Osovina je smjer. Dakle, projekcija na osi ili usmjerenom izravnom smatra se istom. Projekcija je algebarska i geometrijska. U geometrijskom razumijevanju projekcije vektora na osi kao vektor i algebarski - broj. To jest, primjenjuju se koncepti vektora projekcije na osi i numerički dizajn vektora na osi.

Yandex.rtB r-a-339285-1

Ako imamo osovinu l i nezera vektora A b →, možemo konstruirati vektor A 1 b 1 ⇀, što ukazuje na projekcije njegovih točaka A 1 i B1.

1 b → 1 će biti projekcija vektora A b → na L.

Definicija 1.

Projekcija vektora na osi Oni nazivaju vektor, početak i kraj kojih su projekcije početka i kraj navedenog vektora. N p l a b → → uobičajeno je odrediti projekciju A b → na L. Za izgradnju projekcije na L, okomita na L je spuštena.

Primjer 1.

Primjer vektora projekcije na osi.

Na koordinatna ravnina X Y je postavljena točka m 1 (x 1, y 1). Potrebno je izgraditi projekcije o oh i o za sliku radijus-vektorske točke m 1. Dobivamo koordinate vektora (x 1, 0) i (0, y 1).

Ako a ovo je govor Na projekciji A → na Nonzero b → ili izbočine A → na smjeru b →, to je podrazumijevalo projekciju A → na osi s kojom je smjer b →. Projekcija A → Izravno, definirano b →, ima oznaku n p b → a → →. Poznato je da kada kut između → i b → može se smatrati n p b → a → → i b → ko-kontrolirano. U slučaju kada je kut glup, n p b → a → → i b → suprotno usmjeren. U situaciji okopanosti → i b →, s → nula, projekcija A → u smjeru B → je nult vektor.

Numeričke karakteristike vektora projekcije na osi - numerička projekcija vektora na navedenoj osi.

Definicija 2.

Numerička vektor projekcija na osi Oni nazivaju broj koji je jednak proizvodu duljine ovog vektora na kosinu kuta između danog vektora i vektora, koji određuje smjer osi.

Brojčana projekcija A B → na l ima oznaku n p l a b → i a → na b → n p b → a →.

Na temelju formule, dobivamo NPB → a → \u003d A → · cos a →, b → ^, s mjesta gdje je → duljina vektora a →, a ⇀, b → ^ - kut između vektora a → i b →.

Dobivamo formulu za izračunavanje numeričke projekcije: n p b → a → \u003d a → · cos a →, b → ^. Primjenjivo je na dobro poznate duljine A → i b → i kut između njih. Formula se primjenjuje s poznatim koordinatama → i b →, ali postoji pojednostavljeni pogled.

Primjer 2.

Saznajte brojčanu projekciju A → izravno u smjeru b → na duljini A → jednak 8 i kutu između njih u 60 stupnjeva. Pod uvjetom, imamo ⇀ \u003d 8, a ⇀, b → ^ \u003d 60 °. Dakle, zamjenjujemo numeričke vrijednosti U formuli n p ⇀ ⇀ → a → \u003d cos a →, b → ^ \u003d 8 · cos 60 ° \u003d 8 · 1 2 \u003d 4.

Odgovor: 4.

Uz poznati COS (→, b → ^) \u003d A ⇀, b → a → b →, imamo →, b → kao skalarni proizvod A → i b → Slijediti iz formule N p B → A → \u003d A → · COS A ⇀, b → ^, možemo pronaći numeričku projekciju A → usmjeren od vektora B → i dobivamo NPB → a → \u003d A → b → b →. Formula je jednaka definiciji navedenoj na početku stavka.

Definicija 3.

Numerička projekcija vektora A → na osi koja se podudara u smjeru b →, naziva se omjer skalarnog proizvoda vektora A → i b → na duljinu B →, Formule N p B → a → \u003d A →, b → b → primjenjivo da biste pronašli numeričku projekciju A → na ravnu liniju, koja se podudara u smjeru s B →, s poznatim → i b → koordinate.

Primjer 3.

Postavite b → \u003d (- 3, 4). Pronađite numeričku projekciju A → \u003d (1, 7) na l.

Odluka

Na koordinatnoj ravnini NPB → a → \u003d →, b → b → ima obrazac NPB → a → \u003d A →, b → b → \u003d Ax · bx + ay · BYBX 2 + za 2, s → , Ay) i b → \u003d bx, a. Da biste pronašli numeričku projekciju vektora A → na osi L, trebate: NP LA → \u003d NPB → a → \u003d A →, b → b → \u003d AX · BX + AY · BYBX 2 + BYBX 2 + za 2 \u003d 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 \u003d 5.

