Tekst djela smješten je bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

Uvod

U govoru odraslih mogli ste čuti sljedeću frazu: "Ostavite mi svoje koordinate." Ovaj izraz znači da sugovornik mora ostaviti adresu ili broj telefona po kojem ga se može pronaći. Oni koji su igrali pomorsku borbu koristili su odgovarajući koordinatni sustav. Sličan koordinatni sustav koristi se u šahu. Mjesta u gledalište kino je postavljeno s dva broja: prvi broj označava broj reda, a drugi - broj stolice u ovom redu. Ideja određivanja položaja točke na ravnini pomoću brojeva nastala je u antici. Koordinatni sustav prožima čitav praktični život osobe i ima ogroman praktična upotreba... Stoga smo odlučili stvoriti ovaj projekt kako bismo proširili znanje o temi “ Koordinatna ravnina»

Ciljevi projekta:

upoznati povijest pojave pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini;

istaknute ličnosti koje rade na ovoj temi;

naći zanimljivo povijesne činjenice;

dobro slušati koordinate na uho; jasno i točno izvoditi konstrukcije;

pripremiti prezentaciju.

Poglavlje I. Koordinatna ravnina

Ideja o određivanju položaja točke na ravnini pomoću brojeva nastala je u antici - prvenstveno među astronomima i geografima pri sastavljanju zvjezdastih i zemljopisnih karata, kalendara.

§jedan. Porijeklo koordinata. Koordinatni sustav u geografiji

200. pne Grčki znanstvenik Hiparh uveo je geografske koordinate. Predložio je da se na geografskoj karti povuku paralele i meridijani i brojevima označi geografska širina i dužina. Pomoću ova dva broja možete točno odrediti položaj otoka, sela, planine ili bunara u pustinji i nanijeti ih na kartu ili globus. otvoreni svijet zemljopisnu širinu i dužinu mjesta broda, mornari su mogli odabrati smjer koji im je bio potreban.

Istočna dužina i sjeverna geografska širina označene su brojevima sa znakom plus, a zapadna dužina i južna geografska širina označene su znakom minus. Dakle, par brojeva sa znakovima jedinstveno definira točku na globusu.

Geografska širina? - kut između okomite linije u određenoj točki i ekvatorijalne ravnine, brojan od 0 do 90 na obje strane ekvatora. Geografska dužina? - kut između ravnine meridijana koja prolazi kroz određenu točku i ravnine početka meridijana (vidi Greenwichov meridijan). Zemljopisne dužine od 0 do 180 istočno od početka meridijana nazivaju se istočnom, a zapadno - zapadnom.

Da biste pronašli određeni objekt u gradu, u većini slučajeva dovoljno je znati njegovu adresu. Poteškoće nastaju ako trebate objasniti gdje, na primjer, ladanjska vikendica, mjesto u šumi. Geografske koordinate univerzalno su sredstvo za označavanje mjesta.

Kad se udari hitan slučaj, osoba prije svega mora biti sposobna kretati se terenom. Ponekad je potrebno odrediti zemljopisne koordinate vašeg mjesta, na primjer, prenijeti u spasilačku službu ili u druge svrhe.

U modernoj navigaciji svjetski se koordinatni sustav WGS-84 koristi kao standard. Svi GPS navigatori i glavni kartografski projekti na Internetu rade u ovom koordinatnom sustavu. Koordinate u sustavu WGS-84 jednako su uobičajene i svima razumljive kao i univerzalno vrijeme. Općenito dostupna točnost pri radu s geografskim koordinatama je 5 - 10 metara na tlu.

Geografske koordinate su potpisani brojevi (zemljopisna širina -90 ° do + 90 °, zemljopisna dužina -180 ° do + 180 °) i mogu se zapisati u različiti oblici: u stupnjevima (ddd.ddddd °); stupnjevi i minute (ddd ° mm.mmm "); stupnjevi, minute i sekunde (ddd ° mm" ss.s "). Obrasci za snimanje mogu se jednostavno pretvoriti jedan u drugi (1 stupanj \u003d 60 minuta, 1 minuta \u003d 60 sekundi) Za označavanje znaka koordinata često se koriste slova, prema imenima kardinalnih točaka: N i E - sjeverna širina i istočna dužina - pozitivni brojevi, S i W - južna širina i zapadna dužina - negativni brojevi.

Oblik snimanja koordinata u stupnjevima najprikladniji je za ručni unos i podudara se s matematičkim snimanjem broja. Oblik snimanja koordinata u STUPNJIMA I MINUTAMA poželjan je u mnogim slučajevima, ovaj je format zadani u većini GPS navigatora i standardno se koristi u zrakoplovstvu i na moru. Klasični oblik pisanje koordinata u STUPNJEVIMA, MINUTAMA I SEKUNDAMA zapravo nema puno praktične koristi.

§2. Koordinatni sustav u astronomiji. Mitovi sazviježđa

Kao što je gore spomenuto, ideja određivanja položaja točke na ravnini pomoću brojeva nastala je u davnim vremenima među astronomima prilikom izrade zvjezdanih karata. Ljudi su trebali računati vrijeme, predvidjeti sezonske pojave (oseke, oseke, sezonske kiše, poplave), morali su se kretati terenom tijekom putovanja.

