ›1/2. Točke α i β označene su na kružnici - vrijednosti

Lučne točke smještene iznad α i β interval su za rješavanje zadane nejednakosti.

Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će se luk odgovora smjestiti simetrično prema osi OX, a ne OY. Da biste razmotrili razliku između intervala otopina za grijeh i cos, možete se poslužiti dijagramima dolje u tekstu.

Grafička rješenja za tangensne i kotangenske nejednakosti razlikovat će se i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.

Tangenta luka i kotangens luka su tangente trigonometrijske kružnice, a minimalno pozitivno razdoblje za obje funkcije je π. Da biste brzo i pravilno upotrijebili drugu metodu, trebate zapamtiti na kojoj osi se crtaju vrijednosti sin, cos, tg i ctg.

Tangenta tangente ide paralelno s osi OY. Ako vrijednost arktana a stavite na jediničnu kružnicu, tada će se druga potrebna točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. Kutovi

Jesu li granične točke za funkciju, jer graf teži, ali nikad ne doseže.

U slučaju kotangensa, tangenta ide paralelno s osi OX, a funkcija se prekida u točkama π i 2π.

Složene trigonometrijske nejednakosti

Ako argument funkcije nejednakosti ne predstavlja samo varijabla, već cijeli izraz koji sadrži nepoznanicu, tada već govorimo o složenoj nejednakosti. Tijek i redoslijed njegova rješavanja ponešto se razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da je potrebno pronaći rješenje za sljedeću nejednakost:

Grafičko rješenje predviđa konstrukciju obične sinusoide y \u003d sin x za proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tablicu s koordinatama za sidrišta grafa:

Rezultat bi trebao biti lijepa krivulja.

Da biste lakše pronašli rješenje, zamijenite argument složene funkcije

Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kao što je jedan lik znao reći,

"Jednostavno ne znate kako ih kuhati"

Dakle, kako "kuhati" i kako predstaviti nejednakost sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Mi ćemo odlučiti najviše na jednostavan način - pomoću jediničnog kruga.

Dakle, prije svega, trebamo sljedeći algoritam.

Algoritam za rješavanje nejednakosti sa sinusom:

1. na sinusnoj osi odlažemo broj $ a $ i crtamo ravnu crtu paralelnu s kosinusnom osi dok se ne siječe s kružnicom;
2. točke presjeka ove ravne crte s kružnicom bit će zasjenjene ako nejednakost nije stroga, a neće biti zasjenjene ako je nejednakost stroga;
3. područje rješenja nejednakosti bit će iznad crte i do kruga ako nejednakost sadrži znak "$\u003e $", a ispod crte i do kruga ako nejednakost sadrži znak "$<$”;
4. da bismo pronašli točke presjeka, rješavamo trigonometrijsku jednadžbu $ \\ sin (x) \u003d a $, dobivamo $ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (a) + \\ pi n $;
5. postavljanjem $ n \u003d 0 $, pronalazimo prvo sjecište (bilo je u prvoj ili u četvrtoj četvrtini);
6. da bismo pronašli drugu točku, gledamo u kojem smjeru idemo kroz područje do druge točke presijecanja: ako je u pozitivnom smjeru, onda bismo trebali uzeti $ n \u003d 1 $, a ako u negativnom smjeru, onda $ n \u003d - 1 $;
7. kao odgovor, zapisuje se interval od manje točke presijecanja $ + 2 \\ pi n $ do veće $ + 2 \\ pi n $.

Ograničenje algoritma

Važno: dovaj algoritam ne radi za nejednakosti oblika $ \\ sin (x)\u003e 1; \\ \\ sin (x) \\ geq 1, \\ \\ sin (x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni slučajevi u rješavanju nejednakosti sinusom

Također je važno napomenuti sljedeće slučajeve, koje je puno prikladnije logički riješiti bez korištenja gornjeg algoritma.

Poseban slučaj 1. Riješiti nejednakost:

$ \\ sin (x) \\ leq 1. $

Zbog činjenice da raspon vrijednosti trigonometrijska funkcija $ y \u003d \\ sin (x) $ je tada najviše modulo $ 1 $ lijeva strana nejednakosti za bilo koji$ x $ s domene (i domena sinusa - svi stvarni brojevi) nije veća od 1 $. I, prema tome, kao odgovor pišemo: $ x \\ u R $.