Odgovor:5.

Primjer 4.

Pronađite projekciju A → na l koji se podudara sa smjerom b →, gdje postoji → \u003d - 2, 3, 1 i b → \u003d (3, 2, 6). Specificiran je trodimenzionalni prostor.

Odluka

Prema → \u003d AX, AY, A → \u003d AX, AZ, AZ i B → \u003d BX, BZ, izračunavamo skalarni proizvod: A ⇀, b → \u003d AX · BX + AY · B po + AZ · B z Final B → Pronađite formulu B → \u003d B x 2 + B Y 2 + B Z 2. Slijedi da formula za određivanje numeričke projekcije A → će biti: n p b → a ⇀ \u003d A →, b → b → \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

Zamijenimo numeričke vrijednosti: NP L A → \u003d NPB → a → \u003d (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 \u003d - 6 49 \u003d - 6 7 ,

Odgovor: - 6 7.

Pregledat ćemo odnos između → na l i duljinu projekcije A → na L. Držite osovinu L dodavanjem → i b → od točke do l, nakon čega provodimo okomitu izravno s kraja A → na l i će provesti projekciju na L. Postoji 5 varijacija slike:

Prvislučaj na → \u003d NPB → → → → → \u003d → \u003d NPB → → → → → → → → \u003d → COS (a, → →) \u003d A → COS 0 ° \u003d A → → COS 0 ° \u003d \u003d NPB → a → →.

Drugislučnica podrazumijeva uporabu N p b → a → → a → · cos a →, b →, to znači n p b → a → \u003d → cos (→, b →) ^ \u003d n p b → → →

Trećislučaj objašnjava da s NPB → → → 0 → Dobivamo NPB → A → \u003d A → · cos (→, b → ^) \u003d → cos 90 ° \u003d 0, zatim NPB → → → → NPB → a → \u003d 0 \u003d NPB → a → →.

Četvrtaslučaj prikazuje NPB → a → → \u003d A → · cos (180 ° - a →, b → ^) \u003d - → cos (→, b → ^), slijedi NPB → a → \u003d → →, b → ^) \u003d - npb → a → →.

Petislučaj prikazuje → \u003d NPB → → → →, što znači → \u003d NPB → → → →, odavde imamo NPB → → \u003d → → cos a →, b → → → - → \u003d - NPB → a →.

Definicija 4.

Numerička projekcija vektora A → na osi L, koja je usmjerena kao b →, pitanjima:

• duljina izbočine vektora A → na L, pod uvjetom da je kut između → i b → je manji od 90 stupnjeva ili jednak 0: n p b → a → \u003d npb → a → → s uvjetom 0 ≤ (A →, b →) ^< 90 ° ;
• nula, ovisno o okomitošću → i b →: n p b → a → \u003d 0, kada (→, b → ^) \u003d 90 °;
• projekcija dužine → na l pomnoženo s -1, kada postoji glupi ili detaljan kut vektora a → i b →: n p b → a → \u003d - n p b → → → sa uvjetima 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5.

Dana je duljina projekcije A → na l, jednaka 2. Pronađite numeričku projekciju A → pod uvjetom da je kut 5 π 6 radijanima.

Odluka

Iz stanja je jasno da ovaj kut je tup: 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6.

Ravnina X Y Z je dana vektorom vektora A → jednak 6 3, b → (- 2, 1, 2) s kutom od 30 stupnjeva. Pronađite koordinate projekcije A → na osi l.

Odluka

Za početak, izračunamo numeričku projekciju vektora A →: NPLa → \u003d → → → \u003d → cos (→, b →) ^ \u003d 6 3 · cos 30 ° \u003d 6 3 · 3 2 \u003d 9 ,

Pod uvjetom, kut je akutan, zatim numerička izbočina → \u003d duljina izbočine vektora A →: n p l → \u003d n p l → → \u003d 9. Ovaj slučaj Prikazuje da vektori n p l → → i b → su ko-usmjereni, a zatim postoji broj t, na kojem je jednakost istinita: n p l → → \u003d t → b →. Odavde vidimo da je NPLA → → \u003d T →, onda možemo pronaći vrijednost parametra t: t \u003d npla → → b → \u003d 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 \u003d 9 9 \u003d 3 ,

Zatim NP LA → → \u003d 3 · b → s koordinatama projekcije vektora A → na osi l jednaka je B → \u003d (- 2, 1, 2), gdje je potrebno umnožiti vrijednosti 3. imati NP LA → → \u003d (- 6, 3, 6). Odgovor: (- 6, 3, 6).