Astronomija je znanost o zvijezdama, planetima, nebeskim tijelima, njihovoj strukturi i razvoju.

Prošle su tisuće godina, znanost je zakoračila daleko naprijed, a osoba još uvijek ne može diviti svoj divljeni pogled s ljepote noćnog neba.

Sazviježđa su područja zvjezdanog neba, karakteristične figure formirane od sjajnih zvijezda. Čitavo nebo podijeljeno je u 88 zviježđa, koja olakšavaju navigaciju među zvijezdama. Većina imena zviježđa potječe iz antike.

Najpoznatije zviježđe je Velika medvjedica. U Drevni Egipt zvao se „Hippopotamus“, a Kazahstanci „Konj na povodcu“, iako izvana zviježđe ne podsjeća ni na jednu ni na drugu životinju. Kako je?

Stari Grci imali su legendu o zviježđima Velikoj i Maloj Medvjeđi. Svemogući bog Zeus odlučio je oženiti lijepu nimfu Kalisto, jednu od sluškinja božice Afrodite, protiv želje potonje. Kako bi spasio Calista od progona božice, Zeus je Calisto pretvorio u Veliku medvjedicu, svog voljenog psa u Malu medvjedicu i odveo ih na nebo. Premjestite zviježđa Velikog i Malog medvjeda sa zvjezdanog neba u koordinatnu ravninu. ... Svaka od zvijezda "Kante velike medvjediće" ima svoje ime.

VELIKI MEDVJED

Prepoznajem po KANTI!

Ovdje svijetli sedam zvijezda

I evo njihovog imena:

DUBKHE osvjetljava tamu,

MERAK gori kraj njega,

Bočna FEKDA s MEGRETS-om,

Odvažan momak.

Iz MEGRETS-a za polazak

ALIOT se nalazi,

A iza njega - MITZAR s ALKOROM

(Ovo dvoje sjaje u refrenu).

Naša se kutlača zatvara

Neusporedivi BENETNASH.

Pokaže na oko

Put do zviježđa VOLOPASA,

Tamo gdje ARKTUR lijepo svijetli,

Sad će ga svi primijetiti!

Ne manje lijepa legenda o zviježđima "Cefej", "Kasiopeja" i "Andromeda".

Jednom davno, kralj Cefej je vladao Etiopijom. Jednom se njegova supruga, kraljica Kasiopeja, imala nepromišljenosti hvaliti se svojom ljepotom pred stanovnicima mora - Nereidama. Potonji se, uvrijeđen, požalio bogu mora Posejdonu, a vladar mora, bijesan zbog drskosti Kasiopeje, pustio je morsko čudovište - Kita - na obale Etiopije. Kako bi spasio svoje kraljevstvo od uništenja, Kefej je, po savjetu proročišta, odlučio žrtvovati čudovište i dati mu voljenu kćer Andromedu na proždiranje. Privezao je Andromedu za obalnu stijenu i ostavio je čekajući odluku o njezinoj sudbini.

I u ovo doba, na drugom kraju svijeta, mitski junak Perzej izveo je odvažan podvig. Ušao je na osamljeni otok na kojem su živjele gorgone - nevjerojatna čudovišta u liku žena, čije su glave rojile zmije umjesto kose. Pogled gorgona bio je tako užasan da su se svi koje su pogledali u trenutku pretvorili u kamen.

Iskoristivši san ovih čudovišta, Perzej je odsjekao glavu jednom od njih, Gorgoni Meduzi. U tom je trenutku konj Pegaz izletio iz odsječenog tijela Meduze. Perzej je zgrabio glavu meduze, skočio na Pegaz i jurnuo zrakom u svoju domovinu. Kad je preletio Etiopiju, vidio je Andromedu okovanu za stijenu. U tom je trenutku Kit već izašao iz morskih dubina, pripremajući se da proguta svoju žrtvu. Ali Perzej, jurišajući u smrtnu bitku s Kitom, porazio je čudovište. Pokazao je Kitu glavu meduze koja još nije izgubila snagu, a čudovište se pretvorilo u kamen, pretvarajući se u otok. Što se tiče Perzeja, nakon što je vezao Andromedu, vratio ju je ocu, a Kefej, dirnut srećom, dao je Andromedu Perzeju za suprugu. Tako je ova priča završila sretno, čiji su glavni likovi stari Grci stavili na nebo.

Na zvjezdanoj mapi možete pronaći ne samo Andromedu s ocem, majkom i suprugom, već i čarobnog konja Pegaza i krivca za sve nevolje - čudovišnog kompleta.

Sazviježđe Cetus nalazi se ispod Pegaza i Andromede. Nažalost, nije obilježena nikakvim karakterističnim svijetlim zvijezdama i stoga spada u broj manjih zviježđa.

§3. Korištenje ideje pravokutnih koordinata u slikarstvu.

Tragovi upotrebe ideje pravokutnih koordinata u obliku kvadratne rešetke (palete) prikazani su na zidu jedne od grobnih komora Drevnog Egipta. Na zidu u grobnoj komori piramide oca Ramzesa postoji mreža kvadrata. Uz njihovu pomoć prenesena je povećana slika. Renesansni umjetnici također su se koristili pravokutnom rešetkom.