Posljedica:

$ \\ sin (x) \\ geq -1. $

Posebni slučaj 2. Riješiti nejednakost:

$ \\ sin (x)< 1.$

Primjenjujući argumente slične posebnom slučaju 1, dobivamo da je lijeva strana nejednakosti manja od $ 1 $ za svih $ x \\ u R $, osim za točke koje su rješenje jednadžbe $ \\ sin (x) \u003d 1 $. Rješavajući ovu jednadžbu imat ćemo:

$ x \u003d (-1) ^ (n) \\ arcsin (1) + \\ pi n \u003d (-1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n. $

I, prema tome, kao odgovor pišemo: $ x \\ u R \\ kosa crta \\ lijevo \\ ((- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n \\ desno \\) $.

Posljedica: nejednakost

$ \\ sin (x)\u003e -1. $

Primjeri rješavanja nejednakosti pomoću algoritma.

Primjer 1:Riješiti nejednakost:

$ \\ sin (x) \\ geq \\ frac (1) (2)

1. Označimo koordinatu $ \\ frac (1) (2) $ na osi sinusa.
2. Nacrtajmo ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi i koja prolazi kroz ovu točku.
3. Označimo točke presjeka. Oni će biti zasjenjeni jer nejednakost nije stroga.
4. Znak nejednakosti je $ \\ geq $, što znači da bojimo područje iznad ravne crte, tj. manji polukrug.
5. Pronađite prvo sjecište. Da biste to učinili, pretvorite nejednakost u jednakost i riješite je: $ \\ sin (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ \\ Rightarrow \\ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ frac (1 ) (2)) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi n $. Nadalje, postavljamo $ n \u003d 0 $ i pronalazimo prvo sjecište: $ x_ (1) \u003d \\ frac (\\ pi) (6) $.
6. Pronađite drugu točku. Naše područje ide u pozitivnom smjeru od prve točke, pa smo postavili $ n $ jednako $ 1 $: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (1) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi \\ cdot 1 \u003d \\ pi - \\ frac (\\ pi) (6) \u003d \\ frac (5 \\ pi) (6) $.

Dakle, rješenje će poprimiti oblik:

$ x \\ in \\ lijevo [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ desno], \\ n \\ u Z. $

Primjer 2:Riješiti nejednakost:

$ \\ sin (x)< -\frac{1}{2}$

Označimo koordinatu $ - \\ frac (1) (2) $ na osi sinusa i povucimo ravnu crtu paralelnu s osi kosinusa i koja prolazi kroz ovu točku. Označimo točke presjeka. Neće biti zasjenjeni, jer je nejednakost stroga. Znak nejednakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$ \\ sin (x) \u003d - \\ frac (1) (2) $

$ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ lijevo (- \\ frac (1) (2) \\ desno)) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n + 1) \\ frac (\\ pi ) (6) + \\ pi n $.

Postavljajući dalje $ n \u003d 0 $, nalazimo prvo sjecište: $ x_ (1) \u003d - \\ frac (\\ pi) (6) $. Naše područje ide u negativnom smjeru od prve točke, pa smo postavili $ n $ jednako $ -1 $: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (- 1 + 1) \\ frac (\\ pi) (6 ) + \\ pi \\ cdot (-1) \u003d - \\ pi + \\ frac (\\ pi) (6) \u003d - \\ frac (5 \\ pi) (6) $.

Dakle, rješenje ove nejednakosti je interval:

$ x \\ in \\ lijevo (- \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n; - \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ desno), \\ n \\ u Z. $

Primjer 3:Riješiti nejednakost:

$ 1 - 2 \\ sin (\\ lijevo (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ desno)) \\ leq 0. $

Ovaj se primjer ne može odmah riješiti pomoću algoritma. Prvo ga trebate transformirati. Činimo točno onako kako bismo radili s jednadžbom, ali ne zaboravimo na znak. Dijeljenje ili množenje negativnim brojem to poništava!