Potrebno je ponoviti prethodno proučavane informacije o stanju kolineearnosti vektora.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

Pretpostavimo da u prostoru postoje dva vektora i. Odgodite od proizvoljne točke O. Vektori i. Kut Između vektora i naziva se najmanji kutak. Označava .

Razmotrite osovinu l. I ja ću objaviti na jedan vektor (tj. Vektor čiji je jednak jednom).

Pod kutom između vektora i osi l. Razumjeti kut između vektora i.

Tako, pustiti l. - Neka os i vektor.

Označiti A 1. i B 1. Projekcije na osi l.prema tome, točkice A. i B., Pretvaramo se A 1. ima koordinirati x 1, ali B 1. - Koordinirati x 2 na osi l..

Zatim projekcija Vektor na osi l. Razlika se zove x 1 – x 2 između koordinata krajnjih projekcija i početka vektora na ovoj osi.

Vektorska projekcija na osi l. Mi ćemo označiti.

Jasno je da ako kut između vektora i osi l. Akutni, T. x 2> x 1i projekcija x 2 – x 1\u003e 0; Ako je ovaj kut glup, onda x 2< x 1 i projekcije x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l.T. x 2= x 1 i x 2– x 1=0.

Dakle, projekcija vektora na osi l. - Ovo je duljina segmenta 1 b 1s određenim znakom. Prema tome, projekcija vektora na osi je broj ili skalar.

Slično tome, određuje se projekcija istog vektora na drugu. U tom slučaju postoje procesi krajeva zadanog vektora na tom izravnom na kojem je 2. vektor.

Razmotrite neke od mreže svojstva projekcija.

Linearno ovisni i linearno neovisni sustavi vektora

Razmotrite nekoliko vektora.

Linearna kombinacija Ovi vektori se nazivaju bilo koji vektorski prikaz, gdje su neki brojevi. Brojevi se nazivaju linearni koeficijenti kombinacije. Također je rečeno da je u ovom slučaju linearno izraženo kroz ove vektore, tj. Ispada ih s linearnim akcijama.

Na primjer, ako se daju tri vektora, vektori se mogu smatrati njihovom linearnom kombinacijom:

Ako se vektor prikazuje kao linearna kombinacija nekih vektora, kažu da on dekomponiran Prema tim vektorima.

Pozivaju se vektori linearno ovisanAko postoje takve brojeve, ni jedna jedna jednaka nuli , Jasno je da će navedeni vektori biti linearno ovisni ako se bilo koji od ovih vektora linearno izraženi u ostatku.

Inače, tj. Kada je omjer Izvodi se samo po Ti se vektori nazivaju linearno neovisno.

Teorem 1. Bilo koji dva vektora su linearno ovisni tada i samo ako su kolinear.

Dokaz:

Slično tome, možete dokazati sljedeći teorem.

Teorem 2. Tri vektora su linearno ovisni ako i samo ako su odjeljak.

Dokaz.

Osnova

Osnova Naziv se skup različitih vektora osim nula. Osnovni elementi će biti označeni.

U prethodnom stavku, vidjeli smo da su dva nonlylyline vektor na ravnini linearno neovisni. Stoga, prema teoremu 1, iz prethodnog stavka, osnova na ravnini je bilo koji dva nonlylyline vektor na ovoj ravnini.

Slično tome, u svemiru linearno neovisne bilo koje tri necomuplanar vektora. Slijedom toga, osnova u prostoru će nazvati tri necomeplanar vektora.

Pošteno sljedeću izjavu.

Teorema. Pretpostavimo u prostoru navedenoj osnovi. Tada svaki vektor može biti predstavljen kao linearna kombinacija. gdje x., y., z - Neki brojevi. Takva razgradnja je jedinstvena.

Dokaz.

Dakle, osnova dopušta jedan nedvosmisleno usporediti tri broja za svaki vektor - koeficijenti raspadanja ovog vektora prema osnovnom vektoru :. Istina i obrnuto, svaki trostruki brojevi x, y, z Koristeći osnovu, možete odgovarati vektoru ako napravite linearnu kombinaciju .

Ako je baza I. Brojevi x, y, z nazvan koordinata Vektor u ovoj bazi. Koordinate vektora označavaju.