Riječ "perspektiva" u prijevodu s latinskog znači "jasno vidjeti". U likovne umjetnosti linearna perspektiva je slika predmeta na ravnini u skladu s prividnim promjenama njihove veličine. Osnova moderna teorija izglede su postavili veliki umjetnici renesanse - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer i drugi. Jedna od Dürerovih gravura (slika 3) prikazuje način crtanja iz života kroz staklo s kvadratnom rešetkom. Taj se postupak može opisati na sljedeći način: ako stojite ispred prozora i, bez mijenjanja stajališta, zaokružite na staklu sve što je vidljivo iza njega, tada će rezultirajući crtež biti perspektivna slika prostora.

Egipatske metode dizajna za koje se čini da su se temeljile na rasporedima kvadratnih mreža. U egipatska umjetnost postoje brojni primjeri koji pokazuju da su slikari i kipari prvo oslikali mrežu na zidu da bi se slikali ili izrezali kako bi se održali utvrđeni razmjeri. Jednostavni numerički omjeri ovih mreža služe kao srž svega velikog umjetnička djela Egipćani.

Istu metodu koristili su mnogi renesansni slikari, uključujući Leonarda da Vincija. U drevnom Egiptu ovo je utjelovljeno u Velikoj piramidi, koja je pojačana njenom uskom vezom s uzorkom na Marlboroughu dolje.

Kad je započeo s radom, egipatski umjetnik rešetkom je nacrtao zid, a zatim pažljivo prebacio figure na njega. Ali geometrijski poredak nije ga spriječio da ponovno stvori prirodu s detaljnom točnošću. Izgled svake ribe, svake ptice prenosi se s takvom istinitošću da moderni zoolozi mogu lako odrediti njihovu vrstu. Na slici 4. prikazan je detalj kompozicije s ilustracijom - drvo s pticama zarobljenim Khnumhotepovom mrežom. Pokret umjetnikove ruke bio je vođen ne samo rezervama njegovih vještina, već i okom osjetljivim na obrise prirode.

Slika 4 Ptice na bagremu

Poglavlje II. Koordinatna metoda u matematici

§jedan. Primjena koordinata u matematici. Zasluga

francuski matematičar René Descartes

Dugo vremena samo geografija "opis zemljišta" - koristio je ovaj divan izum, a tek u 14. stoljeću francuski matematičar Nicolas Orem (1323. - 1382.) pokušao ga je primijeniti na "mjerenje zemlje" - geometriju. Predložio je pokrivanje ravnine pravokutnom mrežom i nazivanje zemljopisne širine i dužine onim što danas nazivamo apscisom i ordinatom.

Na temelju ove uspješne inovacije pojavila se metoda koordinata, koja povezuje geometriju s algebrom. Glavna zasluga u stvaranju ove metode pripada velikom francuskom matematičaru Reneu Descartesu (1596. - 1650.). U njegovu čast takav se koordinatni sustav naziva kartezijanskim, označavajući mjesto bilo koje točke u ravnini udaljenostima od ove točke do "nulte širine" - osi apscise "i" meridijana "- ordinate.

Međutim, ovaj briljantni francuski znanstvenik i mislilac 17. stoljeća (1596. - 1650.) nije odmah našao svoje mjesto u životu. Descartes je rođen u plemićkoj obitelji dobro obrazovanje... Otac ga je 1606. poslao u isusovački kolegij La Flèche. S obzirom na ne baš dobro Descartesovo zdravlje, dobio je neka oproštenja u strogom režimu toga obrazovna ustanovana primjer, smjeli su ustati kasnije od ostalih. Stekavši puno znanja na fakultetu, Descartes je istodobno bio prožet antipatijom prema skolastičkoj filozofiji, koju je zadržao tijekom svog života.

Nakon završetka fakulteta, Descartes je nastavio školovanje. 1616. godine na Sveučilištu u Poitiersu dobio je prvostupnicu prava. 1617. godine Descartes se prijavio u vojsku i puno putovao Europom.

1619. znanstveno se pokazalo ključnom godinom za Descartesa.

U to su mu se vrijeme, kako je sam napisao u svom dnevniku, otkrili temelji nove "nevjerojatne znanosti". Najvjerojatnije je Descartes imao na umu otkriće univerzalnog znanstvena metoda, koju je nakon toga uspješno primijenio u raznim disciplinama.

1620-ih Descartes je upoznao matematičara M. Mersennea preko kojeg je duge godine "U kontaktu" sa cijelom europskom znanstvenom zajednicom.

1628. godine Descartes se nastanio u Nizozemskoj više od 15 godina, ali se nije naselio ni u jednom mjestu, već je oko dva desetaka puta promijenio mjesto boravka.

1633. godine, saznavši za osudu Galileja od strane crkve, Descartes je odbio objaviti prirodno-filozofsko djelo "Svijet", koje je iznosilo ideje o prirodnom podrijetlu svemira prema mehaničkim zakonima materije.

1637. god francuski objavljeno je djelo Descartesa "Diskurs o metodi" s kojim je, kako mnogi vjeruju, započela moderna europska filozofija.