Dakle, pomaknimo sve što ne sadrži trigonometrijsku funkciju na desnu stranu. Dobivamo:

$ - 2 \\ sin (\\ lijevo (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ desno)) \\ leq -1. $

Podijelite lijevu i desnu stranu za $ -2 $ (ne zaboravite na znak!). Imat će:

$ \\ sin (\\ lijevo (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ desno)) \\ geq \\ frac (1) (2). $

Opet smo dobili nejednakost koju ne možemo riješiti pomoću algoritma. Ali ovdje je dovoljno promijeniti varijablu:

$ t \u003d \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6). $

Dobivamo trigonometrijsku nejednakost koju je moguće riješiti algoritmom:

$ \\ sin (t) \\ geq \\ frac (1) (2)

Ta je nejednakost riješena u Primjeru 1, pa posudimo odgovor odatle:

$ t \\ in \\ lijevo [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ desno]. $

Međutim, odluka još nije gotova. Moramo se vratiti izvornoj varijabli.

$ (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6)) \\ u \\ lijevo [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ desno]. $

Predstavimo prazninu kao sustav:

$ \\ lijevo \\ (\\ početak (niz) (c) \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n, \\\\ \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ leq \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n. \\ kraj (niz) \\ desno. $

Na lijevoj strani sustava nalazi se izraz ($ \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) $), koji pripada intervalu. Lijeva granica intervala odgovorna je za prvu, a desna za drugu nejednakost. Štoviše, zagrade igraju važnu ulogu: ako je zagrada kvadratna, tada nejednakost neće biti stroga, a ako je okrugla, tada će biti stroga. naš je zadatak dobiti $ x $ s lijeve strane u obje nejednakosti.

Prenoseći $ \\ frac (\\ pi) (6) $ s lijeve strane na desnu, dobivamo:

$ \\ lijevo \\ (\\ početak (niz) (c) \\ frac (x) (4) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n - \\ frac (\\ pi) (6), \\\\ \\ frac (x) (4) \\ leq \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n - \\ frac (\\ pi) (6). \\ kraj (niz) \\ desno. $

Pojednostavljujući, imat ćemo:

$ \\ lijevo \\ (\\ početak (niz) (c) \\ frac (x) (4) \\ geq 2 \\ pi n, \\\\ \\ frac (x) (4) \\ leq \\ frac (2 \\ pi) (3) + 2 \\ pi n. \\ Kraj (niz) \\ desno. $

Pomnoživši lijevu i desnu stranu s 4 $, dobivamo:

$ \\ lijevo \\ (\\ početak (niz) (c) x \\ geq 8 \\ pi n, \\\\ x \\ leq \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n. \\ kraj (niz) \\ desno. $

Sastavljajući sustav, dobivamo odgovor:

$ x \\ in \\ lijevo [8 \\ pi n; \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n \\ desno], \\ n \\ u Z. $

1. Ako je argument složen (osim x), zatim ga zamjenjujemo s t.

2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravnini igračka grafovi funkcija y \u003d trošak i y \u003d a.

3. Takve nalazimo dvije susjedne točke presjeka grafovaizmeđu kojih se nalazi iznad ravne crte y \u003d a... Pronađite apscise ovih točaka.

4. Dvostruku nejednakost zapisujemo za argument ts obzirom na kosinusno razdoblje ( t bit će između pronađenih apscisa).

5. Izvršite obrnutu zamjenu (povratak na izvorni argument) i izrazite vrijednost x iz dvostruke nejednakosti zapisujemo odgovor u obliku numeričkog intervala.

Primjer 1.

Dalje, prema algoritmu, određujemo te vrijednosti argumenta tna kojem se nalazi sinusoida više ravno. Zapišimo ove vrijednosti u obliku dvostruke nejednakosti, uzimajući u obzir periodičnost kosinusne funkcije, a zatim se vratimo izvornom argumentu x.

Primjer 2.

Odaberite raspon vrijednosti tkod kojih je sinusoida iznad ravne crte.

Vrijednosti zapisujemo u obliku dvostruke nejednakosti t, zadovoljavajući uvjet. Ne zaboravite da je najmanje razdoblje funkcije y \u003d trošak je jednako 2π... Povratak na varijablu x, postupno pojednostavljujući sve dijelove dvostruke nejednakosti.

Odgovor zapisujemo u obliku zatvorenog numeričkog intervala, jer nejednakost nije bila stroga.