Koordinatni sustav Decarova

Neka točka postavljena u svemiru O. I tri neceplate vektora.

Koordinatni sustav U prostoru (u ravnini) nalazi se skup točaka i baze, tj. Ukupnost točaka i tri neceplate vektore (2 ne-rigoroznih vektora) dolaze iz ove točke.

Točka O. nazvao je početak koordinata; Izravno, prolazeći kroz podrijetlo u smjeru osnovnih vektora, nazivaju se osi koordinata - os apscise, ordinata i aplikacija. Zrakoplovi koji prolaze kroz osi koordinata nazivaju se koordinatni zrakoplovi.

Razmislite u odabranom koordinatnom sustavu proizvoljnu točku M., Uvodimo koncept koordinate točke M., Vektor povezuje podrijetlo koordinate s točkom M., nazvan vektor radijusa Bodovi M..

Vektor na odabranoj osnovi može usporediti tri broja - njegove koordinate: .

Koordinate radijusa M., nazvan koordinate točke M., U koordinatnom sustavu koji se razmatra. M (x, y, z), Prva koordinata naziva se pobjeći, drugi - ordinata, treći - neplaćeno.

Kartezijske koordinate na ravnini su slično definirane. Ovdje točka ima samo dvije koordinate - apscise i ordinate.

Lako je vidjeti da s određenim koordinatnim sustavom, svaka točka ima određene koordinate. S druge strane, za svaka tri broja postoji jedinstvena točka koja ima ove brojeve kao koordinate.

Ako su vektori uzete kao osnova u odabranom koordinatnom sustavu imaju jednu duljinu i okomit na, tada se naziva koordinatni sustav kotusno pravokutno.

To je lako to pokazati.

Kosinerski vodiči vektora u potpunosti određuju njegov smjer, ali ništa ne govori o svojoj dužini.

a na osi ili bilo kojem drugom vektoru postoje koncepti njegove geometrijske projekcije i numeričke (ili algebarske) projekcije. Rezultat geometrijske projekcije bit će vektor i rezultat algebarskog - ne-negativnog važećeg broja. Ali prije nego što nastavite na ove koncepte, zapamtite potrebne informacije.

Preliminarne informacije

Glavni koncept je koncept vektora. Kako bi se prikazala definicija geometrijskog vektorskog podsjetnika koji je segment. Predstavljamo sljedeću definiciju.

Definicija 1.

Nazovimo dio ravne linije, koji ima dvije granice u obliku bodova.

Cut može imati 2 smjera. Da bismo odredili smjer, nazvat ćemo jednu od granica njenog segmenta, a druga granica je njegov kraj. Smjer je označen od početka do kraja segmenta.

Definicija 2.

Vektor ili usmjereni segment naziva se takav segment za koji je poznat koji se od granica segmenata smatra početkom, a koji završavaju.

Oznaka: Dva slova: $ preplaviti (ab) $ - (gdje je $ $ je njegov početak, a $ B $ je njegov kraj).

Jedno malo slovo: $ prekoline (a) $ (sl. 1).

Uvodimo još neke koncepte povezane s konceptom vektora.

Definicija 3.

Dva ne-nula vektora bit će nazvana kolinear ako leže na istoj izravnoj ili izravnoj, paralelnoj razini (sl. 2).

Definicija 4.

Dva ne-nula vektora bit će nazvana nakupljena ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Ovi kolica vektori.
2. Ako su usmjereni u jednom smjeru (sl. 3).

Oznaka: $ preplaviti (a) preplaviti (b) $

Definicija 5.

Dva ne-nula vektora nazivat će se suprotno usmjerenim ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Ovi kolica vektori.
2. Ako su usmjereni u različitim smjerovima (sl. 4).

Oznaka: $ preplaviti (a) ↓ granica (d) $

Definicija 6.

Vektor vektora $ preplavi (a) $ će se nazvati duljinom segmenta $ $.

Oznaka: $ | Reply (a) | $

Okrenimo se definiciji jednakosti dva vektora

Definicija 7.

Dva vektora bit će nazvana jednaka, ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Oni su obloženi;
2. Njihove duljine su jednake (sl. 5).

Geometrijska projekcija

Kao što smo već rekli ranije, rezultat geometrijske projekcije bit će vektor.

Definicija 8.