Posljednje Descartesovo filozofsko djelo, Strast duše, objavljeno 1649. godine, također je uvelike utjecalo na europsku misao.Iste godine, na poziv švedske kraljice Christine, Descartes odlazi u Švedsku. Oštra klima i neobičan režim (kraljica je natjerala Descartesa da ustane u 5 ujutro kako bi održavao lekcije i obavljao druge poslove) potkopali su Descartesovo zdravlje i, prehladivši se,

umrla od upale pluća.

Prema tradiciji koju je uveo Descartes, "zemljopisna širina" točke označena je slovom x, "zemljopisna širina" točke slovom y

Mnogi načini određivanja mjesta temelje se na ovom sustavu.

Na primjer, na ulaznici za film postoje dva broja: red i sjedalo - oni se mogu promatrati kao koordinate sjedala u dvorani.

Slične koordinate prihvaćene su i u šahu. Umjesto jednog od brojeva uzima se slovo: okomiti redovi ćelija označeni su slovima latinična abeceda, a vodoravno - u brojkama. Dakle, par slova i broj dodijeljeni su svakom kvadratu šahovske ploče, a šahisti mogu zapisivati \u200b\u200bsvoje igre. Konstantin Simonov piše o korištenju koordinata u svojoj pjesmi "Sin topnika".

Cijelu noć hodajući poput viska

Major nije sklopio oka,

Doviđenja na radiju ujutro

Stigao je prvi signal:

"U redu je, stigao sam,

Nijemci lijevo od mene

Koordinate (3; 10),

Požuri, pucajmo!

Puške su napunjene

Major je sve sam izračunao.

I uz urlik prve salve

Pogodili su planine.

I opet signal na radiju:

"Nijemci vladaju mnom,

Koordinate (5; 10),

Prije više vatre!

Letjela je zemlja i kamenje

Dim se dizao u koloni.

Činilo se sada odatle

Nitko ne odlazi živ.

Treći radio signal:

"Nijemci su oko mene,

Koordinate (4; 10),

Ne štedite vatru.

Major je problijedio kad je čuo:

(4; 10) - samo

Mjesto gdje je njegova Lyonka

Trebao bih sjesti sada.

Konstantin Simonov "Sin topnika"

§2. Legende o izumu koordinatnog sustava

Postoji nekoliko legendi o izumu koordinatnog sustava, koji nosi ime Descartes.

Legenda 1

Takva se priča svela do naših vremena.

Gostujući u pariškim kazalištima, Descartesu nikada nije dosadilo biti iznenađen zbrkom, prepirkama, a ponekad čak i izazovima dvoboja uzrokovanog nedostatkom elementarnog reda rasporeda publike u gledalištu. Njegov sustav brojeva koji je predložio, a u kojem je svako mjesto dobilo broj reda i serijski broj s ruba, odmah je uklonio sve razloge za prepirku i stvorio pravu senzaciju u pariškom visokom društvu.

Legenda 2. Jednom je Rene Descartes cijeli dan ležao u krevetu, razmišljajući o nečemu, a muha je zujala uokolo i nije mu dopustila da se koncentrira. Počeo je razmišljati kako matematički opisati položaj muhe u bilo kojem trenutku, kako bi je mogao zamahnuti bez propuštanja. I ... smislili su kartezijanske koordinate, jedan od najvećih izuma u povijesti čovječanstva.

Markovtsev Yu.

Jednom u nepoznatom gradu

Stigao je mladi Descartes.

Glad ga je užasno mučila.

Bio je prohladni mjesec ožujak.

Odlučio sam se obratiti prolazniku

Descartes, pokušavajući smiriti drhtaj:

Gdje je hotel, recite mi?

I gospođa je počela objašnjavati:

- Idite u trgovinu mlijeka

Zatim u pekaru, iza nje

Ciganka koja prodaje igle

I otrov za štakore i miševe,

U njima ćete sigurno pronaći

Sir, keksi, voće

I raznobojne svile ...

Slušao sam sva ta objašnjenja

Descartes, tresući se od hladnoće.

Želio je jako jesti,

- Iza trgovina - ljekarna

(tamošnji ljekarnik je brkati Šveđanin),

I crkva, gdje je početkom stoljeća

Čini se, moj se djed oženio ...

Kad je dama na trenutak zašutjela,

Odjednom njezin sluga reče:

- Hodajte tri bloka ravno

I dva udesno. Ulaz iz kuta.

Ovo je treća basna o slučaju koji je Descartesu dao ideju o koordinatama.

Zaključak

Stvarajući naš projekt, naučili smo o korištenju koordinatne ravnine u raznim poljima znanosti i svakidašnjica, neki podaci iz povijesti nastanka koordinatne ravnine i matematičari koji su dali velik doprinos ovom izumu. Građa koju smo prikupili tijekom pisanja djela može se koristiti u učionici školskog kruga, kao dodatni materijal na lekcije. Sve to može zainteresirati školarce i uljepšati obrazovni proces.

I htjeli bismo završiti s ovim riječima:

“Zamislite svoj život kao koordinatnu ravninu. Os y vaš je položaj u društvu. Os x se kreće naprijed, prema cilju, prema vašem snu. A kao što znamo, beskonačno je ... možemo pasti dolje, zalazeći sve dublje u minus, možemo ostati na nuli i ne raditi ništa, apsolutno ništa. Možemo ići gore, možemo pasti, možemo ići naprijed ili se vratiti, a sve zato što je cijeli naš život koordinatna ravnina i najvažnije je koja je vaša koordinata ... "

Bibliografija

Glazer G.I. Povijest matematike u školi: - M.: Obrazovanje, 1981. - 239 str, ilustr.