Primjer 3.

Zanimaće nas raspon vrijednosti tna kojem će točke sinusoide ležati iznad ravne crte.

Vrijednosti t bit će napisana u obliku dvostruke nejednakosti, prepisat ćemo iste vrijednosti za 2x i izraziti x... Odgovor zapisujemo u obliku numeričkog intervala.

I opet formula trošak\u003e a.

Ako je a trošak\u003e a, (-1≤i≤1), onda - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Koristite formule za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti i uštedjet ćete vrijeme na ispitivanju ispita.

A sada formula , koju biste trebali koristiti na UNT ili USE ispitu pri rješavanju trigonometrijske nejednakosti oblika trošak

Ako je a trošak , (-1≤i≤1), onda arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Primijenite ovu formulu za rješavanje nejednakosti o kojima se govori u ovom članku, a odgovor ćete dobiti puno brže i bez ikakvih grafikona!

Uzimajući u obzir periodičnost sinusne funkcije, zapisujemo dvostruku nejednakost za vrijednosti argumenta tzadovoljavajući posljednju nejednakost. Vratimo se izvornoj varijabli. Rezultirajuću dvostruku nejednakost transformiramo i izražavamo varijablu x.Odgovor zapisujemo u obliku praznine.

Rješavamo drugu nejednakost:

Prilikom rješavanja druge nejednakosti morali smo transformirati lijevu stranu ove nejednakosti koristeći sinusnu formulu dvostrukog argumenta kako bismo dobili nejednakost oblika: sint≥a. Dalje smo slijedili algoritam.

Rješavamo treću nejednakost:

Dragi maturanti i pristupnici! Imajte na umu da su takve metode za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti kao što je gornja grafička metoda i, zasigurno, znate, metoda za rješavanje pomoću jedinstvene trigonometrijske kružnice (trigonometrijske kružnice) primjenjive samo u prvim fazama proučavanja odjeljka trigonometrije " Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti ". Mislim da ćete se sjetiti da ste prvo riješili najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe pomoću grafikona ili kružnice. Međutim, sada vam ne bi palo na pamet da na ovaj način rješavate trigonometrijske jednadžbe. Kako ih rješavate? Tako je, prema formulama. Dakle, trigonometrijske nejednakosti treba rješavati pomoću formula, posebno na ispitivanju, kada svaka minuta je bitna... Dakle, riješite tri nejednakosti u ovoj lekciji koristeći odgovarajuću formulu.

Ako je a sint\u003e a, gdje je -1≤ a≤1, onda arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nêZ.

Naučite formule!

I na kraju: jeste li znali da je matematika definicije, pravila i OBLICI?!

Naravno da znate! A najznatiželjniji su, nakon što su proučili ovaj članak i pogledali video, uzviknuli: „Koliko dugo i teško! Zar ne postoji formula koja vam omogućuje rješavanje takvih nejednakosti bez ikakvih grafikona i krugova? " Da, naravno da postoji!

RJEŠAVANJE LJUBAZNIH NEJEDNAKOSTI: sint (-1≤i≤1) vrijedi sljedeća formula:

- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Primijenite ga na gornje primjere i odgovor ćete dobiti puno brže!

Izlaz: UČITE FORMULE, PRIJATELJI!

Stranica 1 od 1 1

U praktičnoj lekciji pregledat ćemo glavne vrste zadataka iz teme "Trigonometrija", dodatno analizirati zadatke povećane složenosti i razmotriti primjere rješavanja različitih trigonometrijskih nejednakosti i njihovih sustava.

Ova će vam lekcija pomoći da se pripremite za jednu od vrsta zadataka B5, B7, C1 i C3.

Krenimo od ponavljanja osnovnih vrsta zadataka o kojima smo govorili u temi "Trigonometrija" i riješit ćemo nekoliko nestandardnih zadataka.

Problem broj 1... Pretvori kutove u radijane i stupnjeve: a); b).

a) Upotrijebimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane

Zamijenimo u nju navedenu vrijednost.

b) Primijenite formulu za pretvaranje radijana u stupnjeve

Izvršimo zamjenu .

Odgovor. i); b).