Geometrijska projekcija vektora $ prekoline (ab) $ na osi će se nazvati takav vektor koji se dobiva na sljedeći način: početna točka vektora $ A je projicirana na ovoj osi. Dobivamo točku $ "$ - početak željenog vektora. Krajnji točka vektora $ B $ je projiciran na ovoj osi. Dobivamo točku $ B" $ - kraj željenog vektora. Vektor $ preplaviti (a "B") $ i bit će željeni vektor.

Razmotrite zadatak:

Primjer 1.

Izgradite geometrijsku projekciju od $ [ab) $ za $ l $ osi prikazanu na slici 6.

Izvršili smo od $ okomito na Axis $ l $, dobivamo točku od $ točke na njemu "$. Zatim ćemo provesti od točke $ B $ okomita na $ L $ osi, dobivamo Točka $ B "$ (sl. 7).

Dizajn raznih linija i površina na ravnini omogućuje vam da izgradite vizualnu sliku objekata u obliku crtanja. Razmotrit ćemo pravokutni dizajn, u kojem su dizajnerske zrake okomite na ravninu projekcije. Projekcija vektora na ravnini Vector \u003d (Sl. 3.22), pričvršćen između okomice, izostavljen iz svog početka i kraja.

Sl. 3.23. Vektor Vektor projekcija na osi.

U vektorskoj algebri često je potrebno oblikovati vektor na osi, to jest, izravan koji ima određenu orijentaciju. Takav se dizajn izvodi lako ako vektor i os leži u istoj ravnini (sl. 3.23). Međutim, zadatak je kompliciran kada to stanje nije ispunjeno. Konstruiramo vektorsku projekciju na osi kada vektor i os ne leži u istoj ravnini (sl. 3.24).

Sl. 3.24. Dizajn vektora na osi
općenito.

Kroz krajeve vektora provodimo ravninu okomitu na ravnu liniju L. U raskrižju s ovom izravnom ravninom, ravnina je određena s dvije točke A1 i B1 - vektora, koji će se nazvati vektorskom projekcijom ovog vektora. Zadatak pronalaženja vektorske projekcije može se lakše riješiti ako se vektor daje u jednoj ravnini s osi, koja je moguće provesti, budući da se slobodni vektori razmatraju u vektorskoj algebri.

Uz vektorsku projekciju postoji skalarna projekcija, koja je jednaka vektoru projekcijskom modulu ako se vektorsku projekciju podudara s orijentacijom osi L, i jednaka je suprotnoj liniji ako vektor projekcija i osi imaju suprotno orijentacija. Skalarna projekcija će biti označena:

Vektorske i skalarne projekcije nisu uvijek terminološki podijeljene strogo u praksi. Obično koriste pojam "projekcija vektora", što znači pod ovom skalar projekcijom vektora. Prilikom rješavanja, jasno je da razlikuju ove koncepte. Nakon uspostavljene tradicije, koristit ćemo izraz "projekcija vektora", podrazumijevati skalarnu projekciju i "vektorsku projekciju" - u skladu s utvrđenim značenjem.

Dokazujemo teorem koji vam omogućuje izračunavanje skalarne projekcije navedenog vektora.

Teorem 5. Projekcija vektora na osi L jednaka je proizvodu modula na kosinuz kuta između vektora i osi, to jest

(3.5)

Sl. 3.25. Pronalaženje vektora i skalar
Vektorske izbočine na osi l
(a osi L je jednako orijentirana).

DOKAZ. Izvršit ćemo prije izgradnje koja vam omogućuje da pronađete kut G.Između vektora i osi L. Da to učinimo, konstruiramo ravnu mn, paralelnu os i prolazi kroz točku vektora (sl. 3.25). Kutak i bit će željeni kut. Provodimo kroz točke A i oko dva ravnina, okomita os L. dobivamo:

Od osi L i ravne mn paralelne.

Mi istaknuti dva slučaja međusobno povezivanje vektora i osi L.

1. Neka vektor projekcija i os su jednako orijentirana (sl. 3.25). Zatim odgovarajuću skalarnu projekciju .

2. Neka sam orijentiran u različitim smjerovima (sl. 3.26).

Sl. 3.26. Pronalaženje vektora i skalarskih dizajna vektora na osi L (a L osi su orijentirane na suprotne strane).

Dakle, u oba slučaja, odobrenje teorema je pošteno.

Teorem 6. Ako se početak vektora daje nekoj točki osi L, a ova se os nalazi u ravnini s, vektorske oblike s vektorskom projekcijom na kutu ravnine, i s vektorskom projekcijom na Axis L - kut, osim toga, vektor projekcije se formira među sobom T.