Lyatker Ya.A. Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Mislioci prošlosti)

Matvievskaya G.P. Rene Descartes, 1596-1650. Moskva: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinirati. Kvantni. 1977. broj 9

Matematika - dodatak novinama "Prvi septembar", №7, №20, №17, 2003, №11, 2000.

Siegel F.Yu. Zvijezda ABC: Vodič za studente. - M.: Obrazovanje, 1981. - 191 str., Il

Steve Parker, Nicholas Harris. Ilustrirana enciklopedija za djecu. Tajne svemira. Harkov Belgorod. 2008

Materijali s web stranice http://istina.rin.ru/

Na površini. Neka jedno bude x, drugo y. I neka su te linije međusobno okomite (tj. Sijeku se pod pravim kutom). Štoviše, točka njihova presjeka bit će ishodište koordinata za obje ravne crte, a jedinični segment je isti (slika 1).

Tako smo i dobili pravokutni koordinatni sustav, a naša je ravnina postala koordinata. Ravne crte x i y nazivaju se koordinatne osi. Štoviše, os x je apscisa, a os y ordinata. Slična ravnina obično je označena imenima osi i referentnom točkom - xOy. Također se naziva i pravokutni koordinatni sustav dekartov koordinatni sustav, budući da ga je prvi aktivno koristio francuski matematičar i filozof, Rene Descartes.

Pravokutni uglovinastale pravcima x i y nazivaju se koordinatni kutovi... Svaki je kut numeriran kako je prikazano na sl. 2.

Dakle, kada smo govorili o koordinatnoj liniji, svaka točka ove linije imala je jednu koordinatu. Sad to u pitanju oko koordinatne ravnine, tada će svaka točka ove ravnine već imati dvije koordinate. Jedna odgovara pravoj crti x (ta se koordinata naziva apscisa), druga odgovara pravoj crti y (ta se koordinata naziva ordinirati). Zapisano je ovako: M (x; y), gdje je x apscisa, a y ordinata. Čita se kao: "Točka M s koordinatama x, y".

Kako odrediti koordinate točke na ravnini?
Sada znamo da svaka točka na ravnini ima dvije koordinate. Da bismo saznali njegove koordinate, dovoljno je da kroz ovu točku povučemo dvije ravne crte, okomite na koordinatne osi. Točke presjeka ovih ravnih crta s koordinatnim osima bit će željene koordinate. Tako, na primjer, na si. 3, utvrdili smo da su koordinate točke M 5 i 3.

Kako nacrtati točku na ravnini po koordinatama?
Događa se i da koordinate točke na ravnini već znamo. I moramo pronaći njezino mjesto. Recimo da imamo koordinate točke (-2; 5). Odnosno, apscisa je -2, a ordinata 5. Uzmite točku s koordinatom -2 na osi x (apscisa) i povucite kroz nju ravnu crtu paralelnu s osi y. Imajte na umu da će bilo koja točka na ovoj liniji imati apscisu jednaku -2. Sada na liniji y (ordinati) nalazimo točku s koordinatom 5 i kroz nju povlačimo liniju b paralelnu s osi x. Imajte na umu da će bilo koja točka na ovoj liniji imati ordinatu jednaku 5. Na presjeku linija a i b nalazit će se točka s koordinatama (-2; 5). Označimo ga slovom P (slika 4).

Također dodajemo da je jednačina a prava, a sve točke koje imaju apscisu -2
x \u003d -2 ili da je x \u003d -2 jednadžba prave a. Radi praktičnosti možemo reći ne "ravna crta, koja je dana jednadžbom x \u003d -2", već jednostavno "ravna crta x \u003d -2". Doista, za bilo koju točku prave a vrijedi jednakost x \u003d -2. A linija b, čije sve točke imaju ordinatu 5, zauzvrat je dana jednadžbom y \u003d 5 ili da je y \u003d 5 jednadžba linije b.

Ako konstruirate dvije međusobno okomite numeričke osi na ravnini: VOL i OYtada će biti pozvani koordinatne osi... Vodoravna os VOL pozvao apscisa (os x), okomita os OY - ordinata (os g).

Točka Ostojeći na sjecištu osi naziva se podrijetlo... To je nulta točka za obje osi. Pozitivni brojevi su prikazani na osi apscisa s točkama udesno, a na osi ordinata - točke prema gore od nulta točka. Negativni brojevi prikazani su točkama lijevo i dolje od ishodišta (točke O). Zove se ravnina na kojoj leže koordinatne osi koordinatna ravnina.

Koordinatne osi dijele ravninu na četiri dijela, tzv četvrtine ili kvadranti... Uobičajeno je da se ove četvrtine numeriraju rimskim brojevima onim redoslijedom kojim su numerirane na crtežu.

Usmjerite koordinate na ravnini

Ako uzmemo proizvoljnu točku na koordinatnoj ravnini A i izvucite okomice na njega na koordinatne osi, tada će osnove okomica biti dva broja. Nazvan je broj na koji ukazuje vertikalni okomiti kut apscisna točka A... Broj na koji pokazuje vodoravni okomiti je ordinata A.