Problem broj 2... Izračunaj: a); b).

a) Budući da je kut daleko izvan tablice, smanjit ćemo ga oduzimanjem razdoblja sinusa. Jer kut je naznačen u radijanima, tada će se razdoblje smatrati.

b) U ovom je slučaju slična situacija. Budući da je kut naznačen u stupnjevima, tada će se razdoblje tangente smatrati.

Rezultirajući kut, iako je manji od razdoblja, veći je, što znači da se više ne odnosi na glavni, već na prošireni dio tablice. Da ne bismo još jednom uvježbali pamćenje pamćenjem proširene tablice vrijednosti trig funkcije, ponovno oduzimamo razdoblje tangente:

Koristili smo neparnost funkcije tangente.

Odgovor. a) 1; b).

Problem broj 3... Izračunati , ako a.

Cijeli izraz dovodimo u tangente, dijeleći brojilac i nazivnik razlomka sa. Istodobno, ne možemo se toga bojati, jer u ovom slučaju vrijednost tangente ne bi postojala.

Problem broj 4... Pojednostavite izraz.

Navedeni izrazi pretvaraju se pomoću lijevanih formula. Jednostavno su neobično napisani stupnjevima. Prvi je izraz općenito broj. Pojednostavnimo redom sve pojednostavljene funkcije:

Jer , tada se funkcija mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u drugu četvrtinu, u kojoj izvorna tangenta ima negativan predznak.

Iz istih razloga kao u prethodnom izrazu, funkcija se mijenja u kofunkciju, tj. na kotangensu, a kut pada u prvu četvrtinu, u kojoj izvorna tangenta ima pozitivan predznak.

Zamijenimo sve u pojednostavljeni izraz:

Problem broj 5... Pojednostavite izraz.

Napišimo tangentu dvostrukog kuta prema odgovarajućoj formuli i pojednostavimo izraz:

Posljednji identitet jedna je od univerzalnih zamjenskih formula za kosinus.

Problem broj 6... Izračunati.

Glavna stvar je ne napraviti standardnu \u200b\u200bpogrešku i ne dati odgovor da je izraz jednak. Ne možete koristiti glavno svojstvo arktangensa sve dok se uz njega nalazi množitelj u obliku dva. Da bismo ga se riješili, zapisujemo izraz prema formuli za tangentu dvostrukog kuta, dok ga tretiramo kao običan argument.

Sada možete koristiti glavno svojstvo arktangensa, imajte na umu da ne postoje ograničenja za njegov numerički rezultat.

Problem broj 7... Riješi jednadžbu.

Pri rješavanju razlomljene jednadžbe koja je jednaka nuli, uvijek se naznačuje da je brojnik nula, a nazivnik nije, jer Ne možete podijeliti s nulom.

Prva jednadžba je poseban slučaj najjednostavnije jednadžbe, koja se rješava pomoću trigonometrijske kružnice. Sjetite se i sami ovog rješenja. Druga nejednakost je riješena kao najjednostavnija jednadžba prema općoj formuli za korijene tangente, ali samo sa predznakom nije jednaka.

Kao što vidite, jedna obitelj korijena isključuje drugu obitelj korijena koja ne zadovoljava jednadžbu potpuno istog oblika. Oni. bez korijena.

Odgovor. Bez korijena.

Problem broj 8... Riješi jednadžbu.

Odmah napominjemo da možete izvaditi zajednički faktor i to:

Jednadžba je svedena na jedan od standardnih oblika kada je umnožak nekoliko čimbenika nula. Već znamo da je u ovom slučaju ili jedan od njih nula, ili drugi, ili treći. Napišimo ovo u obliku skupa jednadžbi:

Prve dvije jednadžbe su posebni slučajevi najjednostavnijih, već smo se mnogo puta susretali sa sličnim jednadžbama, pa ćemo odmah naznačiti njihova rješenja. Treća se jednadžba svodi na jednu funkciju pomoću dvostruke kutne sinusne formule.

Riješimo posljednju jednadžbu zasebno:

Ova jednadžba nema korijena, jer vrijednost sinusa ne može ići izvan granica .

Dakle, rješenje su samo prve dvije obitelji korijena, koje se mogu kombinirati u jednu, što se lako može prikazati na trigonometrijskom krugu:

Ovo je obitelj svih polovica, t.j.