Na crtežu, apscisa točke A je 3, a ordinata 5.

Apscisa i ordinata nazivaju se koordinatama zadane točke na ravnini.

Koordinate točaka zapisane su u zagradama desno od oznake točke. Prvo se napiše apscisa, a zatim ordinata. Pa snimajte A(3; 5) znači da je apscisa točke A je jednako tri, a ordinata je jednaka pet.

Koordinate točke su brojevi koji određuju njezin položaj na ravnini.

Ako točka leži na osi apscise, tada je njena ordinata nula (na primjer, točka B s koordinatama -2 i 0). Ako točka leži na osi ordinata, tada joj je apscisa nula (na primjer, točka C s koordinatama 0 i -4).

Podrijetlo - točka O - ima i apscisu i ordinatu jednaku nuli: O (0; 0).

Taj se koordinatni sustav naziva pravokutan ili kartezijanski.

§ 1 Koordinatni sustav: definicija i metoda konstrukcije

U ovoj ćemo se lekciji upoznati s pojmovima "koordinatni sustav", "koordinatna ravnina", "koordinatne osi", naučit ćemo kako graditi točke na ravnini pomoću koordinata.

Uzmimo koordinatnu liniju x s \u200b\u200bishodišnom točkom O, pozitivnim smjerom i jediničnim segmentom.

Kroz ishodište koordinata, točka O koordinatne crte x nacrtajte drugu koordinatnu liniju y okomitu na x, postavite pozitivni smjer prema gore, jedinični segment je isti. Stoga smo izgradili koordinatni sustav.

Dajmo definiciju:

Dvije međusobno okomite koordinatne crte koje se sijeku u točki koja je ishodište svake od njih čine koordinatni sustav.

§ 2. Koordinatna os i koordinatna ravnina

Ravne crte koje tvore koordinatni sustav nazivaju se koordinatne osi, od kojih svaka ima svoje ime: x koordinatna crta je os apscise, y koordinatna crta je ordinatna os.

Ravnina na kojoj je odabran koordinatni sustav naziva se koordinatna ravnina.

Opisani koordinatni sustav naziva se pravokutnim. Često se naziva i kartezijanskim koordinatnim sustavom prema francuskom filozofu i matematičaru Renéu Descartesu.

Svaka točka koordinatne ravnine ima dvije koordinate, koje se mogu odrediti ispuštanjem okomica na koordinatnu os s točke. Koordinate točke na ravnini su par brojeva, od kojih je prvi broj apscisa, drugi broj je ordinata. Apscisa je prikazana okomicom na os x, a ordinata je okomica na os y.

Označimo točku A na koordinatnoj ravnini, povucimo okomice na nju na osi koordinatnog sustava.

Duž okomice na os apscise (os x), određujemo apscisu točke A, jednaka je 4, ordinata točke A - duž okomice na ordinatu (os y) je 3. Koordinate naša točka su 4 i 3. A (4; 3). Dakle, koordinate se mogu naći za bilo koju točku u koordinatnoj ravnini.

§ 3 Izgradnja točke na ravnini

Kako izgraditi točku na ravnini s danim koordinatama, tj. odrediti njegov položaj koordinatama točke na ravnini? U ovom slučaju radnje izvodimo u obrnuti redoslijed... Na koordinatne osi pronaći bodove koji odgovaraju zadane koordinate, kroz koji crtamo ravne crte okomite na osi x i y. Točka presjeka okomica bit će željena, t.j. točka s danim koordinatama.

Dovršimo zadatak: izgradimo točku M (2; -3) na koordinatnoj ravnini.

Da bismo to učinili, na osi apscise pronađemo točku s koordinatom 2, povucimo ravnu crtu kroz ovu točku okomito na os x. Na ordinati nalazimo točku s koordinatom -3, kroz nju povlačimo ravnu crtu okomitu na os y. Točka presjeka okomitih linija bit će dana točka M.

Pogledajmo sada nekoliko posebnih slučajeva.

Označimo na koordinatnoj ravnini točke A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Apscise ovih točaka jednake su 0. Slika pokazuje da su sve točke na osi ordinata.

Prema tome, točke čiji su apscisi jednaki nuli leže na osi ordinata.

Promijenimo mjestimice koordinate tih točaka.

Ispada A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). U ovom su slučaju sve ordinate 0, a točke su na osi apscise.

To znači da točke na kojima su ordinate jednake nuli leže na osi apscise.

Ispitajmo još dva slučaja.

Na koordinatnoj ravnini označite točke M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Lako je uočiti da su sve apscise točaka iste. Ako spojite ove točke, dobit ćete ravnu liniju paralelnu osi ordinata i okomitu na os apscise.

Zaključak sugerira sam: točke koje imaju istu apscisu leže na jednoj pravoj liniji koja je paralelna s osom ordinata i okomita na os apscise.

Ako mjestimice promijenite koordinate točaka M, N, P, dobit ćete M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Ordinate točaka postat će iste. U ovom slučaju, ako spojite ove točke, dobit ćete ravnu liniju paralelnu osi apscise i okomitu na os ordinata.

Dakle, točke koje imaju istu ordinatu leže na jednoj ravnoj liniji paralelnoj osi apscise i okomitoj na os ordinata.

U ovoj ste se lekciji upoznali s pojmovima "koordinatni sustav", "koordinatna ravnina", "koordinatne osi - os apscise i ordinatna os". Naučio kako pronaći koordinate točke na koordinatnoj ravnini i naučio kako graditi točke na ravnini prema njezinim koordinatama.

Popis korištene literature:

1. Matematika. Razred 6: planovi lekcija za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // sastavio L.A. Topilin. - Mnemosyne, 2009. (monografija).
2. Matematika. Razred 6: udžbenik za studente obrazovne ustanove... I.I.Zubareva, A.G.Mordkovich - Moskva: Mnemosina, 2013.
3. Matematika. Ocjena 6: udžbenik za obrazovne institucije / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov i drugi / uredio G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija obrazovanja. - M.: "Obrazovanje", 2010 (monografija)
4. Referenca iz matematike - http://lyudmilanik.com.ua
5. Priručnik za srednjoškolce http://shkolo.ru

Matematika je složena znanost. Proučavajući ga, treba ne samo rješavati primjere i probleme, već i raditi s raznim figurama, pa čak i ravninama. Jedan od najčešće korištenih u matematici je ravninski koordinatni sustav. Ispravan rad djeca su s njom podučavana više od jedne godine. Stoga je važno znati što je to i kako s njim ispravno raditi.

Pogledajmo što čini ovaj sustav, koje se radnje mogu izvesti uz njegovu pomoć, kao i saznati njegove glavne karakteristike i značajke.

Definicija pojma

Koordinatna ravnina je ravnina na kojoj je definiran određeni koordinatni sustav. Takvu ravninu definiraju dvije ravne crte koje se sijeku pod pravim kutom. Ishodište koordinata nalazi se na mjestu presjeka ovih linija. Svaka točka na koordinatnoj ravnini određena je parom brojeva koji se nazivaju koordinate.

Na školskom tečaju matematike školarci moraju prilično usko surađivati \u200b\u200bs koordinatnim sustavom - graditi figure i točke na njemu, odrediti kojoj ravnini pripada određena koordinata, a također odrediti koordinate točke i napisati ih ili imenovati. Stoga, razgovarajmo detaljnije o svim značajkama koordinata. Ali prvo, dodirnimo povijest stvaranja, a zatim ćemo razgovarati o tome kako raditi na koordinatnoj ravnini.

Povijest

Ideje za stvaranje koordinatnog sustava bile su već u vrijeme Ptolomeja. Već tada su astronomi i matematičari razmišljali o tome kako naučiti kako postaviti položaj točke na ravnini. Nažalost, u to nam vrijeme još nije bio poznat koordinatni sustav, a znanstvenici su morali koristiti druge sustave.

U početku su postavljali točke određujući zemljopisnu širinu i dužinu. Dugo je vremena to bio jedan od najčešće korištenih načina mapiranja ovih ili onih podataka. No, 1637. Rene Descartes stvorio je vlastiti koordinatni sustav, kasnije nazvan po "kartezijanskom".

Već u krajem XVII u. koncept "koordinatne ravni" postao je široko korišten u svijetu matematike. Unatoč činjenici da je prošlo nekoliko stoljeća od stvaranja ovog sustava, on se još uvijek široko koristi u matematici, pa čak i u životu.

Primjeri koordinatne ravnine

Prije razgovora o teoriji, evo nekoliko ilustrativnih primjera koordinatne ravnine kako biste je mogli zamisliti. Koordinatni sustav prvenstveno se koristi u šahu. Na ploči svaki kvadrat ima svoje koordinate - koordinata od jednog slova, a druga digitalna. Pomoću nje možete odrediti položaj određenog komada na ploči.

Drugi najupečatljiviji primjer je omiljena igra "Morska bitka". Sjetite se kako, dok igrate, imenujete koordinate, na primjer, B3, pokazujući tako točno kamo ciljati. Istodobno, postavljajući brodove, postavljate točke na koordinatnu ravninu.

Ovaj se koordinatni sustav široko koristi ne samo u matematici, logičkim igrama, već i u vojnim poslovima, astronomiji, fizici i mnogim drugim znanostima.

Koordinatne osi

Kao što je već spomenuto, u koordinatnom sustavu razlikuju se dvije osi. Razgovarajmo malo o njima, jer su oni od velike važnosti.

Prva os, apscisa, je vodoravna. Označava se kao ( Vol). Druga os je ordinata koja prolazi vertikalno kroz referentnu točku i označava se kao ( Oj). Te dvije osi tvore koordinatni sustav dijeleći ravninu na četiri četvrtine. Ishodište je na mjestu presjeka ove dvije osi i uzima vrijednost 0 ... Samo ako ravninu čine dvije okomite osi koje se sijeku i koje imaju referentnu točku, to je koordinatna ravnina.

Također imajte na umu da svaka od osi ima svoj smjer. Obično je pri konstruiranju koordinatnog sustava običaj označavati smjer osi u obliku strelice. Uz to, pri konstruiranju koordinatne ravnine, svaka od osi je potpisana.