Prijeđimo na rješavanje trigonometrijskih nejednakosti. Prvo ćemo analizirati pristup rješavanju primjera bez korištenja formula za opća rješenja, već pomoću trigonometrijske kružnice.

Problem broj 9... Riješiti nejednakost.

Nacrtajte na trigonometrijskoj kružnici pomoćnu liniju koja odgovara vrijednosti sinusa jednakoj i prikažite interval kutova koji zadovoljavaju nejednakost.

Vrlo je važno razumjeti kako točno naznačiti dobiveni raspon kutova, t.j. što je njegov početak, a što kraj. Početak intervala bit će kut koji odgovara točki u koju ulazimo na samom početku intervala, ako se krećemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. U našem slučaju, ovo je točka s lijeve strane, jer krećući se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prolazeći pravu točku, naprotiv, ostavljamo potreban raspon kutova. Točka zdesna odgovarat će dakle kraju praznine.

Sada je potrebno razumjeti vrijednosti kutova početka i kraja našeg intervala rješenja nejednakosti. Tipična pogreška je odmah naznačiti da desna točka odgovara uglu, lijevoj strani i dati odgovor. Ovo nije istina! Imajte na umu da smo upravo odredili razmak koji odgovara gornjem dijelu kruga, iako nas zanima donji, drugim riječima, zbunili smo početak i kraj intervala rješenja koja su nam potrebna.

Da bi interval započeo na uglu desne točke i završio na uglu lijeve točke, prvi navedeni kut mora biti manji od drugog. Da bismo to učinili, morat ćemo izmjeriti kut desne točke u negativnom referentnom smjeru, tj. u smjeru kazaljke na satu i bit će jednako. Tada ćemo, počevši od nje u pozitivnom smjeru u smjeru kazaljke na satu, doći do desne točke nakon lijeve točke i dobiti vrijednost kutova za nju. Sada je početak intervala kutova manji od kraja, a interval rješenja možemo napisati ne uzimajući u obzir razdoblje:

S obzirom na to da će se takvi intervali ponavljati beskonačno mnogo puta nakon bilo kojeg cjelobrojnog zavoja, dobivamo opće rješenje uzimajući u obzir sinusni period:

Zagrade stavljamo zbog činjenice da je nejednakost stroga i izdubljujemo točke na kružnici koje odgovaraju krajevima intervala.

Usporedite ovaj odgovor s općenitom formulom rješenja koju smo predstavili na predavanju.

Odgovor. .

Ova je metoda dobra za razumijevanje odakle potječu formule za opća rješenja najjednostavnijih trigonejednačina. Osim toga, korisno je za one koji su lijeni naučiti sve ove glomazne formule. Međutim, sama metoda također nije laka, odaberite koji vam je pristup rješenje najprikladniji.

Da biste riješili trigonometrijske nejednakosti, možete se poslužiti i grafikonima funkcija na kojima je pomoćna linija konstruirana na sličan način kao metoda prikazana pomoću jedinične kružnice. Ako ste zainteresirani, pokušajte sami shvatiti ovaj pristup. U nastavku ćemo koristiti opće formule za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti.

Problem broj 10... Riješiti nejednakost.

Koristimo formulu za opće rješenje, uzimajući u obzir da nejednakost nije stroga:

U našem slučaju dobivamo:

Odgovor.

Problem broj 11... Riješiti nejednakost.

Upotrijebit ćemo opću formulu rješenja za odgovarajuću strogo nejednakost:

Odgovor. .

Problem broj 12... Riješiti nejednakosti: a); b).

U tim nejednakostima ne treba žuriti s korištenjem formula za opća rješenja ili trigonometrijsku kružnicu, dovoljno je samo upamtiti raspon vrijednosti sinusa i kosinusa.

a) Budući da , tada je nejednakost besmislena. Stoga rješenja nema.

b) Jer slično, sinus bilo kojeg argumenta uvijek zadovoljava nejednakost navedenu u uvjetu. Dakle, sve stvarne vrijednosti argumenta zadovoljavaju nejednakost.

Odgovor. a) nema rješenja; b).

Zadatak 13... Riješiti nejednakost .