Četvrtine

Recimo sada nekoliko riječi o takvom pojmu kao što je četvrtina koordinatne ravnine. Ravnina je podijeljena s dvije osi u četiri četvrtine. Svaka od njih ima svoj broj, dok je numeriranje aviona u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svaka od četvrtina ima svoje osobine. Dakle, u prvoj četvrtini apscisa i ordinata su pozitivne, u drugoj četvrtini apscisa je negativna, ordinata je pozitivna, u trećoj su i apscisa i ordinata negativne, u četvrtoj apscisa je pozitivna, a ordinata je negativan.

Prisjećajući se ovih značajki, lako možete utvrditi kojoj četvrtini pripada ova ili ona točka. Osim toga, ove informacije mogu vam biti korisne u slučaju da morate raditi proračune koristeći kartezijanski sustav.

Rad s koordinatnom ravninom

Kad smo shvatili koncept aviona i razgovarali o njegovoj četvrtini, možemo prijeći na takav problem kao što je rad s ovim sustavom, a također razgovarati o tome kako na njega primijeniti točke i koordinate slika. Na koordinatnoj ravnini to nije tako teško kao što bi se moglo činiti na prvi pogled.

Prije svega, sam sustav je izgrađen, na njega se primjenjuju sve važne oznake. Tada radimo izravno s točkama ili oblicima. U ovom slučaju, čak i pri konstruiranju figura, točke se prvo crtaju na ravnini, a zatim se figure već crtaju.

Pravila gradnje aviona

Ako odlučite započeti s označavanjem oblika i točaka na papiru, potrebna vam je koordinatna ravnina. Na njega se primjenjuju koordinate točaka. Da biste izgradili koordinatnu ravninu, trebaju vam samo ravnalo i olovka ili olovka. Prvo se crta vodoravna apscisa, a zatim vertikalna - ordinata. Važno je zapamtiti da se osi sijeku pod pravim kutom.

Sljedeći obavezna stavka je obilježavanje. Na svakoj od osi u oba smjera označeni su i potpisani segmenti jedinica crta. To je učinjeno kako biste tada mogli raditi s avionom uz maksimalnu praktičnost.

Označi poantu

Sada razgovarajmo o tome kako nacrtati koordinate točaka na koordinatnoj ravnini. Ovo su osnove koje morate znati da biste uspješno postavili razne oblike na ravninu, pa čak i označili jednadžbe.

Pri crtanju točaka sjetite se kako se pravilno zapisuju njihove koordinate. Dakle, obično se određivanjem razdoblja u zagrade upisuju dva broja. Prvi broj označava koordinatu točke duž osi apscise, drugi - duž osi ordinata.

Točku treba graditi na ovaj način. Prva oznaka na osi Vol postavite točku, a zatim označite točku na osi Oj... Zatim izvucite zamišljene crte iz ovih oznaka i pronađite mjesto njihovog presijecanja - to će biti dana točka.

Jednostavno ga morate označiti i potpisati. Kao što vidite, sve je prilično jednostavno i ne zahtijeva nikakve posebne vještine.

Postavite oblik

Sada prijeđimo na takvo pitanje kao što je konstrukcija likova na koordinatnoj ravnini. Da biste na koordinatnoj ravnini izgradili bilo koji oblik, morate znati postaviti točke na njega. Ako to znate učiniti, nije tako teško postaviti oblik na ravninu.

Prije svega, trebaju vam koordinate točaka oblika. Prema njima primijenit ćemo koordinate koje ste odabrali na naš sustav koordinata. Razmislite o crtanju pravokutnika, trokuta i kruga.

Počnimo s pravokutnikom. Prilično je jednostavno primijeniti. Prvo se na ravnini crtaju četiri točke koje označavaju uglove pravokutnika. Tada su sve točke međusobno povezane u nizu.

Crtanje trokuta ne razlikuje se. Jedino što ima tri ugla, što znači da su na ravninu primijenjene tri točke koje označavaju njezine vrhove.

Što se tiče kruga, ovdje biste trebali znati koordinate dviju točaka. Prva točka je središte kruga, druga je točka koja označava njezin polumjer. Te su dvije točke ucrtane u ravninu. Zatim se uzima kompas, mjeri udaljenost između dvije točke. Točka kompasa postavljena je u središnju točku i opisana je kružnica.

Kao što vidite, ovdje također nema ništa komplicirano, glavno je da uvijek imate pri ruci ravnalo i šestare.

Sada znate nacrtati koordinate oblika. Na koordinatnoj ravnini to nije tako teško izvesti kako bi se moglo činiti na prvi pogled.

nalazi

Dakle, razmotrili smo s vama jedan od najzanimljivijih i najosnovnijih pojmova za matematiku s kojim se svaki student mora nositi.

Otkrili smo da je koordinatna ravnina ravnina nastala presijecanjem dviju osi. Pomoću nje možete postaviti koordinate točaka, primijeniti oblike na nju. Avion je podijeljen u četvrtine, od kojih svaka ima svoje osobine.

Glavna vještina koju treba razviti pri radu s koordinatnom ravninom jest sposobnost ispravnog nanošenja određenih točaka na nju. Da biste to učinili, trebali biste znati ispravno mjesto osi, značajke kvartova, kao i pravila po kojima se postavljaju koordinate točaka.

Nadamo se da su informacije koje smo iznijeli bile dostupne i razumljive, kao i korisne za vas i pomogle vam da bolje razumijete ovu temu.